2025年新高考数学一轮复习：重难点突破 奔驰定理与四心问题（五大题型）（学生版+解析）

重难点突破01奔驰定理与四心问题

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................3

题型一：奔驰定理...............................................................3

题型二：重心定理...............................................................5

题型三：内心定理...............................................................6

题型四：外心定理...............................................................6

题型五：垂心定理...............................................................7

03过关测试.....................................................................8

亡法牯自与.柒年

//\\

技巧一.四心的概念介绍：

(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1.

(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等.

(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等.

(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直.

技巧二.奔驰定理…解决面积比例问题

重心定理：三角形三条中线的交点.

已知A4BC的顶点4X,%)，B(X2,%)，C(x3,y3),贝IJAABC的重心坐标为

.\+x2+x3%+%+%)

3，3

注意：(1)在"BC中，若。为重心，则。4+O2+OC=0.

(2)三角形的重心分中线两段线段长度比为2：1,且分的三个三角形面积相等.

重心的向量表示：AG=-AB+-AC.

33

奔驰定理：SAOA+SBOB+SCOC=Q,则以以、AAOC、ABOC的面积之比等于

4：4：4

奔驰定理证明：如图，令4。4=。4，&OB=OB[,^oc=oq,即满足OA+OB+oc=o

技巧三.三角形四心与推论：

(1)。是AABC的重心：SAB0C:SACOA:SAA0B-1:1:1OA+OB+OC=0.

(2)。是AABC的内心：SAB0C:SACOA:S.AOB=a:b:c<^>aOA+bOB+cOC=0.

(3)O是△ABC的外心：

S:SMCA：S4cA=sin2A:sin2B:sin2Cosin2AOA+sin2BOB+sin2COC=0.

ZAARofUtCrZACCZALAXAOD

(4)。是的垂心：

SARnr:SMCA：SMCR=tanA:tan3:tanCotanAOA+tanBOB+tanCOC=0.

技巧四.常见结论

（1）内心：三角形的内心在向量区+当所在的直线上.

网KI

\A^-PC+\BC\-PC+\C^-PB=Oo尸为ZWC的内心.

（2）外心：|尸4卜=P为△ABC的外心.

（3）垂心：尸==o尸为△ABC的垂心.

（4）重心：FA+P3+PC=0oP为△ABC的重心.

题型一：奔驰定理

【典例1-1】已知。为“BC内一点，且满足OA+/OB+（；l-l）OC=0,若的面积与.Q4c的面积的比值

为了，则4的值为（）

4

341

A.—B.—C.-D.2

432

19

【典例1-21点。在的内部，且满足：AO=-AB+-AC,则的面积与的面积之比是

（）

75

A.—B.3C.—D.2

22

【变式1■。设M是1ABC内一点，且A3-AC=2百,NR4C=30,定义/（M）=（以〃,）），其中桃〃,分

14

别是一M3C,.MCVM4B的面积，若〃则一+一的最小值是（）

A.9（73+1）B.18C.16D.9

【变式1-2］设AG=g（A3+AC）,过G作直线/分别交AB,AC（不与端点重合）于P,。，^AP=AAB，

uuutuuct2

AQ=〃AC,若A/XG与AQAG的面积之比为§,则〃=

5

ABD.

-I-t6

【变式1-3］（多选题）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结

论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是

ABC内一点，ABMC,AMC,AMB的面积分别为臬，SB,Sc,且

SA-MA+SB-MB+SC-MC=O.以下命题正确的有（）

A.若幻：品：S’=1:1:1,则M为/AMC的重心

B.若M为ABC的内心，贝i」BC-K4+AC-M3+ARMC=0

C.若4c=45。，ZABC=60°,M为41BC的外心，则邑：邑：S°=g:2:l

D.若M为一ABC的垂心，3MA+4MB+5MC=0>则cos/AM3=-如

6

【变式1-4］（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”

轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知。是.ABC内的一点，BOC,_AOC,

的面积分别为为SB，SC，则有SA・a4+SB03+Sc-OC=0.设0是锐角一ABC内的一点，ZBAC,

ZABC,—AC3分别是,ABC的三个内角，以下命题正确的有（）

B.若OA+2O2+3OC=0，则%::S。、=1:2:3

UUUUU5719

C.若|。4|=|。8|=2,^AOB=—,20A+30B+40C=0，贝1sAc=彳

6's2

D.若。为一ABC的垂心，贝UtanNBAC-Q4+tan/ABC-02+tan/AC2-OC=0

题型二：重心定理

【典例2-1】已知。是所在平面内一定点，动点P满足

（___.、

AC

OP=OA+A-~।——+|~।——，X«0,+s）,则动点P的轨迹一定过一MC的.（选填：外心、内

ABsinBACsinC

心、垂心、重心）

【典例2-2】（2024.高三.陕西渭南・期末）如图所示，ABC中G为重心，尸。过G点，AP=mAB，

AQ=nAC,则'+'=

~mn

【变式2-1］（2024•陕西西安•模拟预测）在平行四边形ABCD中，G为△BCD的重心，AG=xAB+yAD,

则3x+y=

【变式2-2］（2024•高三.上海普陀•期中）在.ABC中，过重心G的直线交边A3于点尸，交边AC于点Q

（P、。为不同两点），且那=4^AQ=JuAC,则％+〃的取值范围为一.

【变式2-3】在ABC中，角ABC所对的边分别为a,b,c,已知a=l,A=60,设O,G分别是

ABC的外心和重心，贝UAO.AG的最大值是（）

【变式2-4］（2024•全国•二模）点。，尸是_ABC所在平面内两个不同的点，满足OP=Q4+QB+OC，则直

线OP经过,ABC的（）

A.重心B.夕卜心C.内心D.垂心

题型三：内心定理

【典例3-1】已知。为一A6C的内心，cosZABC=^,且满足B。=xBA+yBC,则x+y的最大值为.

【典例3-2】在AA8C中，cosZBAC=1,若。为内心，且满足A。=xAB+yAC,贝Ix+y的最大值为.

【变式3-1］已知点。是边长为卡的等边"BC的内心，则（如+。4》（。4+。3）=_.

【变式3-2］（2024・高三•山东聊城・期中）已知。是ABC的内心，AB=9,3c=14,CA=13,贝U

AOAB=.

【变式3-3】已知RtABC中，AB=3,AC=4,8c=5,/是_ABC的内心，尸是/BC内部（不含边界）

的动点.若/=2蕊+〃42（丸，〃©R），则2+〃的取值范围是—.

题型四：外心定理

【典例4-1】已知点O在JLBC所在平面内，满足|0A|="q=|0c］,则点O是钻0的（

A.外心B.内心C.垂心D.重心

【典例4-2】。为AfiC所在平面内一点，且满足（0A+08）.BA=（08+0C>CB=（0C+0A）-AC,则。是

ABC的（）

A.内心B.外心C.重心D.垂心

【变式4-1］（2024.天津北辰.三模）在-ABC中，,目=2百，。为_ABC外心，且AO.AC=1，贝I

/A5c的最大值为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【变式4-2］在ABC中，AC=2币,。是ABC的外心，/为BC的中点，ABAO=8>N是直线

UUIULILm

上异于M、0的任意一点，则AN-BC=（）

A.3B.6C.7D.9

।num।

【变式4-3】己知。为ABC的外心，陷=4,则AO.AB=()

A.8B.10C.12D.1

【变式4-4】在.ABC中，AB=y/2,ZACB=45°,。是ABC的外心，则AC2C+O。AB的最大值为

【变式4-5】已知ABC内一■点。是其外心，sinA=^0<A<-,且AO=MAB+〃AC，则相+”的最

大值为•

【变式4-6】在.MC中，ZA=6O°,BCf,。为.MC的外心，D,E,尸分别为A5,BC,C4的

2223

中点，且OD+OE+OF=-,贝I|OA-O3+OROC+OC-OA=—.

4

题型五：垂心定理

【典例5-1】已知一ABC的垂心为点。，面积为15,且NA5C=45。，则8Z）.BC=—；若=

则阳卜一

【典例5-2］若”是ABC的垂心，且2/£4+2/ffi+38C=0，则tanC的值为—.

【变式5-1］在中，三个内角分别为A,B,C,AB=4,AC=3,BC=2,反为_48。的垂心.若

AH=xAB+yAC,则上=—.

X

12

【变式5-2］已知H为二ABC的垂心（三角形的三条高线的交点），^AH=-AB+-AC,则

sinZBAC=___.

【变式5-3】已知在..ABC中，AB=AC,3c=6,点H为ABC的垂心，则8”.BC=.

1.已知。是..ABC内部的一点，OA+Q8+3OC=0，贝的面积与ABC的面积之比是（）

Ar1AnDA

2.（2024•四川南充三模）已知点P在ABC所在平面内，若尸4（--------------）=PB-（----------------）=0,

\AC\\AB\\BC\\BA\

则点P是.至。的（）

A.外心B.垂心C.重心D.内心

3.已知G,O,"在.ABC所在平面内，满足GA+GB+GC=0,\OA\=\OB\=\OC\,

AHBH=BHCH=CHAH，则点G,O,H依次为一MC的（）

A.重心，外心，内心B.重心、内心，外心

C.重心，外心，垂心D.外心，重心，垂心

4.。是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：OP=OA+2（A2+AC）,

2>0,则直线A尸一定通过」1BC的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

5.已知点A、B、C是平面上不共线的三点，点。为一ABC的外心，动点尸满足条件：

OP=1[(1-A)OA+(1-2)05+(1+2A)OC](2eR,几#0),则点P的轨迹一定通过二抽。的().

A.内心B.垂心C.重心D.边的中点

6.（2024.全国•模拟预测）已知点。是一的重心，过点。的直线与边A仇AC分别交于两点，。为

ULIIUUULlUUIU

边3C的中点.^AD=xAM+yAN(x,yeR)，贝ijx+y=()

A-IB-tC.2D-I

7.已知。，A,B,C是平面上的4个定点，A,B,C不共线,若点P满足。月=。4+〃&月+AC）,其

中;leR,则点P的轨迹一定经过ABC的（）

A.重心B.夕卜心C.内心D.垂心

8.已知ABC的重心为O,则向量月。=（）

2uuniuum

A.-AB+-ACB.——AB+-AC

3333

|*AC

C.--AB--ACD.

33

9.已知ABC的重心为O,若向量BO=xAB+yAC,则x+y=（）

2

A-Bc.D.

-3-1-3

10.已知在A5C中，”为JRC的垂心，。是ABC所在平面内一点,且04+03=。"，则以下正确的

是（）

A.点。为.45。的内心B.点。为..ABC的外心

C.ZACB=9QD._ABC为等边三角形

11.已知。是平面上一定点，A，B,C是平面上不共线的三个点，动点尸满足。尸=0A+2（A5+AC）,

4e（0,+8）,则尸的轨迹一定通过」1BC的（）

A.重心B.外心C.内心D.垂心

12.在一ABC中，动点尸满足2ASCP，则尸点轨迹一定通过ABC的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

13.（多选题）（2024・高三・江西新余•期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中

一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内

容是：已知M是ABC内一点，MMC,AMC,AMB的面积分别为枭，SB,Sc,且

SAMA+SBMB+SCMC^O.以下命题正确的有（）

A.若SJSB：SC=1：1：1,则/为一ABC的重心

B.若M为/ABC的内心，贝i」BC-M4+AC-M8+AB-MC=0

C.若M为‘ABC的垂心，3M4+4MB+5MC=0，贝!Itan/BAC:tan/ASC:tan/BC4=3:4:5

D.若44c=45。，ZABC=60°,M为ASC的外心，则邑：邑：&■=有：2:1

14.（多选题）（2024•江苏南京・二模）已知..ABC内角A,B,C的对边分别为。，b,c,。为，ABC的

重心，cosA=-,AO=2,则（）

A.AO=|AB+1ACB.ABAC<3

C.ABC的面积的最大值为3#D.。的最小值为26

15.（多选题）（2024•辽宁•二模）ABC的重心为点G,点。，P是ABC所在平面内两个不同的点，满足

OP=OA+OB+OC，贝I（）

A.0,P,G三点共线B.OP=2OG

C.2OP=AP+BP+CPD.点P在，ABC的内部

A

22.我校高一同学发现：若。是一ABC内的一点，BOC、AOC,..AO3的面积分别为枭、SBySc,

则存在结论SA-Q4+S/O8+SC-OC=0,这位同学利用这个结论开始研究：若。为ABC内的一点且为内

心，ABC的内角A、B、C的对边分别为。、b、c,且COSB=3，若BO=xBA+yBC,则x+V的最大

值为.

23.已知点尸为.ABC内一点，2PA+3PB+5PC=0，贝!1APB,APC,.BPC的面积之比为_.

24.已知点P在.ABC所在的平面内，则下列各结论正确的个数是—.

①若P为一ABC的垂心，ABAC=2.则APAB=2

②若为边长为2的正三角形，则PA-（PB+PC）的最小值为一1

（\、

③若AP=卜:+：AB+-~p—+1AC,则动点尸的轨迹经_ASC的外心

【标嬴2j^c|eosC2）

④若P为ABC的重心，过点尸的直线/分别与AB、AC交于E、尸两点，^AE=AAB,AF=pAC,

则J+^=3

/t〃

25.点。是平面a上一定点，A,B,C是平面a上_筋。的三个顶点，NB,NC分别是边AC,AB的对

角.有以下四个命题：

①动点P满足0P=0A+P3+PC，贝!1ABC的外心一定在满足条件的尸点集合中;

②动点尸满足。2=。4+2］网+何］（2>。），则A3C的内心一定在满足条件的P点集合中;

uunuur

③动点尸满足OP=Q4+4（2>0）,则一至C的重心一定在满足条件的尸点集合中；

ARAC

④动点尸满足OP=OA+%।~i——+i~i——（A>0）,则，ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中.

|AB|cosB|AC|cosC

其中正确命题的个数为一.

26.点。是平面上一定点，A、8、C是平面上ABC的三个顶点，/B、NC分别是边AC、A3的对角,

以下命题正确的是（把你认为正确的序号全部写上）.

①动点尸满足。尸=0A+P2+PC，则一ABC的重心一定在满足条件的P点集合中；

ARAC

②动点尸满足OP=OA+〃而+而）（2>0）,贝/ABC的内心一定在满足条件的尸点集合中；

AD

③动点P满足。尸=OA+”.0+/（I>。）,则ABC的重心一定在满足条件的P点集合中；

|AB|sin6IAC|sinC

AD4r

④动点尸满足。尸=OA+〃有3--+——-）a>0）,贝的垂心一定在满足条件的尸点集合中；

⑤动点尸满足。尸="产J./。/口>0）,贝hMC的外心一定在满足条件的P点集合中.

27.（2024•浙江宁波•模拟预测）在—ABC中，点。、点X分别为，.ABC的外心和垂心，IAB|=5,|AC|=3,

则.

28.设//是—ABC的垂心，S.4HA+5HB+6HC=0^贝UcosNAHB=—.

4

29.在_46。中，AB^AC,tanC=-,“为二ABC的垂心，JLAH=mAB+nBC，贝!]m+〃=.

30.（2024.全国•模拟预测）已知-ABC的外心、垂心分别为0,H,AH=AOB+OC则2=—.

重难点突破01奔驰定理与四心问题

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................3

题型一：奔驰定理...............................................................3

题型二：重心定理...............................................................5

题型三：内心定理...............................................................6

题型四：外心定理...............................................................6

题型五：垂心定理...............................................................7

03过关测试.....................................................................8

亡法牯自与.柒年

//\\

技巧一.四心的概念介绍：

（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1.

（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等.

（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等.

（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直.

技巧二.奔驰定理…解决面积比例问题

重心定理：三角形三条中线的交点.

已知A4BC的顶点A（玉，%），8（无2,%），Cd，%），贝UAABC的重心坐标为

3，3

注意：（1）在"BC中，若。为重心，则。4+O2+OC=0.

（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2：1,且分的三个三角形面积相等.

重心的向量表示：AG=-AB+-AC.

33

奔驰定理：SAOA+SBOB+SCOC=Q,则以以、AAOC、ABOC的面积之比等于

4：4：4

奔驰定理证明：如图，令40B=0B[,^OC=OCt,即满足OA+OB+OG=0

S/\AOB_]S^AOC_]

,^AAOB|AA^A^OC,44

技巧三.三角形四心与推论:

(1)。是AABC的重心：SABOC:SACOA:SAAOB=1:1:1<^OA+OB+OC=0.

(2)。是AABC的内心：SAsor:S.COA:SAAOB=a:b:c<^>aOA+bOB+cOC=0.

(3)。是△ABC的外心：

SAsoc:SMOA:SAAOB=sin2A:sin2B:sin2Cosin2A0A+sin2B0B+sin2C0C=0.

（4）。是△ABC的垂心:

SARnr:SMCA：SMCR=tanA:tan3:tanCotanAOA+tanBOB+tanCOC=0.

技巧四.常见结论

(1)内心：三角形的内心在向量区+当所在的直线上.

网KI

\A^-PC+\BC\-PC+\C^-PB=Oo尸为ZWC的内心.

(2)外心：|尸4卜=P为△ABC的外心.

(3)垂心：尸==o尸为△ABC的垂心.

(4)重心：FA+P3+PC=0oP为△ABC的重心.

题型一：奔驰定理

【典例1-1】已知。为—ABC内一点，且满足。4+/1。8+(2-1)<%?=0,若的面积与OAC的面积的比值

为:，则4的值为()

4

A.-B.-C.；D.2

432

【答案】B

【解析】由04+203+(/T)℃=0，^A(,OB+OC)=OC-OA=AC,

如图，2E分别是8C,AB的中点，

贝!I22OD=AC,

所以。在线段。E上，且2〃2D=AC=2Z)E,

力斤

^A=—,设。。=1,则。石=4，所以笺二丸一1，

Lt、rSCAROE2-11-1厂

因为^-=~DF=~T'SOAC=S.ADC=-S.ABC>SABD=~SABC

DABDUCjA22

c2_11A

所以s01c=5钻“，贝个=：，解得2=?.

OACZ43

故选：B

1?

【典例1-21点。在.ABC的内部，且满足：AO=-AB+-AC则,ABC的面积与AO5的面积之比是

）

A-IB.3C-1D.2

【答案】C

r\

所以A（?T

OB-OA）+-（OC-OA）,即O8+2OA+20c=0,

取AC中点为点。，

ULIUUIUUUIU

则OA+OC=2OD，即4OD=-OB，

4

所以0在中线30上，且OB=gBD

过0,0,分别作边AB上的高，垂足为Af,N,

OMOB4

贝nI」［——=—=:

DNBD5

所以S405二gSABD,SA3。=耳SABC,

2

所以SAOB=MSMC，

二匚［、l°ABC_

所以7-----不，

故选：c.

【变式1-1］设〃是-ABC内一点，S.ABAC=2y/3,ZBAC=3Q,定义/（"）=（7%〃,。），其中分

别是一MBC,_MC4,JWAB的面积，若/（M）=（g,x,y14

则一+一的最小值是（）

xy

A.9（V3+1）B.18C.16D.9

【答案】B

【解析】设,ABC中，角A,民C的对边分别为〃也c,

ZBAC=30，由A3・AC=Z?ccosN5AC=^/?c=20,得6c=4,

2

S.ABC=；bcsinNBAC=l,f(Af)=f—,x,,贝lJ；r>0,J>0,

SABC=SMBC+SMCA+SMAB=~+X+y=^9得%+>=/，

2乙

-+-=2（x+y）f-+-l=2fl+4+^+—1>2f5+2,把］=2（5+2x2）=18,

y）<xy）\\xy）

Y4x11

当且仅当上=一,即X==；时等号成立，

X>63

14

则一+一的最小值是18.

无y

故选：B

【变式1-2］设AG=g（A2+AC）,过G作直线/分别交A&AC（不与端点重合）于尸,。，若”=彳",

uucruuur2

AQ=〃AC,若AR4G与AQAG的面积之比为则〃=

1235

A.—B.—C.—D.一

3346

【答案】D

【解析】连接AG并延长，则通过5c的中点M,过尸，。分别向AG所在直线作垂线，垂足分别为。，

E,

如图所示

7

.G与△QAG的面积之比为;

PD_2

"QE~3

根据三角形相似可知黑=|,则PG=^PQ

35

AG=AP+PG=AP+^AQ-AP）

3232

即AG=^AP+-AQ=-XAB+-piAC

由平行四边形法贝IJ得AG=gAM=g（AB+AC）

根据待定系数法有:9〃=i：,则〃=s=

536

故选。

【变式1-3］（多选题）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结

论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是

ABC内一点，ABMC,AMC,A7WB的面积分别为臬，SB,Sc,且

SA-MA+SB-MB+SC-MC^O.以下命题正确的有（）

A.若SA：SB：SC=1：1：1,则M为一AMC的重心

B.若M为，ABC的内心，贝i」8C-M4+AC-MB+AHMC=0

C.若4c=45。，ZABC=60°,/为「ABC的外心，则臬:S0=白:2:1

D.若M为.ABC的垂心，3MA+4MB+5MC=0,则cos/AMB=-"

6

【答案】ABD

【解析】对A选项，因为SA：SB：SC=1：1：1,所以M4+MB+MC=0，

取3C的中点D,则+=所以2MD=-MA，

故A,",。三点共线，且|他4|=2悭。|,

同理，取中点E,AC中点尸，可得B,M,尸三点共线，C,M,E三点共线,

所以M为_ABC的重心，A正确；

对B选项，若M为.ABC的内心，可设内切圆半径为

则SB=^AC-r,Sc=^AB-r,

所以工+=

222

即3c•MA+AC-Affi+AHMC=O，B正确；

对C选项，若44C=45。，ZABC=60°,〃为；ABC的外心，则NACB=75。，

设_ABC的外接圆半径为R,故/3MC=2/B4C=90。，ZAMC=2ZABC=120°,

ZAMB=2ZACB=150°,

2222

故'=[4仃1190。=!&，SB=-Rsinl200=^7?,Sc=^7?sinl500=l/?,

22B2424

对D选项，若“为」IBC的垂心，3MA+4M5+5MC=0,

则与：品：品=3：4:5,

如图，AD1BC,CE±AB,BF1AC,相交于点M,

又SABC=$A+‘8+’

S31

sA=~=~,即AM:MD=3:1,

)ABC1，斗

S4[

=—=即MF:3M=1:2,

3ABC1Z)

Sr5

------=TT,即ME:MC=5:7,

ABC1，

设MD=m，MF=n，ME=5t,则AM=3m,BM=2n,MC=7t，

rj777

因为NCWnNCBT7,sinACAD=——,sinZCBF=——,

3m2n

所以畀合’即八争，

旦(n-NBMD)=-f,D正确;

cosNBMD=*』=④贝hos/AMB=cos

2n2n6

故选：ABD.

【变式1-4]（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”

轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知。是.ABC内的一点，,BOC,AOC,

的面积分别为%，品&,则有邑=0•设。是锐角ABC内的一点，ZBAC,

ZABC,—ACB分别是_至。的三个内角，以下命题正确的有（）

A.若Q4+OB+OC=0，则。为.ABC的重心

B.若OA+2O2+3OC=0，则%:Sc=1：2：3

UUULIU5兀9

C.若|ft4|=|OB|=2,^AOB=—,20A+308+40C=0，贝1sAc=彳

6's2

D.若。为ABC的垂心，贝hanQ4+tan/ABC-02+tan/ACHOC=0

【答案】ABD

【解析】对于A：如下图所示,

假设。为AB的中点，连接。。，则0A+0月=20力=。0，故C,0,0共线，即。在中线CO上,

同理可得。在另外两边5cAe的中线上，故。为ABC的重心，即A正确;

对于B：由奔驰定理。是，A6C内的一点，30<?,“&0。,以。8的面积分别为名,58,5C,

则有邑-。4+5葭。8+51。。=0可知，

若。4+2O2+3OC=0，可得SA：%:SC=1：2：3,即B正确；

ULIUUU5兀15兀

对于C：由|（MHOB|=2，=w可知Sc=]x2x2xsin7=1,

又20A+308+40C=0，所以%:S8:Sc=2:3:4,

由Sc=l可得枭=134=：3；

139

所以SABC=SA+SB+SC=]+Z+1=W，即C错误；

对于D：由四边形内角和可知，NBOC+NBAC=TI,

则OBOC=\OB\\OC\cosNBOC=-1OB110C|cosABAC,

同理03•OA=|081|OA|cosZBOA=-1OB|OA|cosZBCA,

因为。为,ABC的垂心，贝IJOB-AC=OR（OC-OA）=O2,OC-O2-OAA=0,

所以|OC|cosZBAC=\OA\cosZBCA,

同理得\OC\cosZABC=\OB|cosZBCA,\0A\cosZABC=\0B\cosZBAC,

则|OA。61:|OC\=cosZBAC:cosZABC:cosZBCA,

令10A|=mcosZBAC,|OB|=mcosZABC,|OC\=mcosZBCA,

由S.--|OB||OC|sinZBOC,

2

1加2

则枭=]|051|OC|sinZBAC=—cosZABCcosZBCAsinZBAC,

2

t,Jm

同理：SB=-\OA\\OC\sinZABC=—cosZBACcosZBCAsinZABC,

1rn^

Sc=~\OA||OB|sinZBCA=-^-cosZBACcosZABCsinZBCA,

..co。sinABACsinZABCsinZBCA小人

综上t，S:S:S=-------------:--------------:-------------=tanABAC-tanZABC-tanZBCA

ABRr。cosZBACcosZABCcosZBCA

根据奔驰定理得tanZ8AC-OA+tan/ABC-OB+tan/ACB-OC=0，即D正确.

故选：ABD.

题型二：重心定理

【典例2-1】已知。是ABC所在平面内一定点，动点尸满足

AH4r

OP=OA+A|―i——+)—7i——，丸£[0,+8),则动点尸的轨迹一定过一ABC的.(选填：外心、内

ABsinBACsinC

心、垂心、重心)

【答案】重心

【解析】过A作AH_L3C,垂足为H,取8c中点为。，连接AD,如下所示:

A

（\（.__\

rsn八/。ABAC,.ABAC

贝UOP—OA+21iHii，贝nUAP=4r~1T\，

IJA理sinB|AC|sinCjl叫sinB|AC|sinCj

AP=2［（邛\AH\+，\AH\］）=4（AB+AC>）=A\AH\A。，人又仙为引非，"负卜人实头奴数,，

故AP,AD共线，也即AP,。三点共线，又AD为三角形ABC中线，故尸的轨迹过三角形A3C的重心.

故答案为：重心.

【典例2-2］（2024・高三・陕西渭南•期末）如图所示，中G为重心，尸。过G点，AP=mAB，

【答案】3

【解析】设A3=〃,AC=b

221111

木艮据题意，-AD=—(―A6+—AC)=+—Z?；

jj《jj

AP=mAB,AQ=nAC,P,G,。三点共线，则存在X,使得尸。=4PG,