2025年中考数学专项复习：全等三角形（解析版）

专题14全等三角形

目录一览

知识目标（新课程标准提炼）

中考解密（分析考察方向，精准把握重难点）

重点考向（以真题为例，探究中考命题方向）

A考向一三角形的面积

A考向二三角形的内角和

A考向三全等三角形的判定与性质

A考向四全等三角形的应用

A考向五角平分线的性质与判定

A考向六线段的垂直平分线的性质

最新真题荟萃（精选最新典型真题，强化知识运用，优化解题技巧）

知识目标

1.理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角；

2.掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；

3.掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；

4.掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等；

5.证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等；

6.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.

工^中考解密

该板块内容重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，分值为10~15分，预

计2024年各地中考还将出现，并且在选择、填空题中考查三角形中位线、内外角性质、三角形三边关系

等知识点，这部分知识需要学生扎实地掌握基础，并且会灵活运用。在解答题中会出现三角形全等的判定

和性质，这部分知识主要考查基础。

重点考向

A考向一三角形的面积

1.（2022•桂林）如图，在△/比'中，Z5=22.5°,/C=45°,若4C=2,则△/比1的面积是（）

3啦

A.2B.1+&C.2&D.2+V2

【思路点拨】如图，过点/作于A,交BC千D,过点A作力于E,先证明是等腰直

角三角形，得/〃=/C=2,N4?C=45°,CD=®AC=2®,再证明4?=加，计算/£和8C的长，根

据三角形的面积公式可解答.

【规范解答】解：如图，过点/作于4交BC于D,过点力作/于反

.•.△/OC是等腰直角三角形，

：.AD=AC=2,ZADC=45°,CD=MAC=2近,

'：AADC=AB+ABAD,N8=22.5°,

:./DAB=22.3°,

：.ZB=ADAB,

：.AD=BD=2,

"：AD=AC,AELCD,

：.DE=CE,

:.AE=2CD=近,

...△力比1的面积=2X&X（2+2&）=2+&.

故选：D.

【真题点拨】本题考查的是勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，熟知掌握等腰三角形

的

性质是解本题的关键.

2.（2022•遂宁）如图，D、E、尸分别是△/回三边上的点，其中比'=8,笈边上的高为6,支DE〃BC,

则△瓦户面积的最大值为（)

A

【思路点拨】过点力作/此理于肌交应于点M则血U施，设AV=a,根据庞〃宛，证出

匹

XADEs丛ABC,根据相似三角形对应高的比等于相似比得到龙=3a,列出△瓦尸面积S的函数表达

式，根据配方法求最值即可.

【规范解答】解：如图，过点/作阂吐8c于弘交庞于点儿^ljANLDE,

设AN—a,

'：DE//BC,

:.NADE=/B,NAED=/C,

:.△ADEsXABC,

DEAN

.-.BC=AM,

DEa_

8=6,

j4

DE=3a,

2

，△瓦尸面积S=2XDEXMN

=2X3a・(6-a)

2_

=-3a+4a

2_

=-3(a-3)2+6,

.,.当a=3时，S有最大值，最大值为6.

故选：A.

【真题点拨】本题考查了三角形的面积，平行线的性质，列出△版面积S的函数表达式，根据配方

法求最值是解题的关键.

3.(2023•台州)如图，点C,。在线段46上(点。在点4。之间)，分别以/A8c为边向同侧作等边

三角形/龙与等边三角形侬边长分别为a,b,6F与应交于点〃，延长力区斯交于点G,阳长为

(1)若四边形的G的周长与△。狙的周长相等，则a,b,c之间的等量关系为5a+56=7c；

(2)若四边形旗用的面积与△。狙的面积相等，则a,b,。之间的等量关系为才+上=02.

【思路点拨】(1)由△/。£和△呼是等边三角形，可得放和△力8G是等边三角形，DE//BG,

CF//AG,即知比=/G-4£=c-a,GF=BG-BF=c-b,根据四边形旗FG的周长与△QW的周长相等，

有2[(c-a)+(c-6)]=3(ayb-c),故5a+56=7c；

(2)由S四边彩4^=三械-必际-四边形跳户G的面积与△CZW的面积相等，可得S△放=

V3V3V3

SABC"SAADE，即4/=4a+4t),从而可得@2+6，=(?.

【规范解答】解：(1)龙和△侬'是等边三角形，

:.NA=/ADE=NB=NBCF=6Q°,

.♦.△(W和△/加1是等边三角形，DE//BG,CF//AG,

：.四边形图%t是平行四边形，AB=AG=BG=c,CH=DH=CD=ADvBC-AB=a+b-c,

/.EG=AG-AE=c-a,GF=BG-BF=c-b,

:四边形斯7的周长与△仪羽的周长相等，

.,.2[(c-a)+Qc-b)]=3(a+6-c),

整理得：5a+56=7c,

故答案为：5a+5b=7c；

，

(2),:S四边羽1slm；=S△幽-S4ml-S4AB铲SASH四边形融%1的面积与△COZ/的面积相等，

SxABG~St\BCF_S&AB计SbCCH一必OW，

,,邑0朋一SABC#S4ABp

,：/\ABG,和△侬1是等边三角形,

V3V3V3

—+从

故答案为：

【真题点拨】本题考查等边三角形的性质及应用，解题的关键是用含a,b,c的代数式表示相关线段

的长度.

A考向二三角形的内角和

4.（2023•聊城）如图，分别过△加C的顶点4B忤AD〃BE.若/0〃=25。，NEBC=80°,则//%

【思路点拨】由平行线的性质可求//加得度数，再利用三角形的内角和定理可求解.

【规范解答】解：'：AD//BE,

:"ADC=NEBC=BQ°,

'：ZCAD^ZADaZACB^180°,ZCAD=25°,

：.ZACB=180°-25°-80°=75°,

故选：B.

【真题点拨】本题主要考查平行线的性质，三角形的内角和定理，掌握平行线的性质及三角形内角和

定理是解题的关键.

5.（2023•徐州）如图，在中，若DE〃BC,FG//AC,NBDE=12Q°,/"'6=115°,则NC=

55°.

【思路点拨】根据平行线的性质，三角形内角和定理进行计算即可.

【规范解答】W：'：DE//BC,/BDE=120°,

.,.Z5=180°-120°=60°,

'：FG//AC,NDFG=115°,

：.ZA=180°-115°=65°,

.•.ZC=180°-AB-ZA=55°,

故答案为：55.

【真题点拨】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质，三角形内角和定理是

正确解答的前提.

A考向三全等三角形的判定与性质

易笛易通

1.从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素

i（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边

I（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路.

!2.若题中没有全等的三角形，则可根据题中条件合理地添加辅助线，如运用作高法、倍长中线法、截长

I补短法、分解图形法等来解决运动、拼接、旋转等探究性题目.

£—一（而近；凉山丽5一面酉：一瓦一瓦一葭万春一诙工厂施二加「2岸一?Z「添笳竺不蔡祥；一示福症丽

【思路点拨】根据龙=〃求出母、=笫再根据全等三角形的判定定理进行分析即可.

【规范解答】解：•：BE=CF,

：.BE+EF=CF^EF,

即BF=CE,

二当乙时，利用幽S可得△AS隹△小£；故/不符合题意；

当//归=/庞。时，利用可得△48金△灰君，故6不符合题意；

当46=26'时，利用弘S可得△A6/匡故C不符合题意；

当力尸=庞时，无法证明△/!"丝△次况故，符合题意；

故选：D.

【真题点拨】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全

等三角形的判定定理有SIS,ASA,AAS,SSS,两直角三角形全等还有也等.

7.（2023•呼和浩特）如图，在RtZXZB。中，ZABC=90°,AB=BQAC=4料，点尸为边上的中点，

力/交48的延长线于点忆交比的延长线于点儿且冏〃_凡若8"=1,则△加的面积为（）

M

鼻

V

13

A.13B.713C.8D.2

【思路点拨】依据题意，连接第，然后先证明△即必△CW,仄而CN=BP=\,又由等腰RtZVl回可

得6C=4,从而在Rt△例邮中可以求得W,又MP=NP,从而可得仞V的值，进而可以得解.

【规范解答】解：如图连接6R

M

11

C.BPLAC,/CBP=/ABP=2/ABC=45。,ZBCA=45°,BP=CP^2AC=242.

：.ZMBP=ZNCP=180a-45°=135°.

'：BPVAC,PMVPN,

:"BPg/MPC=QQ°,/CPN^NMPC=90°.

:"BPM=/CPN.

又BP=CP,4MBP=4NCP,

：./\BMP^/\CNP(ASA).

:.BM=CN=\,MP=NP.

在RtZ\6PC中，8C=-BP2Kp2=生

...在RtZXJW中，W=VBM2+BN2=Vl2+52=V26.

又在Rt△仞卯中，MP=NP,

：.MP+NP=Mff.

:.MP=NP=4^i.

213

丽=2Mp'NP=2.

故选：D.

【真题点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解题时要熟练掌握

并灵活运用是关键.

8.(2022•泰安)如图，平行四边形4比7?的对角线4C,初相交于点。，点6为%的中点，连接加并延

长交力。于点凡/ABC=60°,BC=2AB.下列结论：①/员L/C；②AD=4OE；③四边形/灰广是菱形；

1

A.4B.3C.2D.1

【思路点拨】通过判定为等边三角形求得/幽£=60°,利用等腰三角形的性质求得N&C=

30。，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性质和含30°

直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④.

【规范解答】解：♦.•点£为笈的中点，

:.BC=2BE=2CE,

又<BC=2AB,

:.AB=BE,

\'ZABC=e>0a,

应是等边三角形，

：./BAE=NBEA=6Q°,

.•./&「=/£(%=30°,

AZBAC=ZBAE+ZBAC=90°,

即力反L47,故①正确；

在平行四边形A5a?中，AD//BC,AD=BC,AO=CO,

:./CAD=/ACB,

在/和△口组中，

,ZCAD=ZACB

<0A=0C

ZA0F=ZC0E,

：./\AOF^/\COE(ASA),

：.AF=CE,

四边形力反犷是平行四边形，

又〃8，阳点£为8c的中点，

：.AE=CE,

平行四边形力触是菱形，故③正确；

C.ACLEF,

在Rt△侬中，//。=30。，

211

/.OE=2CE=&BC=4M故②正确；

在平行四边形/"/中，OA=OC,

又：点£为8c的中点，

2S4m：=4SAABC,故④正确；

正确的结论由4个，

故选：A.

【真题点拨】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，含30°的

直角三角形的性质，掌握菱形的判定是解题关键.

7.(2022•大庆)如图，正方形切中，点£,尸分别是边6c上的两个动点，且正方形的周长

是△颂周长的2倍.连接庞，加分别与对角线/。交于点〃，N,给出如下几个结论：①若/£=2,CF

MN

=3,则斯=4；②/EFNv/EMN=\80°；③若/〃=2,CN=3,贝!］仞V=4；④若AM=2,BE=3,则所

=4.其中正确结论的序号为②.

【思路点拨】根据已知条件可得厮=力分笈，即可判断①，进而推出N友户=45°,判断②正确，作

2G_L厮于点G,连接掰GN,证明△6W是直角三角形，结合勾股定理验证③，证明/出

30°,即可判断④.

【规范解答】解：•.•正方形四"的周长是△颂周长的2倍，

：.BE+BF+EF=AB^BC,

：.EF=AE+FC,

若力£=2,CF=3,则仔'=2+3=5,故①错误;

如图，在掰的延长线上取点〃，使得A//=CF,

在正方形48缪中，AD=CD,ZHAD=AFCD=^°,

在△4®和△&叨中，

'AD=CD

,ZHAD=ZFCD

LAH=CF,

:.△AHD^^CFD(SAS),

:"CDF=NADH,HD^DF,NH=NDFC,

又'：EF=AE+CF,

:.EF=AE+AH=EH,

在△ZW和△庞广中,

'DH=DF

，DE=DE

LEH=EF,

:.△DEgXDEF(SSS),

：.ZHDE=ZFDE,/H=4EFD,/HED=/FED,

'：ACDFrAADF=4ADfh/ADF=/HDF=9Q°

:.NEDF=NHDE=43°,

,：2H=4DFC=2DFE,NEMN=N成功NEAM=45°+ZDEF,

:"EFN^/EMN=/DFC—+NDEF=/DFE+/EDF+/DEF=\8Q°,

则/跖VbN£W=180°,故②正确；

如图，作DGLEF于点、G,连接GM,GN,

A...................................................D

在△/即和△颂中，

，ZDAE=ZDGE

•ZAED=ZGED

LDE=DE,

:.丛AED^4GED(AAS),

同理，△GDF^XCDF(/AS),

：.AG=DG=CF,/ADE=/GDE,AGDF=ACDF,

...点4G关于应对称轴，C,G关于如对称，

AGM=AM,GN=CN,NEGM=NEAM=45°,4NGF=4NCF=蜴

:./MGN=9Q°,即△6W是直角三角形，

若AI/=2,CN=3,

:.GM=2,GN=3,

在RtafiW中，W=VGM2-+<}N2=5/13,故③错误；

MN

,:MG=AM,且AM=2,BEK

MGAMJ_

在RtZS6W中，sln/MNG=MN=MN=2,

：.ZMNG=30°,

Y/EFNy/EMN=\80°,/EMNy/AME=\80°,

宣/CFN=/EFN,

:./AME=/CFN,

：.2ZAME=2ZCFN,

即NWN6FG,

：.ZGMN=ZBFEf

：.ZBEF=ZMNG=30°,

BEa

/.COSZ^F=ZCOSZTW7=EF=2,

.•.跖=2%,故④错误，

综上，正确结论的序号为②，

故答案为：②.

【真题点拨】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，

题目有一定综合性，通过添加辅助线构造全等三角形是解题关键.

A考向四全等三角形的应用

：廨窥拉访易错嵬直

|一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化

|为三角形中的边角关系是关键.

羡—，丽亚•扬丽丁如画「不丽蒙面舌蒙其西二英三函舷茯的破翥豕丁「需萋重薪前二英「丁明逋过电至若

玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△/次7,提供下列各组元素的数据，配出来

的玻璃不一定符合要求的是（）

A.AB,BC,CAB.AB,BC,/BC.AB,AC,/BD.Z&BC

【思路点拨】直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案.

【规范解答】解：A.利用三角形三边对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题

忌；

B.利用三角形两边、且夹角对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；

C.AB,AC,ZB,无法确定三角形的形状，故此选项符合题意；

D.根据/B,BC,三角形形状确定，故此选项不合题意；

故选：C.

【真题点拨】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键.

9.(2023•雄县一模)为测量一池塘两端46之间的距离，两位同学分别设计了以下两种不同的方案.

方案I：如图，先在平地

上取一个可以直接到达点46的点。，连接力。并延长到点G连接6。并延长到点。，并使8=4。，00=

BO,连接。C,最后测出火的长即可；

方案H：如图，先确定直线/反过点8作直线龙，/昆在直线龙上找可以直接到达点/的一点〃连接

DA,炸DC=DA,交直线居于点C,最后测量笈的长即可.

下列说法正确的是()

A.I,II都不可行B.I,II都可行

C.I可行，II不可行D.I不可行，II可行

【思路点拨】根据全等三角形的判定方法和等腰三角形三线合一性质求解即可.

【规范解答】解：方案I：：例=/0,DO=BO,AAOB=ACOD,

:AAO给XCOD(SAS),

:.AB=CD,

/.I可行；

方案H：'：DC-DA,

...△力必是等腰三角形，

:BELAB,

：.AB=BC,

，H可行，

综上所述，I,n都可行.

故选：B.

【真题点拨】此题考查了全等三角形的判定方法和等腰三角形三线合一性质，熟练掌握以上知识点是

解题的关键.

10.(2022•百色)校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画

如图的四边形/犯9,其中/8=纱=2米，49=%=3米，Z5=30°.

(1)求证：XABC^XCDA；

(2)求草坪造型的面积.

I)

B

【思路点拨】（1）利用全等三角形的判定方法，结合三边关系得出答案;

（2）直接利用全等三角形的性质以及直角三角形中30度所对边与斜边的关系的得出对应边长，进而

得出答案.

【规范解答】（1）证明：在△/8C和△物中,

AB=DC

AC=AC

BC=DA,

△力8修△物（SSS）；

（2）解：过点/作/于点笈

；力8=2米，N8=30°,

：.AE=1米，

SAABC=2X3X1=2（平方米）,

3_

则s△加=2（平方米）,

3_

草坪造型的面积为：2x5=3（平方米）.

【真题点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及全等三角形的应用，正确掌握全等三角形

的判定方法是解题关键.

A考向五角平分线的性质与判定

11.（2022•鄂尔多斯）如图，ZAOE=15°,必平分//勿，DE〃OB交.OA千点、D,ECLOB,垂足为C.若

EC=2,则①的长为（）

A.2B.26C.4D.4+273

【思路点拨】过点£作刖勿于点〃，根据角平分线的性质可得"=%，再根据平行线的性质可得

//庞的度数，再根据含30°角的直角三角形的性质可得应的长度，再证明勿=应，即可求出办的

长.

【规范解答】解：过点£作傲1刃于点〃，如图所示:

•：0E平分/AOB,ECJLOB,

：.EH=EC,

9：ZA0E=15°,0E①分4AOB,

：.ZAOC=2ZAOE=^0°,

■:DE//OB,

：.ZADE=3t0°,

:・DE=2HE=2EC,

♦：EC=2,

:.DE=4,

•・•//庞=30°,ZAOE=15°,

：.ZDEO=15°,

:./AOE=/DEO,

：.OD=DE=4,

故选：C.

【真题点拨】本题考查了角平分线的性质，含30。角的直角三角形的性质，平行线的性质等，熟练掌

握这些性质是解题的关键.

12.（2022•北京）如图，在△46C中，AD平分/BAC,DEVAB.若/C=2,DE=\,则S“=1.

【思路点拨】过2点作如L/C于〃点，如图，根据角平分线的性质得到班'=%/=1,然后根据三角形

面积公式计算.

【规范解答】解：过2点作加于〃点，如图，

•.•"平分/物GDELAB,DHLAC,

:*DE=DH=\,

工

S»AC产2X2X1=1.

故答案为：1.

A

【真题点拨】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

13.(2023•绵阳)如图，在。。中，点4B,C,2为圆周的四等分点，/£为切线，连接并延长交

。。于点户，连接囱'交〃于点G.

(1)求证：平分

(2)求证：4AD厘LABG；

(3)若49=3,AG=3GC,求cos/CBF的值.

【思路点拨】(1)利用圆周四等分点得到/胡C=/加。=/力0=45°,再根据切线的性质得到/

=90°,所以N%£=45°,从而可判断4?平分/Q£；

(2)根据圆内接四边形的性质证明//龙=//即，则可利用“&1S”判断隹△48G；

(3)过G点、GHLBC于H点,如图，先利用△4!四得至I」4G=HE=3,所以CG=1,4C=4,再根

近3点

据圆周角定理得到/应彳=90。，则可计算出6c=2点,接着5=曲=工，所以胡=2,然后利

用勾股定理计算出BG=45,于是根据余弦的定义可计算出cos/烟'的值.

【规范解答】(1)证明：•••点4B,C,〃为圆周的四等分点，

CD=CB,然为直径，

:./BAC=/DAC=/ACB=45°,

:3£为切线，

：.ACLAE,

；./Q£=90°,

：.ZDAE=45°,

(2)证明：；//8a/4。尸=180°,ZADE+ZADF=180°,

NADE=NABF,

在△/庞和△4?G中，

，ZADE=ZABG

<AD=AB

1ZDAE=ZBAG,

二△AD-XABG(SAS)；

(3)解：过G点GHLBC于H点、,如图，

■：△ADE^XABG,

；"G=/£=3,

：.AG=^CG,

：.CG=1,AC=4,

为直径，

：.ZABC^90°,

'：ZACB=45°,

近

:.BC=2AC=2版,

近V2

在RtZXC掰中，CH=GH=2CG=2,

M3a

：.BH=BC-CH=2®-2=2,

在RtZ\6阳中，即具GH?+BR2J(^~)+吟)=返

啦_

BH23技

cosAHBG=BG=V5=10,

即cosN烟1的值为10.

【真题点拨】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.也考查了全等

三角形的判定与性质、圆周角定理、切线的性质和解直角三角形.

A考向六线段的垂直平分线的性质

14.（2022•湖北）如图，在矩形/题中，AB<BC,连接4G分别以点4。为圆心，大于2/C的长为半

径画弧，两弧交于点弘N,直线就分别交/ABC于■点、E,F.下列结论：

①四边形/瓦尸是菱形；

②/AFB=2/ACB；

③AOEF=CF，CD；

④若"■平分/胡C,则CF=286.

A.4B.3C.2D.1

【思路点拨】根据题意分别证明各个结论来判断即可.

【规范解答】解：根据题意知，斯垂直平分4G

在△/。£和4口户中，

，ZEAO=ZFCO

,AO=CO

o

lZA0E=ZC0F=90,

：./\AOE^/\COF(ASA),

0E=OF,

:.AE=AF=CF=CE,

即四边形力反尸是菱形，

故①结论正确；

■:/AFB=/FA8/ACB,AF=FC,

：.AFAO=AACB,

:.NAFB=2NACB,

故②结论正确；

SB„AECF=CF-CD=2AC-0EX2=2AC'EF,

故③结论不正确；

2X

若"'平分/胡G则/胡尸=/用。=/。。=390=30°,

:.AF=2BF,

■:CF=AF,

：.CF=2BF,

故④结论正确；

故选：B.

【真题点拨】本题主要考查长方形的综合题，熟练掌握长方形的性质，基本作图，菱形的判定和性

质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键.

15.（2022•青海）如图，在RtzXAgC中，NABC=90°,砂是4C的垂直平分线，交〃1于点。，交笈于

点反/BAE=10°,则NC的度数是40。.

【思路点拨】根据线段垂直平分线的性质可得/£=£G从而可得NE4C=NC,然后利用三角形内角和

定理可得/应1。/。=80°,进行计算即可解答.

【规范解答】解：..•初是力。的垂直平分线，

：.AE=EC,

：.ZEAC=AC,

'：ZABC=90°,ZBAE=10°,

：.ZEAC+ZC=180°-ZBAE-ZABC=80°,

：.ZEAC=ZC=40°,

故答案为：40。.

【真题点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键.

最新真题言萃

1.（2023•北京）如图，点4B,C在同一条直线上，点6在点4。之间，点。£在直线4C同侧，AB

<BC,N/=/C=90。，丛EA时丛BCD,连接庞.设/6=a,BC=b,DE=c,给出下面三个结论:

@a+b<c；

②a+6>"a2+b2；

③(a+b)>c.

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【思路点拨】①根据直角三角形的斜边大于任一直角边即可；

②在三角形中，两边之和大于第三边，据此可解答；

③将c用a和6表示出来，再进行比较.

【规范解答】解：①过点。作DF//AC,交/£于点F；过点8作BG1FD,交口于点G.

'：DF//AC,ACLAE,

：.DFLAE.

又,：BGLFD,

：.BG//AE,

，四边形力灰下为矩形.

同理可得，四边形腼G也为矩形.

：.FD^FG+GD^a+b.

...在Rt△跖9中，斜边c>直角边a+6.

故①正确.

②•：丛EAg£\BCD,

:.AE=BC=b,

.•.在中，施=“52+AE2=Va2+b2.

*：AB+AE>BE,

22

.•.a+Z；>Va+b.

故②正确.

③Y△EABeXBCD,

:・/AEB=/CBD,

又*：/AEB+/ABE=90°,

：./CB»/ABE=9G0,

:・/EBD=9U。.

■:BE=BD,

:./BED=/BDE=45°,

I92---

:.BE=7软+b=c*sin45°=2c.

22

...c=V27a+b.

[V2(a+b)]2=2(3+2*+疗)=2(a+62)+4ab>2(a+Z?2),

.­.V2(a+b)>V2(a2+b2),

:.圾(a+b)>c.

故③正确.

故选：D.

【真题点拨】本题考查全等三角形的性质.虽然是选择题，但计算量不小，比较繁琐，需要细心、耐

心.

2.（2022•西宁）如图，NMON=60：以点。为圆心，适当长为半径画弧，交加于点4交.ON干点、B；

分别以点46为圆心，大于2/6的长为半径画弧，两弧在/匐V的内部相交于点尸，画射线8；连接

AB,AP,BP,过点尸作跳工加于点£,PF1ON于点、F.则以下结论错误的是（）

A.△/如是等边三角形B.PE=PF

C.△PAE^XPBFD.四边形物必是菱形

【思路点拨】利用等边三角形的判定，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，和菱形的判定定

理对每个选项进行逐一判断即可得出结论.

【规范解答】解：•.•以点。为圆心，适当长为半径画弧，交。/于点4交融于点8,

：.OA=OB,

■:/MON=60°,

勿是等边三角形，

的结论正确，不符合题意；

2

:分别以点46为圆心，大于2/8的长为半径画弧，两弧在/施加的内部相交于点尸，

：.PA=PB,

在和△口叼中，

'0A=0B

-0P=0P

PA=PB,

:.△OPA9AOPB«SSS）,

:.NPOA=/POB.

"：PEVOM,PFVON,

:.PE=PF.

的结论正确，不符合题意；

■:PELOM,PFVON,

:.NPEA=NPFB=9Q°.

在Rt△川£和RtZXW中，

fPA=PB

IPE=PF,

，RtAR4&Rt△曲（HL）.

.•.C的结论正确，不符合题意；

由作图过程可知：如与阳不一定相等，

...四边形/阳是菱形不成立，

的结论错误，符合题意，

故选：D.

【真题点拨】本题主要考查了等边三角形的判定，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，基本

作图和菱形的判定定理，利用基本作图的过程得出线段相等的条件是解题的关键.

3.（2021•陕西）如图，AB、BC、CD、班'是四根长度均为5aB的火柴棒，点/、C、£共线.若AC=6cm,

CDLBC,则线段"的长度是（）

【思路点拨】过8作9M于〃，过2作加U位于从由等腰三角形的性质得到加仁。7=3,CN=

EN,根据全等三角形判定证得△颇丝△加,得到超=GV,在Rt△加渺中，根据勾股定理求出

4,进而求出.

【规范解答】解：由题意知，AB=BC=CD=DE=5cm,AC=6cm,

过6作做L/C于〃，过。作如£位于从

12

则/酬C=/CW=90°,AM=CM=2AC=2X6=3,CN=EN,

'：CDLBC,

:.NBCD=9Q°,

:/BCg/CBM=NBCmNDCN=9Q°,

:"CBM=NDCN,

在和中，

，ZCBM=ZDCN

<ZBMC=ZCND

LBC=DC,

:.△BCM^ACDN(AAS),

：.BM=CN,

在中，

*.*BC=5cm,CM=3cm,

2222(cm),

.-.W=VBC-CM=V5-3=4

CN=4cm,

:.CE=2CN=2X4=8(cm),

故选：D.

【真题点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，正确作出辅

助线，证得△比侬△CW是解决问题的关键.

4.（2023•青龙县三模）要得知某一池塘两端48的距离，发现其无法直接测量，两同学提供了如下间

接测量方案.

方案I：如图1,先过点8作物工48再在班'上取G。两点，度BC=CD,接着过点。作劭的垂线

DE,交/C的延长线于点£,则测量座的长即可；

方案H：如图2,过点6作物，四，再由点〃观测，用测角仪在的延长线上取一点G使NBDC=

Z

BDA,则测量笈的长即可.

C.方案I和H都可行D.方案I和II都不可行

【思路点拨】在两个图中分别根据全等三角形的判定方法证明三角形全等，再根据全等三角形的性质

即可得证.

【规范解答】W：'：ABVBF,

：.ZABC=90°,

,：DEVBF,

:.NEDC=9Q°,

在△45C和△&e中,

，ZABC=ZEDC

<BC=CD

ZACB=ZECD,

:.△ABgAEDC(ASA),

：.AB=ED,

故方案I可行；

"JBDLAB,

：.ZABD=ACBD,

在△力劭和△a切中，

，ZABD=ZCBD

<BD=BD

ZBDA=ZBDC,

:.△ABD^XCBD(ASA),

：.AB=BC,

故方案n可行；

综上可知，方案i和n都可行，

故选：c.

【真题点拨】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.

工

5.(2022•宜昌)如图，在△/8C中，分别以点6和点。为圆心，大于26c长为半径画弧，两弧相交于点

M,期作直线筋，交〃于点2,交比■于点£,连接敬若AB=7,AC=12,BC=6,则△/劭的周长

【思路点拨】根据题意可知可垂直平分BC,即可得到DB=DC,然后即可得到A孙BIKAD=AB+DC+AD=

A8+AC,从而可以求得△45®的周长.

【规范解答】解：由题意可得，

仞V垂直平分BC,

：.DB=DC,

"：丛ABD的周长是A&rBD^AD,

：.AB+B*AD=A&rDC+AD=AB+AC,

•：AB=7,AC=12,

：.AB+AC=19,

...△力劭的周长是19,

故选：C.

【真题点拨】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的周长，解答本题的关键是明确题意，利用数

形结合的思想解答.

6.(2023•辽宁)如图，线段48=8,点C是线段46上的动点，将线段8c绕点8顺时针旋转120°得到

线段初，连接切，在熊的上方作使/旌=90°,NE=30°,点尸为龙的中点，连接

AF,当〃■最小时，△比»的面积为

【思路点拨】连接5证明aF为直角三角形，根据勾股定理列出游=^+/虑没BC=x,贝!JM=8

-x,建立关于x的二次函数关系式，求出x=2时，4c'最小，再求出顶角是120°的三角形8G9的面

积即

可.

【规范解答】解:连接CF,则CF=DF=EF,

</EDC=9Q°-N£=60°,

：.ZFCD=60°.

,?ZDCB=2(180°-120°)=30°,

:/FCB=/FC9NDCB=6Q°+30°=90°,

是直角三角形.

设BC=x,则/C=8-x,BC—BD—x,CD—CF—'^3x,由勾股定理得：

VAC2+FC2=V(8-X)2+(V3X)2=2V(X-2)2+12.

当x=2时，/尸有最小值.

:.BC=Bg2,NCBD=12Q°,

­•S^CD=2X2X2X2=V3.

【真题点拨】本题考查了旋转背景下的二次函数最值问题，顶角为120。的等腰三角形面积的计算,

建立二次函数关系式是本题的突破口.

7.（2022•宜宾）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边

a、6、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幕并大斜幕减中斜幕，余半之，自乘于上，以小斜嘉乘大

斜幕减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即为S=

2a2-（£2+，=2）2；

V42J.现有周长为18的三角形的三边长满足a：b；c=4；3：2,则用以

上给出的公式求得这个三角形的面积为

【思路点拨】根据题意先求出a、6、c,再代入公式进行计算即可.

【规范解答】解：根据a：b：。=4：3：2,设a=4kfb=3k,c=2k,

贝！J44+3A+2A=18,

解得：k=2,

.•.a=4左=4X2=8,5=34=3X2=6,c=2A=2X2=4,

片又82一（弓心1）2、出x[16X64-484]=3后

故答案为：3（7元.

【真题点拨】本题考查了二次根式的运算，要注意运算顺序，解答的关键是对相应的运算法则的熟练

掌握.

8.（2023•成都）如图，已知修△瓦尸，点6,E,C,6依次在同一条直线上.若BC=8,CE=5,则

CF的长为3.

【思路点拨】根据全等三角形的对应边相等得到斯=打。=8,计算即可.

【规范解答】解：•：/XAB&4DEF,

：.BC=EF,

又BC=8,

：.EF=8,

'：EC=5,

：.CF=EF-EC=8-5=3.

故答案为：3.

【真题点拨】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角

相等是解题的关键.

9.（2023•重庆）如图，在RtZ\/回中，/的C=90°,AB=AC,点,D为BC上一点.,连接过点8作

BELAD于点、E,过点。作阻4?交加的延长线于点F.若BE=4,CF=\,则项的长度为3.

E

D

B

F

【思路点拨】先证明az应必△。尸（ZZS）,根据全等三角形的性质可得2尸=龙=4,AE=CF=1,进

一步可得第的长.

【规范解答】解：:皿"，CFLAD,

：.ZBEA=ZAFC=90°,

：.ZBAE+ZABE=90°,

9：ZBAC=90°,

：.ZBAE+ZFAC=^O°,

：.ZFAC=ZABE,

在△/庞和△。/中，

<ZBEA=ZAFC

<ZABE=ZFAC

AB=AC,

：.AABE^/\CAF（AAS）,

:.AF=BE,AE=CF,

•:BEKCF=3

:.AF=BE=4,AE=CF=3

:,EF=AF-AF=4-1=3,

故答案为：3.

【真题点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的

判定方法是解题的关键.

10.（2022•深圳）已知△/a1是直角三角形，ZABC=90°,AB=3,BC=5,AE=2而,连接废，以"

为底作直角三角形侬，豆CD=DE.F是四边上的一点，连接协和阳，且/物=45°,则/尸长为

375

4.

【思路点拨】将线段初绕点。顺时针旋转90°,得到线段如，连接掰，利用S4S证明

△劭侬△以力，得EH=CB=5,ZBGH=ZBDH=9Q°,从而得出血'〃47〃48,则△力物功△功尸，即可

解决问题.

【规范解答】解：将线段即绕点2顺时针旋转90°,得到线段如，连接BH,延长庞交比1于G,

/.48加是等腰直角三角形,

班》=45°,

•:/FBD=45°,

...点8、F、〃共线，

又：△瓦心是等腰直角三角形，

C.HD^BD,NEDH=4CDB,EgCD,

白△C05(%S),

:.EH=CB=3,NDHE=/CBD,

:"BGH=/BDH=9Q°,

：.HE//AB,

:.△ABFsXEHF,

AB_AF二AF

.•.EH"EF=AE-AF,

<AE=2近,

3二AF

5~2V5-AF,

3遥

：.AF=4,

故答案为：T^.

【真题点拨】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定

与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键.

11.（2023