2025年中考数学总复习：尺规作图 学案（含答案）

微专题40尺规作图

1.（2024佛山模拟）如图，在R3ABC中，ZACB=90°.

（1）尺规作图：在AC上确定一点。，使点。到CB,AB的距离相等（要求保

留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）的条件下，过点Z）作。交A5于点E,若AC=6,AB=10,

求△AOE的周长.

第1题图

2.如图，在矩形A5CD中，E为C5延长线上一点，连接AE,AC.

（1）实践与操作：作5尸交AC于点尸；（保留作图痕迹，不要求写作法）

（2）应用与计算：在（1）的条件下，若AE=3,BE=W,ZBFC=ZABE,求

BC的长.

第2题图

3.（2024广东黑白卷）如图，在等边△A5C中，A。为5C边上的高.

（1）实践与操作：利用尺规，以为边在8下方作等边ACQE,延长石。交

AB于点V；（保留作图痕迹，不要求写作法）

（2）应用与证明：在（1）的条件下，证明

Rnc

第3题图

4.（2024广州）如图，在RSA5C中,45=90°.

（1）尺规作图：作AC边上的中线50（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）所作的图中，将中线50绕点。逆时针旋转180°得到。O,连接

AD,CD,求证：四边形A5CD是矩形.

第4题图

5.如图，△人吕。为等腰三角形.

（1）实践与操作：求作菱形4EOR使得NA为菱形的一个内角，点Z）,E,F

分别在边5C,AB,AC上；（保留作图痕迹，不要求写作法）

（2）应用与计算：在（1）的条件下，若A5=AC=10,BC=S,求菱形AE。尸

的面积.

第5题图

6.如图，在R3A5C中，ZABC=90°.

（1）实践与操作：在边AC上取点0,以0。为半径作。0,使得。。与相

切；（保留作图痕迹，不要求写作法）

（2）应用与计算：在（1）的条件下，若求经的值.

第6题图

7.（2024香洲区二模）如图，在△A5C中，ZABC=90°+ZA,以A5为直径

的交AC于D

（1）实践与操作：过点5作仍，A5,交AC于点E；（保留作图痕迹，不要求

写作法）

（2）应用与计算：在（1）的条件下，当BE=0A,5。=10时，求。石的长度.

第7题图

8.（2024佛山一模）综合与实践

数学活动课上，同学们用尺规作图法探究在菱形内部作一点到该菱形三个顶点的

距离相等.

【动手操作】如图，已知菱形A5C。，求作点E,使得点E到三个顶点A,D,C

的距离相等.小红同学设计如下作图步骤；

①连接BD-,

②分别以点4。为圆心，大于］。的长为半径分别在的上方与下方作弧；

上方两弧交于点下方两弧交于点N,作直线交于点E；

③连接AE,EC,则EA=E0=EC

(1)根据小红同学设计的尺规作图步骤，在图中完成作图过程.(保留作图痕迹，

不要求写作法).

【证明结论】

(2)证明：EA=ED=EC.

【拓展延伸】

(3)当NABC=72°时，求△与△的面积比.

1.解：(1)如解图，点。即为所求；

C

BEA

第1题解图

(2)如解图，在R3A5C中，ZACB=90°,AC=6,AB=1Q,

：.BC=8,

•/5。平分NABC,

：.ZCBD=ZABD,

VZC=90°=ZBED,BD=BD,

：.4BCDQABED(KAS),

：.CD=DE,BC=BE,

：.EA=BA-BE^BA~CB=2,

：.△ADE的周长=4。+。石+4石=4。+。。+4石=人。+人力=6+2=8.

2.解：（1）如解图①或解图②，点尸即为所求；（作法不唯一）

图①图②

第2题解图

(2Y：BF//AE,

：.ZBFC=ZEAC,

,?ZBFC=ZABE,

：.ZEAC=ZABE,

,?ZAEC=ZAEB,

:ABEs△CAE,

.BEAE.V33

••,••,

AECE3CE

解得CE=343,

:.BC=CE—BE=2®

3.(1)解：如解图①，ACDE即为所求作的三角形；(答案不唯一)

一题多解法

如解图②，ACDE即为所求作的三角形.

(2)证明：•.,△A5C为等边三角形，AZ)为边上的高,

：.ZB=ZACB=60°,BD=CD,

,/ACQE为等边三角形，

ZECD=60°,：.ZB=ZECD,

,?ZMDB=ZEDC,

：.△WD^ACED(ASA),

：.CE=BM.

4.(1)解：如解图①，线段50即为所求;

第4题解图①

(2)证明：如解图②，由题可得A0=C0,由旋转可得

•••四边形ABCD为平行四边形，

VZABC=90°,

J四边形A5CD为矩形.

第4题解图②

5.解：（1）如解图，菱形AE。尸即为所求（作法不唯一，合理即可）;

A

RDC

第5题解图

（2）如解图，设与石尸交于点0,

•「AZ）是NBAC的平分线，

1

:.AD1BC,BD=CD=-BC=4.

2

在R3A5。中，AD=JAB2-BD2=J102-42=2V21，

'：EF±AD,

J.EF//BC.

'：A0=0D,

：.E,尸分别为AB和AC的中点,

1

：.EF=/C=4,

2

S菱形4EO尸=10.石尸

6.解：（1）如解图①②，。。即为所求;

（2）如解图③，连接0。,

:。0与A5相切，

：.OD=OC,OD±AB,

VZABC=90°,

：.OD//BC,

.•.△ADOs△AB。，

.OD_A0_AO

''CBACAO+OC'

"：AO=BC,OD=OC,

.OD_OC_AO

,,BCAOAO+OC，

即AO2=OC1+OCAO,

.AO2OC2,OCAO

''AO2AO2AO2'

即1=(—)2+—,

VAOAO

设"=a,则l=q2+a,

OA

整理得〃+a—1=0,

解得。=等(负值已舍去),

.OCV5-1

••.

OA2

第6题解图③

7.解：(1)如解图，5E即为所求;

第7题解图

(2)如解图，连接0A

：AB±BE,

：.ZABE^90°,

VZABC=ZABE+ZEBC=90°+NA,

ZA=ZEBC,

'：zc=zc,

.*.△CBEs^CAB,

.CB_CE_BE_BE_1

''CACBAB20A2,

'：BC=10,

：.CE=5,CA=20,

：.AE^AC-CE=20~5=15,

•「A5是。0的直径，

ZADB=ZBDE=90°,

VZA+ZABD=90°,ZABD+ZDBE=90°,

ZA=ZDBE,

：.^ADB^ABDE,

.ABDBAD_

..—BE=—DE=—DB=2,

：.BD=2DE,AD=1BD=4DE,

1

：.DE=-AE=3.

5

8.(1)解：根据小红同学设计，完成作图过程如解图所示;

第8题解图

(2)证明：在菱形中，ZADE=ZCDE,AD=DC,

'：DE=DE,

：.△ADE咨ACDE(SAS),

：.AE^EC,

•「MN垂直平分A。，

:.AE=DE,

：.AE=DE=EC；

(3)解：•.•在菱形A5C。中，ZABC=72°,

：.ZABD=ZDBC=36°,

\'AD//BC,

：.ZADB=ZDBC=36°,ZDAB=180°-ZABC=108°.

•；AE=DE,

：.ZEAD=ZADB=36°,

：.ZEAD=ZABD=36°,

ZADE=ZBDA,

：.XADEsABDA,

§PAD2=BDDE.

BDAD

•：/BAE=/BAD—/EAD=72°,ZBEA=ZEAD+ZADE=72°,

：.NBAE=ZBEA,

:.BE=AB.

^AB=x=BE,。石=a(其中％,a>0),

则%2=(%+Q).Q,

.".x2—ax—a2=0