2025年中考数学专项突破：线段周长问题（二次函数综合）（含简单答案）

2025年中考数学高频考点突破一

线段周长问题（二次函数综合）

1.如图，已知抛物线y=^2+c过点（-2,2）,（4,5）,过定点尸（0,2）的直线/：＞=依+2与

抛物线交于A、8两点，点B在点A的右侧，过点3作x轴的垂线，垂足为C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若R9c的面积为4,求人的值；

（3）当点8在抛物线上运动时，判断线段即与BC的数量关系（＞、＜、=）,并证明你的

判断.

2.己知抛物线'=。0-1）2-3（。*0）的图象与》轴交于点人、B（A在8的左侧），与〉轴交

于点CQ-2）,顶点为。.

（1）试确定。的值，并直接写出。点的坐标.

（2）试在x轴上求一点P,使得的周长取最小值.

（3）若将抛物线向右平移皿，〃＞。）个单位长度，所得新抛物线的顶点记作点A的对应

点记作A，与原抛物线的交点记作E,则是否存在一个加的值，使一AZE的面积与一A2D

的面积比为：，且点。、E.。’在同一条直线上？若存在，请求出"的值；若不存在，请

说明理由.

3.如图，抛物线y=x2+/u+c过点A(-l,2),且关于y轴对称，点C与点B(a,0)(a>1)关

于原点对称，直线AC交抛物线于点。.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)连接。4,BD,当0A//2。时，求。的值；

(3)若直线AC交抛物线y=](x+l)-于E,尸两点(点E在点尸的左侧)，且EA=OE求直

4.在平面直角坐标系中，抛物线丫=加-26-3°(。>0)与％轴交于A,B两点(点A在点

B的左侧)，并只经过点。(-2,-2),。(4,一5),矶-3,6)中的一点.

⑴判断并直接写出抛物线、=以2-2"-3a(a>0)经过C,D,E中的点,并求出a

的值；

(2)点N是x轴上一点，点M是抛物线的顶点，连接是否存在一点N,使得

AE-BM=BE-MN?若存在,求出点N的坐标；若不存在，说明理由；

(3)点尸(〃〃)是原抛物线上一点，点P在新抛物线y=3比2一14比-21，上，过尸作兀轴的垂线

交原抛物线于点G,交线段石尸于点。，当点。为线段E尸上靠近点尸的三等分点时，存在

才的值，使得器的值为定值，求出此时f的值和该定值.

rCr

5.如图1,抛物线y=-；x?+bx+c与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B(0,4),在x

轴上有一动点D9(m,0)(0<m<4),过点D作x轴的垂线交直线AB于点C,交抛物线于

点E,

(1)直接写出抛物线和直线AB的函数表达式.

(2)当点C是DE的中点时，求出m的值，并判定四边形ODEB的形状(不要求证明).

(3)在(2)的条件下，将线段OD绕点O逆时针旋转得到OD，，旋转角为a((T<a<90。)，

连接D，A、DB,求D，A+'DB的最小值.

2

13

6.如图，抛物线、=-万，+万工+2与x轴交于点A,B,与y轴交于点C.点P是线段BC

上的动点(点P不与B,C重合)，连接并延长AP交抛物线于另一点Q,设点Q的横坐标

为X.

(1)①写出点A,B,C的坐标：A(),B(),C()；

②求证：△ABC是直角三角形；

(2)记ABCQ的面积为S,求S关于x的函数表达式；

(3)在点P的运动过程中，岑是否存在最大值？若存在，求出当的最大值及点Q的坐

APAP

标；若不存在，请说明理由.

7.如图，已知二次函数y=a/+bx+4的图像与x轴交于A(-2,0),8(4,0)两点，与y轴交

于点C,抛物线的顶点为。，点P是x轴上方抛物线上的一个动点，过尸作PN，x轴于N,

交直线BC于M.

⑴求二次函数表达式及顶点D的坐标；

⑵当=时，求点P的坐标；

(3)设抛物线对称轴与x轴交于点”，连接钎交对称轴于E,连接并延长交对称轴于产,

证明HE+HF的值为定值，并求出这个定值.

8.如图，已知二次函数y=/+8+c经过4,2两点，轴于点C,且点A(-1,O),C(4,0),

AC^BC.

⑴求抛物线的解析式；

⑵点E是线段A8上一动点(不与A,B重合)，过点E作无轴的垂线，交抛物线于点-当

线段所的长度最大时，求点E的坐标及S-F；

(3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？

若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.

9.己知二次函数y=-x2+4x+m.

(1)如果二次函数的图象与X轴有两个交点，求m的取值范围；

(2)如图，二次函数的图象过点A(6,0),与y轴交于点B,点p是二次函数对称轴上的

一个动点，当PB+PA的值最小时，求p的坐标

(3)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围.

10.已知二次函数y=x?+bx+c,其图象抛物线交x轴于点A(l,0)、B(3,0),交y轴于点C,

直线/过点C,且交抛物线于另一点E(点E不与点A、B重合).

⑴直接写出二次函数的解析式；

(2)若直线〃经过抛物线顶点D,交x轴于点F,且则以点C、D、E、F为顶点的四

边形能否为平行四边形，若能，求出点E的坐标；若不能，请说明理由；

(3)将此抛物线沿着y=2翻折，E为所得新抛物线x轴上方一动点，过E作x轴的垂线，交x

轴于G,交直线y=-：1x-l于点F,求黑FG的最大值.

2小。

1o

如图，将抛物线叱：了=微一向右平移2个单位长度，再向下平移!•个单位长度后，得到的抛

物线叫,平移后的抛物线也与X轴分别交于A,8两点，与y轴交于点C.抛物线取的对称

轴/与抛物线叱交于点。.

(1)请你直接写出抛物线明的解析式；(写出顶点式即可)

(2)求出A,8,C三点的坐标；

(3)在＞轴上存在一点P,使PB+PD的值最小，求点P的坐标.

12.已知二次函数y=-x?+无+加.

(1)如图，二次函数的图象过点A(3,0),与y轴交于点B,求直线A8和二次函数图象

的解析式；

(2)在线段AB上有一动点尸(不与A,8两点重合)，过点尸作无轴的垂线，交抛物线于

点。，是否存在一点P使线段的长有最大值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请

13.如图，顶点为A(石，1)的抛物线经过坐标原点O,与x轴交于点B.

(1)求抛物线对应的二次函数的表达式；

(2)过B作OA的平行线交y轴于点C,交抛物线于点D,求证：△OCD也△OAB；

(3)在x轴上找一点P,使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标.

14.如图1,二次函数y=ox2+bx-3的图象尸交x轴于A,8两点（点A在点B左侧），交

y轴于点C,且6®=OC=3Q4,直线/：y=履-左一3交图象P于M,N两点（点M在点N

左侧）.

图I图2

（1）求二次函数的解析式；

（2）已知点D。,—2）,当M4〃ND,且M4=ND时，求上的值；

⑶如图2,设图象厂的顶点为尸，线段MN的中点为S,连接SP,求证：不论攵取何值，鼻

MN

的值不变.

15.如图，抛物线y=；Y-4x+6与x轴交于A,8两点（A在B的左边），与y轴交于点C,

连接AC,BC,点。在抛物线上一点.

(2)连接。C,如图1,若2C平分/ACD,求点。的坐标.

⑶如图2,若点。在线段BC的下方抛物线上一点，画。EL8C于点E.

①求DE的最大值.

②在线段CE上取点F连。/，DF,若NEDE=ZACB,且点C关于直线。产的对称点恰

好落在抛物线上，求点。的坐标(直接写出答案).

参考答案：

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1.(1)y=-x2+l-(2)k=--(3)BF=BC

44

2.(1)々=1；D:(1,—3)(2)V26+V2(3)m=2

3.(1)j7=x2+l；(2)a=2+百；(3)y=2x+4.

4.(1)E,=1

⑵存在，点N的坐标为go)或g,oj

⑶存在r=:,假名的定值为:

oJTG2

5.(1)y=-^-x2+x+4；y=-x+4；(2)m=2,四边形ODEB为矩形；(3)历

6.(1)①T,0；4,0；0,2.(2)S=-x2+4x；(3)存在，黑的最大值为点Q的坐

标为(2,3)

7.(1)二次函数的表达式为、=-3/+》+4,顶点。的坐标为(1,3；

(2)当。/0=命3时，点2的坐标为(2,4)

(3)这个