2025年中考数学一轮复习：与圆有关的位置关系及计算（讲义）（解析版）

考点20.与圆有关的位置关系及计算（精讲）

【命题趋势】

与圆相关的位置关系也是各地中考数学中的必考考点之一，主要内容包括点、直线与圆的位置关系、切

线的性质和判定、三角形的内切圆和外接圆三块，在解答题中想必还会考查切线的性质和判定，和直角三角

形结合的求线段长的问题和三角函数结合的求角度的问题等知识点综合，考查形式多样，多以动点、动图的

形式给出，难度较大。关键是掌握基础知识、基本方法，力争拿到全分。

【知识清单】

1：点、直线与圆的位置关系类

1）点和圆的位置关系：已知。。的半径为r,点尸到圆心。的距离为d,贝

解题技巧：掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半

径的关系，可以确定该点与圆的位置关系。

2）直线和圆的位置关系：

设。。的半径为广，圆心。到直线/的距离为心则直线和圆的位置关系如下：

（l）d>ro相禺,如图1；⑵仁广〜相切,如图2；（3）d<ro相交,如图3。

2；切线的性质与判定（☆☆☆）

1）切线的性质：（1）切线与圆只有一个公共点;（2）切线到圆心的距离等于圆的生径；（3）切线垂直于经

过切点的半径。

解题技巧：利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题。

2）切线的判定

（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）;

（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线（数量关系法）；

（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（判定定理法）。

切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共

点时，作垂直，证垂线段等于半径。

3）切线长定理

定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

解题技巧：切线长定理经常用来证明线段相等，通常要连接圆心与切点构造直角三角形来求解。

3：三角形的外接圆与内切圆（☆☆☆）

1）三角形外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的处接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分

线的交点，叫做三角形的外心,这个三角形叫做这个圆的内接三角形。

2）三角形内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个

三角形叫做圆的外切三角形。

3）三角形的外心：三角形三边中垂线的交点,叫该三角形的外心。

4）三角形的内心：三角形三条角平分线的交点,叫该三角形的内心。

5）常见结论

（1）三角形内切圆半径：r=—，其中S为三角形的面积；C为三角形的周长;

C

a+bc

（2）直角三角形内切圆半径：r^-,其中a,b为直角三角形的直角边长，c为斜边长。

2

【易错点归纳】

1.由于圆是轴对称和中心对称图形，当题目中未给出具体图形时，要结合题意画出符合题意的图形，并进

行分类讨论，否则比较容易漏解。

2.一个三角形有且只有一个内切圆和一个外接圆，而一个圆有无数个外切三角形和内接三角形。

【核心考点】

核心考点1.点、直线与圆的位置关系类

◊典例1：（2023・上海闵行•校联考模拟预测）矩形ABCD中，AB=8,8c=3指，点P在边A3上，且

BP—3AP,如果圆尸是以点尸为圆心，为半径的圆，那么下列判断正确的是（）

B.点8在圆P外，点C在圆尸内

C.点B在圆尸内，点C在圆P外D.点8,C均在圆尸内

【答案】C

【分析】由AB=8,3尸=3AP得到AP=2,BP=6,再根据勾股定理，在放ADP中计算出尸。=7,在

RtP3C中计算出尸C=9,则尸C>PD>PB,然后根据点与圆的位置关系进行判断.

【详解】解：如图,

四边形A3CD为矩形，:.AD=BC=3&,AB=8,BP=3AP,:.AP^2,BP=6,

在RfADP中，AP=2,AD=375,PD=^AP-+AD-=7-

在RtP3C中，尸8=6,BC=3j5,:.PCNPBRBC?=9,

.•.PC>PD>PB,.・•点B在圆P内，点C在圆尸外.故选：C.

【点睛】本题考查了点与圆的位置：设（。的半径为,，点P到圆心的距离OP=d,则有：点P在圆外

od>r；点尸在圆上。<7=r；点尸在圆内。d<r.

变式1.（2023•浙江•模拟预测）已知二。的半径为3,点尸到圆心。的距离为2,则点P与。的位置关系

是（）

A.点P在。外B.点尸在。上C.点尸在。内D.无法确定

【答案】C

【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，根据点到圆心距离为d,半径为r,当d>r时，点在圆外；

当d=z'时，点在圆上；当时，点在圆内，即可解答.

【详解】解：回的半径为3,点尸到圆心。的距离为2,3>2,回点P在内，故选：C.

变式2.（2023年江苏省宿迁市中考数学真题）在同一平面内，已知t。的半径为2,圆心。到直线/的距

离为3,点尸为圆上的一个动点，则点尸到直线/的最大距离是（）

A.2B.5C.6D.8

【答案】B

【分析】过点。作于点A,连接OP,判断出当点尸为AO的延长线与，。的交点时，点P到直线/

的距离最大，由此即可得.

【详解】解：如图，过点。作。4，/于点A,连接OP,，Q4=3,。尸=2,.,.当点P为AO的延长线与

。的交点时，点P到直线/的距离最大，最大距离为上4=3+2=5,故选：B.

A

【点睛】本题考查了圆的性质，正确判断出点尸到直线/的距离最大时，点P的位置是解题关键.

变式3.（2024・山东・统考模拟预测）在中，ZC=90°,BC=3,AC=4,。为A3的中点.以A

为圆心，厂为半径作她，若B、C、。三点中只有一点在：A内，则A的半径r的取值范围是（）

A.2.5<r<4B.2,5<r<4C.2.5<r<4D.2,5<r<4

【答案】A

【分析】本题主要考查勾股定理，点与圆的位置关系.

由勾股定理可求得的长，进而得到AD的长.再根据题意画出简单示意图，由图形可知当r的长度为

和AC长度之间时，B、C、£>三点中只有点。在14内，据此即可解答.

【详解】团在Rt^ABC中，BC=3,AC=4,^AB=^AC2+BC2=A/42+32=5>

回。为AB的中点，SAD=-AB=-.

22

B

由上图可知，当「，A的半径r=AO=g时，点D在/上，

当〈,4的半径r=AC=4时，点C在上，点£）在圆内，

当<A的半径r=AB=5时，点2在《A上，点C、D在圆内，

当（A的半径满足g<rW4时，点。在，：A内，

当<A的半径满足4<r45时，点C、。在C，A内，

当。A的半径满足厂>5时，点8、C、。在（A内，

团若8、C、。三点中只有一点在「4内，贝I]A的半径r的取值范围是（<厂44.故选：A

例2：（2023・广东广州•统考二模）。的半径厂和圆心。到直线/的距离d分别为关于x的一元二次方程

犬-3尤+2=0的两根和与两根积，则直线/与。的位置关系是.

【答案】相交

【分析】由*2-3》+2=0以及题意知，厂=玉+无2=3,•无2=2,由r>d,可判断直线/与：。的位置

关系.

【详解】解：尤2_3*+2=0，由题意知r=』+%=3,d=%•无2=2,

^r>d,回直线/与;：。相交，故答案为：相交.

【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，直线与圆的位置关系.解题关键在于对知识的熟练掌

握.

变式1.（2023•浙江杭州•统考二模）已知:。的直径为4,圆心。到直线/的距离为2,则直线/与IO

（）

A.相交B.相切C.相离D.无法确定

【答案】B

【分析】根据：。的半径和圆心。到直线/的距离的大小，相交：dvr；相切：d=r；相离：d>r；即

可选出答案.

【详解】解：回，：二。的直径为4,0。的半径为2,团圆心。到直线/的距离为2,Sd=r,

回直线/与。的位置关系是相切，故B正确.故选：B.

【点睛】本题主要考查对直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题

的关键.

变式2.（2023年江苏省镇江市中考数学真题）已知一次函数、=履+2的图像经过第一、二、四象限，以

坐标原点。为圆心、厂为半径作）。.若对于符合条件的任意实数上一次函数>="+2的图像与〈O总

有两个公共点，则厂的最小值为.

【答案】2

【分析】由，=辰+2的图像经过第一、二、四象限，可知％<0,由、=入+2过定点（0,2）,可知当圆经过

（0,2）时，由于直线呈下降趋势，因此必然与圆有另一个交点，进而可得r的最小值是2.

【详解】解：回〉=履+2的图像经过第一、二、四象限，回忆<0,y随x的增大而减小，

团y=kx+2过定点（0,2）,回当圆经过（0,2）时，由于直线呈下降趋势，因此必然与圆有另一个交点，

回厂的临界点是2,加的最小值是2,故答案为：2.

【点睛】本题考查一次函数图像，直线与圆的位置关系.解题关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.

变式3.（2023•陕西西安•校考一模）在中，ZC=90°,ZA=60°,BC=4.若。与AB相离，则

半径为r满足（）

A.r>2B.r<2C.0<r<2D.0<r<273

【答案】C

【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，勾股定理和含30度直角三角形的性质，

根据含30度直角三角形的性质和勾股定理得到AC和AB的长度，再根据£与相离可知半径小于点C

到A3的距离，即可进行求解.

【详解】解：0ZC=9O°,ZA=60°,BC=4,0ZB=3O00AB=2AC,

0AC2+BC2=AB20AC2+42=4AC2,解得：AC=1A/3,042=|出

设点C到AB的距离为〃，则=0-X-V3./Z=-X4X-^,皿=2,

222323

团若1c与A8相离，回0</<2故选：C.

例3：（2023・上海•校考一模）己知Q与.0?两圆外切，002=5,a的半径为3,那么的半径「

为.

【答案】2

【分析】由两圆外切，圆心距等于两圆半径的和，即可求得结果.

【详解】。|与।。2两圆外切，.•.5=3+r,.“=2,故答案为：2.

【点睛】本题考查了两圆的位置关系：两圆外切时两圆的圆心距与两圆半径的关系，掌握这一关系是解题

的关键.

变式1.（2023・上海徐汇•统考二模）如图，在梯形ABCD中，已知AD〃3C,AD=3,BC=9,

AB=6,CD=4,分别以A3、CD为直径作圆，这两圆的位置关系是（）

A.内切B.外切C.相交D.外离

【答案】D

【分析】先求出两圆的圆心距，AB和CO的一半为两圆的半径，利用半径之和和两圆的圆心距的大小关系

求解.

【详解】解：团分别以A3、8为直径作圆，

团两圆的圆心分别是AB、的中点，回两圆心的连线是梯形的中位线.

3+9

团AD=3，BC-9，团两圆的圆心距为....-6,

2

团AB=6,CD=4,回两圆的半径分别为3和2,团3+2<6,团两圆外离，故选：D.

【点睛】本题考查了梯形的中位线，以及圆与圆的位置关系，解题的关键是分别求得两圆的圆心距和两圆

的半径.

变式2.（2023・山东・统考一模）已知在中，ZC=90°,cotA=|,那么以边AC长的|■倍为半径

的圆A与以BC为直径的圆的位置关系是（）

A.外切B.相交C.内切D.内含

【答案】C

313

【分析】取BC边的中点。，连接AD,根据题意可设AC=6a,3C=5“，^±AC-CD=^-a,

AD=s/AC2+CD2=^-a,再根据圆与圆的位置关系，即可求解.

2

【详解】解：如图，取3C边的中点£>,连接AD,

RtZkABC中，ZC=90°,cotA=-,=-,可设AC=6〃,3C=5。，

5BC5

O[V21Q1Q

团一AC=9a,CD=—BC=—a,^-AC-CD=—aAD=y/AC2+CD2=—a,

22222f2

3

团即以边AC长的彳倍为半径的圆A与以5c为直径的圆的两圆心的距离等于两圆的半径之和，

团以边AC长的三倍为半径的圆A与以BC为直径的圆的位置关系是内切.故选：C

【点睛】本题主要考查解直角三角形，圆与圆的位置关系，掌握圆与圆的位置关系是解题的关系.

变式3.（2023・上海崇明•统考二模）己知在一ABC中，AB^AC=5,BC=6,如果以A为圆心r为半径的

A和以3c为直径的D相交，那么r的取值范围（）

A.l<r<4B.4<r<10C.l<r<7D.7<r<10

【答案】C

【分析】首先利用勾股定理求得两圆的圆心距，然后利用两圆相交时两圆的圆心距和两圆的半径之间的关

系求解.

【详解】解：如图，由题意得：BD=DC=3,AB=AC=5,

由勾股定理得：AD=4,设<A的半径为,，

根据两圆相交得：r-3<4<r+3,解答：1<r<7,故选：C.

【点睛】本题考查两圆之间的位置关系.熟练掌握两圆之间的位置关系的判定方法，是解题的关键.

核心考点2.切线的性质与判定

例4：（2023年四川省眉山市中考数学真题）如图，A3切一。于点2,连接Q4交。于点C,9〃Q4交

。于点。，连接C£>,若NOC£>=25。，则-4的度数为（）

【答案】C

【分析】如图，连接OB,证明ZABO=90°,ZCDB=25°,可得NBOC=2ZBDC=50°,从而可得

ZA=40°.

^BD//OA,ZOCD=25°,0ZCDB=25°,0ZBOC=2ZBDC=50°,0ZA=4O°；故选C

【点睛】本题考查的是切线的性质，圆周角定理的应用，三角形的内角和定理的应用，掌握基本图形的性

质是解本题的关键.

变式1.（2023年黑龙江省哈尔滨市中考数学真题）如图，AB是。。的切线，A为切点，连接Q4，点C在

。上，OC1OA,连接3c并延长，交♦。于点。，连接OO.若N3=65。，则NOOC的度数为（）

A.45°B.50°C,65°D.75°

【答案】B

【分析】利用垂线的性质及切线的性质得到NQ4B=90°和^AOC=90°,再利用四边形的内角和为360。进

而可求得/OCD=65。，再利用等边对等角及三角形的内角和即可求解.

【详解】解：QOC±OA,.-.ZA（9C=90°,又AB是的切线，.•.NO4B=90。，

又•ZB=65。,../OCB=360°—/（MB-ZAOC—/3=115°,/.ZOCD=1800-ZOCB=65°,

又・OC=OD,:./ODC=NOCD=65。,/.ZDOC=180°-2ZODC=50°,故选B.

【点睛】本题考查了圆的切线的性质，四边形内角和是360。，等腰三角形的性质及三角形的内角和，熟练

掌握其基本知识是解题的关键.

变式2.（2023年重庆市中考数学真题（B卷））如图，AB为。的直径，直线。与。相切于点C,连

接AC,若NACD=50。，则-54。的度数为（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】B

【分析】连接OC,先根据圆的切线的性质可得NOCD=90。，从而可得NOC4=40。，再根据等腰三角形的

性质即可得.

【详解】解：如图，连接OC,1•直线C£＞与（。相切，.〔OCLCD,.•./OCD=90。，

ZACD=50°,:.ZOCA^40°,OA=OC,ZBAC=ZOCA^40°,故选：B.

【点睛】本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握圆的切线的性质是解题关键.

例5：（2023年四川省泸州市中考数学真题）如图，在Rt^ABC中，NC=90。，点。在斜边上，以

AD为直径的半圆。与3c相切于点E,与AC相交于点尸，连接DE.若AC=8,BC=6,则DE的长是

【答案】B

【分析】连接OE,AE,首先根据勾股定理求出帅=，402+3箕=10,然后证明出BC^BEO,利用

相似三角形的性质得到OE=9,BE=¥，证明出DBE^EBA,利用相似三角形的性质求出

9

【详解】如图所示，连接OE,AE,

八

AODH

0ZC=9O°,AC=8,BC=6,0AB=A/AC2+BC2=10>

团以AD为直径的半圆。与BC相切于点E,0OE1BC,

0ZC=9O°,0ZC=Z(9£B=9O°,^AC//OE,SZA=ZEOB,0,BC4^BEO,

OEOBBEHnOE10-OEBE八厂406广10

ACAB6810693

ino__________o

⑦CE=CB—BE=6——=—,^AE=y/AC2+CE2=-A/10,

333

0ZO£B=9O°,ZOED+ZDEB=90°,

[EZODE+ZEAD=90°,ZODE=ZOED,⑦ZEAD=ZDEB,

10

「DEBEDET即/曰=晅.故选：B.

又团NB=NB,E,DBE^EBA,0一=一，n即n为——=合，团解得。E

AEAB36斤109

【点睛】此题考查了圆与三角形综合题，切线的性质定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识,

解题的关键是熟练掌握以上知识点.

变式1.（2023年湖南省湘西初中学业水平数学试题）如图，AB为）。的直径，点尸在的延长线上，

PC,与相切，切点分别为C,D.若AB=10,PC=12,贝Usin/C4D等于（）

【分析】连接OC、OD、CD,CD交外于E,如图，利用切线的性质和切线长定理得到OCLCP,

PC=PD,OP平分/CPD,根据等腰三角形的性质得到。尸，CD,则NCOB=ZDOB,根据圆周角定理得

到NC4O=L/C0D,所以NC0B=NC4O,然后求出sin/COP即可.

2

【详解】解：连接OC、OD、CD,CD交PA于E,如图，

.-.OC1CP,PC=PD,OP平分NCP。，:.OP±CD,；.CB=DB，:.ZCOB=ZDOB,

ZCAD=-ZCOD,:.NCOB=NCAD,SAB=10,AO=OC=OB=5,

2

团OC=5,PC=12团在Rt_OCP中，OP=VOC2+PC2=A/52+122=13，

PC1212

sinZCOP=——=一，.•.sinNCAD=—.故选：D.

OP1313

【点睛】本题考查切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查圆周角定理和解直角三角形.

变式2.（2023年北京市中考数学真题）如图，是。的半径，BC是（O的弦，3c于点。，AE

是，:，。的切线，AE交OC的延长线于点£.若ZAOC=45。，BC=2,则线段AE的长为.

A

E

【答案】0

【分析】根据。4,3C,得出NODC=90。，0c=1BC=1,根据等腰直角三角形的性质得出

OC=MDC=g，即OA=OC=0，根据NQ4E=90。，ZAOC=45°,得出"OE为等腰直角三角形，

即可得出AE=04=.

【详解】解：SOA1BC,0ZO£>C=90°,DC=-BC=1.0ZAOC=45°,ELODC为等腰直角三角形，

2

QOC=6DC=亚，0OA=OC=V2.回AE是。的切线，SZOAE=9Q°,

0ZAOC=45°,回ZVIOE为等腰直角三角形，^AE=OA=42.故答案为：0.

【点睛】本题主要考查了垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，切线的性质，解题的关键是熟练掌握

垂径定理，得出。C=』BC=1.

2

例6：（2023年湖北省潜江、天门、仙桃、江汉油田中考数学真题）如图，在JLBC中，

ZACB=70°,A4BC的内切圆：。与AB,BC分别相切于点。，E,连接DE,AO的延长线交DE于点

F,则NAFD=.

【答案】35。/35度

【分析】如图所示，连接OE,OD,OB,设03、DE交于H,由内切圆的定义结合三角形内角和定理求出

ZAOB=125°,再由切线长定理得到进而推出。8是DE的垂直平分线，即NOHF=90。，则

ZAFD=ZAOH-ZOHF=35°.

【详解】解：如图所示，连接OEOD,OB,设QB、DE交于H,

固。是ABC的内切圆，0OA03分别是/。山、NCBA的角平分线，

SZOAB^-ZCAB,ZOBA^-ZCBA,EZACB=70°,0ZC4B+ZCBA=18O°-ZACB=11O°,

22

S\ZOAB+ZOBA=-ZCBA+-ZCAB=55°,0ZAOB=180O-ZOAB-AOBA=125°,

22

回（。与ABBC分别相切于点O,E,^\BD=BE,

y^\OD=OE,回08是DE的垂直平分线，BOBIDE,即NOHF=90°,

0ZAFD=ZAOH-ZOHF=35°,故答案为：35°.

【点睛】本题主要考查了三角形内切圆，切线长定理，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定，三角

形外角的性质，正确作出辅助线是解题的关键.

变式1.（2023•山东荷泽・校联考一模）如图，PA.PB切回。于点A、B,PA=10,CO切。于点E,交

PA,尸B于C、。两点，则PCD的周长是（）

C.20D.22

【答案】C

【分析】根据切线长定理得出丛=尸3=10,CA=CE,DE=DB,求出八PCD的周长是

PC+CD+PD=PA+PB,代入求出即可.

【详解】解：回上4、PB切回。于点A、B,CO切，。于点E,SPA=PB=10,CA=CE,DE=DB,

ELPCD的周长是PC+CD+PDMPC+AC+DB+PDMM+PJBMIO+IOMZO.故选：C.

【点睛】本题考查了切线长定理的应用，解题的关键是求出“尸。的周长=%+依.

变式2.（2023・湖北咸宁•校考模拟预测）如图，Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=12,BC=5,。与3C相

切于。，与ACBC的延长线分别相切于£、F,则。的半径为

【答案】3

【分析】连接ODOE、OF,设n。的半径为广，根据切线长定理可得题＞=加',AF=AE,CE=CD,

根据勾股定理求解A3,即可求解.

设。。的半径为广，0ZACB=90°,回四边形OZJCE是矩形，0OD=CE=CD=OE=r,

0BC=5,0BD=BC-C£）=5-r,

0。与BC相切于。，与AC8C的延长线分别相切于£、F,ZACB=90°,AC=12,BC=5

0BD=BF=5-r,AF=AE=AC+CE=12+r,AB=《AC?+BC，=13，

BlBF=AF-AB=r-l,0r-l=5-r,解得：r=3,故答案为：3.

【点睛】本题考查了，直角三角形的性质，切线的性质，勾股定理，掌握切线的性质是解题的关键.

例7：（2023年江苏省扬州市中考数学真题）如图，在，中，ZACB=90°,点。是上一点，且

=点。在BC上，以点。为圆心的圆经过C、。两点.

2

3

⑴试判断直线A8与「O的位置关系，并说明理由；（2）若sin8=1,。的半径为3,求AC的长.

【答案】（1）直线A3与，。相切，理由见解析（2）6

【分析】（］）连接0D,根据圆周角定理，得到ZBOD=2ZBCD=ZA,进而得到

ZB+ZA=ZB+ZBOD=90°,即可得出AB与O相切；（2）解直角三角形0D5,求出08的长，进而求

出8C的长，再解直角三角形ACB,求出AC的长即可.

【详解】（1）解：直线48与（。相切，理由如下：

连接。£）,贝hNBOD=2NBCD,

0ZBCZ）=-ZA,即：2ZBCD=ZA,^Z.BOD=ZA,

2

0ZACB=90°,EZB+ZBOD=ZB+ZA=90°,回NODB=90°,^ODLAB,

回。。为,。的半径，回直线AB与。相切；

3

（2）解：^ZODB=9Q°,sinB=-,（。的半径为3,

^OD=OC=3,sinB=-=-团03=5,⑦BC=OB+OC=8,

OB5f

AC3

BZACB=90°,国sin3=-----=-,设：AC=3x,AB=5x,

AB5

则：BC=VAB2—AC2=4x=8,回％=2,0AC=3x=6.

【点睛】本题考查切线的判定，解直角三角形.熟练掌握切线的判定方法，正弦的定义是解题关键.

变式L（2023年辽宁省盘锦市中考数学真题）如图，ABC内接于O,AB为。的直径，延长AC到点

G,使得CG=CB,连接G5,过点。作CO〃G5,交A5于点代交点，。于点。，过点。作

DE//AB.交G3的延长线于点£⑴求证：DE与。相切.⑵若AC=4,BC=2,求班的长.

【答案】（1）见详解（2）g友

【分析】（1）连接如，结合圆周角定理，根据CG=CB,可得NCGS=NCBG=45。，再根据平行的性质

ZACD=NCGB=45°,即有£400=2/48=90。，进而可得/00£=/40£>=90。，问题随之得证；（2）过

C点作CKLAB于点K,先证明四边形邛是平行四边形，即有3E=O/，求出

_________1AC2

AB=JAC?+BC?=26，即有。£>=AO=O5=%AB=,，利用三角形函数有sin/A3C=：^=-^同

2An75

142

理cosZABC=/r,即可得KC=BCxsin/A6C=,KB—BCxcosZ.ABC=--j=,进而有

3OFOPA/5_5

OK=OB-KB=—j=,再证明「.CK/Sc。。尸，可得FK一CK一4~4,即可得

75忑

在中,

OF=-OK=-^-^=—,RtAODP有DF=dOD2+OF2问题随之得解.

99753

【详解】（1）连接oo,如图,

回45为(。的直径，BZACB=90°,EZGCB=90°,S\CG=CB,BZCGB=ZCBG=45°,

^CD//GB,0ZACD=ZCGB=45°,HZAOD=2ZACD=90°,BPOD±AB,

^DE//AB,EZ(9DE=ZAOD=90°,团半径OD/DE,EIDE与。相切;

（2）过C点作CKLAB于点K,如图,

^\CD//GB,DE//AB,回四边形BEDR是平行四边形，0BE=DF,

0AC=4,BC=2,E)AB={AC。+BC?=2#>,^OD=AO=OB=^AB=\[5,

AC2

^CKLAB,0ZCKB=90°=ZACB,回在Rt^ACB,sinZABC=,同理cosZA8C=存，

ABy/5

42

回在Rt_KCB中，CB=2,^\KC=BCxsinZABC=,KB=BCxcos/ABC=忑,

3

^OK=OB-KB=-j=,SCK1AB,ODA.AB,^OD//CK,回一CKFsDQF,

OFOPA/55

OFOF5

回无一诙一丁一），E=——=-,0OF=

FK+OFOK999753

El在Rt^OD歹中，DF=^OEr+OF1=-72,@BE=DF==①.

33

【点睛】本题是一道综合题，主要考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质，平行四边

形的判定与性质，三角函数以及勾股定理等知识，掌握切线的判定以及相似三角形的判定与性质，是解答

本题的关键.

变式2.（2023年江苏省盐城市中考数学真题）如图，在11ABe中，。是AC上（异于点A,C）的一点，

。恰好经过点A,B,AOLCB于点D,且平分/CAD.

⑴判断BC与〉。的位置关系，并说明理由；（2）若AC=10,OC=8,求）。的半径长.

【答案】⑴见解析（2）。的半径长为4.

4

【分析】（1）连接。B,证明。B〃AD,即可证得O3J_3C,从而证得3C是圆的切线；

（2）设。B=Q4=x,贝IJOC=AC-OA=10-x,利用勾股定理求得AD=6,推出利用相

似三角形的性质列得比例式，据此求解即可.

【详解】（1）证明：连接。8,如下图所示，

EIAB是/C4D的平分线，^Z.BAD=ZBAO,

又EIOB=CM,^ZOAB=ZOBA,^\ZBAD=AOBA,

^OB//AD,EZOBC=Zr>=90°,即O3_L3C,

又回BC过半径。8的外端点2,团3C与10相切；

(2)解：设OB=OA=x，贝UOC=AC-(M=10—X,

团在AADC中，？。90?,AC=10,DC=8,SiAD=yjAC2-CD2=6>

OBOCx10-x1515

^OB//AD,0—=——，即一='解得X，.故。的半径长为不

ADAC610

【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，以及勾股定理，熟练掌握切线的判定是解本

题的关键.

变式3.（2023年湖北省黄石市中考数学真题）如图，AB为i。的直径，D4和。相交于点FAC平分

NDR,点C在：。上，且CDLZM,AC交班■于点P.⑴求证：C。是。的切线；（2）求证:

AF

ACPC=BC2;(3)已知Be?=3尸PDC,求——的值.

AB

【答案】⑴见解析（2）见解析⑶g

【分析】（1）连接OC,由等腰三角形的性质得NQ4c=NOC4,再证/DAC=/OC4,则DA〃OC,然

后证OCLCD,即可得出结论；（2）由圆周角定理得NACfi=90。，ZDAC=ZPBC,再证Nfl4c=/PBC,

然后证AACBSABCP,得婴=g，即可得出结论；（3）过尸作PE_LAB于点E,证

BCPC

ACPC=3FPDC,再证ACQsBp。，得ACPC=BPDC,贝U3尸£^=3"£＞。，进而得

BP=3FP,然后由角平分线的性质和三角形面积即可得出结论.

【详解】（1）证明：如图1，连接OC,

图2

SOA=OC,SZOAC=ZOCA,

EIAC平分/aW,SZDAC=ZOAC,SZDAC=ZOCA,^\DA//OC,

0CD±ZM,0OC±CZ),I3CD是Q。的切线；

（2）证明：国AB为。的直径，SZACB=90°,

EIAC平分/DAB,ADAC=ABAC,SZDAC=ZPBC,SZBAC=ZPBC,

ACBe

又EIZACB=NBCP,团品ACBS&BCP,0—=—,0ACPC=BC2；

（3）如图2,过P作PEJ.AB于点E,

由（2）可知，AC-PC=BC2,EBC2=3FPDC,0ACPC=3FPDC,

0CD1ZM,0ZADC=9O°,回AB为O的直径，0ZBCP=90°,0ZAT>C=ZBCP,

ACDC

回NDAC=NCBP,S^ACD^BPC,回一=—,

BPPC

^ACPC^BPDC,SBPDC=3FPDC,0BP=3FP,

回43为（。的直径，0ZAFB=90°,0PF±AD,EIAC平分/DAB,PE±AB,BPF=PE,

-AFFP-AFFP

AFFPFP1

团团----二----

ABBP3FP3

uAPB—ABPE—BPAF

22

【点睛】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质、平行线的判

定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握圆周角

定理和切线的判定，证明三角形相似是解题的关键.

考点三三角形的外接圆与内切圆

例8：（2023年内蒙古包头市中考数学真题）如图，，。是锐角三角形ABC的外接圆，

OD±AB,OEA.BC,OFA.AC,垂足分别为，耳/，连接DE,EF,FD.若。E+O尸=6.5,△ABC的周长为

C.3.5D.3

【答案】B

【分析】根据三角形外接圆的性质得出点。、E、尸分别是AB、BC、AC的中点，再由中位线的性质及三

角形的周长求解即可.

【详解】解：0。是锐角三角形ABC的外接圆，

团点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，^\DF=-BC,DE=-AC,EF=-AB,

222

团£＞石+£＞尸=6.5,448（7的周长为21,SCB+CA+AB=21^2DF+2DE+2EF=21,

EIEF=4,故选：B.

【点睛】本题考查三角形外接圆的性质及中位线的性质，理解题意，熟练掌握三角形外接圆的性质是解题

关键.

变式1.（2023•浙江杭州•校考二模）如图，。为等腰三角形ABC的外心，AB^AC,连接。8,记

ZC=a,ZCBO=/3,则圆。满足的关系式为（）

A.2/?-a=90°B,26—a=180。C.1^+a=90°D,2a-/?=90°

【答案】D

【分析】根据等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理即可得到结论.

【详解】解：BAB=AC,ZACB=a,SiZACB=ZABC=a,0ZC4B=18O°-2a,连接OC,OA,

回。为等腰三角形43c的外心，SOB=OA^OC,^ZCBO=ABCO=/3,

^AABO=AACO=a-/3,^\ZCAO=ZACO=ZABO=ZBAO=a-(3,

0ZC4B=2(6Z-/7)=18O°-2(Z,回2。一万=90°,故选：D.

【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心，等腰三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题关键.

变式2.（2023•陕西渭南•统考二模）如图，在.ABC中，AC^BC,。是ABC的外接圆，是。。的

直径，点。在。上，连接8交于点E,连接。。，若/BOD=120。,则/BED的度数为（）

c

【答案】D

【分析】连接80,根据等腰三角形的性质得到NO3D=NODB=30。，根据平角的定义得到

ZAOr>=180°-120°=60°,根据圆周角定理得到NACB=90。，求得NA=45。，根据圆周角定理得到

NCDB=ZA=45。，根据三角形内角和定理即可得到结论.

【详解】解：连接BO,OD=OB,/BOD=120°,：.ZOBD=ZODB=30°,ZAOZ）=180°-120°=60°,

AB是。。的直径，:.ZA=ZABC=45°,AC=BC,：.ZA=45°,/.ZCDB=ZA=45°,

ZCDO=ZCDB-ZODB=15°,ZBED=180°-60°-15°=105°,故选：D.

【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是

解题的关键.

变式3.（2023・湖北襄阳•校考二模）已知RtZXABC两边长分别是6cm和8cm,则它的外接圆的半径

是.

【答案】5«72或4。〃2/4£：01或5£：171

【分析】分8cm为直角边和8cm为斜边两种情况，结合直角三角形的外接圆半径为斜边长的一半和勾股定

理求解即可.

【详解】解：若8cm为直角边时，则斜边长为，6?+8?=10,则Rt^ABC的外接圆的半径是5cm,

若8cm为斜边长时，Rt^ABC的外接圆的半径是4cm,

综上，RtZXABC的外接圆的半径是5cm或4cm,故答案为：5cm或4cm.

【点睛】本题考查直角三角形的外接圆、勾股定理，熟知直角三角形的外接圆半径为斜边长的一半，本题

容易忽视对边的讨论而导致错误，故需分类讨论进行求解.

例9：（2023•湖北武汉•校考模拟预测）如图，,0是一ABC的内切圆，ZA=50°,则—BOC的大小为

（）

A.105°B.1150C.125°D.100°

【答案】B

【分析】先由三角形内角和定理求出NABC+NAC3的度数，再由。，。是AABC的内接圆得到

ZBCO=-ZACB,ZCBO=-ZABC,最后根据三角形内角和定理即可求出—3OC.

22

【详解】解：0ZA+ZABC+ZACB=180°,ZA=50°,0Zz4BC+ZACB=18O°-ZA=13O°,

0。是..ABC的内切圆，SZABO=ZCBO,ZACO=ZBCO,

0ZBCO=-ZACB,ZCBO=-ZABC,

22

回111

ZBOC=180°—NCBO-NBCO=180°——ZACB——ZABC=180°——（ZABC+ZACB）

222

i,故选：B.

=180°——xl30°=115°

2

【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，由三角形的内切圆与内心及三角形

内角和定理求出NCBO+4co的度数是解决问题的关键.

变式1.（2023・湖南永州•统考二模）如图，在一ABC中，ZA