2025年中考数学一轮复习：三角形及全等（练习）（解析版）

考点15.三角形及全等（精练）

限时检测1:最新各地模拟试题（50分钟）

1.（2023•山西朔州•校联考模拟预测）如图是位于汾河之上的通达桥，是山西省首座独塔悬索桥，是连接

二青会的水上运动、沙滩排球等项目及场馆的主要通道，被誉为"时代之门桥身通过吊索与主缆拉拽着

整个桥面，形成悬索体系使其更加稳固.其中运用的数学原理是（）

A.三角形具有稳定性B.两点确定一条直线

C.两点之间，线段最短D.三角形的两边之和大于第三边

【答案】A

【分析】根据三角形具有稳定性进行求解即可.

【详解】解：国三角形具有稳定性，

团桥身通过吊索与主缆拉拽着整个桥面，形成悬索体系使其更加稳固，故选A.

【点睛】本题主要考查了三角形具有稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键.

2.（2023・广东•中考模拟）八一中学校九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是5km和

3km.那么杨冲，李锐两家的直线距离不可熊是（）

A.1kmB.2kmC.3kmD.8km

【答案】A

【分析】利用构成三角形的条件即可进行解答.

【详解】以杨冲家、李锐家以及学校这三点来构造三角形，设杨冲家与李锐家的直线距离为。，

则根据题意有：5-3<a<5+3,BP2<«<8,

当杨冲家、李锐家以及学校这三点共线时，。=5+3=8或者。=5-3=2,

综上a的取值范围为：2WaW8,据此可知杨冲家、李锐家的距离不可能是1km,故选：A.

【点睛】本题考查了构成三角形的条件的知识，构成三角的条件：三角形中任意的两边之和大于第三边，

任意的两边之差小于第三边.

3.（2022•河北衡水•校考模拟预测）在数学拓展课上，有两个全等的含45。角的直角三角板ADE,ABC重

叠在一起.李老师将三角板ADE绕点A顺时针旋转（保持NBAE<90。），延长线段与线段CB的延长

线交于点F（如图所示），随着/胡£的增大，CF-E尸的值（）

A.一直变小B.保持不变C.先变小，后变大D.一直变大

【答案】B

【分析】利用加证明Rt,ABB三Rt“l£不，得BF=DF,从而CF-EF=2BC,则可得出结论.

AF=AF

在RtAB歹和RtAD/中，《，/.RtABF^RtADF（HL）,

[AB=AD

：.BF=DF,:.CF-EF=BC+BF-EF=BC+DE+EF-EF=BC+DE=2BC,

.•.CF-EF的值保持不变.故选：B.

【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，熟记旋转的性质是解题的关键.

4.（2023•湖南娄底•统考一模）如图，ABC中，ZA=90°,以点8为圆心，适当长为半径画弧，分别交

54、3c于点/、N,再分别以点M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点尸，作射

线M交AC于点。.若AD=1,则点。到8c的距离为（）

A.1B.V2C.6D.2

【答案】A

【分析】本题考查的是角平分线的性质，理解题意作出合适的辅助线是解本题的关键.作DEL3C,根据

角平分线的性质得到=即可得答案.

【详解】解：过点。作DE，3c于E,如图所示，

0AD=1,平分/ABC,EI4）=DE=1,即是点。到3C的距离为1,故选A.

5.（2023•山东•校考期中）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两

块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带（）去最省事.

A.①B.②C.③D.①③

【答案】C

【分析】根据全等三角形的判定方法"角边角"可以判定应当带③去.

【详解】解：由图形可知，③有完整的两角与夹边，根据"角边角"可以作出与原三角形全等的三角形，

所以，最省事的做法是带③去.故选：C.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，正确理解"角边角”的内容是解题的关键.

6.（2023•广东广州•校考一模）如图，在ABC中，一ABC的面积为AB=2叵,8。平分/ABC,

E、产分别为BC、3D上的动点，则CF+EF的最小值是（）

A

BEC

A.yj2B.73c.2D.V5

【答案】D

【分析】本题考查的是角平分线的性质，垂线段最短，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，

通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值.过点C作CHLA3,垂足为“，交BD于F点,,

过P点作FELBC,垂足为玄，则CF+ER为所求的最小值，根据一ASC的面积为痴，AB=2小结

合三角形的面积公式求出C”=^,即可解答.

【详解】解：如图，过点C作垂足为X,交BD于F点,过尸点作EE'LBC,垂足为引，则

CF+E'F为所求的最小值，

133。是/ABC的平分线，E1FH=E'F,13cH是点C到直线A3的最短距离（垂线段最短）,

0ABC的面积为亚，AB=2叵,@CH=后,

2、2

EICF+E'/的最小值是CB+EN=CB+W=CH=J^.故选：D.

7.（2023・广东广州•统考一模）在"玩转数学”活动中，小林剪掉等边三角形纸片的一角，如图所示，发现得

至U的N1与Z2的和总是一个定值.则Zl+Z2=度.

【答案】240

【分析】由等边三角形的性质可得4=60。，再根据三角形外角的性质和内角和定理即可求解.

【详解】解：如图，

Z1=ZA+ZA£D,Z2=ZA+ZADE,■-Z1+Z2=ZA+ZAED+ZA+ZADE,

ZAED+ZA+ZADE=180°,■-Zl+Z2=ZA+180o=60°+180o=240°,故答案为：240.

【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形外角的定义和性质，三角形内角和定理等，解题的关键是掌

握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.

8.（2023・北京•模拟预测）如图，ABC中，ZC=90°,AD平分NBAC,AB=5,CD=2,则△ABD的

面积是.

【答案】5

【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积求解，过点。作。£工4?于E,根据角平分线上的

点到角两边的距离相等得到DE=CD=2,再根据三角形面积计算公式求解即可.

【详解】解：如图所示，过点。作于E,

EIAD平分/3AC,ZC=90°,DE^LAB,aDE=CD=2,

0AB=5,^SAABD=^AB-DE=^x2x5=5,故答案为：5.

9.（2023•江苏盐城•校考一模）如图，在ABC中，。是3c的中点，点G是,ABC的重心.AD=6,则

AG=.

A

【答案】4

【分析】根据重心的性质，进行求解即可.

【详解】解：ao是BC的中点，点G是一ABC的重心，

AG2

0—=2,0AG=-AD=4：故答案为：4.

GD3

【点睛】本题考查重心的性质，熟练掌握重心到顶点的距离是中心到对边中点距离的2倍，是解题的关

键.

10.（2023•江苏南京•校考模拟预测）如图.ABC中，点。是BC边的中点，E是AC边上一点，且

AE=2EC,连接AD、BE交于点、F,若一BDF的面积是3,贝|ABC的面积为.

【答案】30

【分析】连接CP,由点Z）是BC边的中点，得SABD=SACD，由aBD厂的面积是3,得56尸=3,令

S.AEF=S，

SCEF=S2,由AE=2EC及三角形的面积公式得5钻尸=廿+52，5^=12+25,-^,从而得

S?=4,从而即可计算得解。

【详解】解：连接C/,回点。是BC边的中点，SBD^CD,SSABD=SACD,

S"F=S|，

回.BDF的面积是3,05CDF=3,令SCEF=S2,

=

0AE—2EC,0SABE2sBEC，S]=2S2,0SABF=St+S2+SCDF—SBDF=S]+S2+3—3=Sj+S2,

=——

SABF=SABE—SAEF2sBEC—SI=2(6+S2)S.=12+2S2S,,

回S]+邑=12+2S2—S],回3s2=12,|?]S2=4,oSj=2S2=8,

团SABC=2(4+8+3)=30.故答案为：30.

【点睛】本题主要考查三角形的面积，三角形中线等知识点，掌握等积变换是解答此题的关键.

11.(2023•广东梅州•统考一模)如图，在边长为6的正方形ABCD内作ZE4F=45。，AE交BC于点、E,

AF交8于点R连接E尸，将△")/绕点A顺时针旋转90。得到ABG.若DF=3,则BE的长

【答案】2

【分析】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，熟练掌

握上述基本知识、灵活应用方程思想是解题的关键.

根据旋转的性质可得AG=AF,GB=DF,ZABG=ADF,然后根据正方形的性质和等量代换可得

ZGAE=ZEAF,进而可根据SAS证明4Gg△E4F,可得GE=EF,设3E=x,则CE与E尸可用含x

的代数式表示，然后在Rt_Eb中，由勾股定理可得关于x的方程，解方程即得答案.

(详解】团将公ADF绕点A顺时针旋转90°得到一ABG,

ADF^ABG,ZGAF=90°AG^AF,ZABG^ADF

■■■在正方形ABCD中，ZADF=ZABC=90°，,ZABG=90°

ZGBC=ZABG+ZABC=90°+90°=180°,...点G、B、E在同一直线上，

又-ZEAF=45°--ZGAF-ZGAE,

2

'AG=AF

在AEAG和△EAF中，＜ZGAE=ZFAE,回AEAG^EAF(SAS),@GE=EF,

AE=AE

又•，四边形ABCD是正方形，AB=BC=DC=AD=6,DF=3FC=DC—DF=3设BE=x,

BG=DF=3,BC=6•-GE=EF=GB+BE=3+xjEC=BC-BE=6-x

在RtEC户中，由勾股定理，得：EC2+FC2=EF2,

即（6-xf+32=（3+x）2解得：x=2,8E的长为2故答案为：2.

12.（2023•江苏扬州•统考一模）如图，直角ABC中，ZACB=90°,NA=30。，BC=4,点E是边AC上

一点，将BE绕点B顺时针旋转60°到点F,则CF长的最小值是.

【答案】2

【分析】本题考查了直角三角形性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离垂线

段最短等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键.取A3的中点。，连接DE,过点。作AC于点

H,可证得ABCP.BZ）E（SAS）,得出CF=DE,当且仅当DE1AC,即点E与点“重合时，

DE=DH=；AD=2为DE的最小值，即可得出CF的最小值为2.

【详解】解:取的中点O,连接DE,过点。作。“工儿?于点

则AD=3。=工AB,ZAHD=ZACB=90°,

2

E

H

ZA=30°,BC=4,:.AB=2BC=S,ZABC=90°—30°=60°,

由旋转得：BF=BE,NEB尸=60。,:.ZEBC+ZCBF=6D°,

NEBC+ZDBE=60。，:"CBF=NDBE,

AD=BD=-AB=4,:.BC=BD,:.BCF-BDE(SAS),CF=DE,

2

当且仅当DE1AC,即点E与点H重合时，。“=。"=（4£>=2为0后的最小值,

2

；.C尸的最小值为2.故答案为：2.

13.（2023•重庆渝中•统考二模）如图，已知点D.为1sAec的边上一点，请在边AC上确定一点E,

S.BCD=SBCE（要求：尺规作图、保留作图痕迹、不写作法）;

下面是小东设计的尺规作图过程.

作法：①以点8为圆心，适当长为半径画弧GE,交54、3c于点G、F；

②以点。为圆心，8尸长为半径画弧MN,交于点M；

③以点〃为圆心，GF长为半径画弧，交弧于点P；

④作射线。尸交AC于点E,则—ABC=2£）E；

⑤连接CD、BE,则SBCD=§BCE•

根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）;

⑵完成下面的证明.

证明：分别过点。和点E作。KL3C,EH1BC,垂足分别为K、H,

0/ABC=NADE,0BC；

SDKLBC,EH±BC,@NDKC=NEHC=°；

SDK,回四边形DKHE是矩形，I3DK=；

回SBCD=58。’S,BCE=]BC.0SBCD=SBCE-

【答案】⑴见解析（2）DE；EH■,EH；DF■,EH

【分析】（1）根据题中步骤作图；（2）根据同底等高证明即可.

【详解】（1）解：如图,

A

（2）证明：分别过点。和点E作。K，3C,EH1BC,垂足分别为K、H,

^ZABC=^ADE,0DEBC■,

国DKLBC,EH±BC,0ZDKC=ZEHC=90°：

^DKEH,回四边形DKHE是矩形，国DK=EH；

国SBCO=58。£）凡SBCE=—BC-EH：S\SBCD-SBCE-

故答案为：DE；EHEH；DF-,EH.

【点睛】本题考查了复杂作图，掌握三角形的面积公式是解题的关键.

14.（2023•北京平谷•统考二模）下面是证明三角形内角和定理推论1的方法，选择其中一种，完成证明.

三角形内角和定理推论1:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

已知：如图，MC,点。是3c延长线上一点.

求证：ZACD^ZA+ZB.

A

CD

方法一：利用三角形的内角和定理的方法二：构造平行线进行证明行证明

AA

CDCD

证明：证明：

【答案】见解析

【分析】方法一：ZA+ZB+ZACB=180°,ZACD+ZACB=180°,即可得出结论；方法二：过点C作

CE//AB,由平行线的性质得ZACE=ZA,NDCE=NB,再由NACO=NACE+NOCE,即可得出结论.

【详解】证明：方法一：ABC中，ZA+ZB+ZACB=180°,

0ZACZ>+ZACB=180°,SZACD=ZA+ZB

方法二：过点C作CE〃AB,如图，

^CE//AB^ZACE=ZA,NDCE=NB,SZACD=ZACE+ZDCE=ZA+ZB.

【点睛】本题考查三角形的内角和定理或平行线的性质，熟练掌握三角形的内角和定理或平行线的性质是

解题的关键.

15.（2023•福建泉州,校考模拟预测）如图，在“.ABC与54。中，ZC=Z£>=90°,AC与相交于点

E,8C=AT>.（1）求证：CE=DE；（2）连接CO,设线段AB的中点分别为线段CO的中点分别为N,

直线AC与相交于点?求证：F,N,E,M四点共线.

【答案】⑴见解析⑵见解析

【分析】⑴证明RtAAr>B^RtASC4（HL）,由全等三角形的性质得出ZABC=ZDAB,得出AE=3E,

则可证出结论；（2）连接吹，EM,FN,由全等三角形的性质得出/4BD=NBAC,AC=BD,证出

AF=BF,可得CP=r>尸，由等腰三角形的性质可得丹欣为AB的垂直平分线，MF平分ZAFB,NF平分

ZCFD,由AEnBE,EM为AB的垂直平分线，进而可得出结论.

【详解】（1）证明：0ZC=ZD=9O°,

BC=AD..

在RtAD3和Rt中,_,0RtAAD5^RtAAfiC4(HL),

=

ABJB/4.

国NABC=NDAB,国AE=BE,^AD=BC,国CE=DE；

(2)证明：连接MP,EM,FN,

0AADB^ABC4,SZABD=ZBAC,AC^BD,0AF=BF,

又EIM为AB的中点，则40=BA/回Ml为AB的垂直平分线，MF平分ZAFB,

BAE=BE,回EM为AB的垂直平分线，0E,M,尸三点共线，

SAF=BF,AC=BD,ECF=DF,BIN为CO的中点，I3NF平分/CFO,

EIMF平分NV石，团V在MF上，0F,N,E,M四点共线.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段中垂线的性质，等腰三角形的性质，证明

RtAADB^RtABCl是解题的关键.

16.(2023•广东广州•校考模拟预测)如图，线段AB、CD相交于点E,连接AC、DB、CB,已知

ZACE=ZDBE,AC=CD,延长02到凡连接CF,4吏得NBCF=ZACE.

⑴求证：ACBWDCF；(2)在△BCP中，作C/边上的中线延长到N,连接bN,使

ZBNF=jzBCF,过N作NG_L3C,交BC的延长线于点G,若NABC=60。，求证：NG=NM.

【答案】⑴见解析(2)见解析

【分析】(1)利用ASA证明&ACB丝QCF即可；

(2)证明△BCF是等边三角形，再想办法证明GN=；8N,MN=18N即可.

【详解】(1)证明：^\ZACE=ZBCF,SZACB=ZDCF,

SZACE=ZDBE,ZAEC=/DEB,EIZA=ZD,0AC=CD,EAACB^ADCF（ASA）:

（2）解：0...ACB^,DCF,gCB=CF,ZABC=ZCFD=60°,

ElZXBCF是等边三角形，0ZC8F=ZBCF=60°,13Z.CBM=ZFBM=30°,SNG±BG,SGN=-BN,

2

0NBNF=LzBCF=30°,SiZMBC=ZMNF=30°,CM=MF,NCMB=NNMF,

2

0BCM^NFM（AAS）,RMN=BM=；BN,0NG=MN.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知

识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

17.（2023,江西抚州,校考模拟预测）如图，在等边三角形ABC中，点尸为,ABC内一点，连接AP,BP,

CP,将线段相绕点A顺时针旋转60。得到AP'，连接PP,BP'.

（1）用等式表示3P'与CP的数量关系，并证明；（2）当N3PC=12O。时，①直接写出/P3P的度数为

；②若“为3C的中点，连接尸用等式表示与AP的数量关系，并证明.

【答案】（1）8P'=CP,详见解析⑵①60°；②”=

【分析】（1）利用SAS证明，W组AGP,即可得出答案；（2）①由三角形内角和定理知

Z8+Z6=180°-ZBPC=60°,再利用角度之间的转化对NP'BP进行转化，

ZP,BP=Z4+Z7=Z5+60o-Z8=60o-Z6+60°-Z8,从而解决问题；②延长PAf到N,使PM=MN,连接

BN,CN,得出四边形尸BNC为平行四边形，则BN〃CP且BN=CP,再利用SAS证明/8尸马谢，得

PP=PN=2PM.

【详解】（1）解：BP=CP）理由如下：

ABC是等边三角形，:.AB=AC,ZBAC=60°,N2+N3=60。，

将线段AP绕点A顺时针旋转60。得到AP',.•.?!/>=APINR4P=60。，

.­.Zl+Z2=60°,/I=N3,ABP'^,ACP(SAS),BP'=CP；

(2)解：①如图，当NBPC=12。。时，则N8+N6=180。—N3PC=60。，AB^ACP,/.Z4=Z5,

ZP'BP=Z4+Z7=Z5+60°-Z8=60°-Z6+60°-Z8=120°-(Z6+Z8)=120°-60°=60°；

②AP=2R以，理由如下：延长PM到N,使PM=MN,连接8N,CN,

M为3c的中点，.,.四边形PBNC为平行四边形，

:.BN〃CP且BN=CP,.\BN=BP',Z9=Z6,

X-Z8+Z6=60°,.-.Z8+Z9=60°,:ZPBN=9。=ZPBP,

又\BP=BP,P'B=BN,：.P'BP^NBP(SAS),:.PP=PN=2PM,

又•，为正三角形，.一•1*=”，.•.AP=2PM.

【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定

与性质，平行四边形的判定与性质等知识，利用倍长中线构造平行四边形是解题的关键.

18.(2023•北京西城•校考模拟预测)已知等腰直角三角形ABC中，BC=1,NABC=90。，点。在射线CB

上移动(不与2、C重合)，连接AD,线段AD绕点。顺时针旋转废(0°＜。°4180。)得到线段DE,连接

CE,AE.

(1)如图L当点£落在线段AC上时，①直接写出154。的度数(可用a表示)；

②直接用等式表示CE、CD、CB的数量关系：；(2)当点£落在线段AC的延长线上时，请在图2中

画出符合条件的图形，用等式表示CECD、CB的数量关系，并证明你的结论.

【答案】⑴①45。-；&；@CD=CB+—CE(2)CD=CB--CE,见解析

222

【分析】(1)①由旋转的性质得出AD=DE,ZADE=a,由等腰三角形的性质得出的C=45。，由三

角形内角和定理得出2/54。+90。+1=180。，则可得出答案；②过点E作EF人3C,证明

ABD^,DFE(AAS),由全等三角形的性质得出4?=。/，由等腰三角形的性质可得出结论；

(2)过点E作EF上BC,交BC延长线于点尸，证明一/曲0一。巫(小$),由全等三角形的性质得出

BD=EF,则可得出结论.

【详解】(1)解：①回线段的>绕点。顺时针旋转。°(0°<0°<180。)得到线段£)£

^AD=DE,ZADE=«0ZDAE=ZAED02(ABAD+ZBAC)+(z=180°

0AB=AC,ZABC=9000ABAC=45°回2N3AD+90°+a=180°回/8AC=45°-'a

2

②过点E作EF人3C,如下图：

ffll

SAB=AC,ZABC=9000ZBAC=ZC=45°0EF7BC0ZC=ZFEC=45°0EF=CF

由勾股定理可得：EF2+CF2=CE2SEF=CF=—CE

2

团线段AD绕点D顺时针旋转a°（0°<a°<180。）得到线段DE国AD=DE

0ZADE=a,NBAD=45°--cz0NEDF=90°-ABAD-ZADE=90°45°--a\-a=^5°a

2I2J2

0ZBAD=ZEDF又IBZABD=ZEFD=90°0..ABD^；DFE（AAS）^AB=DF

@DF=DB+BF,AB=BC=BF+CF田DB=CF=EF

0CD=BC+DB=BC+EF=BC+也CE故答案为:CD=BC+—CE

22

（2）解：CD=BC-^CE,理由如下：过点£作砂13。，交BC延长线于点尸，

2

£

团线段AD绕点。顺时针旋转(0°<W180°)得到线段DEmAD=DE回ZDAE=ZDEA

设NBAD=x,贝ljNZMC=45°—xEZA£>C=90°+x,ZADE+2NR4E=180°

回90°+x+Z.EDF+2（45°—x）=180°回ZEDF=x回ZBAD=NEDF

0/ABD=ZDFE=90°团，ABD^DFE（AAS）®BD=EF

0ZACB=NECF=45°团ZECF=NCEF=45°SEF=CF

由勾股定理可得：EF2+CF2^CE2,0£F=CF=-CE

2

同meese垃e

回CD=CB-BD=CB-EF=CB------CE

2

【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定

理，旋转的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.

19.（2023•山西大同•校联考模拟预测）综合与实践

问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1,现有一个等腰直角三角形纸板ABC,

AB=BC=2,NABC=90。，8£＞为斜边AC上的中线，沿把ABC纸板剪开，再将上45。绕点。逆时

针旋转a（。°＜。＜90。）得到EED,其中点A的对应点为E,点8的对应点为P，连接CP和BE.试判断

助与C尸之间的数量关系和位置关系，并说明理由，

猜想与证明：⑴请解答老师提出的问题；（2）如图2,边EF,BC的中点分别为M,N,连接MN.试判

断和防之间的数量关系，并加以证明；

探索发现：（3）如图3,创意小组的同学在前面同学的启发下，连接AR,发现9与Ab之间的数量关系是

固定不变的，请直接写出跖与AF之间的数量关系.

BB

图1图2图3

【答案】（1）3E=CF,证明见解析（2）BE=0AW，证明见解析⑶A尸+3序=8,证明见解析

【分析】（1）由AB=3C=2,ZABC=90°,3。为斜边AC上的中线，可得AD=3D=CD,

/ADB=/CDB=90°,即得/FDC=/3DE,根据将一M£＞绕点。逆时针旋转。（0°＜0＜90。）得到

_EFD,有ED=AD=FD=BD=CD,故EDB乌FDC(SAS),从而BE=CF；

(2)连接C/，BF,取5F中点K,连接KM,KN,设BE交CF于T,BD交CF于R,由

_EDB工FDC,知/EBD=/FCD,可证BELCF,又加为E尸中点，N为8C中点，K为8尸中点，故

CF=2KN,BE=2KM,KN//CF,KM//BE,仄而KN=KM,KN±KM,处WN是等腰直角三角

形，可得KM=旺MN,即得BE=2KM=2x—MN=应MN；(3)连接CP,由

22

AD=BD=FD=CD,得NDCF=NDFC,NDAF=NDFA,可证/AFC=90°,AF2+CF2=AC2,

又BE=CF,AC2=AB2+BC2=8,故A产+匹2=8.

【详解】(1)解：BE=CF,理由如下：

AB=BC=2,ZABC=90°,80为斜边AC上的中线，

：.AD=BD=CD,/ADB=NCDB=90°,:.NFDC=NBDE,

将一ABD绕点。逆时针旋转。(0°<«<90°)得到一EFD,

：.ED=AD=FD=BD=CD,EDB^FDC(SAS),;.BE=CF；

(2)BE=yJlMN，证明如下，

连接CP,BF,取8尸中点K,连接KM,KN,设BE交CF于T,BD交CF于R,如图：

由(1)知，EDBMFDC,BE=CF,:.ZEBD=ZFCD,

■：NFCD+NCRD=90°,NEBD+ZCRD=90°,

ZEBD+ZBRT=90°,:.ZBTR^9Q°,:.BE±CF,

Af为EF中点,N为BC中点，K为3尸中点，

:.CF=2KN,BE=2KM,KN//CF,KM//BE,

:.KN=KM,KNLKM,TOWN是等腰直角三角形，

KM=—MN,BE=2KM=2x—MN=^MN；

22

(3)AF2+BE2=8-,证明如下：连接CP,如图：

由(1)知AD=BD=FD=CD,BE=CF,:.ZDCF=ZDFC,NDAF=NDFA,

■：ZDCF+ZDFC+ZDAF+ZDFA=180°,

NDFC+NDFA=90°,即NAFC=90°,AF2+CF2=AC2,

BE=CF,AC2=AB2+BC2=22+22=S,■-AF2+BE2=8.

【点睛】本题考查几何变换综合应用，全等三角形判定与性质，三角形中位线定理及应用，等腰直角三角

形性质与判定，勾股定理及应用等知识，解题关键是掌握旋转的性质和作辅助线构造直角三角形解决问

题.

20.（2023•重庆•校考二模）（1）如图1,在四边形A3C。中，AB=AD,ZB=ZADC=90。，点、E、P分别

在边3C、CD上，S.EF=BE+DF,探究图中N54E、ZFAD.NE4户之间的数量关系.

小明探究的方法是：延长即到点G,使DG=BE,连接4G,先证明△ABE四△/WG,再证明

AEF^AGF,可得出结论，他的结论是.

（2）如图2,在四边形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,点E、尸分别在边3C、CZ）上，且

EF=BE+DF,探究上述结论是否仍然成立，并说明理由.

（3）如图3,在四边形A3c。中，AB=AD,ZABC+ZADC=180°,若点£在CB的延长线上，点/在C£）

的延长线上，仍然满足=请直接写出—E4尸与—MB的数量关系为.

F

【答案】（1）NBAE+NFAD=NEAF；⑵仍成立,理由见解析；（3）牙砌尸=180DAB.

【分析】（1）延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,证明△ABE/△AOG和.的二AGP即可得出结

论.（2）延长即到点G,使OG=8E,连接AG,证明△ABE丝/XADG和"AEFdG尸即可得出结

论.（3）在。C延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG,证明△ABE四△ADG和，AEF当AG尸，在通

过角的和差即可得到结论.

【详解】解：（1）ZBAE+ZFAD=ZEAF.理由：如图1,延长即到点G,使DG=BE,连接AG,证

明AABEdADG和AEF^.AGF即可得出结论.

G

AB=AD

■ZB=ZADG=90,

BE=DG

(SAS),^ZBAE=ZDAG,AE=AG,

0EF=BE+DF,DG=BE,EEF=BE+DF=DG+DF^GF,

0AF=AF,0,AEF^AGF(SSS),^^AF=GAF=?DAG彳i)AF=BAE+2DAF.

故答案为：?BAE彳定M>=EAF-,

(2)仍成立，理由：如图2,延长ED到点G,使OG=3E,连接AG,

0?B牙依。尸=180,1ADG牙Q尸=180,回彳虫=ADG,

又团AB=AD,0AABE^AADG(SAS),SZBAE=ZDAG,AE=AG,

0EF=BE+DF=DG+DF=GF,AF=AF,0^AEF^^GF(SSS),

回徒4F=GAF=?DAG行MF=BAE+2DAF

(3)牙砌尸=180~-?DAB.

2

证明：如图3,在。C延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG,

SZABC+ZADC=180°,ZABC+ZABE=1SO°,SZADC=ZABE,

5^AB=AD,EADG^ABECSAS),^ABAE^ADAG,AE=AG,

0EF=BE+DF=DG+DF=GF,AF=AF,0^AEF^AGF(SSS),回彳FAG,

&2FAE?FAG3:IG4E=360,回2?K4E9GAB牙股AE)=360,

^2?FAEClGAB牙附AG)=360,即2?E4E牙［DA3=360,

El牙附4/=180--2DAB.故答案为：3B4F=18ODAB.

22

【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决

问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形.

限时检测2：最新各地中考真题（50分钟）

1.（2023・河北•统考中考真题）四边形A3CD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变

化.当&ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为（）

【答案】B

【分析】利用三角形三边关系求得0<AC<4,再利用等腰三角形的定义即可求解.

【详解】解：在，ACD中，AD=CD=2,02—2<AC<2+2,即0<AC<4,

当AC=3C=4时，为等腰三角形，但不合题意，舍去；

若AC=AS=3时，ABC为等腰三角形，故选：B.

【点睛】本题考查三角形三边关系以及等腰三角形的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

2.（2023・新疆•统考中考真题）如图，在RJABC中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点尸,

交AC于点E,分别以点E,尸为圆心，大于尸长为半径作弧，两弧在/BAC的内部交于点G,作射

线AG交BC于点O.若AC=3,3C=4,则C。的长为（）

73

A.-B.1C.一D.2

82

【答案】C

【分析】过点。作于点勾股定理求得A3,根据作图可得AD是，54C的角平分线，进而设

CD5=x,则如一，根据sinB嘲嚼，代入数据即可求解.

【详解】解：如图所示，过点。作于点H,

B

在RtABC中，AC=3,3c=4,EAB=^AC2+BC2=732+42=5-

根据作图可得AD是4AC的角平分线，SDC=DH

2.nHDACx33

^CD=DH=x,BD=4-x^\smB=----=----回——=二解得：x故选：C.

BDAB4-x5）2

【点睛】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，正弦的定义，勾股定理解直角三角形，熟练掌握基本

作图以及角平分线的性质是解题的关键.

3.（2022・四川资阳•中考真题）如图所示，在一ABC中，按下列步骤作图:

第一步:在AB、AC上分别截取相>、AE,使AD=AE；

第二步:分别以点D和点E为圆心、适当长（大于DE的一半）为半径作圆弧，两弧交于点F；

第三步:作射线AF交3C于点M；第四步:过点M作于点N.下列结论一定成立的是（）

C.ZCAM=ZBAMD.Z.CMA=ZNMA

【答案】C

【分析】根据题意可知，AM平分，CA3,即可得出正确答案.

【详解】解：由题意可知，AM平分，CAB,

0/C不一定等于90。，^CM>MN,因此A选项不正确;

团—C不一定等于90。，回AC不一定等于⑷V,因此B选项不正确;

平分/C4B,0ZC4M=ZK4M,因此C选项不正确;

0/C不一定等于90。，回/CM4不一定等于/NMA,因此D选项不正确；故选C.

【点睛】本题考查了尺规作图一一角平分线，角平分线的性质，全等三角形的判定，掌握角平分线的作图

方法是本题的关键.

4.（2022・四川成都・统考中考真题）如图,在，ABC和/EF中，点A,E,B,。在同一直线上,

AC//DF,AC=DF,只添加一个条件,能判定△ABC二△DBF的是（）

AE=DBC.ZA=ZDEFD.ZABC=ZD

【答案】B

【分析】根据三角形全等的判定做出选择即可.

【详解】A、BC=DE,不能判断△ABC四选项不符合题意;

B、AE=DB,禾烟SAS定理可以判断△ABC当△£>",选项符合题意；

C、ZA=ZDEF,不能判断△ABC四△DEF,选项不符合题意；

D、ZABC=ZD,不能判断AABC怂△£>£F,选项不符合题意；故选：B.

【点睛】本题考查三角形全等的判定，根据SSS、SAS,ASA,A4s判断三角形全等，找出三角形全等的条

件是解答本题的关键.

5.(2023・四川南充•统考中考真题)如图，在Rt^ABC中，NC=90。，AC=6,AB=10,以点A为圆心，

适当长为半径画弧，分别交AC,A5于点M,N,再分别以M,N为圆心，大于的长为半径画弧，两

弧在/C4B的内部相交于点P,画射线AP与BC交于点DEJ.AB,垂足为E.则下列结论错误的是

()

A.ZCAD=ZBADB.CD=DEC.AD=573D.CD:BD=3:5

【答案】C

【分析】由作图方法可知，AD是N&LC的角平分线，则由角平分线的定义和性质即可判定A、B；利用

勾股定理求出BC,利用等面积法求出C£>=3,由此求出A。、3。即可判断C、D.

【详NCW=Zfi4£>解】解:由作图方法可知，AD是/BAC的角平分线，

0,故A结论正确，不符合题意；

0ZC=90°,DE±AB,^CD=DE,故B结论正确，不符合题意；

在Rt△至C中，由勾股定理得=一Ac?=8,

0^AABC=^AACD+S^BAD，B-ACBC=—CD-AC+—AB-DE,

0—x6x8=—x6CD+—x10CD,0CD=3,

222

回AD=JAC。+CD?=3旧,BD=BC—CD=5,故C结论错误，符合题意；

SCD.BD=3:5,故D结论正确，不符合题意；故选C.

【点睛】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质和定义，角平分线的尺规作图，灵活运用所学知识是

解题的关键.

6.（2022•江苏扬州•中考真题）如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一

块.小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为AABC,提供了下列各组

元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（）

A.AB,BC,CAB.AB,BC,ZBC.AB,AC,ABD,ZA,ZB,BC

【答案】C

【分析】根据SSS,SAS,ASA逐一判定，其中SSA不一定符合要求.

【详解】A.AB,BC,CA,根据SSS一定符合要求；B.AB,BC,ZB.根据SAS一定符合要求；

C.AB,AC,ZB.不一定符合要求；D.ZA,ZB,BC.根据ASA一定符合要求.故选：C.

【点睛】本题考查了三角形全等的判定，解决问题的关键是熟练掌握判定三角形全等的SSS,SAS,ASA三

个判定定理.

7.（2021•安徽中考真题）在.ABC中，NACB=90°,分别过点B,C作NB4c平分线的垂线，垂足分

别为点D,E,BC的中点是M,连接CD,MD,ME.则下列结论错误的是（）

A.CD=2MEB.ME//ABC.BD=CDD.ME=MD

【答案】A

【分析】设A。、8c交于点H,作彼，A8于点F,连接EF.延长AC与8。并交于点G.由题意易证

^CAE^FAE（SAS）,从而证明ME为VCB厂中位线，即旌//AB,故判断B正确；又易证

AGDs,ABD（ASA）,从而证明。为BG中点.即利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求出

CD=BD,故判断C正确；由NHDM+NDHM=90°、NHCE+NCHE=90。和NDHM=NCHE

可证明=.再由+/七的=90°、NEHC=NEHF和NEHC+/HCE=90。

可推出ZHCE=ZHEM,即推出=^MD=