2025年新高考数学一轮复习：排列、组合（十九大题型）（讲义）（学生版+解析）

第02讲排列、组合

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图•思维引航............................................................3

03考点突破•题型探究............................................................4

知识点1：排列与排列数..........................................................4

知识点2：组合与组合数..........................................................4

解题方法总结...................................................................5

题型一：排列数与组合数的推导、化简和计算.......................................7

题型二：直接法.................................................................8

题型三：间接法.................................................................8

题型四：捆绑法.................................................................9

题型五：插空法.................................................................9

题型六：定序问题（先选后排）..................................................10

题型七：列举法................................................................12

题型八：多面手问题............................................................13

题型九：错位排列..............................................................13

题型十：涂色问题..............................................................14

题型十一：分组问题............................................................16

题型十二：分配问题............................................................17

题型十三：隔板法..............................................................18

题型十四：数字排列............................................................18

题型十五：几何问题............................................................19

题型十六：分解法模型与最短路径问题............................................20

题型十七：排队问题............................................................22

题型十八：构造法模型和递推模型................................................23

题型十九：环排问题............................................................24

04真题练习•命题洞见............................................................25

05课本典例•高考素材............................................................58

06易错分析•答题模板............................................................26

易错点：忽视顺序，重复计算出错................................................26

答题模板：分组分配问题........................................................27

考情;秀汨•日标旦祐

考点要求考题统计考情分析

从近五年的全国卷的考查情况来看，

本节是高考的热点，也是高考常考内容，

以考查基本概念和基本方法为主，涉及特

2023年乙卷(理)第7题，5分

(1)排列与组合的概念殊元素与特殊位置、两元索相邻或不相

2023年甲卷(理)第9题，5分

(2)排列数、组合数的公式及邻、分组、分配等问题，分值为5分.本

2023年n卷第3题，5分

性质节内容与生活实际联系紧密，考生可适当

2023年I卷第13题，5分

留意常见的排列组合现象，如体育赛事排

赛、彩票规则等，培养数学应用的思维意

识.

复习目标：

(1)理解排列、组合的概念.

(2)能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.

(3)能利用排列组合解决简单的实际问题.

匐2

〃二知识导图•思维引航\\

定义：从〃个不同元素中取出〃1（〃7三〃）个元素排成一列，

/叫做从〃个不同元素中取出帆个元素的一个排列.

从〃个不同元素中取出〃，（〃出〃）个元素的所有排列的个数，

\、叫做从〃个不同元素中取出〃，个元素的排列数，用符号表示.

定义：从〃个不同元素中取出〃“〃区〃）个元素并成一组，

叫做从〃个不同元素中取出帆个元素的一个组合.

从〃个不同元素中取出〃，（〃建〃）个元素的所有组合的个数，

叫做从〃个不同元素中取出〃，个元素的组合数，用符号U表示.

组合与组合数组合数公式：q毋=〃（〃-1）（〃-2）“・（E+1）

4///：

组合数的主要性质

者占突曲・题理探密

/---------------------LTU-LTU-U,

f知识固本J

知识点1:排列与排列数

(1)定义：从“个不同元素中取出，"(mV")个元素排成一列，叫做从“个不同元素中取出m个元素

的一个排列.从〃个不同元素中取出加(加4“)个元素的所有排列的个数，叫做从〃个不同元素中取出根个

元素的排列数，用符号线'表示.

!

(2)排列数的公式：=n(n-l)(n-2)(n-m+l)=-——1―.

\n-my.

特例：当机=〃时，=n!=n(n-l)(n-2)3-2-1；规定：0!=1.

(3)排列数的性质：

①然=②A：=—47+1；③用=M蝎+-

n—mn—m

(4)解排列应用题的基本思路：

通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊限制条件(特殊位置，特殊元

素).

注意：排列数公式的两种不同表达形式本质是一样的，但作用略有不同，人：="(〃-1>-("-m+1)常

用于具体数字计算；而在进行含字母算式化简或证明时，多用A：=」一.

(n—m)!

【诊断自测】用L5,6,7,9这五个数字组成三位数(不同数位可以用相同数字)，其中个位数字、十位数字

和百位数字的和为偶数的三位数的个数为—(用数字作答).

知识点2：组合与组合数

(1)定义：从〃个不同元素中取出，力(mV”)个元素并成一组，叫做从"个不同元素中取出机个元素

的一个组合.从〃个不同元素中取出能(mV”)个元素的所有组合的个数，叫做从〃个不同元素中取出7”个

元素的组合数，用符号C；表示.

(2)组合数公式及其推导

求从〃个不同元素中取出〃2个元素的排列数4",可以按以下两步来考虑：

第一步，先求出从这〃个不同元素中取出机个元素的组合数c：；

第二步，求每一个组合中m个元素的全排列数；

根据分步计数原理，得到然=C：­4：;

n

因此C'=^="5T）（._2）5—〃+i）

“一A厂m\

nl

这里*mEN+,且加这个公式叫做组合数公式.因为这=/、，所以组合数公式还可表

示为：c：="..特例：C：=C：=1.

注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是

按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题.公式c：=〃（〃T）5一2）…+D常用于具体数字计算,

ml

VII

C；=---常用于含字母算式的化简或证明.

（3）组合数的主要性质：①C：=C尸；②C；+C：T=C；；+'l.

（4）组合应用题的常见题型：

①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型

②“至少，，或“最多，，含有几个元素的题型

排列和组合的区别

组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工.

排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同.

注意：排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别

在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题.排列

是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后

排列”.

【诊断自测】关于排列组合数，下列结论错误的是（）

1

A.C：=crB.C：+1=C：-'+C：C.D.A：+mA：：=A：+1

解题方法总结

1、如图，在圆中，将圆分”等份得到〃个区域，M2,M3,,M„（n..2）,现取以上..2）种颜色

对这"个区域涂色，要求每相邻的两个区域涂不同的两种颜色，则涂色的方案有（-1）。（左-1）+（左-1）"种.

3、数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项

（1）解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现

在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，

即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类

讨论.

4、定位、定元的排列问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常称为特殊元素,

被限制的位置称为特殊位置.这一类问题通常以三种途径考虑：

（1）以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安排其他元

素；

（2）以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，再考虑其他位

置；

（3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数.

5、解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将w个不同元素排成一排，其中某人个元素排在相邻位

置上，求不同排法种数的方法是：先将这左个元素“捆绑在一起“，看成一个整体，当作一个元素同其他元

素一起排列，共有黑型；种排法；然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，共有履种排法.根据分

步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有娼:;.种.

6、解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将〃个不同元素排成一排，其中某人个元素互不相邻

Ck<n-k+l）,求不同排法种数的方法是：先将（〃-左）个元素排成一排，共有四二:种排法；然后把发

个元素插入”-左+1个空隙中，共有履种排法.根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有

娼•%

题型洞察

题型一：排列数与组合数的推导、化简和计算

【典例1-1】下列等式错误的是()

A机儿!/

A.Cm=—2-B.―,―^=("-2)!

〃n\小T

n\

：

C.A(〃一根)!D.比：=心

【典例1-2】已知犯“eN*,下列排列组合公式中，不一定正确的是()

A.C：=crB.A：=C：A：

C.C：=dD.-------A：+1=A：

n\n-m

【变式1-1］不等式A；<6A;的解集是()

A.{8}B.{8,9,10,11}C.{x［7<x<12}D.{x|7<x<8}

【变式1-2］我们曾用组合模型发现了组合恒等式：C：=cr，CM=C；：+C：T,这里所使用的方法,

实际上是将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同得到等式，这是一种非常有用的思想方法，叫作

“算两次”，对此我们并不陌生，如列方程时就要从不同的侧面列出表示同一个量的代数式，几何中常用的

等积法也是“算两次”的典范.再如，我们还可以用这种方法，结合二项式定理得到很多排列和组合恒等式,

如由等式(I+x)2'=(l+x)"(x+l)"可知，其左边的x"项的系数和右边的v项的系数相等，得到如下恒等式

为()

A.©)2+©)2+©y++(C：)2=CJ

B.A：+mA：-'=A：+1

c.C；Q+C：C俨+C；C：2++C©=C葭

D.=

【变式1-3］下列有关排列数、组合数的计算，正确的是()

rnI

A.A：=—B.("+2)S+1)A：=A：：；

"n\

C.c；+c；+c；+…+或。。=43D.Q/+CT是一个常数

【变式1-4］(多选题)下列等式正确的是()

rj_1_1

C42_1ac^+i

A.B.

nm+1n+

5+1)!n\(n-k+i\-n\.、

C.A：：：-A：=«2A：：1D.

k\k\')

题型二：直接法

【典例2-1】（2024•浙江•高三慈溪中学校联考）从2位男生，4位女生中安排3人到三个场馆做志愿者,

每个场馆各1人，且至少有1位男生入选，则不同安排方法有（）种.

A.16B.20C.96D.120

【典例2-2】（2024.四川成都•高三统考）某校在重阳节当日安排4位学生到三所敬老院开展志愿服务

活动，要求每所敬老院至少安排1人，则不同的分配方案数是（）

A.81B.72C.48D.36

【变式2-114张卡片的正、反面分别写有数字1,2；1,3；4,5；6,7.将这4张卡片排成一排，

可构成不同的四位数的个数为（）

A.288B.336C.368D.412

【变式2-2］（云南省红河州第一中学2024届高三第二次联考数学试题）一个宿舍的6名同学被邀请

参加一个节目，要求必须有人去，但去几个人自行决定.其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，则

该宿舍同学的去法共有（）

A.15种B.28种C.31种D.63种

【变式2-316名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙

场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）

A.60种B.90种C.120种D.360种

题型三：间接法

【典例3-1】甲、乙、丙、丁四位同学决定去黄鹤楼、东湖、汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，汉口江

滩一定要有人去，则不同游览方案的种数为（）

A.65B.73C.70D.60.

【典例3-2】以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体共有（）

A.6个B.12个C.18个D.30个

【变式3-1］（2024•湖南长沙•雅礼中学校联考二模）从正360边形的顶点中取若干个，依次连接，构

成的正多边形的个数为（）

A.360B.630C.1170D.840

【变式3-2］将7个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端,

则不同的站法有（）.

A.1860种B.3696种C.3600种D.3648种

【变式3-3］（2024.广西梧州.统考一模）某高中从3名男教师和2名女教师中选出3名教师，派到3个

不同的乡村支教，要求这3名教师中男女都有，则不同的选派方案共有（）种

A.9B.36C.54D.108

【变式3-4】某学校计划从包含甲、乙、丙三位教师在内的10人中选出5人组队去西部支教，若甲、乙、

丙三位教师至少一人被选中，则组队支教的不同方式共有（）

A.21种B.231种C.238种D.252种

题型四：捆绑法

【典例4-1】春节是团圆的日子，为了烘托这一喜庆的气氛，某村组织了“村晚”.通过海选，现有6个

自编节目需要安排演出，为了更好地突出演出效果，对这6个节目的演出顺序有如下要求：“杂技节目”排

在后三位，“相声”与“小品”必须相继演出，则不同的演出方案有（）

A.240种B.188种C.144种D.120种

【典例4-2］（2024•广东•模拟预测）甲、乙等6人围成一圈，且甲、乙两人相邻，则不同的排法共有

（）

A.6种B.12种C.24种D.48种

【变式4-1］（2024•高三.山东德州•开学考试）为积极落实“双减”政策，丰富学生的课外活动，某校开

设了舞蹈、摄影等5门课程，分别安排在周一到周五，每天一节，舞蹈和摄影课安排在相邻两天的方案种

数为（）

A.48B.36C.24D.12

【变式4-2】某校毕业典礼由6个节目组成，节目甲必须排在前三位，且节目丙，丁必须排在一起，

则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有（）

A.120种B.156种C.188种D.240种

【变式4-3］现有三对双胞胎共6人排成一排，则有且只有一对双胞胎相邻的排法种数是（）

A.180B.240C.288D.300

题型五：插空法

【典例5-1】我校田径队有十名队员，分别记为A,且CRERGHJ.K,为完成某训练任务，现将

十名队员分成甲、乙两队.其中将AB,C,£»,E五人排成一行形成甲队，要求A与2相邻，C在。的左边,

剩下的五位同学排成一行形成乙队，要求歹与G不相邻，则不同的排列方法种数为（）

A.432B.864C.1728D.2592

【典例5-2】（2024・四川成都•模拟预测）象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和

价值.它具有红黑两种阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子，现将3个红色的“将”“车”“马”棋

子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则同色棋子不相邻的排列方式有（）

A.120种B.24种C.36种D.12种

【变式5-1］（2024•高三・山东济南.开学考试）由0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中

任意两个偶数都不相邻，则满足条件的六位数的个数为（）

A.60B.108C.132D.144

【变式5-2］（2024・高三•河北邢台・开学考试）有4名男生、3名女生和2个不同的道具（记作A和8）

参与一个活动，活动要求：所有人（男生和女生）必须站成一排，女生必须站在一起，并且她们之间按照

身高从左到右由高到低的顺序排列（假设女生的身高各不相同）；两个道具A和3必须被分配给队伍中的

两个人（可以是男生，也可以是女生），但这两人不能站在一起.满足上述所有条件的排列方式共有（）

A.2400种B.3600种C.2880种D.4220种

【变式5-3］（2024.高三・浙江.开学考试）将若干个除颜色外完全相同的红色小球和黑色小球排成一列,

要求所有的红球互不相邻，当小球的总数为8时，满足条件的不同排列方法的总数之和为（）

A.20B.36C.54D.108

【变式5-4】某种产品的加上需要经过A,B,C,D,E,F,G七道工序，要求A,8两道工序必须相

邻，C,。两道工序不能相邻，则不同的加工顺序有（）

A.960种B.836种

C.816种D.720种

题型六：定序问题（先选后排）

【典例6-1】己知%=,则满足冈+园+闻++屈=2的有序数组（外,三,马，三）共有

（）个

九2一九

A.2n2-InB.2n2+2nC.--------D.n2-n

2

【典例6・2】甲乙丙丁戊五人并排站成一排，如果乙必须站在甲的右边（甲乙可以不相邻），那么不同

的排法共有（）种.

A.120B.60C.50D.30

【变式6・1】习近平总书记在全国教育大会上发表重要讲话，称教育是国之大计，党之大计.哈九中

落实讲话内容，组织研究性学习.在研究性学习成果报告会上，有A、B、。、D、E、厂共6项成果要汇报,

如果8成果不能最先汇报，而A、。、。按先后顺序汇报（不一定相邻），那么不同的汇报安排种数为（）

A.100B.120C.300D.600

【变式6-217人排队，其中甲、乙、丙3人顺序一定（可以相邻，也可以不相邻），共有一种不同的

排法.

【变式6-3】某公司在元宵节组织了一次猜灯谜活动，主持人事先将10条不同灯谜分别装在了如图所

示的10个灯笼中，猜灯谜的职员每次只能任选每列最下面的一个灯笼中的谜语来猜（无论猜中与否，选

中的灯笼就拿掉），则这10条灯谜依次被选中的所有不同顺序方法数为.（用数字作答）

【变式6-4】现有学号分别为1号、2号、3号、……、9号的9位同学依次站成一排，老师请他们从1

号同学开始依次从如图所示的装有标号为1至9号球的三个圆柱形容器中随意选择一个有球的容器并取出最

上面的一个球，再根据自己手中所拿球的号码，按照球号从小到大的顺序从左到右重新站成一排，则所有

可能的不同站法有种（用数字作答）.

【变式6-5】四根绳子上共挂有10只气球，绳子上的球数依次为1,2,3,4,每枪只能打破一只球，而且规

定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是.

【变式6-6］把6名实习生分配到7个车间实习，共有种不同的分法.

【变式6-7】花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.

如图，现有悬挂着的8盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法总数为（）

A.2520B.5040C.7560D.10080

题型七：列举法

【典例7-1］数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明.四平方和定理

的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数

22222222

12=3+1+1+1=2+2+2+0.设25="+〃+°2+相，其中b＞。，/均为自然数，则满足条件

的有序数组（a/,c,d）的个数是（）

A.28B.24C.20D.16

【典例7-2】已知字母X,y,z各有两个，现将这6个字母排成一排，若有且仅有一组字母相邻（如

内阳z）,则不同的排法共有（）种

A.36B.30C.24D.16

【变式7-1］（2024•海南海口•统考一模）形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位上的数字，千位上

的数字均比与它们各自相邻的数字大，则由1,2,3,4,5可组成数字不重复的五位“波浪数”的个数为（

A.20B.18C.16D.11

【变式7-2】某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形A5CD（边长为2

个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走了几个单位，如果掷出

的点数为平=1,2,…,6）,则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子

恰好又回到起点A处的所有不同走法共有（）

A.21种B.22种C.25种D.27种

【变式7-3】中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同

长短的小木棍.如图，是利用算筹表示数1〜9的一种方法.例如：3可表示为“三”，26可表示为现

有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1〜9这9数字表示两位数的个数为（）

123456789

A.13B.14C.15D.16

题型八：多面手问题

【典例8-1】我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人

只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞.现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有（）种不同

的选法.

A.675B.575C.512D.545

【典例8-2】某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英

语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（）种不同的选法

A.225B.185C.145D.110

【变式8-1】“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南方普

遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3

人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨.现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，

则不同的选派方法共有（）

A.26种B.30种C.37种D.42种

【变式8-2】某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右

舷.现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（）

A.56种B.68种

C.74种D.92种

【变式8-3】某龙舟队有8名队员，其中3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右

桨.现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（）

A.26种B.30种C.37种D.42种

题型九：错位排列

【典例9-1】编号为1、2、3、4、5的5个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且

只有两个人的编号与座位号一致的坐法有（）

A.10种B.20种C.30种D.60种

【典例9-2】将编号为1、2、3、4、5、6的小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中,

每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（）

A.90B.135C.270D.360

【变式9-1】将编号为1、2、3、4、5、6的六个小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子里，每个盒子放

一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的方法总数是（）

A.20B.40C.120D.240

【变式9-2］“数独九宫格”原创者是18世纪的瑞士数学家欧拉，它的游戏规则很简单，将1到9这九

个自然数填到如图所示的小九宫格的9个空格里，每个空格填一个数，且9个空格的数字各不相间，若中

间空格已填数字5,且只填第二行和第二列，并要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是从

大到小排列的，则不同的填法种数为（）

5

A.72B.108C.144D.196

【变式9-3】元旦来临之际，某寝室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出

的贺卡，则四张贺卡不同的分配方式有（）

A.6种B.9种C.H种D.23种

题型十：涂色问题

【典例10-1］（2024•安徽淮北•二模）在3x3的方格中，每个方格被涂上红、橙、黄、绿四种颜色之一,

若每个2x2的方格中的四个小方格的颜色都不相同，则满足要求的不同涂色方法的种数为一.

【典例10-21提供6种不同颜色的颜料给图中A,B,C,D,E,F六个区域涂色，要求相邻区域不能

涂相同颜色，则不同的涂色方法共有一种.

C

A

DF

B

E

【变式10-1］（2024.重庆.模拟预测）重庆位于中国西南部、长江上游地区，地跨青藏高原与长江中下

游平原的过渡地带.东邻湖北、湖南，南靠贵州，西接四川，北连陕西.现用4种颜色标注6个省份的地

图区域，相邻省份地图颜色不相同，则共有种涂色方式.

陕西

【变式10-2］（2024・高三・广西南宁•开学考试）在如图方格中，用4种不同颜色做涂色游戏，要求相邻

区域颜色不同，每个区域只能涂一种颜色.

①若区域A,尻C,。涂2种颜色，区域E,EG,”涂另外2种颜色，则有一种不同涂法.

②若区域A,B,C,D涂4种颜色（A,民涂的颜色互不相同），区域E,EG,“也涂这4种颜色

（E,EG,”涂的颜色互不相同），则有_种不同涂法.

【变式10-3】网课期间，小王同学趁课余时间研究起了七巧板，有一次他将七巧板拼成如下图形状，

现需要给下图七巧板右下方的五个块涂色（图中的1,2,3,4,5）,有4种不同颜色可供选择，要求有公

共边的两块区域不能同色，有一种不同的涂色方案.

7/K2

【变式10-4］（2024.江西鹰潭.一模）用四种不同的颜色为正六边形（如图）中的六块区域涂色，要求

有公共边的区域涂不同颜色，一共有种不同的涂色方法.

【变式10-5】（2024•浙江•模拟预测）如图，用4种不同的颜色给图中的8个区域涂色，每种颜色至少

使用一次，每个区域仅涂一种颜色，且相邻区域所涂颜色互不相同，则区域A,B,C,。和4，B1,

C，A分别各涂2种不同颜色的涂色方法共有种；区域A,B,C,。和4，B],G，2分别各涂

【变式10-6]（2024・湖北十堰•模拟预测）四色定理又称四色猜想、四色问题，是世界近代三大数学难

题之一.地图四色定理最先是由一位叫古德里的英国大学生提出来的.四色定理的内容是：“任何一张地

图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色.”某同学在横格纸上研究填涂蓝、红、黄、

绿4种颜色问题，如图，第1行有1个格子，第2行有2个格子，…，第”行有〃个格子，将4种颜色在

每行中分别进行涂色，每行相邻的格子颜色不同，记处为第上行不同涂色种数，则%=_，力气=

k=l

第〃行

n个格子

题型十一：分组问题

【典例11-1】有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（）

A.分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有15种分法；

B.分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有180种分法；

C.分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，共有90种分法；

D.分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有1080种分法；

【典例11-21（多选题）（2024•辽宁葫芦岛•高三葫芦岛第一高级中学校考期末）九本书籍分给三位同

学，下列说法正确的是（）

A.九本书内容完全一样，每人至少一本有28种不同的分法

B.九本书内容都不一样，分给三位同学有39=19683种不同的分法

C.九本书内容完全一样，分给三位同学有55种不同的分法

D.九本书内容都不一样，甲同学至少一本，乙同学至少二本有3。=729种不同的分法

【变式11-1］有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方法?

（1）分成1本、2本、3本三组；

（2）分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；

（3）分成每组都是2本的三组；

（4）分给甲、乙、丙三人，每个人2本.

【变式11-2】某校高三年级有6个班，现要从中选出10人组成高三女子篮球队参加高中篮球比赛,

且规定每班至少要选1人参加.求这10个名额有多少种不同的分配方法.

题型十二：分配问题

【典例12-116名大学生分配到4所学校实习，每名大学生只分配到一所学校，每所学校至少分配1

名大学生，则不同的分配方案共有（）

A.65B.1560C.2640D.4560

【典例12-2］（2024.高三.河北邯郸•开学考试）在第33届夏季奥运会期间，中国中央电视台体育频道

在某比赛日安排甲、乙、丙、丁4个人参加当天A,B,C三个比赛场地的现场报道，且每个场地至少安排

一人，甲不在A场地的不同安排方法数为（）

A.32B.24C.18D.12

【变式12-1］（2024•高三•江苏南通•开学考试）今年暑期档，全国各大院线推出多部精彩影片，其中比

较热门的有《异形：夺命舰》，《名侦探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《姥姥的外孙》这5部，小明和小

华两位同学准备从这5部影片中各选2部观看，若两人所选的影片至多有一部相同，且小明一定选看《名

侦探柯南》，则两位同学不同的观影方案种数为（）

A.12B.24C.28D.36

【变式12-2］（2024・高三.重庆.开学考试）第41届全国青少年信息学奥林匹克竞赛（CCFNOI2024）于

2024年7月16〜22日在重庆市育才中学成功举办.在本次竞赛组织过程中，有甲、乙等5名育才新教师参

加了接待、咨询、向导三个志愿者服务项目，每名新教师只参加一个服务项目，每个服务项目至少有一名

新教师参加.若5名新教师中的甲、乙两人不参加同一个服务项目，则不同的安排方案有（）种

A.108B.114C.150D.240

【变式12-3】（2024.高三.湖南永州•开学考试）在2024年巴黎奥运会中，甲、乙、丙、丁、戊5人参

与接待、引导和协助三类志愿者服务工作，每类工作必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一类工作，

若甲只能参加接待工作，那么不同的志愿者分配方案的种数是（）

A.38B.42C.50D.56

【变式12-4］（2024・高三・广东•开学考试）某中学数学组来了5名即将毕业的大学生进行教学实习活动,

现将他们分配到高一年级的1,2,3三个班实习，每班至少一名，最多两名，则不同的分配方案有（）

A.30种B.90种C.150种D.180种

【变式12-5］（2024.河南.二模）将甲，乙等5人全部安排到四个工厂实习，每人只去一个工

r,每个工厂至少安排1人，且甲，乙都不能去A工厂，则不同的安排方法有（）

A.72种B.108种C.126种D.144种

题型十三：隔板法

【典例13-1】（2024・湖北•二模）已知羽y,zeN*,且y>2,z>3,贝I方程无+y+z=10的解的

组数为—.

【典例13-2］各数位数字之和等于8（数字可以重复）的四位数个数为

【变式13-115个相同的篮球，分给甲、乙、丙三位同学（每人至少分得一个），不同分法的总数

为一

【变式13-2］在中国革命史上有许多与“8”有关的可歌可泣的感人故事，如“八子参军”、“八女投江”等,

因此数字“8”是当之无愧的新时代“英雄数字”.如果一个四位数，各个位置上数字之和等于8