2025年中考数学总复习 平行四边形与多边形 学案（含答案）

微专题24平行四边形与多边形

考点精讲

1.平行四边形的性质与判定（6年7考）

（1）定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形

⑵平行四边形的性质

边两组对边分别平行，两组对边分别①——

角两组对角分别②______

对称是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点（北师独

性有）

⑶平行四边的判定

1.两组对边分别④的四边形是平行四边形（定义）;

边2.两组对边分别⑤的四边形是平行四边形;

3.一组对边⑥的四边形是平行四边形

角两组对角分别⑦的四边形是平行四边形（人教独有）

对角线对角线⑧的四边形是平行四边形

2.平行四边形面积

面积计算公式：S=a/z（a表示一条边长，用表示此边上的高）.

【拓展知识】

①每条对角线将平行四边形分成两个全等的三角形；

②平行四边形中的面积关系：

/\S,^^7

Si=82=53=84

Si=82

（源于人教八下P51习题）

Si+83=82+54

S1S=S2,S4

（源于北师八下P158习题）

3.多边形（6年2考）

⑴概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形

（2）多边形的性质（八23,〃为整数）

内角和定理八边形的内角和尊手⑨

外角和定理任意多边形的外角和等于⑩

牙“边形二个顶点可引但一3）条对角线，把这个n边形分成（八一2）

对角线

一个三角形，〃边形共有也三条对角线

【温馨提示】〃（八＞3）边形具有不稳定性

(3)正多边形的性质伽23,〃为整数)

边正〃边形各条边⑪

内角各个内角相等，正几边形的每个内角为⑫_____

外角各个外角相等，正〃边形的每个外角为⑬_____

练考点

1.如图，在QABCQ中，对角线AC,相交于点。

AD

第1题图

⑴若/BCD—NAZ)C=60°,则NA/?C=0；

(2)若口的周长为42,AB：BC=3：4,则A5=,AD=；

(3)若AC+3D=26,AB=U,则△OCQ的周长为.

2.如图，在四边形ABCD中，AD//BC,AC,BD交于点、O,再添加一个条件，

不一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是()

A.AD=BCB.AB//CD

C.AB=CDD.OA=OC

R—a‘

/

第2题图

3.如图，在口A5CQ中，对角线AC,8。相交于点0,线段取过点0,分别交

AB,CD于点E,E阴影部分的面积之和为10,贝gABCQ的面积为()

第3题图

A.16B.18

4.九边形的内角和为.

5.若正多边形的一个内角是120。，则这个正多边形的边数为.

高频考点

考点1与平行四边形性质有关的证明及计算(6年4考)

例1已知在口ABC。中，AB>AD,E是AB边上一点，连接。E

(1)核心设问如图①，若。EJ_ABAB=6,AD=2V2,ZC=45°,求5E的长;

[2023广东19⑴题考查]

例1题图①

(2)核心设问如图②，连接CE,若CE平分/BCD,AE=3,EB=5,DE=A.[2021

广东16题考查]

①求证：ZDEA=90°；

②求CE的长；

例1题图②

(3)如图③，连接CE,若E是的中点，ZCED=90°,DE=4,且遮,

BC

求四边形5CDE的面积；

例1题图③

(4)如图④，若。E平分NA。。交A5于点E,A/平分ND45交。。于点尸，过点

E作石。的垂线交。。于点G.求证：FG=BC.

DFCC

7\/

//

/

4£H

例1题图④

考点2平行四边形的判定

例2(北师八下习题改编)如图，在四边形ABC。中，连接AC,分别过点5,D

作AC的垂线，垂足为E,F.

(1)如图①，若四边形A5co是平行四边形，分别延长5E,DF,交A。于点G,

交BC于点H,求证：四边形5GQ"是平行四边形；

4cD

rIi/r-7/\I

RHC

例2题图①

(2)如图②，连接。E,BF,若BE=DF,AF=CE.

①求证：四边形A5CD是平行四边形；

例2题图②

②求证：四边形5EQ尸是平行四边形;

变式1（2024佛山二模）如图，点E是口ABC。边AZ）延长线上一点，连接5E,

CE,BD,BE与CD交于点F,添加以下条件，不能判定四边形为平行四

边形的是（）

A.DE=DAB.ZABD=ZDCEC.EF=FBD.ZDEB=ZBCD

变式1题图

考点3多边形（6年2考）

例3如图①是一个八角亭，亭子的八个立柱在地面上围出了一个正八边形结

构，如图②，若从其中一个顶点出发，分别连接这个顶点与其他顶点，该多边形

被分成的三角形个数为（）

sr图2

例3题图

A.5B.6C.8D.16

变式2（人教八下习题改编）如图是一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中

一边与对角线的夹角NAC5=15°,算出这个正多边形的边数是（）

A.9B,10C.11D.12

变式2题图

变式3（2024佛山模拟）如图，在正五边形A5CDE中，N5CQ的平分线交AE

于点F,连接CE,则NEC尸的度数为（）

«\///d

\/，/

\“//

rh

变式3题图

A.15°B,18°C,36°D.54°

真题及变式

命题点1与平行四边形性质有关的计算（6年7考）

1.（2022广东8题3分）如图，在口A5CZ）中，一定正确的是（）

A.AD=CDB.AC^BDC.AB=CDD.CD=BC

第1题图

2.（2021广东16题4分）如图，在口A5CD中，AD=5,45=12,sinA=：.过点。

作DELAB,垂足为E,则sinZBCE=.

第2题图

变式

2.1变条件——将边的高线变为角平分线

如图，在口A5C。中，AZ）=8,ZA=60°，CE平分/BCD交AB于点E,连接

DE.若BE=2AE,则DE的长为.

变式2.1题图

拓展训练

3.（2024枣庄）如图，点E为口A5co的对角线AC上一点，AC=5,CE=1,连接

DE并延长至点尸，使得EF=DE,连接则5尸为（）

第3题图

57

A.-B.3C,-D.4

22

命题点2多边形（6年2考）

4.（2020广东4题3分•人教八上习题改编）若一个多边形的内角和是540°,则该

多边形的边数为（）

A.4B.5C.6D.7

变式

4.1变条件——结合内外角的倍数关系

若一个正多边形的内角和是外角和的3倍，则这个正多边形的边数为.

拓展训练

5.（2023陕西）如图，正八边形的边长为2,对角线A5,相交于点E,则线段

BE的长为

©

I)

第5题图

新考法

6.［综合与实践］(2024达州改编)

【主题】在学习特殊的平行四边形时，我们发现正方形的对角线等于边长的鱼倍,

某数学兴趣小组以此为方向对菱形的对角线和边长的数量关系进行探究.

【探究发现】步骤具体如下：

如图①，•.•四边形ABCD是菱形，

：.AC±BD,AO=CO,BO=DO.

：.AB2=AO2+BO2.

又•.•AC=2AO,BD=2BO,

：.AB2=+.

化简整理得AG+5Z)2=.

【猜想与探究】

⑴补全【探究发现】中的步骤；

⑵如图②，若四边形ABC。是平行四边形，请说明边长与对角线的数量关系.

考点精讲

①相等②相等③平分④平行⑤相等⑥平行且相等⑦相等⑧互相

平分⑨(八一2)X180°

⑩360。须目等邺-2尸80。喏

练考点

1.(1)60；(2)9,12；(3)24

2.C

3.C【解析】.四边形A8CD是平行四边形，.,.SABOC,SABOE=SADOF,

SAFOC=S&AOE，•,.SnABCD=2(SAAOD+SXBOE+SACOF)=2X10=20.

4.1260°

5.6【解析】设所求正多边形边数为小则120°-n=(«-2)-180°,解得八=6.

高频考点

例1(1)解：•.•四边形ABC。是平行四边形，

ZA=ZC=45°.

DELAB,

.•.在R34E。中，ZAED=90°,ZA=45°,

：.AE^ADcosA=2V2X—=2,

2

J5E=AB—AE=6—2=4；

(2)①证明：，；CE平分/BCD,

：./BCE=ZDCE,

•••四边形ABCD是平行四边形，

：.AD=BC,AB//CD,

：.ZBEC=ZDCE,

：.ZBEC=ZBCE,

：.BC=BE=5,

：.AD^5,

'：AE=3,DE=4,32+42=52,

：.AEr+DE^=AD2,

...△ADE是直角三角形，且NQE4=90°；

②解：由(1)可知，ZDEA=90°,

二•四边形ABCD是平行四边形，

：.AB=CD,AB//CD,

：.ZCDE=ZDEA=90°,CD=AB=AE+EB=3+5=S,

在中，由勾股定理得CE=JD£2+CD2=.+82=4底

.••CE的长为4V5；

(3)解：如解图，取CD的中点尸，连接所，过点石作CD,垂足为

•:E,尸分别是ABCD的中点，四边形A5CD为平行四边形，

C.BE//CF,BE=CF,即四边形5CFE为平行四边形.

又•；NCED=90°,尸为CD的中点，

1

：.EF=-CD=CF.

2

J四边形BCFE为菱形.

1

：.BC=CF=-CD.

2

：

.CE^V3BC=—2CD,

.CFV3

••CD2,

：.ZCDE=60°,ZECD=30°,

"：DE=4,

：.CD=2DE=8,EH=DEsin60°=4Xy=2V3.

11

：.BE=-AB=-CD=4

229

••S四边形=5(BE+CD)-EH=X(8+4)X2V3=12V3；

ARF

例1题解图

(4)证明：•.•四边形A5C。是平行四边形，

：.DC//AB,DA=BC,

：.ZADC+ZDAB=180°,

•二。石平分NA。。，AF平分/DAB,

11

ZADE=-ZADC,ZDAF=-ZDAB,

22

.*.ZDAF+ZADE=90°,

：.DE±AF,

DELEG,

：.AF//EG,

：.四边形AEGF是平行四边形，

：.FG=AE,

'：DC//AB,

：./CDE=ZAED,

•「DE平分NA。。，

ZCDE=ZADE,

：.ZADE=ZAED,

：.DA=AE,

：.FG=BC.

例2证明：(1)二•四边形ABC。是平行四边形，

：.AD//BC,即。G〃M

BELAC,DF±AC,

J.BG//DH,

：.四边形BGDH是平行四边形；

(2)@VBEXAC,DF±AC,

：.ZCEB=ZAFD=90°,

在^ADF和^CBE中，

(AF=CE

(回ZFDFCEB,

(DF=BE

：.△ADF^ACBE(SAS),

：.AD=CB,ZDAF=ZBCE,

C.AD//BC,

四边形ABCD是平行四边形；

②•：AF=CE,

：.AF-EF=CE-EF,

即AE=CF,

由①知AO=C5,ZEAD=ZFCB,：.AACBF(SAS),

：.DE=BF,

同理△ABE会△CDF,

:.BE=DF,

：.四边形BEDF是平行四边形.

变式1D【解析】•.•四边形是平行四边形，.•.AD=JBC,,:DE

=A。，.•.。石=5。，.•.四边形是平行四边形，故A正确；•.,四边形45CD

是平行四边形，：.AD//BC,AB//CD,：.ZABD=ZBDC,VZABD=ZDCE,

：.ZBDC=ZDCE,C.BD//CE,，四边形5CEZ)是平行四边形，故B正确；:

四边形A5CZ)是平行四边形，C.AD//BC,：.ZFDE=ZFCB,ZFED=ZFBC,

又，：EF=FB,.*.△EFD^ABFC(AAS),，。石二殿..•.四边形为平行四边

形，故C正确；由/DEB=/BCD,得出/DEB=/A,但不能得出四边形5CE。

为平行四边形，故D错误.

例3B【解析】〃边形从一个顶点出发，有伽一3)条对角线，则该八边形从一

个顶点可引出5条对角线，将八边形划分为6个不重合的三角形.

变式2D【解析】依题意，45=5。，NAC5=15°,•••NBAC=NAC5=15°,

ZABC=180°—NAC5—/氏4。=150°,••.这个正多边形的一个外角为180°

-150°=30°,••.这个正多边形的边数为黑=12.

变式3B【解析】•.•五边形石为正五边形，5c。=/。=：><(5—

1

2)X180°=108°,CD=DE,：.NDCE=/DEC=*18U。-ZD)=36°，•:CF

11

平分NBCZ),.•.NDC尸MLNBCDMLXIOS。=54°,：.ZECF=ZDCF-ZDCE

22

=54°-36°=18°.

真题及变式

1.C【解析】•.•四边形ABC。是平行四边形，，根据平行四边形两组对边分别

相等可得C选项一定正确.

2.答【解析】\'DELAB,AB=n,AD=5,sin4=g,：.DE=4,：.AE=

IAD2~DE2=3,：.BE=AB~AE=9,如解图，过点5作B尸，CE于点尸，在

口ABCD中，AB=CD=12,BC=AD=5,AB〃CD,：.DE_LCD,：.CE=JDE2+CD2

=4A/10,由三角形面积公式可得54。石=三。石3/，...5/=犯史，.入反/5。石=生

2210BC

_9V10

50,

DC

A

*IC-........乂

第2题解图

变式2.14V3【解析】,四边形A5CD是平行四边形，5c7）=NA=60°,

BC=AD=S,CD//AB,：.ZBEC=ZDCE.CE平分NOCB；.ZDCE=ZBCE,

：.ZBEC=ZBCE,：.BE=BC=S.\'BE=2AE,：.2AE=S,解得AE=4,如解

图，过点E作ERLAZ）于点尸，则N4/E=Nr）FE=90°,ZAEF=90°-ZA

：：

=90°-60°=30°,.AF=-2AE=2,EF=—2AE=2A/3,.DF=AD~AF=6,

在RSDE尸中，由勾股定理，得ED=IEF2+DF2=4V3.

r//

AKa

变式2.1题解图

3.B【解析】如解图，连接交AC于点O.,四边形ABC。为平行四边形，

：153：：

AC=5,CE=1,.AO=CO=-2AC=~2,2BO=DO,.OE=CO~CE=-.,EF=

DE,.•.石为。尸的中中点，又丁。为的中点，.\OE为△5。下的中位线，.二5下

=2OE=3.