2025年春新湘教版数学七年级下册课件 1.2.1 平方差公式

平方差公式①复习导入

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.符号表示：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.两项式乘以两项式，结果可能是两项吗？请你举例说明.探究新知计算下列各式，你能发现什么规律：(x+2)(

x–2)=x2-2x+2x

-22=

，(x+1)(

x

-1)=x2-

x+x

-12=

，(x+3)(

x

-3)=x2-3x+3x-32=

，(x+4)(

x

-4)=x2–4x+4x

-42=

.x2-12x2-22x2-32x2-42(x+y

)(

x

-

y

)=x2-

xy+xy

-y2=

.x2-y2(x+y)(

x

-

y

)=x2-

xy+xy

-y2=

.x2-y2(x+y

)(

x

-

y)=x2-y2

即多项式x+y与x-y的乘积，等于多项式x2-y2由此我们可以得到平方差公式(a+b

)(

a

-

b)=a2-b2

两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.设a,b都是正数，且a>b，将平方差公式中的x用a代入，y用b代入可得平方差公式适用条件：括号前后有两项相同括号前后有两项相反(a+b

)(

a

-

b)=a2-b2前提：两多项式相乘结果：(同)2-(反)2使用条件：①两多项式相乘。②前后出现两项相同，两项相反。(a+b)(a-b)=a2-b2应用平方差公式时应注意些什么呢？(1)注意平方差公式的适用范围;(2)字母

a、b可以是数，也可以是整式;(3)注意计算过程中的符号和括号.如图(1)，将边长为a

的大正方形剪去一个边长为b

的小正方形，则剩余部分面积为多少？将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成如图(2).此时新图形的面积为多少？(1)的剩余面积：a2-b2(2)的面积：(a+b)(a-b)(a+b)(a-b)=a2-b2几何背景分析(1)(2)（1）(2x+1)(2x-1)；

（2）(x+2y)(x-2y).计算：分析:(1)(2)中两个多项式的乘法都满足平方差公式的特征，因而可以利用该公式进行计算。解（1）(2x+1)(2x-1)=(2x)2-12=4x2-1（2）(x+2y)(x-2y)=x2-(2y)2=x2-4y2与不用平方差公式计算相比，哪种方法更简便？(a+b

)(

a

-

b)=a2-b2运用平方差公式计算：例3运用平方差公式计算：(4a+b)(-b+4a)解：由平方差公式得(4a+b)(-b+4a)=(4a+b)(4a-b)=(4a)2-b2=16a2-b2将括号内的式子转化为平方差的形式。计算：1002×998.解：由平方差公式得

1002×998=(1000+2)(1000-2)=10002-22=1000000-4=999996.例4因此：1002×998=999996.运用平方差公式可以简化一些运算。1.运用平方差公式计算：（1）(3x+y)(3x-y)；（2）解：(3x+y)(3x-y)=(3x)2-y2=9x2-y2[教材P127练习第1题]（3）(-1+5x)(-1-5x)；（4）(-4a-b)(4a-b).解：(-1+5x)(-1-5x)=(-1)2-(5x)2

=1-25x2

(-4a-b)(4a-b).=(-b-4a)(-b+4a)

=(-b)2–(4a)2=b2–16a2（1）202×198；（2）49.8×50.2.2.计算：解:

202×198=(200+2)(200-2)=40000–4=39996

49.8×50.2=(50-0.2)(50+0.2)=2500-0.04=2499.96[教材P17练习第2题]3.下面各式的计算对不对？如果不对，应怎样改正？（1）(

x－2

)(

x＋2

)＝x2－2；（2）(－2x－1)(2x－1)＝4x2－1．解：（1）不对，(

x－2

)(

x＋2

)＝x2－4；（2）不对，(－2x－1)(2x－1)＝(-1-2x)(-1+2x)＝1-4x2

.随堂练习(x+6)(x-6)=_________.1.填空题：(-x+)(-x-)=_________.(-2a2-5b)()=4a4-25b2.x2-36-2a2+5b2.下列式中能用平方差公式计算的有（）

①

②

(3a-bc)(-bc-3a)

③

(3-x+y)(3+x+y)

④

(100+1)(100-1)A.1个

B.2个

C.3个

D.4个(x-y)(x+y)D3.计算：(1)(2a-3b)(2a+3b)；(2)(-p2+q)(-p2-q)；解：原式=(2a)2-(3b)2=4a2-9b2原式=(-p2)2-(q)2=p4-q24.计算

(a+1)(a-1)(a2+1)(a4+1)(a8+1).解：原式

=(a2-1)(a2+1)(a4+1)(a8+1)=(a4-1)(a4+1)(a8+1)=(a8-1)(a