2025年新高考数学一轮复习：重难点突破 数列的综合应用（十三大题型）（学生版+解析）

重难点突破01数列的综合应用

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................3

题型一：数列在数学文化与实际问题中的应用........................................3

题型二：数列不动点与递推问题....................................................4

题型三：数列与函数、不等式的综合问题............................................5

题型四：数列在实际问题中的应用..................................................6

题型五：数列不等式的证明........................................................7

题型六：公共项问题..............................................................8

题型七：插项问题...............................................................10

题型八：蛛网图问题.............................................................11

题型九：整数的存在性问题（不定方程）...........................................12

题型十：数列与函数的交汇问题...................................................14

题型十一：数列与导数的交汇问题.................................................15

题型十二：数列与概率的交汇问题.................................................16

题型十三：数列与几何的交汇问题.................................................18

03过关测试....................................................................19

方法技巧旦

1、解决数列与数学文化相交汇问题的关键

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际上诟n—f由施森丁丽蓬等亲薮疥最蜃正装布戢福派I

I构.模型L关系式的模型：

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用福利用所学知识求解数列的相关信息，如求：

出暨里旦「指定项、通项公式或前“项和的公式：

2、新定义问题的解题思路

遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办

事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决.

3、数列与函数综合问题的主要类型及求解策略

①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题.

②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前力项和公式、求和方

法等对式子化简变形.

注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊

性.

4、数列与不等式综合问题的求解策略

解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、

分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.

利用等价转化思想将其转化为最值问题.

a＞尸(")恒成立oa＞尸(〃)max；

a＜尸⑺恒成立＜=＞a＜F(n)m-a.

5、现实生活中涉及银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、产品产量等问题，常常考虑用数列

的知识去解决.

(1)数列实际应用中的常见模型

①等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差；

②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，则该模型是等比模型，这个固定的数就

是公比；

③递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑是第

"项％与第〃+1项an+i的递推关系还是前〃项和S“与前〃+1项和S“M之间的递推关系.

在实际问题中建立数列模型时，一般有两种途径：一是从特例入手，归纳猜想，再推广到一般结论；

二是从一般入手，找到递推关系，再进行求解.一般地，涉及递增率或递减率要用等比数列，涉及依次增

加或减少要用等差数列，有的问题需通过转化得到等差或等比数列，在解决问题时要往这些方面联系.

（2）解决数列实际应用题的3个关键点

①根据题意，正确确定数列模型；

②利用数列知识准确求解模型；

③问题作答，不要忽视问题的实际意义.

6、在证明不等式时，有时把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明，我们称这

种方法为放缩法.

放缩时常采用的方法有：舍去一些正项或负项、在和或积中放大或缩小某些项、扩大（或缩小）分式

的分子（或分母）.

放缩法证不等式的理论依据是：A>B,B>CnA>C；A<B,B<C^A<C.

放缩法是一种重要的证题技巧，要想用好它，必须有目标，目标可从要证的结论中去查找.

题型一：数列在数学文化与实际问题中的应用

【典例1-1】（2024•重庆九龙坡•三模）正整数123,…,〃的倒数的和1+g+:+…+!已经被研究了几百年，

23n

但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当”很大时，

1+工+!+…+」wln"+7.其中/称为欧拉-马歇罗尼常数，0.577215664901…，至今为止都不确定/是

23n

有理数还是无理数.设田表示不超过X的最大整数，用上式计算1+：+：+.一+焉的值为（）

（参考数据：In2«0.69,ln3*1.10,lnl0-2.30）

A.10B.9C.8D.7

【典例1-2】（2024•黑龙江佳木斯・三模）《算法统宗》是一部中国古代数学名著，全称为《新编直指算法统

宗》，由明代数学家程大位所著.该书在万历二十一年（即公元1593年）首次刊行，全书共有17卷.其主

要内容涵盖了数学名词、大数与小数的解释、度量衡单位以及珠算盘式图和各种算法的口诀等基础知

识.同时，书中还按照“九章”的次序列举了多种应用题及其解法，并附有图式说明.此外，《算法统宗》还

包括了难题解法的汇编和不能归入前面各类别的杂法算法等内容.其中有一首诗，讲述了“竹筒容米”问

题.诗云：’家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上稍四节贮三升，唯有中间两节竹，要

将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明‘（【注释】三升九：3.9升，次第盛：盛米容积依次相差

同一数量）用你所学数学知识求该九节竹一共盛米多少升？（）

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