2025年中考数学复习专项突破：函数与几何图形动态探究题

突破06函数与几何图形动态探究题

目录一览

中考解密（分析考察方向，精准把握重难点）

重点考向（以真题为例，探究中考命题方向）

A考向一线段周长问题

A考向二面积问题

A考向三特殊三角形问题

A考向四特殊四边形问题

A考向五相似三角形问题

'中考解密

函数与几何图形动态探究题是山西中考的必考题，这类题型属于开放探究题，考查学生综合探究、几何直

观和数学运算能力，在综合探究过程中，培养严谨的逻辑思维和分类讨论的思想，逐步体会分类的方法和

原因，逐步提高发现和提出问题以及分析和解决问题的能力.

多重点考向

A考向一线段周长问题

1.（2023•辽宁丹东•统考中考真题）抛物线y=a/+6x-4与x轴交于点-4,0）,5（2,0）,与y轴交于点

C.

OBx

备用图

（1）求抛物线的表达式;

(2)如图，点。是抛物线上的一个动点，设点。的横坐标是机(-4＜加＜2),过点£＞作直线D£_Lx轴，垂足

为点£,交直线ZC于点尺当D,E,尸三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段。厂的长；

(3)若点尸是抛物线上的一个动点(点尸不与顶点重合)，点M是抛物线对称轴上的一个点，点N在坐标平

面内，当四边形是矩形邻边之比为1:2时，请直接写出点尸的横坐标.

【答案】⑴八3+x-4

⑵2或万

(3)x=一5或x=1土&或土旧

2

【思路点拨】(1)将点/(-4,0),5(2,0)代入解析式即可求解；

(2)可求直线4B的解析式为y=-x-4,可得,D^m,^m2+m-4^,①当EF=FD

时，可求EF=m+4,FD=--m2-2m,即可求解；②当。E=DF时，DE=--m2-m+4,DF=—m2+2m,

222

即可求解；

(3)①当P在对称轴的左侧时，得到CMPN是矩形，邻边之比为1:2,即CW:PM=2:1或1:2,即可求解;

②当P在对称轴的右侧时，同理可求.

【规范解答】(1)解：由题意得

Jl6a-46-4=0

\4a+2b-4=0

d———

解得2,

6=1

2

故抛物线的表达式y=jX+X-4;

(2)解：当X=0时，＞=-4,

.•.C(0,-4),

设直线48的解析式为y=h+b,则有

-4k+b=Q

b=-4

解得:

直线AB的解析式为y=-x-4,

•••点D的横坐标是加(-4＜/«＜2),过点D作直线，x轴,

...£1(加,0),,D\m,—m2+m-4

FD=-m-4-加2+m-4j

12

=—m-29m,

2

12c

:.m+44=——m-2m,

2

整理得：m2+6m+8=0>

解得：加1=-2,m2=-4,

*/-4<m<2,

二.wt=-4不合题意,舍去，

/.m=-2,

・•.DF=--x(-2)-2x(-2)

=2；

2

12/

DF=­m+m-4-(-m

21

=—m2+2m,

2

1

/.—m2—m+4=—m+2加,

22

整理得：m2+3m-4=0,

解得：叫=1,加2=-4(舍去)，

1

/.DF=-xl92+2xl

2

=2；

综上所述：线段。尸的长为2或：.

2

(3)解：设点尸尤2+尤-4],M,

当四边形CM7W是矩形时，则/尸MC为直角，

①当P在对称轴的左侧时，

如图，过M作MG〃x轴交V轴于G,交过P作夕轴的平行线于a,

；/PMC为直角，

则ZHMP+ZGMC=90°,

"：ZHPM+ZHMP=90°,

：.ZGMC=4HpM,

MGMs^MHP,

,：CMRV是矩形邻边之比为1:2,即CW:尸M=2:l或1:2,

即△CGN和AM"的相似比为2:1或1:2,

CGMGc11

即nn——=——=2或一,

MHPH2

由题意得：MG=1,CG=m+4,

贝!JP//=加一（；*+x-4

m+4

=2吟

BP-1-x

解得：％=-5,x=-l(不符合题意，舍去)；

②当尸在对称轴的右侧时，

同理可得：X+15丁+无一4-%，

-------=--------------------=2取一

m+412

解得：x=1±指或，

2

综上，x=-5或x=l土&或T"亚.

2

【点睛】本题考查了二次函数综合体，主要考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，矩形

的性质，三角形相似的性质等知识点，分类求解是解答本题的关键.

2.(2023•青海西宁•统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，直线/与x轴交于点/(6,0),与y轴交

于点5(0,-6),抛物线经过点4,B,且对称轴是直线x=l.

(2)求抛物线的解析式；

(3)点P是直线I下方抛物线上的一动点，过点P作PC_Lx轴，垂足为C,交直线I于点。，过点尸作,

垂足为求的最大值及此时P点的坐标.

【答案】⑴尸6

11,

(2)J=-X-2--X-6

(3)尸W的最大值是容，此时的尸点坐标是［3,-

【思路点拨】(1)利用待定系数法求解即可；

(2)根据题意可设抛物线的解析式为＞=。(》-1)2+左，再利用待定系数法求解即可；

(3)由题意易证△尸DW为等腰直角三角形，即得出尸河=走尸。.设点P的坐标为b,22-1-6],则

2142；

。(。-可，从而可求出尸。="6--6]=;。-3)2=.再结合二次函数的性质可知：当”3时,

142J44

9

也有最大值是“此时所最大，进而即可求解.

【规范解答】(1)解：设直线/的解析式为了=如+〃(加工0),

6m+〃=0

把a2两点的坐标代入解析式，得

n=-6

m=l

解得:

n=-6

•••直线/的解析式为y=x-6；

(2)解：设抛物线的解析式为y=+左(”R0),

•.•抛物线的对称轴为直线x=l,

y=tz(x-l)2+k.

15a+k=0

把4,8两点坐标代入解析式，得

Q+左=—6

1

a=­

4

解得:

__25

一4

，抛物线的解析式为-宁宁-+6；

(3)解：・・・4(6,0)5(0,-6),

：.OA=OB=6.

•・•在小OB中//。8=90。，

ZOAB=ZOBA=45°.

・・•尸C_Lx轴，PM【I,

：.ZPCA=ZPMD=90°.

在RM4DC中，ZPCA=90°,ZOAB=45°,

・•・ZADC=45°,

・•・ZPDM=ZADC=45°.

在RSPMD中，/PMD=9G°,ZPDM=45°f

.…PM

：.sin45°=-----

PD

：.PM=—PD.

2

设点P的坐标为-,则,

131.29

=——t2+-t=——(/-3)+-.

4244

4

9

—时'P。有最大值是“此时加最大,

.GDC699后

・・PM=——PD=——X—=------

max2248

当/=3时，-Z2--Z-6=-x32--x3-6=-—,

42424

••・P3，-1

.••PM的最大值是竽，此时的p点坐标是21

【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质等知识.掌

握利用待定系数法求函数解析式和利用数形结合的思想是解题关键.

3.(2023•浙江湖州•统考中考真题)如图1,在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=f-4x+c的图象与y

轴的交点坐标为(0,5),图象的顶点为矩形/BCD的顶点。与原点O重合，顶点4,。分别在％轴，y

轴上，顶点3的坐标为(1,5).

M

(0)0Ax

图1

⑴求c的值及顶点M的坐标，

(2)如图2,将矩形48CD沿x轴正方向平移/个单位(0</<3)得到对应的矩形HB'C'D.已知边C'。‘，A'B'

分别与函数y=x2-4x+c的图象交于点尸，Q,连接产。，过点P作尸于点G.

①当f=2时，求QG的长;

②当点G与点0不重合时，是否存在这样的3使得APG。的面积为1?若存在，求出此时/的值；若不存

在，请说明理由.

【答案】（l）c=5,顶点M的坐标是（2,1）

（2）①1；②存在，/=；或|"

【思路点拨】（1）把（0,5）代入抛物线的解析式即可求出c,把抛物线转化为顶点式即可求出顶点坐标；

（2）①先判断当"2时，DMH的坐标分别是（2,0）,（3,0）,再求出x=3,x=2时点。的纵坐标与点P

的纵坐标，进而求解；

②先求出QG=2,易得P,。的坐标分别是亿产-书+5）,«+1,产一2/+2）,然后分点G在点。的上方与点

G在点。的下方两种情况，结合函数图象求解即可.

【规范解答】（1）二•二次函数y=f-4x+c的图象与y轴的交点坐标为（0,5）,

.・c=5,

.♦y=—4x+5=（x—2）~+1,

.••顶点M的坐标是（2,1）.

（2）①：/在x轴上，3的坐标为（1,5）,

二点4的坐标是（1,0）.

当f=2时，D归4的坐标分别是（2,0）,（3,0）.

当x=3时，y=（3-2『+1=2,即点。的纵坐标是2,

2

当x=2时，7=（2-2）+1=1,即点尸的纵坐标是1.

,ZPG1A'B',

*,•点G的纵坐标是1.

QG=2-1=1.

②存在.理由如下：

「△PG。的面积为1,PG=1,

：.QG=2.

根据题意，得尸，°的坐标分别是（）-今+5）,（/+1/-2/+2）.

如图1,当点G在点。的上方时，QG=广-4/+5—（产-2f+2）=3-2/=2,

此时（在0＜，＜3的范围内），

2

2t-3=2,

此时f=9(在0</<3的范围内).

2

1-5

二不或不

22

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点、矩形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握二次

函数的图象与性质、灵活应用数形结合思想是解题的关键.

4.(2023•湖北黄石•统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=o?+6x+c与x轴交于两点

^(-3,0),5(4,0),与y轴交于点C(0,4).

(1)求此抛物线的解析式;

(2)已知抛物线上有一点夕(4,%)，其中为<0,若/C4O+N/BP=90。，求％的值;

(3)若点。，E分别是线段/C,上的动点，且/E=2CD,求CE+2B。的最小值.

【答案】(1»=-；%2+3+4；

⑵二

(3)7233.

【思路点拨】(1)由待定系数法即可求解;

CO433

⑵在中't—=而二,则tan/3二,得到直线3的表达式为：尸/X-4),进

而求解；

(3)作NEAG=NBCD,证明且相似比为1：2,故当C、E、G共线时,

CE+2BD=CE+EG=CG为最小,进而求解.

【规范解答】(1)解：设抛物线的表达式为：j=a(x+3)(x-4)=a(x2-x-12),

即一12a=4,贝!]0=一!，

3

故抛物线的表达式为：＞=-$2+}+4①；

CO4

(2)解：在R3/OC中，tanZCAO=——=—,

AO3

•・•ZCAO+ZABP=90°,

3

则tan/ABP=—,

4

3

故设直线5尸的表达式为：尸4)②，

4

11Q

联立①②得：——x2+—x+4=—(%—4),

21

解得：x=-w=x。(不合题意的值已舍去)；

•・,AE=2CD,

:ABCDS^GAE且相似比为1:2,

则EG=2BD,

故当C、E、G共线时，CE+2BD=CE+EG=CG为最小,

在中，设ZC边上的高为〃，

贝1JS△小

即5/7=4x7,

解得：h=y,

28

则•h5V98.

JsmZACD==r-=-----=smZEAG

BC4010

则tanN&4G=7,

过点G作GNLx轴于点N,

则NG=NG•sinZEAG=告，

即点G的纵坐标为：-三，

7

同理可得，点G的横坐标为：-《，

即点

由点C、G的坐标得，CG=J[o+(1+(4+三)=A/233,

即CE+2BD的最小值为V233.

【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的

思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.

5.(2023•内蒙古•统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-尤2+法+。与x轴的交点分别为

A和2(1,0)(点A在点3的左侧)，与V轴交于点C(0,3),点P是直线AC上方抛物线上一动点.

备用图

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图1,过点尸作x轴平行线交/C于点E,过点P作了轴平行线交x轴于点。，求PE+PZ)的最大值及

点P的坐标;

(3)如图2,设点河为抛物线对称轴上一动点，当点P,点”运动时，在坐标轴上确定点N,使四边形尸MCN

为矩形，求出所有符合条件的点N的坐标.

【答案】（l）y=-V-2X+3

、

（2）PZ）+PE的最大值为4堂9，点尸的坐标为/卜563

⑶符合条件的N点坐标为：N（0,4）或N——,0

【思路点拨】（1）利用待定系数法即可求解；

（2）先求得直线/C的解析式，设尸（“-加2-2加+3）,则尸£=---3加，PD^-m2-2m+3,得到

PD+PE=-21m+，1+?,利用二次函数的性质求解即可；

（3）先求得抛物线的顶点P（-L4）,对称轴为尤=一1,分当点N在V轴上和点N在x轴负半轴上时，两种

情况讨论，当点N在x轴负半轴上时，证明△CA/Gs^NC。，求得CG=再证明△CA/G也△尸,

求得点尸的坐标为"-I,-；，），由点P在抛物线上，列式计算求解即可.

【规范解答】（1）解：•.•抛物线了=-x2+6无+c与x轴交于点B（l,0）,与歹轴交于点C（0,3）

（-1+b+c=0

[c=3

\b=-2

解得2

[c=3

抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3；

（2）解：当V=0时，0=-X2-2X+3,

解得再=-3,%=1,

4-3,0）,

设直线/C的解析式为：>左片0）,

-3k+〃=0

把4（-3,0）,C（0,3）代入得:

n—3

k=l

解得

〃=3

...直线/C的解析式为y=X+3,

・••点E的纵坐标为-冽2-2m+3，

又・・,点七在直线ZC上，

-m2-2m+3=x+3，x=-m2-2m,

/.E^-m2-2加+3),

PE=-m2-2m-m=-m2-3m，

・・・尸。〃丁轴，

•**PD=—m2-2m+3，

PD+PE=-m2-2m+3+(^m2-3m-2m2-5m+3=-2

•«,—2<0,-3<冽<0,

549

「・当冽=7时，尸。+夕月有最大值，最大值为二，

48

当机=1时-2X[-，+3=。

・••点p的坐标为(一

答：尸。+依的最大值为4三9，点尸的坐标为(「牙56诂3、)

(3)解：y=~x~—2x+3=—(x+1)+4,

则抛物线的顶点尸(-1,4),对称轴为x=-l,

情况-2当点N在y轴上时，尸为抛物线的顶点，

・・,四边形尸MCN为矩形,

・・・N与尸纵坐标相同,

・・・N（0,4）；

情况二：当点N在％轴负半轴上时，四边形R/CN为矩形,

过M作V轴的垂线，垂足为G,过尸作％轴的垂线，垂足为

:・/MCN=/CNP=90。，CM=NP,

・・・/MCG+/OCN-

*：ZONC+ZOCN=90°,

：.ZMCG=ZONC,

又ZCGM=ZCON=90°，

：.丛CMGs丛NCO,

CGMG

^N~~OC

•・,抛物线对称轴为x=-1,点M在对称轴上，C（0,3）,

：.MG=\,OC=3,

BPCG=--t,

-t33

VZMCG+ZCMG=90°,ZONC+ZPNH=90°,

：.ZCMG=/PNH,

：.△CMGQAPNH,

：.NH=MG=1,HP=CG=--t,

3

・•・OH=ON+NH=-t+\,

J点尸的坐标为（"I,-5],

•・•点尸在抛物线上，

1

——t

3

解得“匕普(舍去)’

.•./三丐01

I6)

综上所述：符合条件的N点坐标为：N(o,4)或N7，,0.

\)

【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识,

解题的关键是方程思想的应用.

6.(2023•宁夏•统考中考真题)如图，抛物线y=a/+6x+3(aw0)与x轴交于A,3两点，与了轴交于点C.已

(1)直接写出点8的坐标；

(2)在对称轴上找一点P,使尸4+PC的值最小.求点P的坐标和尸/+PC的最小值；

(3)第一象限内的抛物线上有一动点过点“作儿无轴，垂足为N,连接BC交九W于点。.依题意

补全图形，当MQ+拒CQ的值最大时，求点〃■的坐标.

【答案】(1)(3,0)

⑵点—1,2),尸/+PC的最小值为3亚

【思路点拨】(1)根据抛物线的对称性，进行求解即可;

⑵根据抛物线的对称性，得到尸/+PC=PB+PCN3C,得到当尸,5,C三点共线时，尸/+尸C的值最小，

为BC的长，求出直线3c的解析式，解析式与对称轴的交点即为点尸的坐标，两点间的距离公式求出3c的

长，即为尸N+PC的最小值；

(3)根据题意，补全图形，设M(m,-/+2m+3),得到N(皿0),2(m,-m+3),将MQ+四CQ的最大值

转化为二次函数求最值，即可得解.

【规范解答】(1)解：•••点/(-1,0)关于对称轴的对称点为点8,对称轴为直线尤=1,

点3为(3,0)；

(2)当x=0时，y=3,

AC(0,3),

•••5(3,0),

•*-BC=A/32+32=372>

,/点A关于对称轴的对称点为点B,

：.PA+PC=PB+PC>BC,

当尸,3,C三点共线时，P/+PC的值最小，为BC的长,

设直线的解析式为：y=kx+n,

n=3〃=3

则:,解得:

3左+〃=0k=-l

y——x+3,

・・,点尸在抛物线的对称轴上,

.•.尸(1,2)；

:.点尸(1,2),尸/+尸。的最小值为3亚；

(3)过点M作儿轴，垂足为N,连接3C交血W于点。，如图所示,

•••Z（TO）,8（3,0）,

设抛物线的解析式为：y=a（x+l）（x-3）,

VC（0,3）,

3=—3。,

••Cl——19

y-—（x+l）（x-3）=--+2%+3,

设Af（加，一川+2加+3）,则：N（m,0）,

由（2）矢口：直线BC：y=—x+3,

:.0（见一加+3）,

MQ=-m2+2m+3+冽-3=-m2+3m,

・・・C（0,3）,5（3,0）,

：.OC=OB=3,BN=3—m,

：.AOBC=AOCB=45°,

：.ZNQB=ZOBC=45°,

：.BQ=42BN=42（3-m）,

：.CQ=BC-BQ=342-342+42m=42m,

：.MQ+y/2CQ=-m2+3m+yflm=-m2+5m=—-—J+—,

当加=g时，MQ+血CQ有最大值，此时

【点睛】本题考查二次函数的综合应用.正确的求出函数解析式，利用抛物线的对称性以及数形结合的思

想进行求解，是解题的关键.

A考向二面积问题

1.（2023・海南・统考中考真题）如图1,抛物线y=/+6x+c交x轴于48（3,0）两点，交y轴于点C（0,-3）.点

P是抛物线上一动点.

(1)求该抛物线的函数表达式；

⑵当点尸的坐标为(1,-4)时，求四边形8/C尸的面积；

(3)当动点尸在直线上方时，在平面直角坐标系是否存在点。，使得以C,P,。为顶点的四边形是

矩形？若存在，请求出点。的坐标；若不存在，请说明理由；

(4)如图2,点。是抛物线的顶点，过点。作直线。〃〃了轴，交x轴于点〃，当点尸在第二象限时，作直

线尸/,P8分别与直线。〃交于点G和点/,求证：点。是线段/G的中点.

【答案】⑴了=x?-2x-3

⑵9

(3)在平面直角坐标系内存在点。，使得以3、C、P、0为顶点的四边形是矩形，此时点。的坐标为(-5,2)或

'5+退-1-75^1

2J

(4)证明过程见解析

【思路点拨】(1)利用待定系数法求解即可；

(2)连接O尸，过点尸作于点E,利用点的坐标表示出线段CM、OB、OC、0E、PE的长度，

再木艮据S四边形B/CP=S&OAC+S^OCP+S-0BP>进行计算即可；

(3)当BC为矩形的边时，画出符合题意的矩形，尸8交y轴于点E,C0交x轴于点尸，连接EF,过点尸

作尸轴于点过点。作轴于点N,利用等腰直角三角形的判定与性质及矩形的判定与性质

得到NF=QN=PM=ME,利用待定系数法求得直线PB的解析式与抛物线的解析式联立方程组求得点P

的坐标，则尸"=2,进而得到ON、QN的长度，即可得出结果；当BC为对角线时，画出相应的图形，求

出结果即可；

(4)利用配方法求得抛物线的顶点坐标、对称轴，再利用待定系数法求得直线尸N、PB的解析式，进而求

得点/、G的坐标，利用点的坐标表示出线段2D、GD的长度，即可得出结论.

【规范解答】(1)解：由题意可得，八c°八，

[0=9+3b+c

[b=-2

解得2，

[c=-3

抛物线的解析式为y=x2-2x-3；

(2)解：连接。尸，过点尸作尸43于点E,如图,

・・,点尸的坐标为(1,-4),

:・PE=4,OE=\,

令V=。，则X?-2x-3=0,

解得x=3或％=1,

・・・4(-1,0),

OA=1,

vC(O,-3),8(3,0),

OC—3,OB=3,

S四边形84cp=S&OAC+£oc尸+S&OBP，

=-OAOC+-OCOE+-OBPE

222

=—xlx3+—x3xl+—x3x4

222

图1

(3)解：在平面直角坐标系内存在点。，使得以8、C、P、0为顶点的四边形是矩形，理由如下：

如图，当BC为边时，四边形2cop为符合条件的矩形，尸3交y轴于点E,C。交x轴于点R连接

过点P作PM1y轴于点M,过点。作。N_Lx轴于点N,

ZOBC=ZOCB=45°,

•.•四边形8CQP为矩形,

ZPBC=ZQCB=90°,

NOBE=ZOCF=45°,

•*.△O2E和△03为等腰直角三角形,

OB=OC=OE=OF=3,

•.•四边形3CEE为正方形,

CF=BE,NEFC=NBEF=90°,

.••四边形瓦边尸为矩形,

：.QF=PE,

'：ZMEP=ABEO=45°,^QFN=ZOFC=45°,

丛PME和4QNF为全等的等腰直角三角形,

NF=QN=PM=ME,

"：OE=3,

；.E（0,3）,

设直线BE的解析式为>=丘+〃（左片0）,

3k+n=0

〃=3

k=-l

〃=3

直线BE的解析式为y=-x+3,

y=-x+3

联立方程组得

y=x2'—2x—3

x=3—x——2

解得…或

.y=5

PM=2,

：.QN=NF=2,

：.ON=OF+NF=3+2=5,

。(-5,2)；

如图，当为对角线时，四边形8PC。为矩形，过点0作轴于点。，尸轴于点E,

则/PEB=ZBDQ=90°,APBQ=90°,

NPBE+/EPB=/PBE+ZDBQ=90°,

/EPB=ZDBQ,

4BEPs^QDB,

.PE_BE

••丽—质’

设点P的坐标为：（西―2/3乂“0或。3）,Q{XQ,yQ）,

VC（0,-3）,3（3,0）,

2

xQ=3-t,yQ=-t+2t,

Q（3-+2f）,

**•DQ=t?_2t,BD——tfEP=-/+2/+3,BE=3-，,

.-/+2,+33—t

・.~t—t2-2t'

整理得：/_4»+2%+3=O,

分解因式得：（"3乂/一_1）=0,

解得：4=3(舍去)，/=1±^<3(舍去)，i=三5<(),

2232

•••此时点。的坐标为：[三好，二后,

I22)

综上所述，在平面直角坐标系内存在点。，使得以5、C、尸、0为顶点的四边形是矩形，此时点。的坐标

为(-5,2)或(心,弓好]；

(4)证明：V=x2-2x-3=(x-1)2-4,

・,•抛物线产2x-3的顶点。的坐标为(1,-4),对称轴为直线x=l,

设尸(加，加2_2加一3),直线尸8的解析式为V=cx+d(cwO),

.\cm+d=rr^-2m-3

[3c+d=0

[c=m+\

[d=—3m—3，

・••直线尸3的解析式为歹=(加+l)x—3加一3,

当x=1时，y=-2m-2,

I（1,—2m—2）,

ID=-2m-2-（-4）=-2m+2,

设直线尸/的解析式为歹="+/（e，0）,

.em+f=m2-2m-3

—e+d=0

[e=m—3

・••直线尸/的解析式为>=（加一3）x+冽一3,

当x=l时，y=2m-6,

G（l,2m-6）,

DG=-4—（2m-6）=—2m+2,

：.ID=DG,

・•・点。是线段/G的中点.

【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、

一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的判定与性质、矩形的判定与性质，利

用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键.

2.(2023•山东青岛・统考中考真题)如图，在菱形48co中，对角线NG3。相交于点。，^5=10cm,

BD=4y[5cm.动点尸从点/出发，沿N8方向匀速运动，速度为lcm/s；同时，动点。从点/出发，沿AD

方向匀速运动，速度为2cm/s.以/尸，N。为邻边的平行四边形/PMQ的边尸M与/C交于点£.设运动时

间为f(s)(O</M5),解答下列问题:

(2)连接5E.设△尸£8的面积为S(cn?),求S与f的函数关系式和S的最大值;

(3)是否存在某一时刻3使点2在NPEC的平分线上？若存在，求出,的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(l”=g

2

(2)S=-yr+4?(0<t<5)；S的最大值为10

20-56

(3)Z=

-2

【思路点拨】(1)证明贝]J咚二=白，即可求解；

It10-?

(2)由5=,尸3,即可求解；

2

(3)当点3在NPEC的平分线上时，贝！|BR=OB=275，在RSPBA中，sinZEPB=sinZDAB=-=—

5PB

=45,即可求解.

10-r

【规范解答】(1)•••平行四边形/PM0,

AQ//PM,AQ=PM,QM//AP,QM=AP

由题意得：DQ=10-2t,PM=2t,PB=10-t,QM=AP=t,

如下图，点初在8。上时，

VAQHPM,QM//AP,,

・•.ADQM=/DAB=/MPQ,ZDMQ=ZMBP,

：.ADQMS4MPB,

10-2Z

则器*即It107

10

解得:T

(2)如上图,

'：AQUPM,

：.NAEP=ZEAQ,

.四边形/BCD是菱形,

贝IjZQAE=ZEAP,

/.NAEP=NEAP,

VAPE为等腰三角形，则PE=AP=t

过点。作DH_L42于点”,

则SJBD==AODB

即lOD/jJlO2-(2码ZxS,解得：DH=8,

则sinZDAH=-=^=-,

AD105

设VPEB中PB边上的高为〃，则

111Af2

S=-PB-h=-(20-t)-sinADHA-AE=-(20-1)--=--t2+4t

29

即：s=_l[_5)+10(0<?<5)

故S有最大值，

当”5时，S的最大值为10；

(3)存在，理由：

如下图，过点B作8R_LP£于点火,

当点3在NPEC的平分线上时，则

BR=OB=2&

在Rt-BR中,

sinZEPB=sinZDAB=-=-^

5PB10-t

【点睛】本题为四边形综合题，涉及到特殊四边形性质、三角形相似、解直角三角形、函数的表达式确定

等，综合性强，难度适中.

3.(2023•山东淄博•统考中考真题)如图，一条抛物线》="2+加经过ACMB的三个顶点，其中O为坐标

原点，点/(3,-3),点8在第一象限内，对称轴是直线x=且AO/B的面积为18

(1)求该抛物线对应的函数表达式；

(2)求点3的坐标；

(3)设C为线段N3的中点，P为直线03上的一个动点，连接/P,CP,将△/CP沿CP翻折，点A的对应

点为4.问是否存在点P,使得以4，P,C,B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合

条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

2

【答案］⑴y=§f_3x

⑵(6,6)

33

(3)存在，P点的坐标为

【思路点拨】(1)根据对称轴为直线x=-gb=：Q,将点A代入，进而待定系数法求解析式即可求解；

2a4

(2)设《优■加之—3加j,过点A作石尸轴交于E点，过3点作5尸_1跖交于/点，继而表示出的

面积，根据△CUB的面积为18,解方程，即可求解.

（3）先得出直线05的解析式为y=x,设尸（。），当BP为平行四边形的对角线时，可得/P=NC,当BC

为平行四边形的对角线时，BP=AC,进而建立方程，得出点尸的坐标，即可求解.

h9

【规范解答】（1）解：・・•对称轴为直线x=='

2a4

9

b=—a

2

将点4（3,-3）代入歹=ax2+fcv得，

J9“+36=-3②，

.2

ci——

联立①②得，3,

b=-3

2

二解析式为y=§——3x；

（2）设8„"2-3加），如图所示，过点A作轴交于E点，过B点、作BF_LEF交于F点,

图1

：.F（m,-3）,£（0,-3）,

2

则。£=3,4£=3,力方=加一3,5尸=5加2—3冽+3,

1

,,S“OB=—mxym2—3m+3+3=18

2

解得：加=6或加=一3（舍去），

（3）存在点P,使得以4，P,C,3为顶点的四边形是平行四边形，理由如下:

,・・4（3,-3）,5（6,6）,

设直线的解析式为歹二

6k=6,解得：k=1,

・•・直线OB的解析式为v=%,

设尸，

如图所示，当BP为平行四边形的对角线时，BC//A.P,

图2

BC=4尸，

AC=BC,

AC=A、P,

由对称性可知4C=4。，/尸=4尸，

AP=AC,

J（T）2+«+3『=J-'lj+1_3_|'j

3

m：t=±j

•・"点的坐标为与I）或（一弓4）

如图3,当8c为平行四边形的对角线时，BP//A.C,BP=AlC,

图3

由对称性可知，AC=AtC,

：.BP=AC,

・，・J(67)2+(6-)2

神犁得：t=3指+6或"一3石+6,

X

33(亚+6,逮,J3#>,_3#>j

综上所述，尸点的坐标为J或一|,或+6或------F6,-----F6.

224I2222

7\7

【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，轴对称

的性质是解题的关键.

4.(2023・青海・统考中考真题)如图，二次函数了=-/+6无+。的图象与x轴相交于点A和点C(l,0),交V

轴于点3(0,3).

(1)求此二次函数的解析式；

(2)设二次函数图象的顶点为P,对称轴与x轴交于点0,求四边形尸的面积(请在图1中探索)；

(3)二次函数图象的对称轴上是否存在点使得A/MB是以N8为底边的等腰三角形？若存在，请求出满

足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由(请在图2中探索).

【答案】⑴y=T-2x+3；

15

⑵5；

(3)M(-1,1)

【思路点拨】(1)将B,C两点坐标代入抛物线的解析式，进一步求解得出结果；

(2)连接。尸，将二次函数的解析式配方求得顶点的坐标，邻V=0求得A的坐标，从而求得。。，PQ,OA

的长，再根据S四边物。第=SqAOP+SBOP求得结果；

(3)设M(T,w),表示出4W和根据/可2=皿〃列出方程求得加的值，进而求得结果.

【规范解答】(1)解：由题意得，

-1+b+c=0

c=3

[c=3

,•y=—d—2x+3；

(2)解：如图，连接OP,

图1

*.*y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,

：.尸(-1，4),

・・・尸。=4,OQ=1,

由一x?—2x+3=0得，玉=1,x2=—3,

：.OA=3,

•,*S四边形No*=S“op+S&BOP~T%，PQ+TOB•。。=—x3x4+—x3xl=—；

乙乙乙乙乙

(3)解：设河(T,加)，

•・。=3,

・・・/(-3,0),

由AM2=BM2得[(一3)-(一1)(+/=(一1『+3_3j,

••TYI—I9

・・・M(-l,l).

【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，解决问题的关键是

熟练掌握有关基础知识.

5.(2023・辽宁盘锦・统考中考真题)如图，抛物线/=江+为+3与无轴交于点/(-1，0),8(3,0),与了轴

交于点C.

(1)求抛物线的解析式.

4

(2)如图1,点。是x轴上方抛物线上一点，射线轴于点N,^QM=BM,且tanNMBN=5,请直

接写出点。的坐标.

(3)如图2,点E是第一象限内一点，连接ZE交V轴于点。，NE的延长线交抛物线于点P,点尸在线段。

上，且CF=OZ),连接E4,FE,BE,BP,若求△尸48面积.

【答案】(l)y=--+2x+3

⑵。(2,3)

/、/、cIci—6+3=0

【思路点拨】(1)将点/(-1，0),3(3,0)代入抛物线y="+6x+3得到90+36+3=0,解方程组即可得

到答案；

(2)设跖V=4加，BN=3m,则则0N=9加，ON=3-3m,从而表示出点0的坐标为

(3-3%,9小)，代入抛物线解析式，求出加的值即可得到答案；

(3)求出直线4P的表达式，利用S“E=SME，得到;。下•(必-•%，求出点尸的坐标，再根

据邑招处进行计算即可得到答案.

【规范解答】(1)解：•••抛物线y="2+法+3与x轴交于点/(T,0),8(3,0),

JQ-6+3—0

・19〃+3b+3=0'

解得:4{a2=,

2

抛物线的解析式为：y=-X+2x+3.

4

(2)1$：vt^nZMBN=-

3

^MN=4m,BN=3m,

BM=^MN2+BN2=yj（4ni）24（3w）2=5n„

QM=BM=5m,

/.QN=QM+MN=5m+4m=9m,

•••点8（3,0）,

OB=3,

;.ON=OB—BN=3—3m,

..•点。的坐标为（3-3m,9m）,

•・•点。是x轴上方抛物线上一点，

.-.-（3-3m）2+2（3-3m）+3=9m,

解得：m=0（舍去）或加=g,

.•.0（2,3）；

（3）解：设点尸（加,-〃/+2加+3）,直线/P的解析式为y=米+6,

•••4（-1,0）,

]-左+Z）=0

[km+b=-m2+2m+3'

「•直线4尸的解析式为V=-（冽-3）x-（冽-3）,

当x=0时，=,

/.（0,3-m）,

/.OD=3-m,

CF=OD=3—m,

在抛物线V=-*+2%+3中，当x=0时，＞=3,

/.C（0,3）,

.•.OC=3,

:.DF