2025年新高考数学一轮复习：巧解圆锥曲线的离心率问题【八大题型】原卷版

巧解圆锥曲线的离心率问题【八大题型】

►题型归纳

【题型1利用圆锥曲线的定义求离心率或其范围】...............................................2

【题型2利用圆锥曲线的性质求离心率或其范围】...............................................3

【题型3利用等量关系或不等关系求离心率或其范围】............................................3

【题型4利用正、余弦定理求离心率或其范围】..................................................4

【题型5利用基本不等式求离心率的范围】......................................................5

【题型6椭圆与双曲线综合的离心率问题】......................................................5

【题型7函数法求离心率或其范围】............................................................6

【题型8坐标法求离心率或其范围】............................................................7

►命题规律

1、巧解圆锥曲线的离心率问题

从近几年的高考情况来看，圆锥曲线的离心率或其取值范围问题是高考的热点题型，主要以选择题或

填空题的形式考查，难度不大；对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何

关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁.

►方法技巧总结

【知识点1圆锥曲线的离心率】

1.椭圆的离心率

(1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比色称为椭圆的离心率.用e表示，即e=。

aa

(2)离心率的范围：0<e<l.

(3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度.

当e越接近于1时，。越接近于0,从而6="^越小，因此椭圆越扁；当e越接近于。时，c越接

近于0,从而6=，^二越接近于a,因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=6时，c=0,这时两个焦点重合,

图形变为圆，它的方程为x2+y2=02.

2.求椭圆离心率或其取值范围的方法

解题的关键是借助图形建立关于«,b,c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下:

(1)直接求出a,c,利用离心率公式0=?求解.

(2)由。与6的关系求离心率，利用变形公式e=求解.

(3)构造a,c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a,c的具体值，而是得出。与。的关系，从而求得

3.双曲线的离心率

(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比(，叫作双曲线的离心率.

(2)双曲线离心率的范围：e>l.

(3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.

因为2=*]1,所以e越大，令越大，则双曲线的开口越大.

a\aa

(4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=，5.

4.求双曲线离心率或其取值范围的方法

(1)直接求出a,c的值，利用离心率公式直接求解.

(2)列出含有a,6,c的齐次方程(或不等式)，借助于〃=/—c?消去人转化为含有e的方程(或不等

式)

求解.

5.抛物线的离心率

抛物线的离心率e=l.

【知识点2离心率的范围问题的求解方法】

1.不等式法求离心率的范围

(1)利用圆锥曲线的定义求离心率的范围：利用圆锥曲线的定义建立不等关系，结合离心率公式求解.

(2)利用圆锥曲线的性质求离心率的范围：利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角、双曲线渐近线的

斜率、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)求解.

(3)利用题目条件中的不等关系，建立不等式(不等式组)求解.

(4)利用基本不等式求离心率的范围：把离心率的关系式转化为能利用基本不等式的形式，利用基本不

等式建立不等关系进行求解.

2.函数法求离心率的范围

(1)根据题干条件，如圆锥曲线的定义、性质、其他等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数

关系式；

(2)结合圆锥曲线的离心率的范围，来确定所得函数的定义域;

（3）利用函数的性质求最值或值域，进而求解离心率的最值或取值范围.

3.坐标法求离心率的范围

根据所给条件，设出所求点的坐标，把点的坐标代入曲线方程，结合相关知识，进行求解即可.

►举一反三

【题型1利用圆锥曲线的定义求离心率或其范围】

【例1】（2024•内蒙古呼和浩特•模拟预测）已知双曲线的两个焦点分别为（4,0）,（—4,0）,点（4,—6）在该双

曲线上，则该双曲线的离心率为（）

A.V3B.3C.2D.V2

【变式1-1]（2024・广西贵港•模拟预测）已知正方形/BCD的四个顶点都在椭圆上，且椭圆的两个焦点分

别为边40和2c的中点，则该椭圆的离心率为（）

返生旦DV3

2222

22

【变式1-2]（23-24高二下•山西晋城•阶段练习）已知％,尸2是椭圆C：叁+:=l（a>6>0）的两个焦点,

M为C的顶点，若的内心和重心重合，则C的离心率为（）

A.苧B.亨C.|D.|

【变式1-3]（2024•陕西商洛•三模）已知双曲线C:《一看=l（a>。力>0）的左、右焦点分别为％,&，若。

上存在点P,使得|PFi|=3仍尸2|，贝照的离心率的取值范围为（）

A.[V2,+oo）B.（1,V2]C.[2,+8）D.（1,2]

【题型2利用圆锥曲线的性质求离心率或其范围】

22

【例2】（2024•浙江杭州三模）已知双曲线叁一左=l（a,6〉0）上存在关于原点中心对称的两点/,B,以

及双曲线上的另一点C,使得△ABC为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）

A.（V2,+oo）B.（V3,+oo）C.（2,+oo）D.（竽,+8）

【变式2-1]（23-24高二下•山西运城•期中）已知%尸2分别是椭圆若|+?=l（a>0）的左、右焦点，过点

%的直线交C于4B两点，若|4?2|+田尸2|的最大值为8,贝UC的离心率为（）.

A."■5B.旁ZC.咚3D.14

22

【变式2-2]（2024•四川•模拟预测）已知双曲线E:a—相=l（a>0,b>0）,F/分别为E的右焦点和左顶点,

点M（—2,3）是双曲线E上的点，若aAMF的面积为5，则双曲线E的离心率为（）

A.V3B.2C.芋D.V6

【变式2-3］（2024•陕西铜川•模拟预测）已知七尸2是椭圆l（a>6>0）的左、右焦点，若E上存

在不同的两点4B,使得贝恒的离心率的取值范围为（）

A.（0,V2-1）B.（0,V2-1］C.（3-2V2,1）D.［3-2V2,1）

【题型3利用等量关系或不等关系求离心率或其范围】

【例3】（2024•广东深圳•二模）尸是椭圆C：5+着=1（a〉6>0）上一点，/、&是。的两个焦点，

丽•丽=0,点Q在〃止尸2的平分线上，。为原点，OQIIPF1，且|OQ|=4则c的离心率为（）

A.|B.C.乎D.y

【变式3-1］（2024•江西南昌•三模）已知双曲线C:，一，=1缶>0,6>0）的左、右焦点分别为Fi，F2.过尸2

作直线I与双曲线C的右支交于4B两点，若的周长为106,则双曲线C的离心率的取值范围是（）

A.除闻B.惕词C.［1,2］D.［2,+co）

【变式3-2］（2024•河北邯郸•模拟预测）已知双曲线C：［―《=l（a>0,b>0）,。为坐标原点，F［、F2

分别为C的左、右焦点，点P在双曲线上，且PF2，x轴，〃在NF2PF1外角平分线上，且石方•丽=0.若

|0&|=层陷，则双曲线的离心率为（）

A.V2B.V3C.2D.苧

【变式3-3］（2024•陕西安康•模拟预测）已知椭圆+左=l（a>6>0）,直线+a）与椭圆C交

于4B两点（B点在力点上方），。为坐标原点，以。为圆心，|。8|为半径的圆在点B处的切线与x轴交于点D,

若NBn4>NB4D,贝UC的离心率的最大值为（）

A.|B.|C.亨D.y

【题型4利用正、余弦定理求离心率或其范围】

【例4】（2024•广西桂林・模拟预测）已知％、氏是双曲线。套一底=1的左、右焦点，过尸2作双曲线一条

渐近线的垂线，垂足为尸，且|「％|2+|尸尸2|2=8炉，则双曲线C的离心率为（）

A-B-C2y3D'5

34533

【变式4-1］（2024•陕西安康•模拟预测）设4B分别为椭圆。/+\=1（£1>6>0）的左、右顶点，M是C上

一点，^.\MA\-.\MB\-.\AB\e3:5:7,则C的离心率为（）

A33V15n7V286

B

A/-7C.7rD,

【变式4-2]（2024•四川成都•模拟预测）设点Fi，F2分别为双曲线C：，一'=1（。>06>0）的左、右焦点，

点/,8分别在双曲线C的左，右支上.若@=6鬲7,AF2LBF2,且|欣布则双曲线的离心率为

（）

A.yB.yC.等D.等

【变式4-3]（23-24高二上•浙江杭州•期中）双曲线缁一，=l（a>0,6>0）的左，右焦点分别为F仍，。

为坐标原点，过广作C的一条渐近线的垂线，垂足为。，且|。&1=夕1。叫，则C的离心率为（）

A.V2B.2C.V5D.3

【题型5利用基本不等式求离心率的范围】

【例5】（23-24高二上•安徽黄山•期末）已知点/是椭圆卷+卷=1（（1>6〉0）的左焦点，过原点作直线Z

交椭圆于4、B两点，M、N分别是4匕、BFi的中点，若4MON=90°,则椭圆离心率的最小值为（）

A.[B.亨C.|D.日

22

【变式5-1]（23-24高三上•云南曲靖•阶段练习）已知％,F2,分别为双曲线也一:=1（a>0,b>0）

的左、右焦点，M为双曲线左支上任意一点，若制的最小值为8a,则双曲线离心率e的取值范围是

（）

A.（I,1]B.（2,4]

C.（1,3]D.（3,5]

22

【变式5-2]（23-24高二•全国•课后作业）已知Fi，92分别为双曲线点一标=l（a>0力>0）的左、右焦点,

尸为双曲线右支上任意一点，若制的最小值为8a,则该双曲线的离心率e的取值范围是（）

A.（1,2）B.（1,3）C.（1,3]D.（2,4）

【变式5-3]（2024・河南・二模）从椭圆嗒+3=1（口〉6>0）外一点「（>0）0）向椭圆引两条切线，切点分

别为4B,则直线称作点P关于椭圆C的极线，其方程为翳+黄=1.现有如图所示的两个椭圆C]C2,离心

率分别为ei，2,C2内含于Ci，椭圆加上的任意一点M关于C2的极线为Z,若原点。到直线[的距离为1,则谥一

【题型6椭圆与双曲线综合的离心率问题】

【例6】（2024•安徽合肥•模拟预测）已知椭圆Ci：5+y2=1（机>1）与双曲线C2：9―产=2>0）的

焦点重合，61，02分别为的，。2的离心率，则（）

A.?送2>2B.%+益>2

C.0<?送2<2D.0V〃+62<2

2222

【变式6-1]（2024•山东荷泽•二模）已知6逆2分别为椭圆a+:=l（a>b>0）和双曲线会一左=1的离心

率，双曲线渐近线的斜率不超过竽，则言的最大值是（）

A.2B.3C.4D.5

2222

【变式6-2]（2024•全国•模拟预测）已知椭圆Ci：盍+叫=l（m>n>0）与双曲线一琶=l（a>0,b>0）

有共同的焦点乙尸2，点P为两曲线的一个公共点，且乙尸/&=60°,椭圆的离心率为双曲线的离心率

为02，那么嫉+餐最小为（）

A2+V^B2+V3c3+2V2口3+2A/2^

【变式6-3]（23-24高二上•湖北荆州•期末）已知尸1，&是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共

点，且|PFi|>|PF2l，线段PFi的垂直平分线过&，若椭圆的离心率为ei，双曲线的离心率为02,则：+:的

el4

最小值为（）

A.8B.6C.4D.2

【题型7函数法求离心率或其范围】

22

【例7】（2024•全国•模拟预测）已知椭圆「：»+旌=l（a>%>0）的左、右焦点分别为鼻尸2，点P在椭圆「

上，且PF「PF2=0.若局6[1,3],则椭圆「的离心率的取值范围是（）

A.[知B.母羽C.[|,|]D,[1,4-2V3]

【变式7-1]（2024•河北邯郸•二模）已知直线Z：出一（4a—l）y+zn=0（a>》与双曲线总一，=l（a>0,

b>o）的两条渐近线交于a2两点，。为坐标原点，若ao/B为直角三角形，则双曲线的离心率e的最大

值为（）

A.V2B.V3C.2D.V5

【变式7-2]（2024•辽宁•模拟预测）已知Q是椭圆“卷+餐=1（0<b<3）上的动点，若动点Q到定点P（2,0）

的距离|PQ|的最小值为1,则椭圆M的离心率的取值范围是（）

A.[Q）B,（0当C.除1）D,（0闸

【变式7-3]（2024•四川•模拟预测）已知双曲线嗒一看=l（a>0力>0）,Fi，&为C的左、右焦点，B

（0,46）,直线8尸2与C的一支交于点P，且忌=2（221）,则C的离心率最大值为（）

A.V5B.2C.2V2D.2栋

【题型8坐标法求离心率或其范围】

[例8]（23-24高二下•湖北武汉•阶段练习）已知4尸分别为椭圆5+看=l（a>b>0）的左顶点和左焦点,

直线y=kx与椭圆交于B,C两点，若直线CF交线段于”,府=押，则椭圆的离心率为（）

A.?B.|C.半D.等

【变式8-1]（23-24高三上•河北保定•阶段练习）已知双曲线C:/—'=1仙>0）,点P（2,0）,Q（3,0）,若C

上存在三个不同的点M满足|MQ|=2|MP|,则C的离心率的取值范围为（）

A.（1,孚）B.（1噜C.弯+8）D.（苧,+8）

【变式8-2]（2024•福建泉州•模拟预测）椭圆E：/+^=1（£1>6>0）的左右焦点分别为尸1尸2，点。（0即）

（jn>b）,线段P%,P&分别交E于4B两点，过点B作E的切线交P%于C,且BC•PF】=0,PB=2B12,则E

的离心率为（）

A.1B.乎C.乎D.日

【变式8-3]（23-24高二上•湖北•期中）已知双曲线C：《一\=l（a>0力>0）的左、右焦点分别为Fi

（―c,0），F2（C,0）,过点％的直线I与双曲线C的左支交于点4与双曲线C的一条渐近线在第一象限交于点8,

且F1F2I=2|0B|（。为坐标原点）.下列三个结论正确的是（）

①B的坐标为（a,b）；@\BF1\-\BF2\>2a；③若荏=3工1,则双曲线C的离心率丹立;

A.①②B.②③C.①③D.①②③

►过关测试

一、单选题

1.（2024・湖北武汉•模拟预测）设椭圆+l（a>6>0）的左右焦点为尸1尸2，右顶点为4已知点P

在椭圆E上，若4尸"尸2=9O°,ZPXF2=45。，则椭圆E的离心率为（）

A.|B.苧C.2-V2D.V3-1

2.（2024・四川雅安・三模）设乙尸2分别为双曲线C：5一f|=l（a>0力>0）的左右焦点，过点&的直线交双

曲线右支于点M,交y轴于点M且尸2为线段MN的中点，并满足前1布，则双曲线C的离心率为（）

A.B.V3+1C.2D.V5+1

3.（2024・陕西咸阳•模拟预测）设Fi，尸2分别是椭圆E：^+f1=l（a>b>0）的左、右焦点，过尸2的直线交

椭圆于48两点，且疝♦死=0,6=2不，则椭圆E的离心率为（）.

A.孚B.字C.jD.|

4.（2024•安徽合肥•模拟预测）已知双曲线唁一看=l（a>。力>0）,%（—c,0）、&。。）分别为左、右焦

点，若双曲线右支上有一点尸使得线段P%与y轴交于点E,\PO\=\PF2\,线段E&的中点〃满足蒜•丽

=0,则双曲线的离心率为（）

A.3*同B.3一二旧c.7+375D.7-3V5

5.（2024•广东•一模）已知点RN分别是椭圆《+看=1（£1>6>0）的左焦点、右顶点，8（0力）满足布•荏

=0,则椭圆的离心率等于（）

皿叁C.井口.回

2222

6.（2024•辽宁•模拟预测）已知椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点是椭圆C1与双曲线C2的一个公共点，

且〃止尸2=今其离心率分别为％色，贝!!3餐+e油最小值为（）

A.3B.4C.6D.12

7.（2024•河南濮阳•模拟预测）点M是椭圆《+看=l（a>6>0）上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭

圆的焦点F,圆M与y轴相交于P,Q两点，若^PQ"是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（）

A.（2-V3,l）B.（年,1）

C.D.年）

8.（2024•四川德阳•模拟预测）已知双曲线/：《一餐=l（a>0/>0）的焦距为2c,右顶点为/,过/

作x轴的垂线与E的渐近线交于M、N两点，若SMONN*2,则E的离心率的取值范围是（）

A.图忖B.图同C.[V2）V3]D.[V3,2]

二、多选题

9.（2024•甘肃酒泉•三模）已知椭圆今+翕=l（a>b>0）上存在点P,使得|PFj=4四，其中尸1典分

别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（）

-1or

A.-B.-C.TD.V3-1

z□o

22

10.（2024•河南信阳•模拟预测）已知双曲线C:点一方=l（a>0力>0）的左、右焦点分别为％（—60）尸2

（c,0）,直线l:bx+ay—%=0与C相交于点M,与C的一条渐近线相交于点N,C的离心率为e,则（）

A.若NF—NF2,贝ije=2B.若贝b=2鱼

C.若INF2I=2|MF2l，则e=«D.若25|“尸2|，贝MW四

11.（2024•贵州贵阳•三模）双曲线C:/—/=l（a>0力>0）的左、右焦点分别为点尸1尸2,斜率为正的渐

近线为小过点尸2作直线k的垂线，垂足为点4交双曲线于点P,设点M是双曲线C上任意一点，若伊或1=

24

^\AF2\,S/\PF1F2=则（）

A.双曲线C的离心率为遥

B.双曲线C的共辗双曲线方程为外―1

C.当点M位于双曲线C右支时，制6（1,噌

D.点M到两渐近线的距离之积为2

三、填空题

12.（2024•山东济南•三模）已知％、F2是椭圆《+餐=1Q>b>。）的左，右焦点，点P为