2025年中考数学复习易错题之三角形（解析版）

易错04三角形

三■角形三边关系'易错点一:忽略三角形构成条件

角平分线，中线，高线，中垂线K易错点二:混淆各种线的概念及画法

三角形的高线词爵、易错点三:讨论不全面，需分类讨论

三三角形的重易错点四:比例关系混淆

角6K

形等腰三角形问题、易错点五:讨论不全面，需分类讨论

证明全等三角花］、.易错点六:错用SSA证明

相似三角形易错点七:书写要注意字母对应

直角三角形的实际应用卜、易错点八:混淆角的专业术语

易错点一：忽略三角形构成条件

三角形的三边关系：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边.

易错提醒：在解题时，要根据三角形存在的条件，验证求得的解，否则容易造成多解.

例1.一个三角形的三边长都是整数，它的周长为12,则这个三角形的形状是（）

A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.以上三种情况都有可能

【答案】D

【分析】本题考查了三角形的三边关系，勾股定理的逆定理等知识点，设最长边为x,另外两边之和为

y,则x+y=12；根据题意求出x的取值范围是解题关键.

【详解】解：设最长边为X,另外两边之和为y,则x+y=12

由三角形的三边关系得：y>x,

/.x+y>2xf即：x<6

・・•三角形的三边长都是整数，

12广

—<］,艮［1%之4,

3

4<x<6

.,.尤可以取4或5,

当尤=4时，三边只能是4,4,4,为等边三角形；

当x=5时，三边有两种情况：①3,4,5,为直角三角形，②5,5,2,为等腰三角形.

故选：D

易错警示：三角形三边之间的不等关系，注意其中的“任何两边”。求最短距离的方法。

例2.已知等腰AABC的底边长为5.其腰长恰好是方程炉-2（m+1卜+6〃工-2=0的根，则根的值是

（）

A.2B.4C.1D.3

【答案】D

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，以及三角形的三边关系.根据一元二次

方程根的判别式，求得加=1或〃2=3,再将，"的分别代入一元二次方程求出腰长，结合三角形的三边关

系，即可确定根的值.

【详解】解：X2—2（m+l）x+6加-2=0,

•：a=\,6=-2（〃z+l）,c=6m-2,

A=Z?2-4<7C=4（77；+1）--4（6m—2）=0,

解得：加=1或〃?=3,

当机=1时，%2-4x+4=0,解得：x=2,

Q2+2<5,不满足三角形的三边关系，

:.m=l（舍去）；

当祖=3时，x2-8x+16=0>解得：无=4,

•.•4+4>5,满足三角形的三边关系，

即机的值是3,

故选：D.

变式1.若菱形ABCD的一条对角线长为8,边A3的长为方程Y-8元+15=0的一个根，则菱形A3CD的

周长为（）

A.24B.12C.20D.12或20

【答案】c

【分析】本题考查了菱形的性质、一元二次方程的解法、三角形的三边关系；熟练掌握菱形的性质，由三

角形的三边关系得出是解决问题的关键.解方程得出x=3或x=5,分两种情况：①当AB=4>=3

时，3+3<8,不能构成三角形；②当AB=AD=5时，5+5>8,即可得出菱形ABCD的周长.

【详解】解：如图所示：

:四边形ABCD是菱形，

AB=BC=CD=AD,

•••X2-8X+15=0,

因式分解得：(x-3)(x-5)=0,

解得：尤=3或x=5,

分两种情况：

①当AB=AD=3时，3+3<8,不能构成三角形；

②当AB=AD=5时，5+5>8,

菱形ABCD的周长=4AB=20.

故选：C

变式2.定义：一个三角形的一边长是另一边长的3倍，这样的三角形叫做“3倍长三角形”.若等腰“RC

是“3倍长三角形"，底边BC的长为3,则等腰AABC的周长为—.

【答案】21

【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及三角形三边关系，读懂题意，理解“3倍长三角形”是解本题的

关键.由等腰AABC是“3倍长三角形”，可知AB=33C或5c=3AB,^AB=3BC=9,可得AB的长为

9；若3C=3AB=3,因为1+1<3,故此时不能构成三角形，这种情况不存在；再根据周长的多余即可得

答案.

【详解】解：,••等腰AABC是“3倍长三角形”，

:.AB=3BC^BC=3AB,

若AB=33C=9,则AASC三边分别是9、9、3,符合题意，

等腰三角形ABC的周长为9+9+3=21；

若3c=3AB=3,则AB=1,AABC三边分别是1、1、3,

vl+l<3,

此时不能构成三角形，这种情况不存在；

综上所述，等腰三角形ABC的周长为21.

故答案为：21.

变式3.等腰三角形的两边长为8,当。每取一个值时，该等腰三角形都只有一个，则。的取值范围

是.

【答案】0<a<4

【分析】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形中两腰相等，以及三角形的三边关系.根据三角形三边

关系列出不等式，通过解不等式即可得到答案

【详解】解：若。是腰长，则2a>8,即。>4；

若。是底边长，贝

因为。不能既是腰长又是底边长，所以0<aW4.

故答案为：0<aW4.

变式4.已知关于x的方程,%2—(左+2)x+2左=0.

(1)求证：无论左为任意实数值方程，总有实数根；

(2)若等腰三角形ABC的一边。=1,另两边6、c恰是这个方程的两个根，求三角形ABC的周长.

【答案】(1)证明见解析

⑵5

【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，等腰三角形的定义和构成三角形的

条件：

(1)根据一元二次方程根的判别式进行求解即可；

(2)分当等腰三角形的腰长为1时，则x=l是方程£一亿+2)x+2左=0的一个根，当底边长为1时，则

原方程有两个相等的实数根，两种情况求出人的值进而求出另一个根，再根据构成三角形的条件求解即

可.

【详解】(1)证明：由题意得，△=「-伏+2)7-8左

=)？+4左+4—81

=二_4左+4

=(^-2)2>0,

二无论人为任意实数值方程，总有实数根；

(2)解：当等腰三角形的腰长为1时，则尤=1是方程f-化+2.+2左=0的一个根,

1一(左+2)+2左=0,

k=l,

.•.原方程为V-Bx+ZnO,

解得x=l或x=2,

.•.底边长为2,

V1+1=2,

,此时不能构成三角形，不符合题意；

当底边长为1时，则原方程有两个相等的实数根，

A=(%-2)2=0,

k=2,

.•.原方程为f-4x+4=0,

解得再=%=2,

：1+2>2,

.••此时能构成三角形，

AABC的周长为2+2+1=5.

1.等腰三角形ABC中，底边BC=10,且8。|=3,则AB=.

【答案】13或7/7或13

【分析】本题考查等腰三角形的定义，绝对值，三角形三边关系的应用，先根据|A3-3。=3计算出的

值，再判断是否符合三角形三边关系即可.

【详解［解：..•|筋—3。|=3,

AB-BC=±3,

■-BC=10,

A3=13或7,

当AB=13时，三条边长为13,13,10；当AB=7时，三条边长为7,7,10,

均符合三角形三边关系，满足题意，

故答案为：13或7.

2.已知，a、6是等腰三角形的两边，且Ja-3+(b-6)2=0,则这个三角形周长是___.

【答案】15

【分析】本题考查等腰三角形性质，二次根式和完全平方的非负性，构成三角形三边关系.根据题意先求

出。、。的值，再利用等腰三角形定义分类讨论三角形边的情况即可.

【详解】解：：G^+S-6)2=0,

「。一3=0,,

\，解得：a=3,b=6,

也_6=0

Vo.6是等腰三角形的两边，

①当。为腰时，则》为底，三角形为：3,3,6,

•；3+3=6不符合构成三角形三边关系，

.•.此种情况舍去；

②当。为底时，则》为腰，三角形为：3,6,6,

,此时符合构成三角形三边关系，即周长为：3+6+6=15,

故答案为：15.

3.等腰三角形A3c的周长为7cm,AB=3cm,则BC的长为—.

【答案】1cm或2cm或3cm

【分析】本题考查了等腰三角形性质和三角形三边关系，根据题干可以分为三种情况：①当A3为底边

时、②当3c为底边时、③当C4为底边时，根据以上三种情况讨论边的取值即可解题.

【详解】解：等腰三角形A3C的周长为7cm,AB=3cm,

分以下三种情况：

①当为底边时，

BC=04=(7-明+2=2(cm),

此时三边长为别为3cm、2cm、2cm,满足三角形三边关系；

②当3c为底边时，

AB=CA=3cm,

.•.5C=7—2AB=l(cm),

此时三边长为别为3cm、3cm、1cm,满足三角形三边关系；

③当C4为底边时，

AB=BC=3cm,

.•.G4=7—2AB=l(cm),

此时三边长为别为3cm、3cm、1cm,满足三角形三边关系；

故答案为1cm或2cm或3cm.

4.如果AABC是等腰三角形，且卜3-4|+|9-AC|=O,则的周长为().

A.13B.17C.17或22D.22

【答案】D

【分析】本题考查了绝对值非负性的应用，构成三角形的条件，等腰三角形的性质；由绝对值非负性可求

AB=4,AC=9,分类讨论①当BC=AB=4时，②当3C=AC=9时，即可求解；理解非负性，能个根

据等腰三角形的腰的不同进行分类讨论是解题的关键.

【详解］解：..,"4+|9_AC|=O,

AB-4=0,AC—9=0,

AB=4,AC=9,

金C是等腰三角形，

二①当3c=AB=4时，

三边长为：4,4,9,

•/4+4<9,

，不能构成三角形；

②当3C=AC=9时，

三边长为：4,9,9,

能构成三角形，

故三角形的周长为4+9+9=22；

综上所述：三角形的周长为22；

故选：D.

5.已知a、b、。是44BC的三边，S.c2+ab-b2-ac=0,则AABC一定是()

A.直角三角形B.等边三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【分析】此题考查了因式分解的应用，三角形三边关系，等腰三角形的定义，熟练掌握因式分解的方法是

解本题的关键.已知等式变形后分解因式，利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0,得到6=C,

即可确定出三角形形状.

【详解】解：；)+3-/-℃=0,

(ab—cic)一-c?)=0,

a(6-c)-(b+c)。-c)=0,

(b—c)(a—b—c)=0,

••b-c—0a—b-c=0,

b=c^a=b+c,

b、c是“IBC的三边，

b+c>a,

a=6+c不成立，只能是6=c,

/.“IBC一定是等腰三角形.

故选：C.

6.已知三角形中两边边长值分别是£一舐+15=0的两根，设其剩下的边边长值为机，则机的取值范围

是一

【答案】2<小<8

【分析】本题考查了解一元二次方程以及三角形三边关系，先利用因式分解法解方程，再根据三角形三边

关系可得答案.

【详解】解：•.•尤2-8x+15=0,

\(九-5)(x-3)=0,

贝"5=0或x-3=0,

解得%=5,x2=3,

则该三角形第三边m的取值范围是5-3<%<5+3,即2<m<8,

故答案为：2<相<8.

7.一个等腰三角形的周长为30cm.

(1)已知腰长是底边长的2倍，求各边的长；

（2）已知其中一边的长为7cm.求其它两边的长.

【答案】（1）这个等腰三角形的各边的长为12cm,12cm,6cm；

（2）另外两边的长为11.5cm,11.5cm.

【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系.

（1）设底边长为xcm,则腰长为2xcm,根据等腰三角形的周长为30cm列方程求出无，即可得出答案；

（2）分情况讨论：①当底边长为7cm时，②当腰长为7cm时，分别根据等腰三角形的周长为30cm列式计

算即可.

【详解】（1）解：设底边长为xcm,则腰长为2xcm,

•.•三角形的周长是30cm,

/.2x+2x+x=30,

解得：x=6,则2x=12,

.•.这个等腰三角形的各边的长为12cm,12cm,6cm；

（2）解：①当底边长为7cm时，

则腰长为：（30-7）+2=11.5（cm）,

所以另外两边的长为11.5cm,11.5cm,且符合三角形三边关系定理；

②当腰长为7cm时，

则底边长为：30-7x2=16（cm）,

所以另外两边长为7cm,16cm,7+7<16,不符合三角形三边关系定理.

综上，另外两边的长为H.5cm,11.5cm.

易错点二：混淆各种线的概念及画法

三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段；

三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段;

三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段

垂直平分线（中垂线）：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线

易错提醒：一是要对各种线的概念进行熟记；二是能够根据题意画出规范图形

®Q®©

例3.如图，CD,CE,角平分线、中线，则下列结论错误的是（）

A.^„ACF=SABCFB.ZACE=-ZACB

2

C.AB=2BED.CDLBE

【答案】C

【分析】本题主要考查了三角形高，中线，角平分线的定义，熟知相关定义是解题的关键.根据三角形

高，中线，角平分线的定义进行逐一判断即可.

【详解】解：是4RC的中线，

/.AF=BF,

=^AFCD=^BFCD=S^BFC,A选项正确，不符合题意；

•••CE是^ABC的角平分线,、

AZACE^-ZACB,B选项正确，不符合题意；

2

CP是"1BC的中线，

:.AB=2BFA2BE,C选项错误，符合题意；

•••co是AABC的高，

CDVBE,D选项正确，不符合题意；

故选D.

:易错警示：注意三角形的概念以及三角形的角平分线，中线，高线的特征与区别。

例4.在RtaABC中，已知NC=90。，有一点。同时满足以下三个条件：①在直角边BC上；②在—C4B

的角平分线上；③在直角边A3的垂直平分线上，则-3等于（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

【答案】B

【分析】本题考查了线段垂直平分线性质的应用以及角平分线的性质，能求出==是解此

题的关键，根据线段垂直平分线的性质得到ZM=DB,得到N3=NDW,根据角平分线的定义得至I

ZDAB=ADAC,根据三角形内角和计算即可.

【详解】解：是“LBC的A3边的垂直平分线，

；•AD=BD,

/.ZB=ZDAB,

'：平分/BAC,

?.ZDAB=ZDAC,

：.ZB=ZDAB=ZDAC,

VZC=90°,?B1DAB?DAC?C180?

?.ZB=30°,

故选：B.

变式1.如图，在44BC中，ZC=90°,D,E是AC上两点，S.AE=DE,BD平分NEBC,那么下列说

法中不正确的是（）

A.物是△极）的中线B.3D是ABCE的角平分线

C.Z1=Z2=Z3D.BC是ABDE的高

【答案】C

【分析】本题考查了三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内

容是解此题的关键.利用已知条件和三角形中线即可判断出A选项的正误；利用已知条件和角平分线的定

义即可判断出B选项的正误；利用角平分线的性质只能得到一2=/3,但没有办法得到4=/2,这样就

很容易判断出C选项的错误；由于NC=90。，结合“从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂

足之间的线段叫做三角形的高”即可判断出8c是否是的高，这样也能得出D选项的正误.

【详解】A、由图可知：8E是△ABD的中线，正确，不符合题意；

B、由图可知：8。是ABCE的角平分线，正确，不符合题意；

C、Q3。是A3CE的角平分线，

.-.Z3=Z2,

•••BE是中线，

.•.N1/N2,

N1=N2=N3不正确，符合题意.

D、由图可知：

•••ZC=90°

.•.BC是AABE的高，正确，不符合题意；

故选C.

变式2.如图，已知AABC,按下列要求画图:

(1)画出/ABC的平分线，并指出相等的角；

(2)画出8C边上的中线，并指出相等的线段；

(3)画出2C边上的高，并指出图中所有的直角三角形.

⑶图中的直角三角形有△AEB,八4/石和

【详解】(1)8。是NABC的平分线.ZABD=ZCBD.

(2)AE是BC边上的中线.BE=CE.

(3)是BC边上的高.•：AF±BC,：.ZAFC=90°,图中的直角三角形有△AFB,/XAFE和

△AFC.

变式3.如图，在长度为1个单位长度的小正方形网格中，AABC的三个顶点均在格点上.将AABC经过一

次对称后得到AA'3'C'，图中标出了点A的对应点4.

(1)补全AARC；

⑵画出AC边上的中线B。；

⑶画出AC边上的高线8E；

(4)求“BC的面积.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)见解析

(4)8

【分析】(1)连接A4'，作利用格点找出A4'的垂线，即为对称轴，再作出点8,点C的对称点，顺次连

接即可得到AAB'C；

(2)利用格点找出AC的中点£),连接3D即可；

(3)利用格点作△加H,使得,BH交AD于点、E,利用全等三角形的性质可证

BHJ.AD,BE即为所求；

(4)利用格点和三角形面积公式计算即可.

【详解】(1)解：AABC如下图所示；

(2)解：AC边上的中线BD如下图所示;

(3)解：AC边上的高线BE如下图所示;

理由如下：

由格点可知/'=BF=AB,

又/HFB=/DBA=9U°,

:.AABD%BFH(SAS),

・./HBF=/DAB,

•・•ZADB-^ZDAB=9Q0,

・•・ZADB+/HBF=9伊,

ZDEB=90°f

班为AC边上的高线；

⑷解:S.=S/+Sj=*!j24+；创24=8,

即AABC的面积为8.

【点睛】本题考查格点作图，涉及作轴对称图形、作三角形的中线、高线、全等三角形的判定与性质等，

第3问有一定难度，解题的关键是利用格点构造AABZ运△班H.

变式4.如图所示，AE为“LBC的角平分线，C£＞为“LBC的高，若N3=30。，NACB=75°,求N/WC的

【分析】首先根据三角形高的定义可知/ADC=90。，再结合三角形内角和定理解得NBAC的值，结合

AE为AABC的角平分线，可得/5钻=37.5。，然后根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角

和“，由//4尸。=4/1£+/4。。求解即可.

【详解】解：：C£＞为“1BC的高，

ZA£＞C=90°,

VZB=30°,ZACB=75°,

：.ABAC=180°-ZB-ZACB=180°-30°-75°=75°,

,/AE为AABC的角平分线，

ZBAE=-ABAC=37.5°,

2

ZAFC=ABAE+ZADC=37.5°+90°=127.5°.

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质、三角形的角平分线和三角形的高

等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键.

1.如图，A、B.C分别为某经济开发区中的三地，每两地之间都修建了一条笔直的公路，现在要在4、

3、C三地之间建一个加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应建在（）.

A.AC.两边高线的交点处B.么两内角平分线的交点处

C.AC、BC两边中线的交点处D.AC,8C两边垂直平分线的交点处

【答案】B

【分析】本题考查角平分线性质.角平分线上的点到线段两端的距离相等，利用性质即可得到本题答案.

【详解】解：•.•要在4、2、C三地之间建一个加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，

，将加油站建在么两内角平分线的交点处即可到三边的距离相等，

故选：B.

2.如图，三条公路把48、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个

集贸市场，使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（）

A.在AC、BC两边高线的交点处B.在ZA、N3两内角平分线的交点处

C.在AC、3c两边中线的交点处D.在AC、3c两边垂直平分线的交点处

【答案】B

【分析】根据三角形三个内角的角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等即可选择.

【详解】根据三角形的角平分线性质，集贸市场应建在NA、两内角平分线的交点处.

故选：B.

【点睛】本题考查三角形的角平分线性质，掌握三角形三个内角的角平分线相交于一点，并且这一点到三

条边的距离相等是解答本题的关键.

3.如图，在AABC中，AC=BC,AB=6,AABC的面积为12,CD,AB于点。，直线跖垂直平分BC

交AB于点E,交BC于点RP是线段E尸上的一个动点，则的周长的最小值是（）

【答案】B

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，两点之间连线段最短等；连接PC,由

三角形面积得CD=4,由等腰三角形的性质得BO=gA3=3,由线段垂直平分线的性质得PC=Pfi,由

两点之间连线段最短当C、P、O三点共线时，PC+PD最小，

止匕时PC+PD=CD=4,即可求解；掌握相关的性质，“将军饮马''典型问题的解法是解题的关键.

【详解】解：如图，连接尸C,

:.-ABCD=12,

2

.-.-x6-cr>=12,

2

解得：CD=4,

AC=BC,

:.BD=-AB=3,

2

・・,直线斯垂直平分交A8于点E,

:.PC=PB,

当C、P、。三点共线时，PC+PD最小,

止匕时尸C+PD=CD=4,

.•.PB+PD的最小值为4,

的周长的最小值为:

BD+PB+PD

=3+4

=7；

故选：B.

4.如图，在"LBC中，/54C=90。，AB=6,AC=8,BC=10,AD是高，的是中线，C尸是角平分

线，CF交AD于点G,交BE于点H,下面结论：①AME的面积=ABCE的面积；@ZAFG=ZAGF；

③NE4G=2NACF；④AD=2.4.其中正确结论的序号是—.

【答案】①②③

【分析】本题考查了三角形的中线、高、角平分线；根据三角形角平分线和高的性质可确定角之间的数量

关系；根据三角形的中线和面积公式可确定AABE和ABCE的面积关系以及求出AD的长度.

【详解】解：；BE是AABC的中线

:.AE=EC

:.ABE的面积等于ABCE的面积

故①正确；

-.■ZBAC^90°,AD是"LBC的高

:.ZAFG+ZACG=90°,ZDCG+ZDGC=90°

•.•CP是AABC的角平分线

/.ZACG=ZDCG

:.ZAFG=ZDGC

又•；NDGC=ZAGF

:.ZAFG=ZAGF

故②正确；

ZFAG+NDAC=ZDAC+ZACD=90°

:.ZFAG^ZACD

ZACD=ZACF+NDCF=2ZACF

:.ZFAG=2ZACF

故③正确;

2S.=ABAC=BCAD

△ADRCr

BC10

故④错误;

故答案为：①②③.

5.如图，是由小正方形组成的6x6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，AABC的三个顶点都是格点，仅

用无刻度直尺在给定网格中完成画图.(画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示).

(1)如图1,请画出44BC的高CO和中线A£；

(2)如图2,A£＞是的角平分线，请画出的角平分线BE,并在射线BE上画点歹，使

BE=2AF.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】(1)连接CM,与AB相交于点O,C。即为的高，连接FH,与BC相交于点E,连接

AE,AE即为44BC中线；

(2)找到格点4,连接交于点T,连接并延长交AC于点E,8E即为—ABC的角平分线；找到格

点N,连接A®交AD于点M,连接。河并延长，交BE于点F,则点尸即为所求.

【详解】(1)解：如图所示，

图1

（2）解：如图所示，找到格点4,连接CH交于点T,连接87并延长交AC于点E,BE即为—ABC的角

平分线；

找到格点N,连接AE交AD于点加，连接OM并延长，交BE于点F,则点歹即为所求；

图2

理由如下：；44BC是等腰直角三角形，

/.ZBAC=45°,

•.•四边形AC3”是正方形，则NACH=N3CH=45。,

则CH是NACB的角平分线，

•••T是角平分线的交点，

则BE是ZABC的角平分线；

AD是NBAC的角平分线，

ZBAD=22.5°

：.ZADN=22.5°+45°=67.5°

又“GV是等腰直角三角形，

ZANC^45°

：.NNAD=67.5°=ZADN,

：.NA=ND

•.•3瓦NE关于AC对称，

ZEVC=Z£BC=22.5°

/.ZNMC=180°-ADC-MND=90°,

：.AM=MD,

・・・。，M分别是AB,AD的中点，

・・・OF//BC

：.ZMFE=ZEBC=22.5°,ZFME=ZENC=22.5°,即ZEMF=ZFME

：.ME=FE,

：.BF=NM

在中，

AB=AN

<ZANF=NABF

BF=NM

；.AABF^ANM

：.ZAFB=ZAMN=90°

：.OF=-AB=OA

2

ZAOF=ZABC=45°

：.ZAFM=1(180°-45°)=67.5°

又,.,"F〃5C

：.ZAMF=ZADC=61.5°

：.ZAMF=ZAFM

：.AF=AM=-AD

2

在△ADC,△BCE中，

ZDAC=ZCBE=22.5°

<ZACD=ZBCE=90°

AC=BC

：.AADC沿ABCE

：.AD=BE

:.BE=2AF.

【点睛】本题考查了无刻度直尺作图，作三角形的中线，高线，角平分线，全等三角形的性质与判定，轴

对称的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键.

6.如图，在AABC中，为3c边上的高，/ABC的平分线交AD于点石，交AC于点尸.若

ZDAC=24°,ZABC=50°,求ZAFB的度数.

【答案】ZAFB=91。

【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，由角平分线的

定义得出/CM=25。，由三角形内角和定理得出NC=66。，最后由三角形外角的定义及性质进行计算即

可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.

【详解】解：•.•ZABC=50。，m平分NABC,

ZCBF=-ZABC=1x50。=25°,

22

•.•AD为3C边上的高，

:.ZADC^90°,

■：ZDAC=24°,

,-.ZC=90°-ZDAC=90°-24°=66°,

ZAFB=ZCBF+ZC=250+66°=91°.

7.如图，在AABC中，AD,AF分别为AABC的中线和高，班为△ABD的角平分线.

(1)若N3ED=60。，ZBAD=40°,求尸的大小.

⑵若AABC的面积为40,BD=5,求AF的长.

［答案］⑴50。

(2)8

【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形外角性质和三角形面积公式.本题的关键是充分应用三角形

的角平分线、高和中线的定义.

（1）先利用三角形的外角性质计算出NABE=20。，再利用角平分线定义得到WC=2ZABE=4O。，然后根

据高的定义和互余两角的性质求出厂的度数；

（2）先根据三角形中线定义得到3c=230=10,然后利用三角形面积公式求AF的长.

【详解】（1）解：■.■ZBED=ZABE+ZBAE,

.-.ZABE=60°-40°=20°,

•.•BE平分NABC,

ZABC=2ZABE=40°,

:AF为高,

:.ZAFB=9QP,

Zfl4F=90°-ZABF=90°-40°=50°；

（2）解：为中线，

:.BC=2BD=10,

S^ABC=万AF-BC,

易错点三：讨论不全面，需分类讨论

易错提醒：不同的三角形，高的位置也不同，所以要分类讨论，可以按照锐角三角形、直角三角形和钝角

三角形三种情况讨论，以免漏解.

@Q@©

例5.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40。，则这个等腰三角形的顶角度数为（）

A.40°B.50°C.130°D.50°或130°

【答案】D

【分析】首先想到等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时不可能出现题中

所说情况所以舍去不计，我们可以通过画图来讨论剩余两种情况.

【详解】解：①当为锐角三角形时可以画图，

高与另一边腰成40。夹角，由三角形内角和为180。可得，三角形顶角为50°

②当为钝角三角形时可以画图，

此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为180°,

由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为50。，

则三角形的顶角为130°.

综上，等腰三角形顶角度数为50。或130。

故选：D.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候

可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中.

例6.若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是（）

A.75°或15°B.75°C.15°D.75°和30°

【答案】A

【分析】分两种情况：当等腰三角形为锐角三角形时；当等腰三角形为钝角三角形时，分别进行计算即

可.

【详解】解：当等腰三角形为锐角三角形时，如图：

:.ZBDA=90°,

BD=-AB,

2

.".ZBAD=30°,

・.・AB=AC,

.\ZABC=ZC,

・.・ZABC+ZC+ZA=180°，

・•.NABC="=幽一4」8。。-3。工75。,

22

・•.这个等腰三角形的底角是75。；

当等腰三角形为钝角三角形时，如图:

在AABC中，AB=AC,BDLAC,

:.ZBDA=90°,

•「BD=-AB

2f

.\ZBAD=30°,

・.・AB=AC,

.\ZABC=ZC,

・・・ZABC+ZC=ZBAD,

/.ZABC=ZC=-ZBAD=15°,

2

・・.这个等腰三角形的底角是15。；

综上所述：这个等腰三角形的底角是75。或15。，

故选：A.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、含30。角的直角三角形的性质、三角形内角和定理、三角形

外角的定义及性质，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键.

变式1.已知在AASC中，ZA=50°,高8。和高CE所在的直线交于P点，则N3PC的度数为一.

【答案】130。或50°

【分析】本题考查了三角形高的定义，直角三角形两锐角互余，三角形的外角定理，熟练掌握三角形高的

定义，直角三角形两锐角互余，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键.根

据题意进行分类讨论：①当点尸在内时，②当点P在“RC外时，即可求解.

【详解】解：①当点P在AABC内时，如图1：

:BD、CE为AABC的高，4=50。，

?.ZABD=90°-50°=40°,NCEB=90°,

：.ZBPC=ZABD+ZCEB=40°+90°=130°:

②当点尸在AABC外时，如图2：

"：BD、CE为AABC的高，ZA=50°,

ZABD=90°-50°=40°,NCEB=90°,

：.ZBPC=90°-ZABD=50°；

故答案为：130。或50°.

变式2.在AABC中，3。是AC边上的高，ZABD=30°,求/BAC的度数.

【答案】N3AC的度数为60。或120。.

【分析】分/BAC是锐角和NBAC是钝角两种情况进行讨论，利用三角形的内角和定理即可求解.

【详解】解：当/54C是锐角时，如图(1),

是高，

ABAC=90°-ZABD=90°-30°=60°；

当NBAC是钝角时，如图⑵,

：.NBAD=90°-ZABD=90°-30°=60°,

贝I]ABAC=180°—/BAD=180°-60°=120°.

综上，/3AC的度数为60。或120。.

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，正确分两种情况进行讨论是关键.

变式3.在AABC中，AB=13,AC=15,高">=12,则3c的长是（）

A.14B.4C.14或4D.14或6

【答案】C

【分析】本题主要考查了勾股定理的运用，分①当高AD在"LBC的内部时②当高在“的外部

时，然后由勾股定理即可求解，解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用及分类讨论思想.

【详解】①当高AD在的内部时，如图1,

图1

...BC边上的图，AD=12,

/.ZADB^ZADC^90°,

在Rt&lBD中，AB=13,根据勾股定理得，BD=^AB--AD1=A/132-122=5(cm),

在RtZ\ACD中，AC=15,根据勾股定理得，CD=4AC2-AD2=7152-122=9(cm),

/.BC^BD+CD=5+9^14(cm)；

②当高AD在AABC的外部时，如图2,

图2

BC边上的高A£>=12,

Z.ZADB=ZADC=9Q°,

在RtZXABD中，AB=13,根据勾股定理得，BD=>jAB2-AD2=V132-122-5(cm),

在RSACD中，AC=15,根据勾股定理得，CD=4AC?-AD?=JS*=9(cm)

/.5C=CD-BD=9-5=4(cm),

综上所述，3C的长为14cm或4cm,

故选：C.

变式4.在AABC中，AD为边BC上的高，ZABC=50°,ZC4D=30°,则—3AC的度数是一度.

【答案】10或70

【分析】本题考查了直角三角形的性质，角的和差，分AD位于"RC内部和外部两种情况讨论，进行运

算即可求解，掌握分类讨论是解题的关键.

【详解】解：如图1,当AD位于AABC内部时，

01

■:AD1BC,

：.ZADB=90°,

•IZABC=50°f

：.ZBAD=90°-50o=40°,

・・・ZBAC=ZBAZ)+ZG4Z)=40o+30o=70o；

如图2,当AD位于AABC外部时，

图2

AD1BC,

・•.ZADB=90°,

,/ZABC=50°f

：.ZBAD=90°-50o=40°,

・・・ABAC=ZBAD-ZCAD=40°-30°=10°；

・・・ZBAC的度数是10°或70°,

故答案为：10或70.

1.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35。，那么这个等腰三角形的顶角等于()

A.55°或125°B.55°C.125°D.35。或55°

【答案】A

【分析】分别从AABC是锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案.

【详解】解：如图(1),当AABC是锐角三角形时，

vAB=AC,BDLAC,

:.ZADB=90°,

=35°,

ZA=90°-ZABD=90°-35°=55°；

如图(2),当AABC是钝角三角形时，

vAB=AC,BD1AC,

二/应心=90。，

■：ZABD=35°,

ZBAD=90°-ZABD=90°-35°=55°,ABAC=180°-ABAD=180°-55°=125°；

综上所述，它的顶角度数为：55。或125。，

故选：A.

(1)(2)

【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，采用分类讨论的思想是解此题的关键.

2.若等腰三角形一腰上的高与另一个腰的夹角为60。,则这个等腰三角形的底角是()

A.75°或15°B.75°C.15°D.75°或30°

【答案】A

【分析】首先根据题意画出图形，然后分别从锐角三角形与钝角三角形分析求解即可求出答案.

【详解】

D

/BC

BC

(1)()

根据题意得：AB=AC,BD±AC

如图(1),ZABD=60°

则NA=30°

ZABC=ZC=75°

如图(2),NABD=60°

ZBAD=30°

NABC=NC=gZBAD=15°

故这个等腰三角形的底角是75。或15°

故选A

【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，分类讨论是本题的关键.

3.直角三角形的两边分别为2和3,则斜边上的高为

【答案】述或巫

313

【分析】本题主要考查了勾股定理，求三角形的高的长，设斜边上的高为H分当长为3的边为斜边时，

当长为3的边为直角边时，两种情况利用勾股定理求出第三边的长，再利用等面积法求出h的长即可得到

答案.

【详解】解：设斜边上的高为〃，

当长为3的边为斜边时，则第三边长为斤，=石，

由三角形面积公式可得gx2x^=gx3»,

•/_2•

••fl-----;

3

当长为3的边为直角边时，则第三边的长为序方=而，

由三角形面积公式可得;x2x3=gxJF./7,

6A/13

13

综上所述，斜边上的高为述或5叵,

313

故答案为：正或巫.

313

4.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50。，则这个等腰三角形的顶角度数为_；已知等腰三角

形一腰上的中线把三角形周长分为12cm和15cm两部分，则这个等腰三角形的底边的长为

【答案】40。或140。11cm或7cm

【分析】（1）分两种情况讨论：当等腰三角形为锐角三角形时；当等腰三角形为钝角三角形时；先求出顶

角N8AC,即可求出底角的度数.

（2）分两种情况讨论：当AB+AO=12,BC+OC=15或AB+AO=15,8C+QC=12,所以根据等腰三角形

的两腰相等和中线的性质可求得，三边长为8,8,11或10,10,7.所以8C的长为7cm或11cm.

【详解】（1）当等腰三角形为锐角三角形时，如图1,

ZA=90°-50°=40°,

.•.三角形的顶角为40。；

当等腰三角形为钝角三角形时，如图2,

VZABD^50°,BD±AC,

：.NBA。=90°-50°=40°,

,/ZBAD+ZBAC=1^°,

：.ZBAC=140°

.•.三角形的顶角为140。；

综上，三角形的顶角为40。或140。；

(2)如图3,

设AD=xcm,则当2x+尤=12时，x—4,BPAB—AC—8cm,

:周长是12+15=27cm,

.*.BC=11cm；

当2x+x=15时，x=5,即AB=AC=10cm,

:周长是12+15=27cm,

.".BC—Tcm,

综上可知，底边BC的长为7cm或11cm.

故答案为40。或140。；7cm或11cm.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候

可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中.

5.在AABC中，己知BC边上的高AD=8cm,BD=15cm,CD=6cm,则AABC的面积为.

【答案】84cm,或36cm2

【分析】本题考查了三角形的高，利用分类讨论的思想解决问题是关键.分两种情况讨论：①AO在

△ABC内部；②AD在AABC外部，分别求出BC的长，即可求出AABC的面积.

【详解】解：①如图，当AD在AABC内部时，BC=BD+CD=21cm,

11,

2

SABC=-BC.A£>=-x21x8=84(cm)；

②如图，当AD在AABC外部时，BC=BD—CD=9cm,

A

11

92

S/WC=-BC-AD=-x9x8=36(cm)；

综上可知，的面积为84cm2或36cm2,

答案：84cm2或36cmL

6.已知AABC的面积为20cm2,AD为BC边上的高，且AD=8cm,CD=2cm,求BD的长度.

【答案】BD的长度为3或7

【分析】分两种情况，利用三角形面积公式即可求得.

【详解】解：如图1,

；.AD_LBC,

.,.SAABC=|BC«AD=1(BD+CD)-AD,

.\20=1(BD+2)x8,

；.BD=3；

如图2,

:AD为BC边上的高，

；.AD_LBC,

.".SAABC=|BC-AD=1(BD-CD)-AD,

.\20=1(BD-2)x8,

，BD=7；

故BD的长度为3或7.

【点睛】本题考查了三角形的面积，注意分类讨论.

易错点四：比例关系混淆

三角形的重心：三角形三条边中线的交点，重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍.

易错提醒：比例关系要记熟，线段位置容易写相反导致比例出错

例7.如图，点P是AASC的重心，点。是边AC的中点，PE//AC交BC于点、E,DF〃BC交EP于点

F.若四边形CDFE的面积为6,贝的面积为()

A.12B.14C.18D.24

【答案】C

【分析】本题考查了三角形重心的性质和相似三角形的判定与性质，连接3D,根据三角形重心的性质可

知：P在8。上，由三角形中线平分三角形的面积可知SOBC=