2025年新高考数学一轮复习：数列的通项公式（十八大题型）（讲义）（学生版+解析）

第04讲数列的通项公式

目录

01考情透视目标导航.............................................................2

02知识导图思维引航.............................................................3

03考点突破题型探究.............................................................4

知识点1：求数列通项公式的常用方法..............................................4

题型一：观察法..................................................................7

题型二：叠加法..................................................................8

题型三：叠乘法..................................................................8

题型四：形如an+1=pan+q型的递推式.............................................9

题型五：形如an+1=pan+kn+b型的递推式.......................................10

11

题型六：形如an+i=pan+rq型的递推式..........................................10

题型七：形如an+1=paA(p>o,an>0)型的递推式..................................11

题型八：形如an+i=彗型的递推式..............................................12

pan+q

题型九：形如an+2=pan+1+qan型的递推式........................................12

题型十：形如an+i=吧?型的递推式..............................................13

pan+q

题型十一：已知通项公式an与前n项的和S”关系求通项问题.........................13

题型十二：周期数列.............................................................17

题型十三：前〃项积型...........................................................18

题型十四：“和”型求通项.........................................................19

题型十五：正负相间讨论、奇偶讨论型.............................................20

题型十六：因式分解型求通项.....................................................21

题型十七：双数列问题...........................................................22

题型十八：通过递推关系求通项...................................................23

04真题练习•命题洞见............................................................25

05课本典例高考素材............................................................26

06易错分析答题模板............................................................27

易错点：已知S”求an......................................................27

答题模板：已知S"求an....................................................27

考点要求考题统计考情分析

2024年甲卷（理）第18题，12分高考对数列通项的考查相对稳定，考查内

2023年乙卷（文）第18题，12分容、频率、题型、难度均变化不大.数列通项

（1）构造法

2023年甲卷（理）第17题，12分问题以解答题的形式为主，偶尔出现在选择填

2023年II卷第18题，12分空题当中，常结合函数、不等式综合考查.

复习目标：

掌握数列通项的几种常见方法.

//二知识导图•思维引航\\

老占突硒・力理悭宙

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知识JJ

知识点1:求数列通项公式的常用方法

类型I观察法：

已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此

数列的一个通项.

类型II公式法：

若已知数列的前“项和S，，与〃”的关系，求数列｛4｝的通项〃“可用公式%=9'(，?=1)

构造两式作差求解.

用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即“和册

合为一个表达，(要先分”=1和2两种情况分别进行运算，然后验证能否统一).

类型ni累加法：

形如4阳=%+/(“)型的递推数列(其中/(〃)是关于"的函数)可构造：一%"=-2)

-4=/(I)

将上述©个式子两边分别相加，可得：an=/(«-l)+/(n-2)+.../(2)+f(X)+al,(n>2)

①若/(〃)是关于"的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；

②若“77)是关于w的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；

③若/(〃)是关于"的二次函数，累加后可分组求和；

④若/(")是关于"的分式函数，累加后可裂项求和.

类型IV累乘法：

…7

、

形如%=an-f(ri)/(«)型的递推数列(其中/(〃)是关于"的函数)可构造:

7

a2

ax

a

将上述纵个式子两边分别相乘，可得：„=/(»-l),/(»-2)-...-/(2)/(l)a1,(n>2)

有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解.

类型V构造数列法：

(一)形如%+LP4+4(其中〃国均为常数且/40)型的递推式：

(1)若p=l时，数列｛环｝为等差数列；

(2)若q=0时，数列｛%｝为等比数列；

(3)若pwl且qwO时，数列｛册｝为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方

法有如下两种：

法一：设a/】+2=p(a“+4),展开移项整理得%+i=°%+(0一1)2,与题设a“+i=pa“+q比较系数

(待定系数法)得2=—,(°wO)n%+]+—^―=p(a“+—^―)n。“+—^―=0(a,,7+—^―),即

p—1p—\p-1p—1p—\

1%+」一[构成以4+」一为首项，以0为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式求出

ip-ijp-i

卜"+黄1,的通项整理可得见.

法二：由an+l=pan+4得an=pan｝+q｛n22)两式相减并整理得位二%=p,即｛可包-可｝构成以

'an-an-l

%-4为首项，以〃为公比的等比数列.求出｛%-%｝的通项再转化为类型III(累加法)便可求出％.

(二)形如%+1=+/(〃)(Pwl)型的递推式：

(1)当/(〃)为一次函数类型(即等差数列)时：

法一：设+A〃+5=p[a〃_i+A(〃-1)+5],通过待定系数法确定的值，转化成以Q+A+5为

首项，以M=G土地为公比的等比数列｛〃〃+A〃+3｝，再利用等比数列的通项公式求出｛〃〃+助+用的

通项整理可得为.

法二：当了(〃)的公差为d时，由递推式得：an+l=pan+f(n),%=p%.+/(〃-1)两式相减得：

。计1一册=P(a〃一%_i)+d,令2=。用一％得：2=+d转化为类型V㈠求出bn,再用类型HI(累加

法)便可求出4.

(2)当/(〃)为指数函数类型(即等比数列)时：

法一：设为+%/(“)=〃[%_]+4/(〃-1)],通过待定系数法确定2的值，转化成以4+2/⑴为首项，

以M=GW而为公比的等比数列｛"〃+%/(")｝，再利用等比数列的通项公式求出｛%+4/5)｝的通项整理

可得%.

法二：当了(〃)的公比为乡时，由递推式得：an+i=pan+f(ji)----①，an=pan_x+f(n-l),两边同时

乘以q得anq=pqan_x+qf(n-1)----②，由①②两式相减得an+l-anq=p(an-qan_^),即———=p,

在转化为类型V㈠便可求出册.

法三：递推公式为%+i=p〃〃+/(其中p,q均为常数)或“〃+i=p%+©(其中p,q,r均为常数)

时，要先在原递推公式两边同时除以小”，得：需=£.之+工，引入辅助数列物/(其中N=2),得:

bn+l=Rb"+工再应用类型V㈠的方法解决.

qq

(3)当/(〃)为任意数列时，可用通法：

在。5=&，+/(力)两边同时除以P向可得到%=3+与，令*=〃，贝坨用=4+粤，在转

ppppP

化为类型in(累加法)，求出或之后得=

类型w对数变换法：

形如。〃+1=p〃，(p>0,〃〃>0)型的递推式：

在原递推式4+1=pa；两边取对数得Ig%+1=q\^an+\gp,令bn=igan得：bn+i=/?〃+lg〃，化归为

%+i=Pa〃+4型，求出"之后得为二1。'.(注意：底数不一定要取10，可根据题意选择).

类型皿倒数变换法：

形如41—4=%〃乩(夕为常数且pwO)的递推式：两边同除于a.。，转化为L='+p形式,

an%

化归为。〃+1=pa〃+q型求出」的表达式，再求知；

an

还有形如。角=上叽的递推式，也可采用取倒数方法转化成「一='，+'形式，化归为

Pyq%q%p

%+i=〃。〃+9型求出工的表达式，再求。〃.

%

类型VE形如an+2=pan+i+时型的递推式：

用待定系数法，化为特殊数列的形式求解.方法为：设%+2-3角=/见+1-3〃)，比较系数

得h+k=p,-hk=q,可解得/z、左，于是｛。，用-她｝是公比为〃的等比数列，这样就化归为。用=p%+q型.

总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列,

可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式为.

【诊断自测】（2024•贵州黔南•二模）neN*,数列1，-3,7,-15,31,…的一个通项公式为（）

A.=(2"-1)cos“7iB.a„=(l-2")sin^

C.«„=2n-lD.4=(T"(1-2")

题型洞察

题型一：观察法

1357

【典例LD（2。24高三.河南•期中）数列万,-0,-记,…的一个通项公式为（）

2n-l2n-lC.(T)"竽2n-l

A.(-1)"B.(-if1D.(-I)""

2n2n2"

【典例1-2】数列titwt…的一个通项公式为%=（）

c7n+1

从㈠尸二B.(1),

'75n-2

n+l

c.(-CD.(1),/八21

(〃+1)-1(M+l)-I

【方法技巧】

观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项.使用观察

法时要注意：①观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有（-1）"或者（-1）”一部分.②考虑各项的

变化规律与序号的关系.③应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方｛/｝、｛2"｝与

（-1）"有关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列.

【变式1-1］已知数列-6,66,-666,6666,-66666,一,则该数列的第2024项为（）

A.-|（102024-1B.|(102024-l)

C.-|（102024-l）D.|（102024-1）

【变式1-2］（2024.湖南长沙.二模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中出现了如图所示的形

状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……，则第十层

有()个球.

A.12B.20C.55D.110

【变式1-3]已知数列T,叵,-且，羡，…则该数列的第211项为()

357

A同口国y/210^/2io

A.---------D.------------rC.---------Dn.-----

421421423423

题型二：叠加法

l

【典例2-1】已知数列忆｝满足《=1,an-an+1=21anan+l,贝心=

【典例2-2］已知数列｛?｝满足囚=1,a,=%+3n-2(n>2),贝I]{an}的通项公式为.

【方法技巧】

数列有形如an+l=an+f(n)的递推公式，且/(1)+/(2)+..l+于(ri)的和可求，则变形为an+l-an=f(n),

利用叠加法求和.

，、1

【变式2-1］在数列｛?｝中，已知％=1,且。“+1=4,+(2"_］)(2〃+1)‘则""=—•

【变式2-2］在首项为1的数列｛。"｝中an+l-an=小(1)'则%=

【变式2-3］已知数列｛。“｝的前”项和为S"，若4=1,g=3,且

S向+S,i=2"+2S”(〃N2,〃eN*),则数列｛为｝的通项公式为

题型三：叠乘法

【典例3-1】(2024•四川泸州•三模)已知S”是数列｛?｝的前"项和，4=1,na,l+l=(«+2)S„,则a“=

【典例3-2］已知数列｛%｝满足：％=1且工-=一心2,〃eN*),则数列｛4｝的通项公式为

an-\n1

【方法技巧］

数列有形如为=/(〃)•/_］的递推公式，且/⑴"(2>"⑺的积可求，则将递推公式变形为

上-=/(〃)，利用叠乘法求出通项公式册.

〃〃一1

【变式3-1］已知数列｛4｝满足％=1,%=4〃；+1，则〃〃的最小值为___.

16

【变式3-2］已知数列｛%｝的前〃项和为S“，且满足4(1+1)(5“+1)=("+2)2凡，则数列｛4｝的通项公式a.

等于—.

2

【变式3-3］已知数列k｝的前n项和为S,,Sn=nan,%=1,则S“=_.

【变式3-4］数列｛凡｝满足：q=|,(2"+2-山用=(2用一2)a"(〃eN*),则｛4｝的通项公式为.

【变式3-5】已知数列也“｝满足q=2,且A+a“=2"a〃+「%)("eN*),则％=_.若——力恒成立，

则2的最大值是—.

题型四：形如册+1=pan+q型的递推式

【典例4-1】已知数｛%｝满足4=2,a“M=5%+12,则数列｛4｝的通项公式%=

【典例4-2］已知数列｛a.｝满足％=2,%+1=3a,+2(〃eN*),则该数列的通项公式。“=

【方法技巧】

设an+l+彳=p(an+2),展开移项整理得anA=pan+(p-1)2,与题设an+1=pan+q比较系数(待定系

数法)得2=—^,(0NO)na“+i+—^=0(。“+—^)+—^=0(4,1+—^)，即［明+―构成以

p-1p-1p-1p-1p-1［夕一1J

为首项，以p为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式求出［"+'一］的通项整理可得

P-1IP-1J

【变式4-1］在数列何｝中，4=4,an+1=3an-2,若对于任意的〃©N*,可4-1"2〃-5恒成立，则实

数上的最小值为—.

【变式4-2］已知数列伉｝满足.=”(1+也+J1+24a“),q=1,求数列&｝的通项公式.

【变式4-3］(2024•高三・河南焦作•开学考试)已知数列｛%｝满足。用=3%+2,a3+a2=22,则满足

%>160的最小正整数n=.

题型五：形如每+i=pan+kn+b型的递推式

【典例5-1］在数列｛%｝中，4=3,且4+|=3%+4〃-6("川)，则｛%｝的通项公式为.

【典例5-2］设数列｛%｝满足q=4,«„=3«„-1+2»-l(n>2),则数列｛叫的通项公式为.

【方法技巧】

设%+A〃+B=p［qi+A(〃-1)+8］,通过待定系数法确定A、3的值，转化成以弓+A+B为首项，

以看'=3不为公比的等比数列｛%+A”+周，再利用等比数列的通项公式求出｛an+An+B｝的通项整

理可得为.

【变式5-1］(2024・高三・河北保定•期中)若％=1，an+1=2alt-3n,„eN*,则与=;

【变式5-2］已知%=1,。用=2。“+(-1)"〃+1.求通项公式册.

【变式5-3】已知数歹!)｛%｝满足。,+1=2。”+3〃2+4/+5，%=1,求数列｛4｝的通项公式.

题型六：形如1+1=pan+r〃型的递推式

+1

［典例6-1］数列包｝满足q=2,an+i=3a,+2",则数列｛%｝的通项公式为%=.

+1

【典例6-2］已知｛。"｝数列满足4=2,an+l-2an=2",则数列｛。”｝的通项公式为.

【方法技巧】

递推公式为为M=pa"+应”（其中p,q,厂均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以4用，得:

^-=£,4+-）引入辅助数列也｝（其中"=&）,得：再应用构造法解决.

qqqqqqq

【变式6-1］已知数列｛4｝满足。用=2%+4.3?%=-1,则数列｛4｝的通项公式为.

【变式6-2］已知数列｛%｝满足*=3%+5x2"+4,4=1,求数列｛4｝的通项公式.

题型七：形如=pa1（p>0,an>0）型的递推式

【典例7-1】（2024•高三・河北•开学考试）已知数列｛。"｝满足［=2,且。用=。；+44+2,则氏=；令

bn=~~^+―二，若也｝的前〃项和为％则S“=.

n

【典例7・2】已知〃=il,an+l-an=2f求知.

【方法技巧】

递推式。〃+1=p〃,两边取对数得lga〃+i=9馆4+lg〃，令b”=lga〃得:优讨=乡勿+lg〃，化归为

型，求出」之后得。"二1。".

【变式7-1］设数列｛。〃｝满足q=a（a>0）,。用=2瓦，证明：存在常数M,使得对于任意的“eN*,

都有%.

【变式7-2］已知数列｛%｝满足勾=3,an+l=al-2a„+2.

证明数列｛ln（%-1）｝是等比数列，并求数列｛%｝的通项公式;

题型八：形如册+1=空型的递推式

Pan'Q

【典例8-1］已知数列｛。"｝满足％=1,。用=肃=，(〃eN*),则4=.

【典例8-2】(2024・江苏南京•模拟预测)已知数列｛。“｝满足4=1,2q+「4+”必出=0(〃eN*),则数列｛4｝

的通项公式为.

【方法技巧】

形如%+1=」％」的递推式，也可采用取倒数方法转化成」一=生工+生形式，化归为%+|=0%+q

P4+qan+lqanp

型求出工的表达式，再求

a“

【变式8-1］已知数列｛/｝满足"=；,且4+百喜丁则数列｛%｝的通项公式为%=—.

【变式8-2］已知数列｛%｝满足4=l，%+i=Uu("eN*),则｛%｝的通项公式为

题型九：形如。n+2=pan+i+型的递推式

【典例9-1］已知数列｛。"｝中％=1,的=3,且满足%+2+34=4%+1.设2=%+1-〃eN*.

⑴求数列也｝的通项公式；

(2)求数列｛%｝的通项公式；

a+a2a

【典例9-2］已知数列｛。"｝满足=1,"2=3，n„+l=n+2＞求｛?｝的通项公式.

【方法技巧】

用待定系数法,化为特殊数列｛4-a-｝的形式求解.方法为：设4+2-3”+1=以4+1-3），比较系数

得h+k=p,-hk=q,可解得%、%,于是｛a用-他｝是公比为力的等比数列，这样就化归为%+1=%,+q型.

311

【变式9-1］已知数列｛”“｝满足%+I=；。“-5。”一《让2）,且％=］，%=1.求数列｛4｝的通项公式；

21

【变式9-2］已知数列｛〃〃｝中，4=1,%=2,%+2=耳。〃+1+§。〃，求｛4｝的通项公式.

题型十：形如W型的递推式

Pan+Q

【典例10-1］（2024.湖南益阳.一模）已知数列｛%｝中，q=l,«„+i=f-—,若6“=」^,则数列也｝

的前”项和S,=___.

2a—1

【典例10-2］已知数列｛%｝满足4=2,%=合1，贝心=—.

/十一

【方法技巧】

用待定系数法.

1

【变式10-1］已知数列｛%｝满足％=2,a„=贝以=一.

+14+2

【变式10-2］己知q=3,。向则｛40｝的通项公式为一.

〃〃一,

题型十一：已知通项公式斯与前〃项的和S”关系求通项问题

【典例11-1］在数列｛%｝中，G=g,前”项和S,,=〃（2〃-l）a“，则数列｛%｝的通项公式为

n+1

【典例11-21己知数列｛%｝的前"项和为S“，an+1=S„+2.,1=2,则S“=

【方法技巧】

求解生，与S”的问题，方法有二，其一称为类比作差法，实质是转化S“的形式为0”的形式，适用于S.

的形式独立的情形，其二称为转化法，实质是转化为的形式为S”的形式，适用于S”的形式不够独立的情形;

不管使用什么方法，都应该注意解题过程中对"的范围加以跟踪和注意，一般建议在相关步骤后及时加注

n的范围.

【变式11-1］（2024.全国.模拟预测）己知正项数列｛4｝的前”项和为S“，且°；+域+

求内和电的值，并求出数列｛%｝的通项公式；

【变式11-2］（2024.陕西渭南.统考二模）己知数列｛%｝中，前”项和为S,.若

4=向+£7（〃eN*,〃>2）,则数列的前2023项和为.

【变式11-3】已知各项为正数的数列也,｝的前几项和为%满足5m+5,=；心吗=2.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

⑵设a=今，求数列也｝的前几项的和

【变式11-4】记S“为数列｛%｝的前九项和.已知—肃+〃=2%+1.证明：｛%｝是等差数列;

【变式11-5］（2024.海南海口•海南华侨中学校考一模）已知各项均为正数的数列｛%｝满足2底=%+1,

其中晶是数列｛凡｝的前n项和.求数列｛4｝的通项公式

【变式11-6］已知数列｛4｝的前〃项和S“，且满足2s“+a“=l.

(1)求｛。”｝的通项公式；

8

(2)记数列｛%｝的前〃项乘积为T,,求才的最小值.

1n

【变式11-7］已知数列｛an｝是递增数列,其前〃项和S,满足25“=吊+n.

(1)证明：｛4｝是等差数列；

⑵记勿=F*'暗数列也｝的前几项和为1,，求七.

为偶数

【变式11・8］数列｛4｝的各项均为正数，已知前〃项和S“且。“+工=2乂，求｛g｝的通项公式.

【变式11-9］数列｛4｝的前〃项和记为S“，已知2s“eN*.

(1)求证：｛4｝是等差数列；

⑵若%-3,/-3,q-3成等比数列，求S”的最大值.

【变式11-10]设正项数列｛aj的前”项和为s“，且满足%=2,*=25“+”+1.

⑴求｛%｝的通项公式；

⑵若2=7"1+2,数列也｝的前〃项和为T.,对任意“eN*,丁2〒22/-5〃-7恒成立，求实数九

“M+i,21-/“

的取值范围.

s„ia„~用=|aa

【变式11-11】记S,,为数列｛a“｝的前〃项和，已知：%=1,«„>0,+S/,n+1neN*).

(1)求证：数列1｝，是等差数列，并求数列｛?｝的通项公式:

(2)求数列｛(-1)向凡•平｝的前n项和Tn.

【变式11-12](2024•全国•模拟预测)已知数列｛%,｝的前〃项和为S“，且4=-2,

S"+i+S“=a“+i+2nan-n^+n,〃eN*•

(1)求数列｛。“｝的通项公式；

(2)若(2伙・3限-%)对任意的“eN*恒成立，求实数左的最小值.

【变式11-13](2024•河南•二模)在数列｛4｝中，4=2,对任意正整数"，均有“3=2〃+2.数列也｝

满足：g+*+'+^-=n2,neN*.

⑴求数列｛%｝和也｝的通项公式；

⑵若g=%,求数列｛c〃｝的前〃项和S「

【变式11-14］设S,为数列｛%｝的前几项和，已知的=1，25“=〃凡.求｛2｝的通项公式;

【变式11-15］已知数列｛%｝满足q=1,%=%+2a2+34+-+(n-l)a„_1(n^2),求｛%｝的通项公式.

22

【变式11-16］已知数列｛4｝的前几项和为S",(7,=1,nSn+i=｛rr+4n+2)an+n(S„+a„)(neN*).

⑴证明数列［叁｝为等比数列，并求数列｛为｝的通项公式；

2

⑵设a„+〃,=("+1)-2"T,求数列出｝的前n项和Tn.

题型十二：周期数列

【典例12-11(2024•海南海口•一模)洛卡斯是十九世纪法国数学家，他以研究斐波那契数列而著名.洛卡

斯数列就是以他的名字命名，洛卡斯数列区,｝为：1,3,4,7,11,18,29,47,76,,即4=1,4=3,且

小=Ln+l+LneN*).设数列｛Ln｝各项依次除以4所得余数形成的数列为｛%｝,则%必=—.

【典例12-21(2024・陕西西安.模拟预测)数列｛%｝满足。用=《-,%=3,则4=—.

1—an

【方法技巧】

(1)周期数列型一：分式型

(2)周期数列型二：三阶递推型

(3)周期数列型三：乘积型

(4)周期数列型四：反解型

2an,0<an<^

【变式12・。已知数列何｝满足%+]4=g'则。2024=

C1II

2。〃<1

2024

【变式12-2】(2024.河北•模拟预测)在数列｛%｝中，at=-l,a2=0,an+2+an=an+l,则£q=.

Z=1

【变式12-3](2024•河北唐山二模)已知数列｛%｝中，q=l,+(-1)"«„+1=2,则%=,数列｛%｝

的前2023项和S2023=

【变式12-4]已知数列｛。"｝满足q=2,*=,则%。23=

3a„+1,a.为奇数

【变式12-5](2024•辽宁・模拟预测)已知数列｛?｝的前"项和为S",4=3,且=</7

住4为偶数

若鼠=90,则加=

题型十三：前“项积型

【典例13-1】已知各项均为正数的数列｛a〃｝,H"=qx%xxa”,且q,+口“=1.求｛4｝的通项公式;

【典例13-2]已知数列｛an｝的前〃项和为S”，且满足an>0,S.=，数列也｝的前〃项积7；=2M.求数

列｛4｝和也｝的通项公式;

【方法技巧】

类比前〃项和求通项过程:

(1)n=l1得4

(2)〃之2时，an=-7-.

【变式13-1］设(为数列｛氏｝的前〃项积.已知黄■一冒=2.求｛%｝的通项公式;

「、15-1

【变式13-2］设S,为数列，,｝的前〃项和,，为数列⑸｝的前〃项积，已知书

⑴求岳,52；

(2)求证:数列为等差数列;

(3)求数列｛%｝的通项公式.

【变式13-3】己知7“为数列何｝的前"项的积，且4=：,3为数歹式瑞的前〃项的和，若

北+2s£T=0"N*,«-2).

(1)求证：数列［是等差数列;

(2)求｛4｝的通项公式.

题型十四：“和”型求通项

【典例14-1］(2024・湖南永州•二模)己知数列｛%｝满足/=一1，%+%+1=J/cos与，贝!|电40=______

4162

2

【典例14-2](2024・高三・江苏•期末)若数歹!]{4}满足%=%=1,an+an+1+an+2=n(〃eN*),贝I

4100=___•

【方法技巧】

满足〃〃+]+=/(〃)，称为"和"数列，常见如下几种：

(1)“和”常数型

(2)“和”等差型

(3)“和”二次型

(4)“和”换元型

【变式14-1](2024•河南月考)若数列｛q｝满足吐+也=以左为常数)，则称数列｛4｝为等比和数列，k

aa

„+ln

称为公比和，已知数列｛%｝是以3为公比和的等比和数列，其中q=1,1=2,则。2108=—•

【变式14-2】(2024•山西太原•一模)数列｛。“｝满足风+%+i="2sinj|^,〃eN*,则q+a4°=.

【变式14-3]数列｛为｝满足qeZ,an+x+an=2n+3,且其前w项和为S..若无=册，则正整数加=(

A.99B.103C.107D.198

【变式14-4]数列｛。,,｝满足：q=0,。,+1+。“=2〃，求通项

题型十五：正负相间讨论、奇偶讨论型

%+2,〃为奇数

【典例15-11(2024・高三.湖南常德•期末)己知数列｛凤｝满足首项q=1,an+l3%,“为偶数’”数列

｛%｝的前2"项的和为.

a

【典例15-2］已知数列｛2｝满足q=1,a2k=。2*-1+1，2k+i~2。2K11,左eN*,则。2023=_____

【方法技巧】

(1)利用"的奇偶分类讨论，观察正负相消的规律

(2)分段数列

(3)奇偶各自是等差，等比或者其他数列.

【变式15-1]已知数列｛%｝的前“项和为S“，满足弓=1,。向=["、(%eN*).

IZ,AZ—ZK

⑴若数列｛"｝满足bn=(〃eN*),求也｝的通项公式;

(2)求数列｛《｝的通项公式，并求$2“.

【变式15-2]数列｛%｝满足氏+z+(T严4=3”-1,前16项和为540,则的=.

【变式15-3](2024•夏津县校级开学)数列｛4｝满足4+2+(-律%=3"T，前16项和为508,则。产

题型十六：因式分解型求通项

【典例16-1](2024•安徽月考)已知正项数列｛%｝满足：al=a,a；+l-4a；+an+l-2an=0,neN*.

(I)判断数列｛七｝是否是等比数列，并说明理由；

(II)若a=2,设%=6"-〃.nwN*，求数列｛2｝的前T项和S“.

【典例16-2】(2024•怀化模拟)己知正项数列｛%｝满足弓=1,2a；-6心=0("..2,〃eN*)设

b”=log2an.

(1)求伪，b2b3；

(2)判断数列出/是否为等差数列，并说明理由；

(3)｛〃｝的通项公式,并求其前w项和为S“.

【方法技巧】

利用十字相乘进行因式分解.

【变式16-1](2024•仓山区校级月考)已知正项数列｛a,,｝满足q=2且("+l)a；+anan+l-na^+l=0(neN*)

(I)证明数列｛”"｝为等差数列；

(II)若记a=」一，求数列｛2｝的前〃项和S”.

4A+i

【变式16-2]已知正项数列｛2｝的前〃项和S“满足：S；-("2+"-l)S“-"("+l)=05eN*),数列｛么｝满

足久吟,且%+〃=O(“eN*).

(1)求4的值及数列｛%｝的通项公式；

(2)设g=(2"+lD,数列｛.｝的前"项和为T”，求T”.

s”

题型十七：双数列问题

a——Q—2b

二'A"."，且％=2也=4.

{%=6a,+6bti

⑴证明:{%+i-2%}为等比数列；

(2)求{?},{4}的通项.

【典例17-2](2024.吉林长春.模拟预测)已知数列｛%｝和也｝满足卬=2,4=0,2aHn+1,

%+1+22=3"+1，贝1」。“一"=,an+bn=

【方法技巧】

消元法.

【变式17-1】(2024•河北秦皇岛•三模)已知数列｛?｝和也｝满足

13

4=_]31=],4〃〃+1=3〃“一勿+4,4么+1=32一〃〃_4.

(1)证明：｛为+〃｝是等比数列，｛4-勿｝是等差数列；

(2)求｛为｝的通项公式以及｛"〃｝的前〃项和Sn.

【变式17-2］两个数列｛4｝、也｝满足q=2,4=1,an+i=5an+3bn+l,2旬=3%+52（其中〃©N*）,

则｛凡｝的通项公式为g=.

题型十八：通过递推关系求通项

【典例18-1】已知某中学食堂每天供应3000名学生用餐，为了改善学生伙食，学校每星期一有A,8两

种菜可供大家免费选择（每人都会选而且只能选一种菜）.调查资料表明，凡是在这星期一选A种菜的，下

星期一会有改选种菜；而选种菜的，下星期一会有改选种菜.用°分别表示在第〃

20%8840%Ann

个星期一选A的人数和选8的人数，如果%=2000.

（1）请用〃n，bn表示〃n+1与bn+l[;

（2）证明：数列依-2000｝是常数列.

【典例18-21（2024•云南昆明•模拟预测）南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积,

体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”.在他的专著《详解九章算法•商功》中，杨辉将堆垛与相

应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式.如图，“三角垛”的最上层有1个球,

第二层有3个球，第三层有6个球……第”+1层球数比第"层球数多〃+1,设各层球数构成一个数列｛%｝.

求数列｛%｝的通项公式;

【方法技巧】

通过相邻两项的关系递推.

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【变式18-1】(2024•辽宁・二模)在直角坐标平面内，将函数/(元)