2025年新高考数学一轮复习：数列的基本知识与概念（六大题型）（练习）（学生版+解析）

第01讲数列的基本知识与概念

目录

01模拟基础练..................................................................2

题型一：数列的周期性...........................................................2

题型二：数列的单调性...........................................................2

题型三：数列的最大（小）项.....................................................3

题型四：数列中的规律问题.......................................................3

题型五：数列的恒成立问题.......................................................4

题型六：递推数列问题...........................................................5

02重难创新练..................................................................6

03真题实战练..................................................................8

题型一：数列的周期性

1.（2024・四川广安•二模）已知数列｛4｝满足％=2,（weN*）,贝（）

11

A.—3B.—C.D.2

23

2.（2024•河南新乡•二模）已知在数列｛%｝中，。2=—+。〃+2=。，则。2024=（）

A.-2B.-1C.1D.2

3.若数列｛%｝满足q=2,g=3,%=4tL（心3且"€河），则出必的值为（）

an-2

12

A.3B.2C.：D.-

23

4.（2024•广西南宁•一模）已知数列｛%｝的首项弓=。（其中awl且。片0）,当时，％=匚」，则

1—an-\

。2024=（）

A.aB.------C.1----D.无法确定

1-aa

题型二：数列的单调性

5.已知数列｛%｝的通项公式为%=蒯2—几—2,若｛%｝为递增数列，则上的取值范围为（）

A.（l,+oo）B.（0,+8）C.；什8）D.t,+s]

6.（2024•内蒙古呼伦贝尔•二模）已知递增数列｛4｝的前〃项和为S“，若4=1,Sn+l+2an+l-3=-Sn,则

上的取值范围为（）

A.（0,4）B.（4,+«）C.（0,3）D.（3,+功

7.（2024・高三・河南・期末）已知数列｛%｝是单调递增数列，an=m[r-^-ir,„eN,,则实数加的取值范

围为（）

A.[2,+oo）B.（1,2）

C.[I’+sJD.（2,3）

8.已知等差数列｛4｝的前”项和为S"，公差为d,且｛5,,｝单调递增，若%=6,则d的取值范围为（）

A.0,|JB.。，：]C.HD.[0,2）

9.已知数列｛%｝的通项公式为"-2初，当它为递增数列时，%的取值范围是（）

,3,3

A.k<—B.k4—

22

C.k<\D.k<\

题型三：数列的最大（小）项

已知数列｛加｝的通项公式为%=9",：1）,则此数列的最大项为（）

10.

99

A10999

A-TB.——C—D-m

10109

S„+9

11.（2024・广东广州.一模）已知数列｛%｝的前〃项和邑=1+〃,当」一取最小值时，«=

%

12.（2024・高三・广东潮州•期末）设等差数列｛%｝的前几项和为S〃，且、。=。，几=25,若％=〃,S〃，则

数列色｝中最小项的值为.

13.（2024•上海普陀•一模）若数列｛%｝满足4=12,an+｝=a„+2n（n>l,neN）,则”的最小值是.

n

14.已知数列｛%｝的通项公式4字，则数列｛。,｝的最大项的值为________;数列｛《,｝的最小项的值

n—11.5

为.

题型四：数列中的规律问题

15.（2024・浙江.模拟预测）任意大于1的正整数机的三次赛均可“分裂”成相个连续奇数的和，如：23=3+5,

33=7+9+11，43=13+15+17+19,…，按止匕规律，若病分裂后，其中有一个奇数是2019,则相的值是（）

A.46B.45C.44D.43

16.（2024・福建厦门•一模）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒

或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所示的1,5,12,22被称为五边形数，将所有的五边形数从

小到大依次排列，则其第8个数为（）

D.117

17.（2024•全国.模拟预测）公元前6世纪，希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描绘成沙滩

上的小石子，用它们进行各式各样的排列和分类，叫作“形数”.用3颗石子可以摆成一个正三角形，同样用

6颗石子或者10颗石子可以摆成更大的三角形.毕达哥拉斯学派把1,3,6,10等叫作“三角数”或“三角形

数”.同时他们还摆出了正方形数、五边形数、六边形数和其他多边形数.如图所示即摆出的六边形数，那

么第20个六边形数为（）

18.（2024.海南.模拟预测）“大衍数列”来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释

中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统文化中的一大瑰宝.已知“大衍数列”的前10项分别为

0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,，据此可以推测，该数列的第15项与第60项的和为（）

A.1012B.1016C.1912D.1916

题型五：数列的恒成立问题

19.（2024.高三.陕西渭南.期中）已知数列｛为｝的前”项和为S"，数列｛〃｝的前〃项和为1，满足4=2,

3S,=（a+2）a“，且。也=（若对任意〃eN*，恒成立，则实数2的最小值为.

20.已知数列｛%｝的通项公式为.若对于任意〃eN*,不等式2%（4-4）＞口-11恒成立，则实数

X的取值范围为.

21.在数列｛%｝中，4=5,%=4?-3,若对任意的〃€z,以0,-1）22"-5恒成立，则实数%的最小

值

题型六：递推数列问题

22.(2024•陕西咸阳•三模)在数列｛%｝中，％=1,an+i=an+2n-\,则%=()

A.43B.46C.37D.36

23.(2024•北京昌平•二模)已知数列｛%｝满足。用=24,%=4,则数列｛凡｝的前4项和等于()

A.16B.24C.30D.62

24.我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方千米，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进

行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲I,同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠.设从今年

起第n年绿洲面积为凡万平方千米.

(1)求第n年绿洲面积an与上一年绿洲面积%5>2)的关系；

(2)至少经过几年，绿洲面积可超过60%?(1g2^0.3010)

0

25.(2024•天津河西•模拟预测)已知桶4中盛有3升水，桶稣中盛有1升水.现将桶&中的水的;和桶纬中

的水的|倒入桶4中，再将桶4与桶片中剩余的水倒入桶耳中；然后将桶A中的水的;和桶田中的水的;

倒入桶A中，再将桶A与桶B｛中剩余的水倒入桶B2中；如此继续操作下去.

(D求操作1次后桶耳中的水量；

(2)求操作“次后桶纥中的水量；

(3)至少操作多少次，桶4(〃eN*)中的水量与桶田(〃eN*)中的水量之差小于'升？(参考数据：

lg2«0.3010,lg3~0.4771)

匐2

3a,+1,%为奇数

1.（2024•甘肃兰州•一模）数列｛%｝满足q=2皿1an+l=\1斗/用新，则劭侬=（）

”，凡为偶数

A.5B.4C.2D.1

2.（2024・高三・山西大同•期末）等比数列｛%｝中，J为其前"项和，4=1,且4q,2%,生成等差数列，则

鼠（〃eN*）的最小值为（）

A.yB.-C.—D.1

2925

3.（2024・山东济南•二模）已知｛4｝是各项均为正整数的递增数列，｛4｝前"项和为S"，若S.=2024,当〃

取最大值时，%的最大值为（）

A.63B.64C.71D.72

4.（2024・河南•模拟预测）“角谷猜想”首先流传于美国，不久便传到欧洲，后来一位名叫角谷静夫的日本人

又把它带到亚洲，因而人们就顺势把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是指一个正整数，如果是奇数就乘以3

再加1,如果是偶数就除以2,这样经过若干次运算，最终回到1.对任意正整数劭，按照上述规则实施第"次

运算的结果为a.（〃eN）,若％=1，且@。=1,2,3,4）均不为1,则/=（）

A.5或16B.5或32

C.5或16或4D.5或32或4

5.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数

分成许多类，如图中第一行的1,3,6,10称为三角形数，第二行的1,4,9,16称为正方形数，第三行

的1,5,12,22称为五边形数.则三角形数、正方形数所构成的数列的第5项分别为（）

6.（多选题）（2024・浙江绍兴二模）已知等比数列｛凡｝的公比为q,前〃项和为加前〃项积为T“，且VaeN*,

叫<。，贝U（）

1-4

A.数列｛4｝是递增数列B.数列｛%｝是递减数列

C.若数列｛，｝是递增数列，则,>1D.若数列｛北｝是递增数列，则4>1

7.（多选题）（2024•辽宁•一模）已知数列｛%｝的首项为4,且见+e%，心=7,则（）

A.存在为使数列｛%｝为常数列

B.存在为使数列｛%｝为递增数列

C.存在%使数列｛4｝为递减数列

D.存在%使得q2a,恒成立

8.（多选题）意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1,1,2,3,5,8,

13,.…即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这一列数称为斐波那契数列.下

面关于斐波那契数列｛4“｝说法正确的是（）

A.《2=144

B.42022是奇数

C.%022=%+%+%++”2020

D.。2020+“2024=3。2022

9.（2024・四川雅安•模拟预测）已知数列｛%｝满足%+2=3。用-2〃"，%="%=2,｛%｝单调递增，贝期的

取值范围为.

10.数列｛%｝的通项公式是-桁，若数列｛%｝是递增的，则实数上的取值范围是.

11.（2024.重庆.二模）记正项数列｛%｝的前“项和为S"，若S"=weN*,则量+笥的最小值

23〃

为.

12.（2024•全国•模拟预测）已知等差数列｛an｝和等比数列也｝满足q+a2=b1+b2=30,a3+a,=b3+b4=lQ,

则数列｛a的“｝在n=时取到最小值.

13.（2024・重庆•一模）已知数列｛《,｝的前〃项和为S”，且S“=2%-1,记（=。；+靖+医++力，则

Z,=;若数歹U｛2｝满足b„=3Tn-20/7-3,则々+&+&+L+2的最小值是.

14.（2024•全国•模拟预测）设数列｛q｝的前”项和为S“，且5向+5“=〃2.若。用>4对〃eN*恒成立，则

%的取值范围为.

15.（2024・高三•黑龙江大庆•期末）已知数列｛4｝满足：4+々+§++巧+2=77,设数列/:、>

23n-1n［（几+2）〃〃

的前〃项和为若对于任意的〃EN*,不等式丸恒成立，则实数X的取值范围为.

an+1,几为偶数;

299

16.数歹（］｛?｝定义如下：4=1,且当〃22时，〃〃=1，已矢口%=彳，贝!J正整数〃的值为______.

---，几为奇数.7

an-X

17.已知数歹U｛%｝满足4+1+（—1）"=2〃-1.若%=1,贝！1%=;前60项和为.

18.（2024.陕西西安.模拟预测）数列｛氏｝满足4+1%=3,贝！J%=______.

A一

1.（2021年浙江省高考数学试题）已知数列｛%｝满足4=1，%+1=己\（〃€?4*）.记数列｛%｝的前〃项和

为S”，则（）

399

A.务<Si。。<3B.3<SI00<4C.4<S100<—D.—<SI00<5

2.（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）等比数列｛a“｝的公比为分前w项和为S“，设甲：q>0,乙:

由｝是递增数列，则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

3.（2019年浙江省高考数学试卷）设a,力e数列｛%｝中，4=+6,〃eN*,则

A.当6=],q0>10B.当b=z，%（）>10

C.当6=-2,弓。>10D.当》=-4,4。>10

4.（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（辽宁卷））设等差数列｛4｝的公差为d,若数列｛2%｝

为递减数列，则

A.d<QB.d>0C.axd<0D.axd>0

5.（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖北卷））传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经

常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数：

13610

将三角形数1,3,6,10,…记为数列｛%｝,将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列他,｝,

可以推测：

（I）优。12是数列｛%｝中的第项；

（II）砥-=.（用左表示）

6.（2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（福建卷））五位同学围成一圈依序循环报数，规定：

①第一位同学首次报出的数为1,第二位同学首次报出的数也为1,之后每位同学所报出的数都是前两位同

学所报出的数之和；

②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次.

已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为.

7.（2010年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科数学）已知数列｛。,｝满足弓=33,〃m-。“=2”,

则山的最小值为.

n

8.（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国II卷））数列｛〃〃｝满足〃计1=7^,4=2,

[~an

贝I%=•

2V

9.（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）记S“为数列｛%｝的前"项和.已知一+"=2%+1.

n

（1）证明：｛%｝是等差数列;

⑵若%，%，生成等比数列，求5“的最小值.

10.(2018年全国普通高等学校招生统一考试数学(江苏卷))设〃eN*,对1,2,…，n的一个排列牲"，

如果当s<f时，有力>%,则称a,力是排列论力的一个逆序，排列泣M的所有逆序的总个数称为其逆序

数.例如：对1,2,3的一个排列231,只有两个逆序(2,1),(3,1),则排列231的逆序数为2.记力出为

1,2,”的所有排列中逆序数为左的全部排列的个数.

⑴求力(2),力(2)的值;

(2)求力⑵缶25)的表达式(用”表示).

第01讲数列的基本知识与概念

目录

01模拟基础练..................................................................2

题型一：数列的周期性...........................................................2

题型二：数列的单调性...........................................................2

题型三：数列的最大（小）项.....................................................3

题型四：数列中的规律问题.......................................................3

题型五：数列的恒成立问题.......................................................4

题型六：递推数列问题...........................................................5

02重难创新练..................................................................6

03真题实战练..................................................................8

题型一：数列的周期性

1.（2024・四川广安•二模）已知数列｛4｝满足q=2,（MN*）,贝（）

A.-3B.--D.2

2c1

【答案】A

—1

【解析】因为6-2,%=",

%+11

a,—11%—11

所以的=4=

，3出+2

ax+131

6Z3-1_=/T=2

“57”，，

4—I，。4+1

又2024=4x506,所以。2024=g=-3

故选：A

2.（2024•河南新乡•二模）已知在数列｛〃“｝中，的=—2,%+%+2=。，贝！J%024=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】由。2=—2,an+。〃+2=。可得。4=2,4=—2,%=2,…,

—

因此a2n—(1)2,故%024=2,

故选：D

3.若数列｛叫满足q=2,%=3,4=上（△3且〃N*）,则〃2024的值为（）

an-2

1?

A.3B.2C.-D.-

【答案】A

【解析】因为4=2,%=3,风=也小23且〃©N*）,

a„-i'

3a.1a.1a.2a,a

所以%=3=54=%=了%=7=14=或=}%=1=2,融=1n=3,

所以数列｛%｝具有周期性，且7=6,所以为024=。337*6+2=%=3.

故选：A.

、1

4.（2024.广西南宁•一模）已知数列｛r2｝的首项％=〃（其中awl且。。0）,当时，%=匚；—,则

,1

%024=()

1

A.aB.——C.1--D.无法确定

1一〃a

【答案】B

1a-11

1a.a4a

l=,~a-l~,故数列｛4｝的周期为3

【解析】ax=a,c2i---，1Lat

\—a

1-Qa

1

故々2024=々3x674+2=〃2=-----

\-a

故选：B

题型二：数列的单调性

5.已知数列｛%｝的通项公式为%=加2—几—2,若｛〃〃｝为递增数列，则上的取值范围为（）

1

A.(l,+oo)B.(0,+动C.—,+ooD.3，+°°

2

【答案】D

【解析】—n—2,若｛%｝为递增数列，则q+i>Q”（〃£N*）,

有左(〃+1)2—(〃+1)—2>kn2-n-2,解得k>—-—(neN*),

2n+l

则左〉（-2〃+l"

当〃=1时,(2"+Jp所以

则％的取值范围为（g,+8）.

故选：D.

3

6.（2024•内蒙古呼伦贝尔•二模）已知递增数列｛%｝的前〃项和为S“，若%=1,S„+1+2fl,i+1-3=1s„,则

K

上的取值范围为（）

A.（0,4）B.（4,+a））C.（0,3）D.（3,+oo）

【答案】C

【解析】当九=1时，S2+2g—3=—E，即1+%+2出一3二—,贝lj%=--------.

kk3k

33

当“22时，由5向+2见+「3=75”,得S,+24一二九，

kk

32k+32k+3

得。用+2。用一2%=/%，则3aM=^^，易知”,产°，即比"

kk〃〃JR

左+、

又一a,=2F一3,所以,｛%｝是首项为1,公比为毛2k+23的等比数列.

63K3K

又｛%｝单调递增，所以与^>1,解得。〈人<3.

故选：C

7.（2024・高三.河南・期末）已知数列｛七｝是单调递增数列，%=祖（2"-1）-],〃eN*,则实数加的取值范

围为（）

A.（2,+oo）B.（1,2）

C.||，+口D.（2,3）

【答案】C

【解析】由题意可得。“=皿2"-1）-1,由于数列｛%｝为单调递增数列，

aa

即VMeN*，,,+i~n="z（2"M—1）—（〃+1）-1）—=m-2"—2n—l>0,

整理得根〉丝虫，

令b.=E2〃+32n+l1—2〃

则b~b=<0,

n+ln2n+1

所以数列也｝单调递减，故乙号是数列圾｝的最大项,

则机的取值范围为[],+aoj,故C正确.

故选：C.

8.已知等差数列｛qj的前”项和为S"，公差为d,且｛5｝单调递增，若。5=6,则d的取值范围为（）

A.0,|JB.。,雪C.HD.[0,2）

【答案】D

【解析】由｛%｝为等差数列，且%=6,所以%=6+（〃-5）d,

因为数列｛S“｝为递增数列，则%=5,-Si>0,即｛%｝从第二项开始，各项均为正数，

又因为%>0（〃、2）恒成立，所以数列｛%｝为常数数列或递增数列，所以

则有为=6+（2-5）d=6-3d>。，解可得d<2,

综上可得，0<d<2,所以实数d的取值范围为［0,2）.

故选：D.

9.已知数列｛g｝的通项公式为%=r-2切，当它为递增数列时，上的取值范围是（）

,3,3

A.k<—B.k4—

22

C.k<\D.k<\

【答案】A

【解析】因为｛q｝是单调递增数列，所以对于任意的weN*，都有

91

即（〃+1）-2^（n+l）>n2-2kn,化简得左<〃+耳，

1133

所以％<几+7对于任意的〃£N*都成立，因为〃+72大，所以上<彳.

2222

故选：A

题型三：数列的最大（小）项

10.已知数列｛加｝的通项公式为4=9"、：1）,则此数列的最大项为（)

A1099999

A-TB.C.D-m

10谈

【答案】D

9向(〃+2)—9"("1)_9"8-"

【解析】方法一:氏+「q=

10"+110〃10"10

当〃<8时，4+1—>0,即。用>4；

当〃=8时，an+1-an=O,即an+1=an；

当">8时，an+l-an<0,即。“+］〈风，

所以％<%<。3<。8=%>。10>>…，

89

所以数列他「“、｝有最大项，为第8项和第9项，且4=%=谭QX9=京Q

an2an-l

方法二：设数列｛4｝的第"项最大，则

%2an+l

9”(w+l).9f

--1

mio"_IO"

+1

9"(n+l)>9"(n+2)

、io”---io^―一

解得8<"V9,又"eN*，贝1]"=8或〃=9,

Q9

故数列｛为｝有最大项，为第8项和第9项，且为=%=」.

故选：D

11.(2024・广东广州•一模)已知数列｛%｝的前〃项和S,,=1+",当鼠三取最小值时，〃=.

an

【答案】3

2

【解析】因为5“="2+〃，则当“22时，an=Sn-Sn_l=n+n-(n-lf-(n-l)=2n,

又当”=1时，％=S[=2,满足%=2w,故a“=2〃；

,5„+92+n+91(9、1

则n二厂=n1一=-«+-+--

%2n2vnJ2

乂y=x+g在(1,3)单调递减，在(3,+s)单调递增；

95+9

故当〃=3时，〃+=取得最小值，也即〃=3时，-一取得最小值.

n〃〃

故答案为：3.

12.(2024.高三・广东潮州•期末)设等差数列｛%｝的前〃项和为S“，且兀=0,几=25,若…£,则

数列圾｝中最小项的值为

【答案】-49

【解析】设等差数列｛4｝的公差为d，由品)=0,兀=25,

10(10-1)

%=-3

2解得L2，所以S“=；〃2

15(15-1)a=—

[3

2

所以仇=小5“=:"一段"，

令/(x)=gx3-gx2(x>0),贝i]/'(x)=x2-gx,

所以当0<》<当on时r(x)<0,当70时用x)>0,

所以/'(X)在上单调递减，在(m，+8)上单调递增,

又d=一48,Z?7=-49,所以4>Z?7<为<b9V

所以当〃=7时幻取得最小值-49.

故答案为：-49

13.(2024.上海普陀.一模)若数列｛叫满足％=12,an+I=an+2n(n>l,”N),则生的最小值是.

【答案】6

【解析】由已知%-4=2,。3-。2=4,…，an-an_x=2(n-l),n>2,

所以。〃=4+(%—4)+(。3—。2)++(〃”=12+2+4++2(n—1)=12+n(n—1)=n2—n+12,几>2,

又q=12也满足上式，所以4=/一〃+12,

设/（尤）=1+=-1,由对勾函数性质知/（力在（0,2%）上单调递减，在（26,+切）递增,

X

因此｛2｝在“V3时递减，在〃24时递增,

n

D%C1214121-

又一=3-1------1=6,—=4-1-------1=6,

3344

所以生的最小值是6,

n

故答案为：6.

14.已知数列｛4｝的通项公式%=且坐，则数列｛%｝的最大项的值为_______;数列｛%｝的最小项的值

n—11.5

为.

【答案】25-23

.ATI工L、〃+0.512

【解析】由2=——=1+

〃一11.5n-11.5

则当时，。〃随〃的增大而减小，且。〃＜。；

当〃N12（〃£Z）时，。〃随“的增大而减小，且为＞0,

所以数列｛4｝的最大项的值为牝=25；最小项的值为4=-23.

故答案为：25；-23.

题型四：数列中的规律问题

15.（2024・浙江•模拟预测）任意大于1的正整数机的三次幕均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：23=3+5,

33=7+9+11,43=13+15+17+19，…，按此规律，若加分裂后,其中有一个奇数是2019,则m的值是（）

A.46B.45C.44D.43

【答案】B

【解析】题目所给规律可以表示为等式用=（病-m+1）+-777+3）+...+（77J2-777+2/71-1）,

故由题目条件知机2—m+1<2019<m2—m+2m—1,即m2—m-2018<0,firn2+m—2020>0.

故<加（加一1）<2018,>m（m+l）>2020,

这得至I]44<J2020-^<m<J2018+1<46,从而加=45.

2

故选：B.

16.（2024・福建厦门.一模）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒

或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所示的1,5,12,22被称为五边形数，将所有的五边形数从

小到大依次排列，则其第8个数为（）

【解析】由题图及五边形数知：后一个数与前一个数的差依次为4,7,10,13,16,19,22,■,

所以五边形数依次为1,5,12,22,35,51,70,92,…，即第8个数为92.

故选：C

17.（2024.全国•模拟预测）公元前6世纪，希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描绘成沙滩

上的小石子，用它们进行各式各样的排列和分类，叫作“形数”.用3颗石子可以摆成一个正三角形，同样用

6颗石子或者10颗石子可以摆成更大的三角形.毕达哥拉斯学派把1,3,6,10等叫作“三角数”或“三角形

数”.同时他们还摆出了正方形数、五边形数、六边形数和其他多边形数.如图所示即摆出的六边形数，那

么第20个六边形数为（）

A.778B.779C.780D.781

【答案】C

【解析】六边形数从小到大排成一列，形成数列{%},

依题意，%=1=1x1,%=6=2x3,%=15=3x5,=28=4x7,%=45=5x9,归纳得=〃（2〃一l）,

所以的。=780.

故选：C

18.（2024.海南•模拟预测）“大衍数列”来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释

中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统文化中的一大瑰宝.已知“大衍数列”的前10项分别为

0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,，据此可以推测，该数列的第15项与第60项的和为（）

A.1012B.1016C.1912D.1916

【答案】C

【解析】观察此数列，偶数项为2,8,18,32,50,…,可得此时满足」=2/,

奇数项为°,4,12,24,40,,可得,

所以"16=2x8?=128,Wgg=2x302=1800,则=46-2x8=112,

所以。15+=112+1800=1912.

故选：C.

题型五：数列的恒成立问题

19.（2024・高三・陕西渭南.期中）已知数列｛4｝的前〃项和为S“，数列｛£｝的前〃项和为1，满足％=2,

3s“=（〃+2应，且。也=：.若对任意〃©N*,2＞北恒成立，则实数2的最小值为.

【答案】:/0.5

【解析】因为3s“=（”+2）为，所以当“22时,3sl=（〃+1）%,

相减得3%=（〃+2）%—（几+1）q_1,即二一77（"22）,

an-ln-L

a,n+1nn—1X，332=〃(〃+1),

所以见=Jj/xx—x-x=---x----x----x

3211八

an-\an-23a2axn-1n—2n