2025年新高考数学一轮复习：重难点突破 玩转指对幂比较大小（十一大题型）（学生版+解析）

重难点突破01玩转指对幕比较大小

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳总结.................................................................3

题型一：直接利用单调性........................................................................3

题型二：引入媒介值............................................................................3

题型三：含变量问题............................................................................4

题型四：构造函数...............................................................................4

题型五：数形结合...............................................................................5

题型六：特殊值法、估算法......................................................................6

题型七：放缩法.................................................................................6

题型八：不定方程...............................................................................7

题型九：泰勒展开...............................................................................7

题型十：同构法.................................................................................8

题型十一：帕德逼近估算法......................................................................8

03过关测试.....................................................................9

方法技巧与总结

（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a,6,c的大小.

（2）指、对、募大小比较的常用方法:

①底数相同，指数不同时，如和优2,利用指数函数y=优的单调性;

②指数相同，底数不同，如普和汇利用幕函数y=x"单调性比较大小;

③底数相同，真数不同，如log。％和log。％利用指数函数log”无单调性比较大小;

④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0,1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大

小关系的判定.

(3)转化为两函数图象交点的横坐标

(4)特殊值法

(5)估算法

放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法

(7)常见函数的麦克劳林展开式:

2n

rxe外

ex=l+x+——+…+——+-----x

2!nl(n+1)!

Nr52n+i

@sinx=x-—+-——+(-lf—x——+o(x2n+2)

3!5!(2n+l)!

fV4V6产

cosx=l-土+土-土+•・•+(-1)〃^—+。(一)

2!4!6!(2〃)！

fv3yn+1

④ln(l+x)=x——+------+(-l)n——+o(x〃+i)

23〃+1

⑤----=1+%+%2+…+%”+)

1-X

@(1+X)n=l+nx+1)X2+o(%2)

题型归赢总结

题型一：直接利用单调性

【典例1-1】记。=302,b=0.3",c=iog020.3,则（）

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>b>aD.b>a>c

c=log2V3,则实数a,b,c的大小关系

【典例1-2］（2024•全国•模拟预测）已知a=3°-6,&=log25,3

是（）

A.b>a>cB.a>b>cC.b>c>aD.a>c>b

i3

4V34

【变式1-1】设°=b=,c—In1.6,则（）

7

A.c<a<bB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

【变式1・2］（2024•宁夏银川•三模）已知“=0.2°5,b=cos2,c=lgl5,则（）

A.a<b<cB.c<a<b

C.b<c<aD.b<a<c

题型二：引入媒介值

53

14

57，b=7,5

【典例2-1］（2024•甘肃兰州•二模）故〃=，c=log3—,则a,b,c的大小顺序是

75

）

A.b<a<cB.c<a<bC.b<c<aD.c<b<a

jr

A

【典例2-2］（2024•高三•广西•开学考试）已知a=sin：,b=2°,c=log2g,则（）

6

A.b>c>aB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c

【变式2-1］（2024•全国•模拟预测）已知a=log（u°-6,b=O.50-6.c=2cos222.5°-1,那么b,c的

大小关系为（）

A.b<c<aB.a<b<cC.a<c<bD.b<a<c

【变式2-2］（2024•江西上饶•模拟预测）设&）"=2,，=log、,

，则有（）

3不23

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<c<aD.b<a<c

题型三：含变量问题

【典例3-1］（2024•陕西西安•统考一模）设。>6>0,。+6=1且x=-|,y=logLa,z

x,%z的大小关系是（）

A.x<z<yB.z<y<x

C.y<z<xD.x<y<z

【典例3-2](多选题)若OvavZ?vl,则()

baB.

A.a<bah-\-\<a-\-b

C.人<6〜D.\oga(l+b)>logh(l+a)

【变式3・1］（多选题）（2024•海南海口•模拟预测）已知羽y,z都为正数，且T=3，=6z,则（）

111

A.xy>4z2B.-+C.x+y>4zD.x+y<5z

xyz

【变式3-2］（多选题）（2024•山西-模拟预测）已知当x>0时，—<ln(l+-)<-,贝ij()

1+xXX

9

A.<—B.In9<1H--F,•,H—<In10

9829

C.(—)9<9!

e

【变式33］（多选题）（2024•湖北•模拟预测）已知正实数。，6,c满足则一定有

A.a<\B.a<bC.b<cD.c<a

题型四：构造函数

2

【典例4-1】设。=log32,Z?=log43,c=-,d=log53,贝|()

A.a<b<c<dB.a<c<d<b

C.a<d<c<bD.c<a<b<d

【典例4-2](2024•湖北武汉•二模)设4=：,〃=2111卜.1+85]}0=、111，则〃也c的大小关系是

()

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【变式4-1】设ant/nlnLO与cne。04-：!,则下列关系正确的是()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

5149

【变式4・2】（2024•全国•模拟预测）已知〃=505。，/?=49,c=51,则（）

A.b<c<aB.c<a<bC.b<a<cD.a<b<c

【变式4-3］已知。=log2986—log2985,b=1—cos-----,c=-----,则（）

986985

A.b>a>cB.b>c>aC.a>c>bD.c>b>a

题型五：数形结合

【典例5-1】（2024•高三•海南•期末）若。=lnLl,6=』,c=®,则（）

e

A.a<b<cB.c<b<aC.a<c<bD.c<a<b

13

【典例5・2】（2024•陕西商洛-模拟预测）设。=5皿0.2,匕=0.16,。=51115,则（）

A.a>c>bB.b>a>c

C.c>b>aD.c>a>b

80808

【变式5-1］已知a=O05+O.807+O.8°9,^=0.6°-+O.7-+O.8-,c=e^+e^+eL则（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>a

【变式5-2］（2024•四川广安•二模）已知“，b,c均为正数，。=1+：-2",b2=4+b（2-3b）,

4-2

-----r--=log（c+3）,则“,b,，的大小关系为（）

c4

A.b<c<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

【变式5-3］（2024•黑龙江哈尔滨•三模）已知2"=bg-,g］=log,,则下面正确的是（）

A.a>bB.4<—

4

C.b>今D.|a-Z>|<|

【变式5-4】雅各布・伯努利（JakobBernoulli,1654-1705年）是伯努利家族代表人物之一，瑞士数学家，

他酷爱数学，常常忘情地沉溺于数学之中.伯努利不等式就是由伯努利提出的在分析不等式中一种常见的

不等式.伯努利不等式的一种形式为：“eN*,贝依+》）"21+加.伯努利不等式是数学中的一

种重要不等式，它的应用非常广泛，尤其在概率论、统计学等领域中有着重要的作用.已知

a=log2024-log2023,b=l-cos—-—,c---—,则（）

2220242023

A.b>a>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a

【变式5-5］（2024•高三•江苏苏州•期中）设。=gcosj-

,b=sin—,c—e5,则〃，b,c的大小关系为

A.b<a<cB.a<c<bC.b<c<aD.a<b<c

【变式5・6】（2024•江西南昌•三模）若g[=log2〃，Qj=&2,1=2-，，则正数〃，瓦。大小关系是

（）

A.c<a<bB.c<b<a

C.a<c<bD.a<b<c

题型六：特殊值法、估算法

【典例6-1】若都不为零的实数。/满足a>b,则（）

B.-I—>2C.Qa~b>1D.lna>lnZ?

abab

【典例6-2］已知〃=2。Z?=lnx,c=d,若％w（0,l）,则〃、b、c的大小关系是（）

A.a>b>cB.a>c>b

C,c>b>aD.c>a>b

【变式6-1］已知〃=JLb=2：，。=1。82©,则〃，b,。的大小关系为（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.b>c>a

【变式6-2］（2024•陕西安康•模拟预测）若。,瓦>满足2">2yog3c<0,则（）

A.信评。B.…

C.ac>beD.a+c>be

题型七：放缩法

【典例7-1】（2024•全国•模拟预测）已知〃_益，6=l+sinTc=l.l6,则〃，b,。的大小关系为

（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

3

【典例7-2】（2024•全国•模拟预测）B^a=hog512,ft=sin^-,c=flY,则（）

310UJ

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<c<b

【变式7-1］（2024•全国•模拟预测）已知。=lg2/=lg5,则下列不等式中不感主的是（

A.0<ab<lB.2"，>〈C.&i+a>6D.—+->

ab

13

【变式7-2]（2024•江西宜春•模拟预测）^a=ew,/7=O.3e°\c=—lnl.3,则（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.

【变式7・3】（2024•内蒙古呼和浩特•二模）设”=log615,/?=log820,c=log20122024,则a、b、。的

大小关系为（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<a<cD.c<b<a

【变式7-4】下列大小关系正确的是（）

2

A.——<ln2B.212>2,22

ln2

C.3.32>233D.3.34<4'3

题型八：不定方程

【典例8-1］已知a、b、c是正实数，且e2a-2e""+e"°=0,则a、b、c的大小关系不可能为（）

A.a=b=cB.a>b>c

C.b>c>aD.b>a>c

【典例8-2】设实数〃，满足1001。+1010）=2023”,1014"+1016、=2024J则〃，b的大小关系为（）

A,a>bB.a=bC.a<bD.无法比较

【变式8-1］已知实数a、b,满足a=log23+log64,3。+4。=5",则关于a、b下列判断正确的是（

）

A.a<b<2B.b<a<2C.2<a<bD.2<b<a

【变式8・2］已知实数〃，b满足a=k）g34+logi29,5"+12a=13",则下列判断正确的是（）

A.a>b>2B.b>a>2C.2>b>aD.a>2>b

【变式8-3］若av4且4"=",b<5S.5b=b5,cv6且6，=。6,则（）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<c<b

题型九：泰勒展开

3111

【典例9-1】已知。=一,Z?=cos-,c=4sin-,则J（）

3244

【典例9-2】设。=e°2-L6=lnl.2,c=：,则a,b,c的大小关系为.（从小到大顺序排）

【变式9-1】设a=0.1e°」,6=g,c=—ln0.9,贝I（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【变式9-2]£Z=21nl.01,&=lnl.02,c=7L04-l,贝U（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b

【变式9・3】（2024•全国•模拟预测）已知"OS',b=0.99",c=sin9则（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

题型十：同构法

【典例10-11（多选题）（2024•全国•模拟预测）已知实数。，6满足1。83。+log"3=logs6+log04,则下

列关系式中可能正确的是（）

A.3a,Z?e（0,+oo）,使B.3a,Z?e（0,+oo）,使必=1

C.V«,Z>e（l,+oo）,有b<a<I）。D.\/a,b&（0,1）,有b<a<框

【典例10-21（多选题）已知。>0,b>0且满足ab-2b+bln（ob）=e,则下列结论一定正确的是（）

A.ab>eB.ab<eC.ab>e2D.ab<e2

【变式10-1】（2024•高三•浙江•开学考试）已知。若G+log2a=Z?+log26，贝U（）

A.a>2bB.a<2b

C.a>b2D.a<b2

A

【变式10-2]（2024•重庆•模拟预测）已知正实数满足2a=8b+log2—,则（）

a

A.a=bB.a<3bC.a=3bD.a>3b

【变式10-3]（多选题）（2024•辽宁抚顺•模拟预测）已知实数。,Z?满足a>0,awl,Z?>0,且

（1—\

ln0=一尸，则下列结论正确的是（）

A.当Ovavl时，bvaB.当a>l时，b>a

C.logflb>1D.logflb>2

【变式10-4]（2024•陕西西安•模拟预测）若已?。—e">4〃—/+1,贝1（）

A.4a2>Z?2B.4a2<b1

C.（；）〃>§）"D.（如<（y

题型十一：帕德逼近估算法

【典例11-1]已知a=e"2-l,6=lnL2,c=~,则（）

6

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【典例11-2］已知。=e。3,b=—^+l,c=JB,则（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b

【变式11-1］已知〃=Z?=lnl.Ol,c=e°°i—l,贝（J（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b

【变式11・2】已知a=21nl.O2,b=lnl.O5,c=VTT-l,贝U（

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b

0

〃过关测试,\

1.（2024•江西萍乡•二模）已知“=华力=上,°坐，则这三个数的大小关系为（）

42ee2

A.c<b<aB.a<b<c

C.a<c<bD.c<a<b

2.（2024•宁夏银川•三模）设Q=9°2,b=3。*c=31nL3,则（）

A.c<b<aB.b<c<aC.a<c<bD.a<b<c

3.（2024•河南新乡•三模）设“=怨力=ln%,c=土坐，其中e是自然对数的底数，则（）

2e2

A.b<a<cB.a<c<bC.b<c<aD.c<b<a

4.（2024•天津红桥•二模）若。=（■!）］,b=log1|,c=34,则。，b,c的大小关系为（）

A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.a<b<c

5.已知0=3%b=4ln6,c=5toS,d=6ln4,则在忸一"，|c-Z?|,\d-c\,\d-b\,\d-a\,|c一"这6个数

中最小的是（）

A.\b-a\B.\c-b\C.\d-b\D.|c-a|

Q37

6.（2024•全国•模拟预测）已知〃=sin西，b=ln-,c=-9则，。的大小关系为（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a

7.（2024•山西•模拟预测）已知实数a,6,c满足lna=1,Z?=31og72,6。=7,贝U（）

A.c>a>bB.b>a>c

C.a>c>bD.a>b>c

18.（2024•高三•四川成都•期末）已知〃=，则。的大小关系为

（）

A.a<c<bB.b<a<cC.b<c<aD.a<b<c

19.（2024•全国•模拟预测）设a=0.21nl0,〃=0.99,c=O,9e01,贝！J（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

20.已知a=^l（2_ln20）,6=91nW,c=3应M2,ess2.718--.,贝的大小关系是（）

e21458

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>c>aD.b>a>c

_,2

21.已知二个互不相等的正数。，瓦。?两足〃==log23+log96,c=log有（2"+1），（其中e=2.71828…是一■

个无理数），则的大小关系为（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.c<b<a

120232023

22.已矢口。=----,b=log-----,c=log-----,则（

2022200222022202203232022

A.a<c<bB.c<a<bC.b<c<aD.c<b<a

a

23.（多选题）已知a>b>0,c>d>0,―-=1.1,（l-lnc）c=（l-lnJ）J=0.9,则（）

lntz+1

A.a+b<2B.c+d>2c.D.ad>l

dc

24.（多选题）（2024•湖南长沙•二模）下列不等式正确的有（

10严3

■1009151125B.

c.&2-^>-D.

2

25.（多选题）（2024•山东聊城•一模）若实数。22,则下列不等式中一定成立的是（）

A.（4+1产>（。+2严B.logfl（67+l）>loga+1（a+2）

tz+2

C.log。（〃+1）<---D.log（«2）<-

afl+1+f

26.（多选题）（2024•江苏南通•三模）已知2"=log|a,log26=（g］，则（）

A.。+2"=6+2”B.a+b=2b+2-a

C-2fc+l>e«D-2">e'X

27.（多选题）（2024•全国•模拟预测）E^Dlog2Cx+l）=log2（xT）+log5%log5（y+l）=log5（，T）+bg2y，

则（）

A.x+y>7B.x+y<l

C.2x<5yD.2x>5y

28.（多选题）已知〃=33b=4x+l,c=log3（x+3）,则下列结论一定成立的是（）

A.若,则x«0,2）

3

B.若尤=—则

2

C.若b>C,则无£]一；,+8]

D.若R=一,则Z?>2c

2

重难点突破01玩转指对幕比较大小

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳总结.................................................................3

题型一：直接利用单调性........................................................................3

题型二：引入媒介值.............................................................................3

题型三：含变量问题............................................................................4

题型四：构造函数...............................................................................4

题型五：数形结合...............................................................................5

题型六：特殊值法、估算法......................................................................6

题型七：放缩法.................................................................................6

题型八：不定方程...............................................................................7

题型九：泰勒展开...............................................................................7

题型十：同构法.................................................................................8

题型十一：帕德逼近估算法......................................................................8

03过关测试.....................................................................9

方法技巧与总结

（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a,6,c的大小.

（2）指、对、募大小比较的常用方法:

①底数相同，指数不同时，如和优2,利用指数函数y=优的单调性;

②指数相同，底数不同，如普和汇利用幕函数y=x"单调性比较大小;

③底数相同，真数不同，如log。％和log。％利用指数函数log”无单调性比较大小;

④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0,1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大

小关系的判定.

(3)转化为两函数图象交点的横坐标

(4)特殊值法

(5)估算法

放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法

(7)常见函数的麦克劳林展开式:

2n

rxe外

ex=l+x+——+…+——+-----x

2!nl(n+1)!

Nr52n+i

@sinx=x-—+-——+(-lf—x——+o(x2n+2)

3!5!(2n+l)!

fV4V6产

cosx=l-土+土-土+•・•+(-1)〃^—+。(一)

2!4!6!(2〃)！

fv3yn+1

④ln(l+x)=x——+------+(-l)n——+o(x〃+i)

23〃+1

⑤----=1+%+%2+…+%”+)

1-X

@(1+X)n=l+nx+1)X2+o(%2)

题型归赢总结

题型一：直接利用单调性

【典例1-1】记a=3021=0.3s,c=log020.3,则（）

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>b>aD.b>a>c

【答案】D

【解析】因为b=03°2=p£P，幕函数》=户在（0,+8）上单调递增，

又g>3,所以［Tj2>3a2>3°=l,

所以人,

又对数函数>=log。”在（0,+8）上单调递减，所以c=logo,0.3<log020.2=1,

t^b>a>l>c.

故选：D.

【典例1-2】（2024•全国•模拟预测）已知a=3°6,&=log25,c=log3^,则实数a,b,c的大小关系

是（）

A.b>a>cB.a>b>cC.b>c>aD.a>c>b

【答案】A

【解析】由y=T在R上单调递增，可得3°6>30-5=6>m，又（3°6丫=27<25=32,

贝1|]<“=306<2.

由y=Iog2X在（0,+oo）上单调递增，可得6=log25>log24=2.

由y=log3》在（0,+s）上单调递增,可得c=lo&2括<logs3石=：.

所以Z?>a>c,

故选：A.

£3

【变式1-1】设a=HU，。=近6,则（）

A.c<a<bB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

【答案】D

4V16_2000/3丫_27_1323

【解析】因为

7J-49-6125-125-6125

i_3

则”

即a>Z?,

(3

?3332768

因为(e06)5=e=e>2.5=15.625,<11,

\73125

所以(e°6)5〉i.65,所以e°6>1.6,贝打世好>lnl.6,即Ini.6Vo.6,

3i

又6==|,所以八c,

所以a>b>c.

故选：D

【变式1-2](2024•宁夏银川•三模)已知a=0.2%b=cos2,c=lgl5,则()

A.a<b<cB.c<a<b

C.b<c<aD.b<a<c

【答案】D

【解析】由题知a=0.2%b=cos2,c=lgl5,因为/(x)=lgx在定义域内单调递增,

所以〃15)>/(10),即c=lgl5>lgl0=l,

因为g(x)=0.2工在定义域内单调递减，所以g[]<g⑼，BP0<a=0.2°-5<0.2°=l,

因为/z(x)=cosx在(0,兀)上单调递减，所以乂2)<九0即匕=侬2<<：0$>0,

综上：b<0<a<l<c.

故选：D

题型二：引入媒介值

【典例2-1】(2024•甘肃兰州•二模)故。=色],6=^=logy,则a,b,

3c的大小顺序是

()

A.b<a<cB.c<a<bC.b<c<aD.c<b<a

【答案】D

_553

［解析］。>b=d>1=log3y>C=log3y，

所以cvbva,

故选：D

【典例2-2】（2024•高三•广西•开学考试）已知a=singb=2°',c=\og^,则（）

6

A.b>c>aB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c

【答案】A

兀1

【解析】"sin2：,

62

因为2°<2°」<吸，所以1<b<2,

Hlog2y/2<log2s/3<log22,所以;<C<1,

所以》>c>a,

故选：A.

【变式2・1】（2024•全国•模拟预测）已知〃=logo.30.6,Z?=O.506,c=2cos222.5°-1,那么〃,b,。的

大小关系为（）

A.b<c<aB.a<b<cC.a<c<bD.b<a<c

【答案】B

i-11

【解析】因为（0.6）9>0.3,所以o.6>O.35，则。=log。、0.6<log。、。3？=—,即。<。<不，

22

O.5<Z?=O.5o-6<O.5o-5=—,即=也，

222

c=2cos?22.5-1=cos45=——-,古攵a<b<c

2

故选：B

【变式2-2］（2024•江西上饶•模拟预测）设（50=2/=log,g,c=g）T,则有（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<c<aD.b<a<c

【答案】B

【解析】由（3=2,得。=log『<bgj=0,Z7=logi|=log23>log22V2=|,

113

c=23<22<—,而。>0,所以avcvb

故选：B

题型三：含变量问题

【典例3-1】（2024•陕西西安•统考一模）设”>6>0,"+6=1且x=,、=1081<2,2=108（］,则

x,》z的大小关系是（）

A.x<z<yB.z<y<x

C.y<z<xD.X<y<z

【答案】A

【解析】由。>6>0,。+6=1,可得0<6<,<。<1,

2

则Z=log化/产=log四"=log工"=-1

b)abab

因为0<b<l,所以log"<log〃b=l,则y=iog〃=-iog/>-iog*=-i,

b

因为x=-9~]<-l,所以x<z<y.

故选：A.

【典例3.2】(多选题)若Ovavbvl,则()

A.ab<baB.ab+\<a+b

C.al-b<bl-aD.logaQ+8AlogoQ+a)

【答案】AC

【解析】A选项中，因为Ova<l,故丁=能在R上单调递减，故〃<相，

baa

因为y=x"在(0,+8)上单调递增，故〃"</,综上，a<a<b,A正确；

B选项中，由于。+6-必一1=(。一1)(1一6)<0,而已知所以B不正确;

C选项中，a1-6^>(1-Z?)lna<(l-a)ln^<=>—<—,

l-al-b

设〃x)=M(°<x<l)，则…)」T+1：\O<X<D，

(l—x)

设g(%)=ln%H-----1(0<x<1),