2025年新高考数学一轮复习：椭圆及其性质（九大题型）（讲义）（学生版+解析）

第05讲椭圆及其性质

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图•思维引航............................................................3

03考点突破•题型探究............................................................4

知识点1：椭圆的定义............................................................4

知识点2：椭圆的方程'图形与性质................................................4

解题方法总结...................................................................6

题型一：椭圆的定义与标准方程...................................................7

题型二：椭圆方程的充要条件.....................................................8

题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题.................................9

题型四：椭圆上两点距离的最值问题..............................................10

题型五：椭圆上两线段的和差最值问题............................................12

题型六：离心率的值及取值范围..................................................13

方向1：利用椭圆定义去转换.....................................................13

方向2：利用a与c建立一次二次方程不等式.......................................13

方向3：利用最大顶角。满足sin^WeVl.......................................................................................14

方向4：坐标法.................................................................15

方向5：找几何关系，利用余弦定理...............................................15

方向6：找几何关系，利用正弦定理...............................................16

方向7：利用基本不等式.........................................................17

方向8：利用焦半径的取值范围为[a—c,a+c]............................................................................17

方向9：利用椭圆第三定义.......................................................18

题型七：椭圆的简单几何性质问题................................................19

题型八：利用第一定义求解轨迹..................................................21

题型九：椭圆的实际应用........................................................23

04真题练习•命题洞见............................................................25

05课本典例•高考素材............................................................26

06易错分析•答题模板............................................................28

易错点：椭圆焦点位置考虑不周全................................................28

答题模板：求椭圆的标准方程....................................................29

考情透视.目标导航

考点要求考题统计考情分析

2024年H卷第5题，5分

椭圆是圆雉曲线的重要内容，高考主要

2023年甲卷（理）第20题，12分

（1）椭圆的定义及其标考查椭圆定义的运用'椭圆方程的求法以及

2023年I卷H卷第5题，5分

准方程椭圆的简单几何性质，尤其是对离心率的求

2023年北京卷第19题，15分

（2）椭圆的几何性质解，更是高考的热点问题，因方法多，试题

2023年甲卷（理）第12题，5分

灵活，在各种题型中均有体现.

2022年甲卷（理）第10题，5分

复习目标：

（1）理解椭圆的定义、几何图形'标准方程.

（2）掌握椭圆的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）.

（3）掌握椭圆的简单应用.

匐2

知识导图•思维引航

椭圆及其性质

者占突曲・题理探密

知识固本

知识点1:椭圆的定义

平面内与两个定点耳月的距离之和等于常数2a(2a>|耳丹|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫

做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作2c,定义用集合语言表示为：

{P\\PFl\+\PF21=2a(2a>|FtF21=2c>0)}

注意：当2a=2c时，点的轨迹是线段；

当2a<2c时，点的轨迹不存在.

【诊断自测】已知点A(-1,0),2(1,0),动点P(x,y)满足|即+|冏=1,则动点尸的轨迹是()

A.椭圆B.直线C.线段D.不存在

知识点2：椭圆的方程、图形与性质

椭圆的方程、图形与性质所示.

2222

标准方程a+方=1(»>。)/+a=1(»>。)

统一方程rwc2+ny2=l(m>0,n

[x=acos0-dw,/、[x=acosO-A”,，/、

参数方程\1为参数(夕£[O,2»D,八,6为参数(夕£[0,2万])

[y=bsmO[y=bsing

第一定义到两定点与、工的距离之和等于常数2a,即|M4|+|g|=2a（2.>|耳月|）

范围-a<x<a^-b<y<b-b<x<b^-a<y<a

A](—〃,0)、A?(〃,0)A](0,—Q)、A，2(0,〃)

顶点

B/0,询、B2(O,&)B](也0)、B2(fe,0)

轴长长轴长=2a,短轴长=2）长轴长=2a，短轴长=2〃

对称性关于X轴、y轴对称，关于原点中心对称

焦点耳（-c,0）、居（c,0）耳(0,-c)、居(O,c)

焦距忸周=2c(c2=a2-Z>2)

b1

离心率e=a=^=---(0<evl)

a

准线方程

c

>1外>1外

点和椭圆

=lo点(%,%)在椭圆<上=10点5,%)在椭圆V上

的关系a2b2a2b2

<1内<1内

苦+苦=1（❷，%）为切点）（（%,%）为切点）

ab

切线方程

对于过椭圆上一点（%,%）的切线方程，只需将椭圆方程中/换为瓦x,/换为

%y可得

切点弦所

在的直线誓+誓=1（点（%为）在椭圆外）理+孝=1（点（x0,%）在椭圆外）

abab

方程

2〃

①cos8=------1,&=/可巡，（3为短轴的端点）

焦点三角

2

形面积②IS.昌=^rtr2sm3=btan|=jc|%l,焦点在X轴上

。|龙。|,焦点在丫轴上'2

口（%，%）

oFfx

a1

7当乃点在长轴端点时，（々々）min=Z?2

(

[当尸点

、在短轴端点时，（色）max=a2

奉写点三角;形中一般要用到的关系是

\MFt\+\MF21=2a（2a>2c）

^\PF\\PF\sinZF.PF^

SAPFFz=t2

\F^=1

PFl\+\PF2^-2\PFi\\PF2\cosZF{PF2

上焦半径：MF1\=a-ey

左焦半径：0

MF、\=a+ex0

下焦半径：MF[=〃+e为

焦半径X

又焦半径：MFX\=a-exQ

焦半径最大值4+C,最小值4-C

通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=2乙（最短的过焦点的弦）

a

设直线与椭圆的两个交点为4(百，%),3(%,%)，kAB=k>

2

则弦长|AB|=J1+的巧6|=Ji+左之加玉—x2）—4%尤2

弦长公式

=J12-4>跖=jl+公卢

\a\

（其中a是消y后关于X的一元二二次方程的f的系数，A是判别式）

【诊断自测】一个椭圆的两个焦点分别是片（-3,0）,耳（3,0）,椭圆上的点尸到两焦点的距离之和等于8,

则该椭圆的标准方程为（）

A."=1RcWD.J

D.-。-----1------1

642816716943

解题方法总结

（1）过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为2生b2.

a

①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点.

②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点.

距离的最大值为a+c,距离的最小值为a-c.

(2)椭圆的切线

22

①椭圆与+斗=1(a>6>0)上一点「(尤。，为)处的切线方程是岑+岑=1；

abab

22

②过椭圆二+多=1(a>6>0)外一点尸(尤°,%),所引两条切线的切点弦方程是誓+岑=1；

abab

22

③椭圆三+当=1(a>6>0)与直线Ac+3y+C=0相切的条件是A2a2+笈〃=02.

ab

题型一：椭圆的定义与标准方程

【典例1-1】(2024•全国•模拟预测)过四点(0,1),1,-!),卜弓，),-咚)中的三点的一个椭圆标

准方程可以是—，这样的椭圆方程有一个.

【典例1-2】己知尸一6是椭圆C的两个焦点，尸是C上的一点，若尸片且|PK|:|P段=2:5,

则C的长轴长与焦距的比值为()

A.1B.2c.叵D.叵

27729

【方法技巧】

(1)定义法：根据椭圆定义，确定/方的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程.

(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在无轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出

a,6,c的方程组，解出〃,从，从而求得标准方程.

注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为一+梦=l(A>0,3>0,AwB).

2222

②与椭圆土+匕=1共焦点的椭圆可设为-------1------=1(K>—m,k>—n,mwn).

mnm+kn+k

2222

③与椭圆斗+与=1（。>，>0）有相同离心率的椭圆，可设为二+1=左（尤>0,焦点在X轴上）或

abab

r2v2

—r+^-=k2（女2>。，焦点在y轴上）.

ab

【变式1”】方程J（x-3）2+L+J（%+3）2+y2=io表示的曲线是,其标准方程是.

【变式1・2】已知椭圆。的焦点在坐标轴上，且经过4-6-2）和5（-2代1）两点，则椭圆C的标准方

程为—.

22/3、

【变式1-3】已知椭圆C*+方=l（a>6>0）的左、右焦点为居（TO）,工（1,0）,且过点用力,则椭

圆标准方程为

22

【变式1-4］（2024.高三.广东揭阳・期末）已知椭圆E：二+2=1（a>b>0）,尸是E的左焦点，过

ab

E的上顶点A作A尸的垂线交E于点A若直线A3的斜率为一百，3户的面积为走，则£的标准方程

为一

【变式1-5】过点（石，-A）,且与椭圆（+:=1有相同的焦点的椭圆标准方程是

【变式1-6］（2024.山西太原•三模）已知点用耳分别是椭圆C的左、右焦点，P（4,3）是C上一点,

△P耳耳的内切圆的圆心为/（，〃/），则椭圆C的标准方程是（)

R尤7122

A.3=1c。一1

D.------1------=1D.、匕=1

2427282152136412

题型二：椭圆方程的充要条件

【典例2-1］（2024•山西吕梁•二模）若函数y=log/x-2）+im>0,且力1）的图象所过定点恰好在椭

fv2

圆二+二=1（机〉0,〃〉0）上，则用+〃的最小值为（）

mn

A.6B.12C.16D.18

22

【典例2-2】方程+3^=1表示椭圆的充要条件是（）

4+m2—m

A.-4<m<-lB.m>—1

C.-4<m<2D.-4<m<-l^<—l<m<2

【方法技巧］

工+匕=1表示椭圆的充要条件为：m>O,n>Q,m^n；

mn

22

乙+乙=1表示双曲线方程的充要条件为：Z7OT<o；

mn

22

二+匕=1表示圆方程的充要条件为：m=n>Q.

mn

【变式2-1］（2024•全国•模拟预测）命题“实数pe（L3）”是命题“曲线

（3-p）f+（p—1）/=（3—p）（p—1）表示椭圆”的一个（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【变式2-2］（2024.高三.辽宁大连•期末）已知曲线“C:（log,2024）x2+（10gz,2024）9=1表示焦点在，轴

上的椭圆”的一个充分非必要条件是（）

A.0<a<bB.l<a<b

3

C.—<a<bD.l<b<a

2

【变式2-3】对于方程/+/加£=1卜€-表示的曲线C,下列说法正确的是（）

A.曲线C只能表示圆、椭圆或双曲线B.若戊为负角，则曲线C为双曲线

C.若a为正角，则曲线C为椭圆D.若C为椭圆，则其焦点在x轴上

题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题

22

【典例3-1】已知双曲线G：f-a=1色>0）与椭圆Cz：［+y2=l（a>0）有公共的焦点4,F2,

且G与&在第一象限的交点为若△叫鸟的面积为1,则。的值为一.

22

【典例3-2】（2024•广东惠州•模拟预测）已知椭圆的方程为土+匕=1,过椭圆中心的直线交椭圆于4

94

B两点,尸2是椭圆的右焦点，则八的周长的最小值为（）

A.8B.6+2-73C.10D.8+26

【方法技巧】

焦点三角形的问题常用定义与解三角形的知识来解决，对于涉及椭圆上点到椭圆两焦点将距离问题常

用定义，即|「耳|+|尸耳|=2。.

22

【变式3-1］（2024.高三・广东深圳•期中）已知月，场分别为椭圆上+匕=1的左、右焦点，P为椭圆上

1810

一点且1sl=2|尸局，贝亚尸耳区的面积为.

22

【变式3-2】该椭圆C:'+匕=1的左右焦点为片，鸟，点尸是C上一点，满足/月尸乙=90。，贝U

369

△月尸屿的面积为.

22

【变式3-3］（2024.云南昆明・昆明市第三中学校考模拟预测）己知椭圆0乙+2=1（0<6<3）的左、

9b

右焦点分别为耳，鸟，尸为椭圆上一点，且N£P6=60。，若£关于/耳尸工平分线的对称点在椭圆C上，则

AF’PB的面积为（）

A.6右B.3丛C.2百D.6

【变式3-4］（2024•河北唐山•统考三模）已知椭圆C：!+/=l的两个焦点分别为耳,鸟，点加为C上

异于长轴端点的任意一点，/£网的角平分线交线段月月于点N,则吧=（）

A.-B.叵C.克D.V2

552

22

【变式3-5］（2024.高三.河北秦皇岛.开学考试）已知椭圆C:三+上=1的上顶点为A,左焦点为月，

43

线段A耳的中垂线与C交于M,N两点，则的周长为.

【变式3-6】设£,尸2分别是离心率为正的椭圆C：F+《=l（a>b>0）的左、右焦点，过点耳的直线

2ab

交椭圆C于A8两点，且|州|=3山卸，贝"COS/A舄3=（）

A1RA/2c2D3

5555

题型四：椭圆上两点距离的最值问题

22

【典例4-1］（2024•陕西安康•模拟预测）己知P为椭圆C:\+2=l（a>6>0）上一点，若C的右焦点

Qb

产的坐标为（3,0）,点加满足忸耳=1,PM.FM=0,若卿同的最小值为20,则椭圆C的方程为（）

【典例4-2］已知8是椭圆（+丁=1的上顶点，点/是椭圆上的任意一点，则卸的最大值为（

A.2B.20C.逑D.-

22

【方法技巧】

利用几何意义进行转化.

【变式4-1】如果点尸是椭圆，+4=1上一个动点，”是椭圆的左焦点，那么|P周的最大值是一，

最小值是—.

221

【变式4-2】已知动点P（x,y）在椭圆宗+春=1上，过点尸作圆（x+3『+y2=p切线，切点为M,

则1PMi的最小值是—.

【变式4-3］（2024.山东潍坊.二模）如图，菱形架ABC。是一种作图工具，由四根长度均为4的直杆

用钱链首尾连接而成.已知A,C可在带滑槽的直杆/上滑动；另一根带滑槽的直杆长度为4,且一端记

为“，另一端用钱链连接在。处，上述两根带滑槽直杆的交点尸处有一栓子（可在带滑槽的直杆上滑动）.

若将H,B固定在桌面上，且两点之间距离为2,转动杆则点P到点8距离的最大值为.

【变式4-41点P在圆元2+（y-2）2=：上移动，点。在椭圆》2+分2=4上移动，则线段|尸。|的最大值

为一

22

【变式4-5】已知点AQ4）,尸是椭圆£土+工=1上的动点，则124|的最大值是—.

259—

【变式4-6】已知圆百：（龙+5）2+y2=i,C2：（x_5『+y2=225，动圆C满足与G外切且与内

切，若加为q上的动点，且西•丽'=（）,则1GM的最大值为（）

A.272B.3币C.4D-2742

题型五：椭圆上两线段的和差最值问题

【典例5-1］已知点M在椭圆；+:=1上，点《0，—18（1，。），则+的最大值为（）

22

【典例5-2】已知椭圆C:■+三=1的右焦点为下，点E（0,2）,点尸是C上的动点，则1PH+|阳的

最小值为（）

A.5B.10-275C.10D.10+2石

【方法技巧】

在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义.求解最值问题的过程中，如

果发现动点P在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃而解.

22

【变式5-1］设椭圆C：L+匕=1的右焦点为尸，动点尸在椭圆C上，点A是直线4*-5、-12=。上的

43

动点，则向|-「同的最小值为（）

A16741口16741016A/41/n.16«

A.------D.--------------C.------4U.4-------

41414141

22

【变式5-2】已知椭圆方程,+q=l,P是其左焦点，点A。」）是椭圆内一点，点尸是椭圆上任意一点,

若1PH+|中|的最大值为最小值为%n，那么%x+/n=（）

A.4后B.4C.8D.8次

22

【变式5-3】设“是椭圆上+匕=1上一点，P,。分别是两圆（x+3）2+/=l和（x-3）2+y2=i上的

167

点，则的最小值、最大值分别为（）

A.8,11B.8,12C.6,10D.6,11

题型六：离心率的值及取值范围

方向1:利用椭圆定义去转换

22

【典例6・1】（2024.高三.江苏南京・开学考试）已知尸是椭圆。:0+2=1（，＞6＞0）上一点，耳且是

ab

C的两个焦点，居.困1=（）,点。在/月尸工的平分线上，。为原点，O0〃p耳，且|。。|=2"则C的

离心率为（）

A.叵B.-C.如D.-

6633

22

【典例6-2】椭圆G：》+方=1（。＞。＞0）与双曲线C,有公共的焦点月、F2,G与Cz在第一象限内交

"35"

于点M,耳月是以线段叫为底边的等腰三角形，若椭圆G的离心率的范围是,则双曲线

O11

的离心率取值范围是（）

-3J「3J「48]「31

1_4」\_2J|_35J\_2）

22

【变式6-1】椭圆C：1+3=1（。＞。＞0）的左、右焦点分别为[、F2,直线/：3缶+y+机=0过4

ab

且与椭圆交于A、B两点（A在5左侧），若（不+月月）•才用=0,则。的离心率为（）

2323

A.—B.—C.—D.一

5577

22

【变式6-2]已知。为坐标原点，尸为椭圆C：亍+方=1（。＞人＞0）的右焦点，若C上存在一点P,

使得△/OP为等边三角形，则椭圆C的离心率为—.

方向2：利用a与c建立一次二次方程不等式

22

【典例7-1]（2024.高三.河北承德.开学考试）已知椭圆7:二+与=l（a＞b＞0）的左、右焦点分别为

ab

£,工,T上一点A满足|A8|=2b,若A耳，A片，则T的离心率为（）

「V2

22

【典例7-2】（2024•陕西铜川•模拟预测）已知片，鸟是椭圆E:=+当=1（°>6>0）的左、右焦点，若

ab

E上存在不同的两点A,8,使得用=6用豆,则E的离心率的取值范围为（）

A.(0,^-1)B.(0,V2-l]C.(3-272,1)D.13-2点,1)

【变式7-1】已知直线/过椭圆C:二+[=1（。>匕>0）的一个焦点与。交于M，N两点，若当/垂直于

尤轴时|MN|=5，则c的离心率为（

c.B

D.—

22

22

【变式7-2】已知尸-F?分别是椭圆£:=+2=1（。>6>0）的左、右焦点，。是坐标原点，尸是椭圆

ab

E上一点，尸耳与，轴交于点若|3=|。叩，眼用=等，则椭圆E的离心率为（）

O

D,3或！

22

方向3：利用最大顶角。满足sin：<e<1

【典例8-1】（2024・四川成都・高三树德中学校考开学考试）已知耳、外是椭圆的两个焦点，满足

丽•丽=0的点〃总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）

C.(0,1)

22

【典例8-2】设6、歹2是椭圆^+方=1（。>6>0）的左、右焦点，若椭圆外存在点尸使得所.两=0,

则椭圆的离心率的取值范围______.

【变式8-1】已知耳，外分别是某椭圆的两个焦点，若该椭圆上存在点P使得6=2。

7T

（o<^<-,e是已知数），则该椭圆离心率的取值范围是_______.

2

22

【变式8-2]（2024.广东.广州市真光中学高三开学考试）已知椭圆。+==1（°>6>0）的左、右焦点

2

分别为耳，尸2,若椭圆上存在一点尸使得/月尸耳=（兀，则该椭圆离心率的取值范围是

方向4：坐标法

7Q

【典例9-1】焦点在无轴椭圆中截得的最大矩形的面积范围是产胪；则椭圆离心率的范围是

（）

V31标］FA/33而］FA/34769

,C.,D.,

7---9----------------------7-----9-----------------7-----9

fv2

【典例9-2］（2024•陕西安康•模拟预测）己知椭圆C:*=1（。>6>0）的左、右焦点分别为耳，玛，

ab

以F?为圆心的圆交y轴正半轴于点交X轴于耳N两点，线段。月与C交于点若的面积为

6c2为椭圆的半焦距），则C的离心率为（）

A.72-1B.2-0C.73-1D.2-73

22

【变式9-1］（2024•新疆乌鲁木齐三模）设M,N,P是椭圆三+与=1（。>6>0）上的三个点，。为坐

ab

标原点，且四边形OMNP为正方形，则椭圆的离心率为一；

22

【变式9-2］（2024•山东泰安・模拟预测）已知椭圆C：=+当=1（。>匕>0）的左，右焦点分别为

ab

2

M-c,0）,与（c,0）,点M,N在C上，且满足甲W//N且£M=2^N,若和丽+/国月「，则C

的离心率为.

方向5：找几何关系，利用余弦定理

22

【典例10-1］（2024.湖南.三模）已知片，鸟是椭圆C:=+2=l（a>6>0）的左、右焦点，。是坐标原

ab

点，过鸟作直线与C交于A,8两点，若且AOAF?的面积为1则椭圆C的离心率为

6

AA/3Rrn石

A.D.C.U.

12632

22

【典例10-2］（2024.河南洛阳.模拟预测）已知尸为椭圆C:=+「=1（。＞6＞0）上一点，斗鸟分别为

ab

其左、右焦点，。为坐标原点，|PO|=^a,且|尸司•|尸入卜］。2,则c的离心率为（）

A.B.-C.交D.-

4422

22

【变式10-1］（2024.江苏泰州•模拟预测）己知月，尸2分别是椭圆C：宏+方=1（。＞6＞0）的左、右

焦点，过招的直线与C交于点A,与，轴交于点8,亭.耶=0,瓯=4可，则C的离心率为（）

方向6：找几何关系，利用正弦定理

22

【典例11-1】已知耳，尸2分别为椭圆£：三+齐=1（。＞＞＞。）的两个焦点，尸是椭圆E上的点,

Pf；，尸工，且sin?尸鸟居3sin?PF^,则椭圆E的离心率为（）

A.巫B.叵C.@D.更

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