2025年中考数学复习：二次函数中线段数量关系

二次函数中线段数量关系

方法突破练

1.如图直线y=2x+3经过A,B两点，点A的横坐标为-2,,点B的横坐标为1,点C是线段AB上一点，

第1题图

2.如图，已知抛物线y=-Y+2久+3与y轴交于点A,与x轴正半轴交于点B,连接AB,点P为线段AB

上方抛物线上一点，过点P作PQ1%轴于点Q,交AB于点H,当.PH=2HQ时，求点P的坐标.

第2题图

3.如图，已知抛物线y=-Y+2x+3与x轴交于A,B两点（点A在点B左侧）,与y轴交于点C,连接B

C,点P是线段BC上方抛物线上一点，过点P作线段BC的垂线，垂足为点M.若.PM="。8,求点P的横坐标.

O

第3题图

设问进阶练

例如图，抛物线y=-：/+：x+3与x轴交于A,B两点（点B在点A的右侧）,与y轴交于点C,对称轴为

o4

直线1,作直线BC.

⑴设点E是抛物线对称轴上一点，当CE=BE时,求点E的坐标；

⑵设点F是x轴上一点,且在点B左侧，当sin^FCB=^sin/FBC时，求点F的坐标；（设问源自2022南充中

考）

例题图②

⑶若点Q是直线BC上方抛物线上一点，过点Q作直线QQ，||y轴交直线BC于点（Q'交x轴于点Z,当点Q/

为线段QZ的三等分点时，求点Q的坐标.

例题图③

综合强化练

1.创新题•阅读理解题如图，抛物线(：y=af+bx+c(a)O)与y轴交于点D，顶点为F,与直线1:y=%+2

交于A,B两点，直线1与y轴交于点G,与抛物线C的对称轴交于点E.若记K(1,C)=EF-AB,,则称K(1,C)是直

线1与抛物线C的“截积”.

(1)若a=1,,抛物线的对称轴为直线x=-1,00=4,,求此时K的值；

⑵在⑴的基础上，过点F作直线1的平行线11,现将抛物线C进行平移，使得平移后的抛物线C'的顶点.F'落

在直线1,±,抛物线C'的对称轴与直线1交于点.E',试探究K»L)是否为定值?若是，请求出该定值；若不是，请

说明理由；

(3)设抛物线C的函数表达式为y=a(x-/i)2+k若KQ，C)=8五,AB=4vx且点F在点E的下方，求a的

值.

作图区答题区

备用图②

2.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a丰0)与x轴交于A(-1,O),B(3,O)两点与y轴交于点C,H(OB=OC.点P为抛

物线y=ax2+bx+c上的一个动点，过点P作PD1x轴于点D,交直线BC于点E.

⑴求抛物线的解析式；

(2)当DE=赳。时，求此时点P的坐标；

(3)第一象限抛物线上是否存在点P,使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍?若存在,求出

点P的坐标；若不存在，请说明理由.

备用图②

线段数量关系

一阶方法突破练

1.解:如解图，过点A作ADllx轴，过点B作BD±AD于点D,过点C作CE±AD于点E,则CEllBD,

.1.△ACE-,AABD,

.再一些一工\/B

"ADAB3'y\

•.•点A的横坐标为-2,点B的横坐标为1,ch\

..AD=3,AE=LAMi~«

，点E的横坐标为-2+l=-l.第:匕

由CElly轴可得，点C与点E的横坐标相同.

当x=-l时,y=2x+3=l.

，点C的坐标为

2.解：；抛物线的解析式为y=-久2+2x+3与y轴交于点A,与x轴正半轴交于点B,

.-.A(0,3),B(3,0),

，直线AB的解析式为:y=-x+3,

设点P的坐标为(如一机2+2m+3)(0<m<3),则H(m,-m+3),Q(m,0)(设点坐标)，

PH=—m2+2m+3—(―m+3)=-m2+3m,HQ=-m+3(表示线段长),

PH=2HQ,

•••~m^+3m=2(-m+3)(根据线段数量关系列方程求解)，

解得m=2或m=3(舍去)，

.,点P的坐标为(2,3).

3.解:如解图，过点P作PElly轴交BC于点E(作y轴的平行线构造相似三角形)，

令-刀2+2x+3=0,解得X=-l或X=3,y

一.点A在点B左侧，

；.A(-L0),B(3,0),令x=0狷y=3,；.C(0,3),

，OB=OC=3,BC=3V2,/0[^\x

..PE||y轴，第3题解图

.-.zPEM=zOCB,

X-.zPMB=zCOB=90°,

.".APME-ABOC,.-.PM=BE,

PE=x3V2=1(求出转化后的线段长)，

o

•.C(0,3),B(3,0),

，直线BC的解析式为y=-x+3,设点P(m>-m2+2m+3)(0<m<3),,则点E的坐标为(m,-m+3)(设点坐

标)，

PE=-m2+2m+3—(—m+3)=—m2+37n(表示线段长)，

.•.-》+3m=1(根据已知线段长列方程求解),解得m=等或m=竽,

,点P的横坐标为誓$萼.

二阶设问进阶练

例解：(1)令—|/+卜+3=0,解得x=-2或x=4,

•.•点B在点A的右侧，

.■,A(-2,0),B(4,0),

.•抛物线对称轴为直线x=l,令x=0得y=3,，C(0,3),如解图，作线段BC的垂直平分线EG交直线I于点E,交

BC于点G,连接BE,CE,此时CE=BE,

.B(4,0),C(0,3),怦C，

6(2,|),直线8(：的解析式为)7=-3乂+3,

,.设直线EG的解析式为y=(久+仇将G点坐标代入得[x2+b=|,解得b=

,.直线EG的解析式为y=—,/\\\

.•点E是抛物线对称轴上一点，例题解图①

二点E的横坐标为1,

.,.将x=l代入y=-(得y=：,

•••MW)；

(2)如解图②，过点F作FD±BC于点D,

vsin^FCB=-sin^FBC,

5CF5BF

CF55

：.-=-CF=-BF

BF8f8f

,・,点F是x轴上一点，且在点B左侧，

二设F（t,O）,

•••CF=Vt2+32,BF=4—t,

V32+t2=|（4—t）,

解得t=-4或t=-葛

旺式-4,0）或F2（W，。）；例题解图②

⑶由（1）知，直线BC的解析式为y=-江+3,设点Q的坐标为（（中一次+支+3）,其中（0<q<4,则点Q'的坐

标为（q，—|q+3）,点Z的坐标为（q,0）,二QZ——^q2+^q+3,QZ——^q+3,

1.点Q'为线段QZ的三等分点，

，需要分两种情况讨论：

①当QZ=《QZ时，即一初+3=X-疗+"+3),解得qi=q2=4(舍去);

②当QZ=|QZ时，即一为+3=|(—片+,+3),解得q3=4(舍去),q&=L

当q=l时,y=_：xI?+|x1+3

.•点Q的坐标为(1，羡).

综上所述，当点Q'为线段QZ的三等分点时，点Q的坐标为(1，羡).

三阶综合强化练

1.解：(1)1•直线I的函数表达式为y=x+2①,a=L0D=4,抛物线的对称轴为直线x=-l,

c=-4,-=-]"•b=2,

2a

，抛物线C的函数表达式为y=*+2%-4②，

,抛物线的顶点F(-l,-5),联立①②，解得Z二；寸Zj,

.-.A(-3,-l),B(2,4),

..将x=-l代入y=x+2得y=l,/.E(-l,l),

；.EF=6,

.­.K（l，C）=EF-AB=6j[2-（-3）]2+[4-=30V2；

（2）K（I：C）是定值，其值为6V2.

理由如下:由⑴知,F(-l,-5),

・•・IIIr〃•直线r的解析式为y=x-4③，

•••设平移后的抛物线C'的顶点坐标为F(m,m-4),

:平移后的抛物线C的解析式为y=(x-my+m—4④,E'(m,m+2)/EF=6,

联立③④，得((％-Hl)2+TH-4=%-4,

・,・%2+m2—2xm+m—x=0,

•••(%—m)2—(%—m)=0,

：x二m或x=m+l,

..A(m,m+2),B(m+l,m+3),

•••AB=yj\m—l)]2+[(m+2)—(m+3)]2=y[2,

.♦・=E'F'-AB=642,

即K(I,C)是定值，其值为(6V2；

(3)v抛物线C的函数表达式为y=a1一)2+k⑤,

二顶点坐标F(h,k),

.•.E(h,h+2),.".EF=h+2-k,

••1K(l'C)=8V2,EF==露=2,

「.2二h+2-k,「.h=k,

2

,「直线I的函数表达式为y=x+2①，联立①⑤，整理得ax-(2aA+1)%+成之+々-2=0,设A(xlly1)/B(x2zy

2)/

2

2a/+lcch+/c—2

••十%2-a，%1%2-a>

22

・•・AB=(也_%2)+[yi-32

=g-%2)2+(均+2__2)2

=2《工-物)2

=2g+%2)2—4亚孙]

(2a"lj4m+1-2)

a2a

8a(%-Zc+2)+2

―a2

16u+2

=T,

•••AB=4V2,

■■■=(4V2)2=32,•••16a2-8a-1=0,

解得。=等或。=厂(舍去).

44

.­.a的值为竽.

2.解：Q).抛物线y=。运+bx+©(a丰0)分别与坐标轴交于点A(-l,0),B(3,0),C,HOB=OC,

..C(0,-3),

二抛物线的解析式为y=ax2+bx-3,

，将点A,B的坐标代入抛物线的解析式,

得（a-b-3=0解得（a=l

1守（9a+36-3=0'蝌守lb=-2,

，该抛物线的解析式为y=*2—2尤—3；

(2)【思路点拨】设出点P的坐标，表示出点E,点D的坐标，根据点P与A,B间的位置关系进行讨论，由

DE=［PD列方程求解即可.

■.B(3,0),C(0,-3),

直线BC的解析式为y=x-3,

设点2t-3),则.E(t,t-3),D(t,0),

当点P在点A,B之间的抛物线上时

贝［IDE=0—(t—3)=3—t,PD=0——2t—3)——t^+2t+3,

DE——PDf3—t=—(—I?+2t+3),

解得t=2或t=3(舍去)，

.•.P(2,-3)；

当点P在点B右侧