2025年新高考数学一轮复习：对数与对数函数（八大题型）（练习）（学生版+解析）

第05讲对数与对数函数

目录

模拟基础练.....................................................................2

题型一：对数式的运算..........................................................................2

题型二：对数函数的图象及应用..................................................................2

题型三：对数函数过定点问题....................................................................3

题型四：比较对数式的大小......................................................................3

题型五：解对数方程或不等式....................................................................4

题型六：对数函数的最值与值域问题..............................................................4

题型七：对数函数中的恒成立问题................................................................5

题型八：对数函数的综合问题....................................................................6

重难创新练.....................................................................6

真题实战练.....................................................................9

题型一：对数式的运算

1.若3"=12,>=log412,则工+：=______.

ab

2.(2024•陕西安康•模拟预测)若log312=x,log/2=y,则工+工=____.

xy

3.求值：

(l)(log43+log83)(log32+log98)；

025

(2)8x^/2+log510——)——2幅3

log25

2

4.(2024•河南关B州三模)已知log/+41og〃a=4,则L的值为

2b

题型二：对数函数的图象及应用

5.(2024.高三.山东潍坊•期中)已知指数函数y=",对数函数y=log/的图象如图所示，则下列关系成

B.0<a<l<b

C.0<b<1<aD.a<O<l<b

6.已知函数产^和y=lnx的图象与直线y=2-元交点的横坐标分别〃，b,贝!Ja+6=()

A.1B.2C.3D.4

7.如图所示的曲线分别是对数函数y=bg“x,y=log〃x,j=logcx,y=log"X的图象，则。，b,c,d,

1,0的大小关系为.（用“>”号连接）.

8.（2024.浙江绍兴.模拟预测）若函数/（力=瞋2］。+可的图象不过第四象限，则实数a的取值范围为.

9.（2024.云南昆明.模拟预测）已知々是函数/（尤）=xlnr-2024的一个零点，巧是函数g（x）=xe"-2024的

一个零点，则的值为（）

A.1012B.2024C.4048D.8096

题型三：对数函数过定点问题

10.函数/（x）=log"（x—l）+2（a>0,awl）的图像恒过定点（）

A.（3,2）B.（2,1）C.（2,0）D.（2,2）

11.函数/（无）=log>,（x+7"）恒过定点（一2,0）,则加的值（）

A.5B.4C.3D.2

12.函数、=108“（4+力+4（。>0,。#1）的图象恒过点尸，若角a的终边经过点P,则cosa=（）

43-3_4

A.-B.——c.-D.

555

题型四：比较对数式的大小

111d=J则

13.（2024•宁夏银川•二模）若a=logj,4?（）

b=（§）4'c=log3

34

A.a>b>d>cB.a>b>c>dC.b>d>a>cD.a>d>b>c

14.（2024・山东聊城•三模）设。=log49,方=log?5,c=3-吗4,则a,4c的大小关系为（

A.b>a>cB.b>c>aC.a>b>cD.c>b>a

15.（2024・安徽・三模）已知〃=e"-3,0=ln（e?i-2e）,c=7i-2,贝IJ（）

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

16.（2024.云南•模拟预测）已知函数/（x）为R上的偶函数,且当外,X2e（-8,0）,A1WX2时，山上巫D>°，

若a=flog,3,6=/(0.5°2),c=f(sinl),则下列选项正确的是()

I27

A.c<b<aB.b<c<a

C.a<b<cD.c<a<b

17.(2024•全国・模拟预测)已知a=logo.30-6,fe=0.506,c=2cos222.5°-b那么〃，b,c的大小关系为

()

A.b<c<aB.a<b<cC.a<c<bD.b<a<c

题型五：解对数方程或不等式

18.(2024・高三・上海虹口•期中)方程1吗3+4)=3的解为1=

19.关于％的方程4*-2*=2的解为.

20.不等式log2X+log4X<3的解集.

21.不等式Iog2(x-D<l的解集为.

Jx-3

22.不等式20的解集为

log2(%-2)-l

23.不等式log“(2x+3)>log“(5x-6),(a>l)的解集为

题型六：对数函数的最值与值域问题

2

24.log9(x+l)+log9^+4j的最小值为.

25.已知对数函数y=log“x(a>l)在区间［1,2］上的最大值比最小值大1,则〃=

26.函数y=bgl(x+2)-x\xe［2,6］的最大值为-

2

27.设函数，0)=108“。-3)+1,(。>0且。*1).

⑴若/(12)=3,解不等式/(%)>0；

(2)若/a)在［4,5］上的最大值与最小值之差为1,求。的值.

28.已知函数/(x)=log“(l一x)-loga(b+x)+w(。>0且OH1)为奇函数.

⑴求函数“X)的定义域及解析式；

⑵若xe,函数〃x)的最大值比最小值大2,求。的值.

题型七：对数函数中的恒成立问题

29.已知函数/(x)=/一4x+10,g(x)=2*+log2(x2+12)+疗-3〃?，若对任意入口0,4],总存在々W[2,4],

使〃xJZg(X2)成立，则实数加的取值范围为.

30.已知函数/(%)=108“(依+9-3。)(。>0且"1).

(1)若/(x)在[1,3]上单调递增，求实数。的取值范围；

⑵若〃3)>0且存在/e(3,+8),使得/(龙0)>2题/成立，求。的最小整数值.

31.已知函数/。)=1083》+“108,3,x>0且xwl.

(1)若帆=—3,求方程八»=2的解；

(2)若对Vxe(l,+«),都有/(x)>4机-2恒成立，求实数加的取值范围.

Ax_i_1

32.已知函数f(x)=?"为奇函数.

(1)求实数。的值；

(2)判断函数〃力的单调性并证明；

⑶设函数g(x)=bg2^1og2；+7〃，若对任意的不e[2,8],总存在尤2«0,l],使得g&)=/(w)成立，求实

数加的取值范围.

题型八：对数函数的综合问题

33.设方程2'+x+3=0和方程bg2X+x+3=。的根分别为p，q,设函数/（x）=（x+p）（x+q）,则（）

A./（2）=/（0）＜/（3）B./（0）=/（3）＞/（2）

C./（3）＜/（2）=/（0）D./（0）＜/（3）＜/（2）

34.（2024.高三.河北邢台・期中）已知g（x）=logH（a＞0,awl）,且g（x）的图象过点（4,2）,又〃尤）=—g（x）.

⑴若〃3x-l）〉/（r+5）成立，求x的取值范围；

⑵若对于任意”［1,4］,不等式＜0恒成立，求实数加的取值范围.

35.（2024•高三・安徽•期中）已知f（x）=log3（m*+1）-彳（加＞。，且加/1）是偶函数.

（1）求加的值；

（2）若关于x的不等式1-3/W-3［（73r+（行尸］+。V0在R上有解，求实数a的最大整数值.

2+九

36.（2024•上海徐汇・二模）已知函数＞=/（无），其中/（工）=1冤工口.

⑴求证：y=/（尤）是奇函数；

（2）若关于X的方程“X）=10§1（X+A）在区间［3,4］上有解，求实数上的取值范围.

2

1.（2024•高三・广西•开学考试）已知。=singb=20A,c=log,有，则（）

6

A.b>c>aB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c

2.(2024・辽宁.三模)已知对数函数〃x)=log.x,函数/(x)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大

为原来的3倍，得到函数g(x)的图象，再将g(x)的图象向上平移2个单位长度，所得图象恰好与函数/(X)

的图象重合，则。的值是()

A.-B.|C.BD.&

2337

3.(2024•河北衡水•模拟预测)设。>0,awl,若函数〃x)=+是偶函数，贝ija=

A.gB.-C.2D.3

22

4.(2024•全国•模拟预测)设函数“xhaZia+a+ayina+a),若/(x)<0在(-。,0)上恒成立，则实数a

的取值范围是()

Z/

45-1}V5-1C.[。，理]D.，与

A.0,B.0,

2J2I2JI2J

5.(2024•江西萍乡•二模)已知a="力=[,c=江庄，则这三个数的大小关系为()

42ee

A.c<b<aB.a<b<c

C.a<c<bD.c<a<b

6.(2024•福建莆田.三模)已知。>1,点尸在曲线y=e口上，点Q在曲线y=/nx上，则归。|的最小值是

()

A.~^~aB.A/2AC.^■(l+lna)D.^^(lna+1)

7.已知/(x)是定义在R上的函数，则给定R上的函数/(x)()

A.存在R上的函数g(x),使得/(g(x))=x

B,存在R上的函数g(x),使得g(/(x))=x

C.存在R上的函数g(x),使得/(g(x))=g(x)

D.存在R上的函数g(x),使得/(g(x))=g(f(x))

8.(2024•全国•模拟预测)已知。=lg2/=lg5,则下列不等式中不感文的是()

A.0<ab<1B.2"-”>-C.\[a+\!b>-\/2D.—।—>4

2ab

9.(多选题)(2024.湖南长沙.模拟预测)氤，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子

和两个中子组成，并带有放射性，会发生用衰变，其半衰期是12.43年.样本中笳的质量N随时间”单位:年)

的衰变规律满足双=%-2」胃，其中M表示旅原有的质量，则()(参考数据:1g2。0.301)

A.=12.43log2——

B.经过24.86年后，样本中的氤元素会全部消失

C.经过62.15年后，样本中的次元素变为原来的g

D.若X年后，样本中旅元素的含量为04N。，则x>16

10.（多选题）（2024•江西萍乡•二模）已知2"=5"=10,则下列关系正确的是（）

A.ea~b>1B.a+b<ab

C.a+Ab<9D.9+l[+[g+2]>8

11.（多选题）（2024•黑龙江齐齐哈尔・三模）已知。则使得“a>b”成立的一个充分条件可以是（）

A.;〈去B.|a—21>|/?—21C.a12b3—ab2>a—bD.In（a2+1）>In+1）

12.（多选题）（2024•江苏扬州•模拟预测）已知。=log?3,^=log32,则（）

A.ab=1B.+y[b>—

2

13

C.-I—>2-\/^D.tz+InZ?>1

ab

13.（2024.宁夏银川.二模）已知函数/（x）=（x-2a）lg（l-工）的图象关于直线x=b对称，贝U

X

a+b=.

14.（2024•全国•模拟预测）已知函数/（x）=（.’.一二则函数V=/（/（x））+l有________个零点.

log2x,x>0,

15.已知函数/（%）=|蜒21，若/（不）=/口2）（七，贝114占+%的最小值为.

16.（2024・高三•青海西宁•开学考试）己知函数/（力=3（尤2+办+1）在区间（_*-2）上单调递减，则。的取

值范围为.

17.（2024•陕西•模拟预测）已知函数〃x）=log“£,„=T.

⑴求。及函数/（力的定义域；

⑵求函数g（x）=/（x）Tog〃（3-3x）的零点.

1I

18.（2024.河南洛阳•模拟预测）己知函数“力是定义在R上的奇函数，当x<0时，/（x）=log2^?.

3—2%

⑴求/（尤）的解析式；

（2）若关于％的方程/（力=左在R上有解，求实数长的取值范围.

19.已知函数/。）=1。82（2工+1）+依是偶函数.

⑴求。的值；

⑵设g（元）=/（x）+x,h（x）=x12-342x+m,若对任意的不40,4],存在9式0,5],使得g（入/网中）,求机

的取值范围.

1.（2021年天津高考数学试题）若2"=5"=10,则工+：=（）

ab

A.-1B.Ig7C.1D.log710

2.（2021年天津高考数学试题）设”1鸣03]=1吗0.4了=0.4。3,则公乩。的大小关系为（）

2

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b

3.（2021年全国新高考II卷数学试题）已知。=logs2,Z>=log83,c=1,则下列判断正确的是（）

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

4.（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设a=21nl.01,b=lnl.O2,c=7T04-l.则（）

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

5.（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测

量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据£和小数记录表的数据V满足

£=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据为（）（殉。1.259）

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

6.（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标DI））6知55<84,134<85.设6/=log53,Z?=log85,c=logi38,

则（）

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

2

7.（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标0））设a=log32,^=log53,。=1，则（）

A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

8.（2020年天津市高考数学试卷）设a=3°〃，〃=,c=log070.8,则。,瓦。的大小关系为（）

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

9.（2020年新高考全国卷II数学试题（海南卷））已知函数/（无）=坨（，-4x-5）在血钙）上单调递增，则

。的取值范围是（）

A.（2,gB.[2,+co）C.（5,+oo）D.[5,+oo）

10.（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标I））设。1阴34=2,则4-0=（）

A.—B.-C.—D.一

16986

11.（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标II））若2=2）<3一，3一1,则（）

A.ln（y-x+l）>0B.ln（y-x+l）<0C.ln|x-y|>0D,In|x-y|<0

12.（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标H））设函数〃x）=ln|2x+l|-ln|2x-1|,则«X）（）

A.是偶函数，且在单调递增B.是奇函数，且在（-单调递减

C.是偶函数，且在（—，-；）单调递增D.是奇函数，且在单调递减

13.（多选题）（2023年新课标全国I卷数学真题）噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音

的强弱，定义声压级4=20xlg上，其中常数为（为>0）是听觉下限阈值，。是实际声压.下表为不同声源

Po

的声压级:

声源与声源的距离/m声压级/dB

燃油汽车1060〜90

混合动力汽车105060

电动汽车1040

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为0,02，03，则（）.

A.Pi>p2B.p,>10p3

C.Pi=100p0D.Pi4100。2

14.（2023年北京高考数学真题）已知函数〃x）=4'+logzx

第05讲对数与对数函数

目录

模拟基础练.....................................................................2

题型一：对数式的运算..........................................................................2

题型二：对数函数的图象及应用..................................................................2

题型三：对数函数过定点问题....................................................................3

题型四：比较对数式的大小......................................................................3

题型五：解对数方程或不等式....................................................................4

题型六：对数函数的最值与值域问题..............................................................4

题型七：对数函数中的恒成立问题................................................................5

题型八：对数函数的综合问题....................................................................6

重难创新练.....................................................................6

真题实战练.....................................................................9

题型一：对数式的运算

1.若3"=12,>=log412,则工+：=______.

ab

【答案】1

【解析】因为3〃=12,所以。=1吗12,

所以，+:='1~-rr+i-=log123+log124=log1212=1.

ablog312log412

故答案为：1.

2.(2024・陕西安康•模拟预测)若log312=x,log412=,贝J+=.

xy

【答案】1

log.,121log],121

【解析】因为1吗12=凡logJ2=y,所以一y=T^-=]一

log123log123log124log124

所以，=log]，3,—=log124,

x-y

因止匕，-+-=logr3+log],4=logp(3x4)=l.

xy-「'

故答案为：1

3.求值：

(l)(log43+log83)(logs2+log98)；

25Iofc3

(2)8°-xV2+log510——-——2

log25

_51g351g2_25

【解析】-6ig2X2ii3-12

]1121

251Ofe335r5

(2)8°-X^/2+log510------------2=(2rx2+log510-log52-3=2+logs5-3=0.

log25

4.（2024・河南关洲.三模）已知log»+41og/=4,则幺的值为

2b

【答案】）/0.5

【解析】因为log/+41og/=4,

4°

2

所以bg/+]og6=4,可得(logaz>)-41ogafo+4=0,

即(log*-2)2=0,

所以log“6=2,即

所以式=工=1_.

2b2a22

故答案为：

题型二：对数函数的图象及应用

5.(2024・高三・山东潍坊•期中)已知指数函数、=优，对数函数y=log/的图象如图所示，则下列关系成

C.0<b<l<aD.a<0<l<b

【答案】B

【解析】由图象可得，指数函数y=优为减函数，

对数函数y=log"x为增函数，

所以0<。<1]>1,

即Ovavlcb.

故选:B

6.已知函数>=0，和y=lnx的图象与直线y=2-x交点的横坐标分别。，b,则。+〃=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】作出函数1=片和y=lnx的图象以及直线y=2-x的图象，如图,

由函数〉=^和》=111了的图象与直线》=2-工交点4,8的横坐标分别为"，b,

由题意知A(。,e"),8(尻In力，也即A(a,2-a),B(b,2-b),

由于函数丫=6,和y=lnx互为反函数，

二者图像关于直线对称，

而4,3为>=/和y=lnx的图象与直线y=2-x的交点，

故A,3关于y=x对称，

i^a=2-b,:.a+b=2.

故选：B.

7.如图所示的曲线分别是对数函数y=log“x,y=\ogbx,y=logcx,y=log"的图象，贝l]a,b,c,d,

1,。的大小关系为(用“>”号连接).

片

尸1log/

、产log产

【答案】b>a>l>d>c>0

【解析】由题图可知b>lfOvcvl,0<J<1.

直线》=1与四个函数图象交点的横坐标从左向右依次为C,d,a,b,

故答案为：b>a>l>d>c>0

8.(2024・浙江绍兴・模拟预测)若函数/(耳=1082|。+%|的图象不过第四象限，则实数。的取值范围为.

【答案】

【解析】函数/(%)=1%|。+%|的图象关于x=-“对称，其定义域为｛小#-勾，

作出函数/(x)=log2|a+x|的大致图象如图所示，

由图可得，要使函数/（x）=log2|a+x|的图象不过第四象限，

则［］纥。，即产中。，解得“21，

［―a<0］―Q<0

所以实数a的取值范围为［1,+⑹.

故答案为：［1,+°°）.

9.（2024•云南昆明•模拟预测）已知不是函数/（尤）=xlnr-2024的一个零点，巧是函数g（x）=xe'-2024的

一个零点，贝拉的值为（）

A.1012B.2024C.4048D.8096

【答案】B

【解析】由/（x）=xlnx—2024=0得ln%=公20上24，由g（x）=B—2024=0得e"=2公02上4，

xx

（2024、（2024、

设点A的坐标为不，点6的坐标为私工，

I）Ix2）

又y=ln「Vy=e"的图象关于直线y=%对称，且y=202上4的图象也关于直线V=无对称，

x

20242024

则点A,6关于直线丁=%对称，即心丁2024得石”=2024,

kAB=----------=-----=―］

X2—王玉％2

故选：B.

题型三：对数函数过定点问题

10.函数/（x）=log"（x—l）+2（a>0,awl）的图像恒过定点（）

A.（3,2）B.（2,1）C.（2,0）D.（2,2）

【答案】C

【解析】对于函数/(x)=log4(xT)+2(a>0,awl),令x—l=解得x=2,

所以"2)=logfll+2=2,即函数=log”(x—1)+2(a>0,aw1)恒过点(2,2).

故选：D

11.函数/(数=1吗3+")恒过定点定2,0),则加的值()

A.5B.4C.3D.2

【答案】A

【解析】由函数/(x)=log“(x+㈤恒过定点(-2,0),可得log”(-2+帆)=0,

所以-2+〃2=1,解得m=3.

故选：C.

12.函数y=loga(4+x)+4(a>0,"l)的图象恒过点尸，若角a的终边经过点P,则cosa=()

A.之B.-乡C.1D.-1

5555

【答案】B

【解析】令4+x=l,则X=-3,〉=4,即网一3,4),

---33

所以cosa=6一二=一三.

V9+165

故选：B.

题型四：比较对数式的大小

1111…

13.(2024•宁夏银川•二模)若。=logj,）

b=（§）4,c=log3^，d=w则（

3

A.a>b>d>cB.a>b>c>dC.b>d>a>cD.a>d>b>c

【答案】B

【解析】因为a=logj=log3”>log33=1,

3

1J

log3^<log3=0=>c<0

所以a>b>d>c.

故选：A.

14.（2024・山东聊城•三模）设。=log491=log25,c=3ig34,则的大小关系为（）

A.b>a>cB.b>c>aC.a>b>cD.c>b>a

【答案】B

【解析】因为函数y=iog2%在定义域上单调递增,

^Z?=log25>log23=log49=a>log22=l,

,3

Ioa4

又C=31T°g34_310g33—log34_3

所以b>a>l>c.

故选：A

15.（2024・安徽•三模）己知a=eL3,b=]n（e7t-2e）,c=7t-2,则（）

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

【答案】B

【解析】由。=6一力=ln（e7i—2e）,

即4=6此2门力=111（颔_26）=111（%一2）+1,

令/（x）=e、i-x（x>1）,

则r（X）=产-1>o在（i,+8）上恒成立,

故“X）在（1,+向上单调递增，

则有/（7t-2）=e^-,-（7i-2）>/（1）=0,即a〉c,

令g（x）=lnx-x+l（x>l）,

11_

贝"）=：T=Y<r0在（1,网上恒成立，

故g（x）在（1,+⑹上单调递减，

贝U有g（7i-2）=ln（7i-2）+l—（兀-2）<g（l）=0,即万<c,

i^b<c<a.

故选：A.

/（3）-/（尤2）

16.（2024•云南•模拟预测）已知函数/（x）为R上的偶函数,且当外,马4-8,0）,%工9时,

02

若。=/logl3,6=/（0.5）,c=/（sinl）,则下列选项正确的是（）

I2）

A.c<b<aB.b<c<a

C.a<b<cD.c<a<b

【答案】A

【解析】当玉,々«-%0）时，”?二。2）>0,所以/⑴在（-8,0）上单调递增；

又有了（可为R上的偶函数，所以“力在（0,+向上单调递减.

由于我们有Iog23>log22=1=0.5°>0.5°'=0.53>0.49842"=（0.875尸=0.87>^=sin

>sin1>0,

202

gplog23>0.5°,>sinl>0,故〃log??）</（O.5）</（sinl）.

（\

02

而。=/log13=/（-log23）=/（log23）,Z?=/（O.5）,c=/（sinl）,故々v〃vc.

I2）

故选：c.

2

17.（2024•全国•模拟预测）已知〃=1恤.3。.6,1=0.5。6,c=2cos22.5°-b那么。，b,。的大小关系为

（）

A.b<c<aB.a<b<cC.a<c<bD.b<a<c

【答案】B

91111

【解析】因为（0.6）一>0.3,所以0,6>0.3%则。=logo.30-6<log0_3°32=—，即

0.5<Z7=0.506<0.505=—,即正，

222

c=2cos222.5°-1=cos45°=^~，故avbvc

2

故选：B

题型五：解对数方程或不等式

18.（2024・高三・上海虹口•期中）方程logz（3x+4）=3的解为x=.

41

【答案】

4

【解析】由题，log2（3x+4）=log28^>3x+4=8^>x=j.

4

故答案为：—.

19.关于％的方程4'-2、=2的解为.

【答案】x=l

【解析】由十—2，=2可得（2'『一2'-2=0,即（2工+1）（2，-2）=0,

因为2*>0，可得2,=2,故x=l.

所以，方程关于x的方程4"-2'=2的解为x=1.

故答案为：x=l.

20.不等式log/+log/<3的解集.

【答案】{尤|0<x<4}

【解析】log4X=L7=ilog/,

log242

3

故原不等式化为:log2%<3,

gplog2x<2=log24,解得0v%<4,

所以不等式的解集为{x10<x<4}.

故答案为：{x|0<x<4}

21.不等式log2（x-l）<l的解集为.

【答案】（1,3）

【解析】因为10g2(X-l)<l,则10g2(X-D<10g22,

.'.0<x-l<2,即lvxv3,故解集为(1,3).

故答案为：（1,3）.

Jx-3

22.不等式20的解集为

log2(x-2)-l

【答案】（4,+00）

【解析】由藁Jr-"3对可得fx-3>0

[x>3Jx>3

=>解得

即|log2(x-2)>l|x-2>2x>4,

所以不等式的解集为（4,+s）.

故答案为：（4,+co）

23.不等式log0（2x+3）>log.（5x-6）,m>l）的解集为

【答案】（［3）

【解析】因为。>1,可得对数函数y=log,%为单调递增函数,

2x+3>0

则原不等式等价于，5X-6>0,解得:<x<3,即原不等式的解集为弓,3）.

2%+3>5%—6

故答案为：4,3）.

题型六：对数函数的最值与值域问题

2

24.log9(x+l)+log9[4+4|的最小值为.

【答案】1

【解析】+

当且仅当4必=5，即/=:时，等号成立，

所以log9(%2+l)+log9［J+4］=logg(尢2+1)［(+4］>log99=1,

故log9(冗2+l)+log9R^+4］的最小值为1.

故答案为：1.

25.已知对数函数y=bg“x(a>l)在区间［1,2］上的最大值比最小值大1,则“=

【答案】2

【解析】由已知可得，函数〉=1。8”N。>1)在区间［1,2］上单调递增.

又对数函数V=bg“x(。>1)在区间［L2］上的最大值比最小值大1,

所以，logfl2-logfll=logfl2=l,解得。=2.

故答案为：2.

26.函数)=1°演(*+2)-/，”［2,6］的最大值为

2

【答案】-6

【解析】由题意，知>=-/在［2,6］上单调递减，丫=1。8;(苫+2)在［2,6］上单调递减,

故、=1<^(》+2)_/在［2,6］上单调递减，

则当x=2时该函数取到最大值l°g42+2)-22=-6,

2

故答案为：-6

27.设函数/(x)=log〃(x-3)+l,(a>0J.aHl).

⑴若加2)=3,解不等式f(x)>0；

⑵若/S)在［4,5］上的最大值与最小值之差为1,求a的值.

【解析】⑴由/(12)=3可得log,(12-3)+1=3,解得0=3,

即/(x)=log3(x_3)+l,(x>3),则/(x)>0,gplog3(x-3)+l>0,

x>3

„10

即a<ix>—,

x-3>-3

［3

故不等式/I)>0的解集为(y,+s);

(2)由于在［4,5］上的最大值与最小值之差为1,

故l+l-(10gfl2+l)|=l,即|loga2|=1,/.〃=2或a=；,

即。的值为。=2或a=；.

28.已知函数/(x)=loga(l-x)-log“(b+x)+/w(a>0且awl)为奇函数.

⑴求函数/(力的定义域及解析式；

⑵若xe，函数/(x)的最大值比最小值大2，求〃的直

【解析】(I)要使函数〃力有意义，则，+空0,可得：-

因为/(力为奇函数，所以->+1=0,即)=1,所以/(X)的定义域为(-1,1),

由/(0)=0可得：利=0,所以f(x)=loga(l-x)-log,(l+x),

此时/(r)=log“(l+x)-log/l—x)=—/(x),/(x)是奇函数，符合题意.

(2)/(%)=loga(1-x)-loga(1+JC)=loga=logf-1+,

l+xIx+1J

①当a>l时，函数y=/(x)单调递减，

131

3

所以/(x)111ax=/(--