2025年新高考数学一轮复习：计数原理（三大题型）（讲义）（学生版+解析）

第01讲计数原理

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图•思维引航............................................................3

03考点突破•题型探究............................................................4

知识点1：分类加法计数原理......................................................4

知识点2：分步乘法计数原理......................................................4

知识点3：两个计数原理的综合应用................................................5

题型一：分类加法计数原理的应用.................................................5

题型二：分步乘法计数原理的应用.................................................6

题型三：两个计数原理的综合应用.................................................7

04真题练习•命题洞见.............................................................8

05课本典例•高考素材.............................................................9

06易错分析•答题模板............................................................10

易错点：对两种计数原理的概念理解不够深刻......................................10

答题模板：计数原理的应用......................................................11

考情透视.目标导航

考点要求考题统计考情分析

今后在本节的考查形式依然以选择或者填空

(1)分类加法计数原理2020年上海卷第10题，5分

为主，以考查基本概念和基本方法为主，难度中

(2)分步乘法计数原理2016年上海卷第8题，3分

等偏下，与教材相当.

复习目标：

(1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.

(2)会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.

匐2

知识导图•思维引航

分类加法计效原理和“分类”有关，如果完成某件

事情有n类办法，这n类办法之间是互斥的，那

么求完成这件事情的方法总数时，就用分类加技

计数原理.

分步乘法计数原理和“分步”有关，是针对“分步完

计数原理成”的问题.如果完成某件事情有n个步骤，而且这

n个步骡缺一不可，且互不影响（独立），当且

仅当依次完成这n个步骤后，这件事情才算完

成，那么求完成这件事情的方法总数时，就用分

步乘法计数原理.

老占突曲・题理探密

-----H-H-c

知识JJ

知识点1:分类加法计数原理

完成一件事，有w类办法，在第1类办法中有叫种不同的办法，在第2类办法中有恤种不同的方

法，…，在第〃类办法中有叫，种不同的方法，那么完成这件事共有：N=nh+m1++乙种不同的方法.

【诊断自测】4.己知A,B两个公司承包6项工程，每个公司至少承包2项，则承包方式共有（）

A.24种B.70种C.48种D.50种

知识点2：分步乘法计数原理

完成一件事，需要分成"个步骤，做第1步有吗种不同的方法，做第2步有啊种不同的方法，…，做

第〃步有啊种不同的方法，那么完成这件事共有：N=m17nl••〃乙种不同的方法.

姓利[]列n

D

注意：两个原理及其区别

分类加法计数原理和“分类”有关，如果完成某件事情有〃类办法，这〃类办法之间是互斥的，那么求

完成这件事情的方法总数时，就用分类加法计数原理.

分步乘法计数原理和“分步”有关，是针对“分步完成”的问题.如果完成某件事情有〃个步骤，而且这

几个步骤缺一不可，且互不影响（独立），当且仅当依次完成这〃个步骤后，这件事情才算完成，那么求完

成这件事情的方法总数时，就用分步乘法计数原理.

当然，在解决实际问题时，并不一定是单一应用分类计数原理或分步计数原理，有时可能同时用到两

个计数原理.即分类时，每类的方法可能运用分步完成；而分步后，每步的方法数可能会采取分类的思想

求方法数.对于同一问题，我们可以从不同的角度去处理，从而得到不同的解法（但方法数相同），这也

是检验排列组合问题的很好方法.

【诊断自测】14.如图，无人机光影秀中，有8架无人机排列成如图所示，每架无人机均可以发出4种不

同颜色的光，1至5号的无人机颜色必须相同，6、7号无人机颜色必须相同，8号无人机与其他无人机颜

色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（）种灯光组合.

①

②④

③宾....试.....浓:⑼

⑦⑧

A.48B.12C.18D.36

知识点3：两个计数原理的综合应用

如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理.如

果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事

的方法数时，使用分步计数原理.

【诊断自测】L用数字0,1,2,3,4,5组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为（）

A.76B.38C.36D.30

题型一：分类加法计数原理的应用

【典例1-1］（2024.高三.江苏南通・开学考试）今年暑期档，全国各大院线推出多部精彩影片，其中比较热

门的有《异形：夺命舰》，《名侦探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《姥姥的外孙》这5部，小明和小华两

位同学准备从这5部影片中各选2部观看，若两人所选的影片至多有一部相同，且小明一定选看《名侦探

柯南》，则两位同学不同的观影方案种数为（）

A.12B.24C.28D.36

【典例1-2】从4名男生，3名女生中选出3人（可以一种性别）到校学生会任职，女生人数不多于男生人

数，那么不同的选法种数有（）种.

A.23B.22C.24D.26

【方法技巧】

分类标准的选择

（1）应抓住题目中的关键词、关键元素、关键位置.根据题目特点恰当选择一个分类标准.

（2）分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方

法是不同的方法，不能重复，但也不能有遗漏.

【变式1-11（2024安徽安庆•三模）A、B、C、D、E5所学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有甲、

乙、丙三个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，且每个基地至少有1所学校去，则A校不去甲地,

乙地仅有2所学校去的不同的选择种数共有（）

A.36种B.42种C.48种D.60种

【变式1-2］在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有（）个

A.44B.45C.54D.55

【变式1-3】红黄蓝三种不同颜色的小球各两个，分别放置在正八面体的6个顶点上，共有几种不同的放

置方法（）

A.7B.8C.4D.5

【变式1-4］定义“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”，比如116,431,则所有幸运数的个数为（）

A.18B.21C.35D.36

【变式1-5】某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组

织他们去参观某爱国主义教育基地.推选1名优秀团员为总负责人，不同的选法种数是（）

A.480B.24C.14D.18

【变式1-6］书架上有10本不同的自然科学图书和9本不同的社会科学图书，甲同学想从中选出1本阅读,

则不同的选法共有（）

A.9种B.10种C.19种D.90种

题型二：分步乘法计数原理的应用

【典例2-1】（2024•云南大理•模拟预测）现有4个同学站成一排，将甲、乙2个同学加入排列，保持原来4

个同学顺序不变，不同的方法共有（）种

A.10B.20C.30D.60

【典例2-2】编号为1,2,3,4的四位同学参观某博物馆，该博物馆共有编号为1,2,3,4的四个门，

若规定编号为1,2,3,4的四位同学进入博物馆不能走与自己编号相同的门，则四位同学用不同的方式

进入博物馆的方法种数为（）

A.12B.16C.81D.256

【方法技巧】

利用分步乘法计数原理解题的策略

（1）明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的.

（2）将这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整

个事件才算完成.

【变式2-1】已知乘积（4+%）（4+4+4）（。1+。2+。3+，+C"）（〃eN+）展开后共有60项，则力的值为（

A.5B.7C.10D.12

【变式2-2］（2024•高三•江苏徐州•开学考试）甲、乙、丙、丁四人打算从北京、上海、西安、长沙四个城

市中任选一个前去游玩，其中甲去过北京，所以甲不去北京，则不同的选法有（）

A.18种B.48种C.108种D.192种

【变式2-31某农学院计划从10种不同的水稻品种和7种不同的小麦品种中，选5种品种种植在如图所示

五块实验田中，要求仅选两种小麦品种且需种植在相邻两块实验田中，其他三块实验田选种水稻品种，则

不同种法有（）

12345

A.30240种B.60480种C.120960D.241920种

【变式2-4］（2024・高三•河南•期中）玩积木有利于儿童想象力和创造力的培养.一小朋友在玩四棱柱形积

木（四个侧面有各不相同的图案）时，想用5种颜色给积木的12条棱染色，要求侧棱用同一种颜色，且在

积木的6个面中，除侧棱的颜色相同外，则染法总数为（）

A.216B.360C.720D.1080

【变式2-5］（2024.河南郑州•模拟预测）已知xeZ,yeZ,则满足方程孙+2024（x-y）=8092的解（x,y）

的个数为（）

A.27B.54C.108D.216

题型三：两个计数原理的综合应用

【典例3-1】（2024・高三.全国•自主招生）（a+2b+3c+4〃）i°展开式共项.

【典例3-2】（2024.高三.上海.开学考试）若从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取2个偶数和2个奇数,

组成一个无重复数字的四位数，则不同的四位数的个数是—.

【方法技巧】

利用两个计数原理解题时的三个注意点

（1）当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事.

（2）分类时，标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图.

（3）对于复杂问题，一般是先分类再分步.

【变式3-1】用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数，将这些数字从小到大排列起来,

第71个数是—.

【变式3-2］（2024.高三.上海.开学考试）己知集合A=H，T，U，2,3，，若。，瓦ceA且互不相等，则使

得指数函数y="，对数函数y=log〃*，累函数》=尤，中至少有两个函数在（0,+®）上严格增函数的有序数

对（a,）,c）的个数是

【变式3-3］从0,1,2,3,4,5六个数字中选5个数字组成的无重复数字的五位偶数，且3不在百位，共有

种.

【变式3-4］如图，一只蚂蚁位于点〃处，去搬运位于N处的糖块，的最短路线有条.

1.（2006年普通高等学校招生考试数学（文）试题（上海卷））如果一条直线与一个平面垂直，那么称此

直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的

“正交线面对”的个数是（）

A.48B.18C.24D.36

2.（2007年普通高等学校招生考试数学（文）试题（大纲卷II））5位同学报名参加两个课外活动小组，每

位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（）

A.A种B.20种C.25种D.32种

3.（2006年普通高等学校春季招生考试数学试题（上海卷））电视台连续播放6个广告，其中含4个不同

的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有种不同的播放方式.（结果

用数值表示）

1.2160有多少个不同的正因数？

2.在国庆长假期间，要从7人中选若干人在7天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班

2天，有多少种可能的安排方法？

易错点：对两种计数原理的概念理解不够深刻

易错分析：对分类加法计数原理和分步乘法计数原理的理解不够深刻导致错误.

【易错题11某校计划在五四青年节期间举行歌唱比赛，高二年级某班从本班5名男生4名女生中选4人,

代表本班参赛，按照学校要求女生至少参加1人至多参加2人，则选派方式共有（）

A.80种B.90种C.100种D.120种

【易错题2】有6名男医生、5名女医生，从中选出3名医生组成一个医疗小组，且医疗小组中男、女医生

都要有，则不同的选法共有（）

A.135种B.150种C.165种D.270种

答题模板：计数原理的应用

1、模板解决思路

在解决计数原理相关的应用问题时，首要步骤是进行深入的分析，明确在计算之前是需要进行分类讨

论还是分步操作.分类时必须确保每一类别独立且完整，无重叠也无遗漏；分步时则需保证每个步骤的连贯

性和完整性.随后，根据问题的具体需求，选择恰当的计数原理来进行计算，以确定总的方法数或可能性.

2、模板解决步骤

(1)分类加法计数原理

第一步：将完成一件事情的方案分成若干类.

第二步：求出每一类的方法数.

第三步：将每一类的方法数相加得到结果.

(2)分步乘法计数原理

第一步：将完成一件事的过程分成若干步.

第二步：求出每一步的方法数.

第三步：将每一步的方法数相乘得到结果.

【经典例题1】用L2,3,4,5,6这六个数字，可以排成没有重复数字的三位偶数的个数为—(用数字作答)

【经典例题2】已知凡b均为集合4={1,5,7,9}中的元素，则对应的所有可能的直线>尤有一条.

第01讲计数原理

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图•思维引航............................................................3

03考点突破•题型探究............................................................4

知识点1：分类加法计数原理......................................................4

知识点2：分步乘法计数原理......................................................4

知识点3:两个计数原理的综合应用................................................5

题型一：分类加法计数原理的应用.................................................5

题型二：分步乘法计数原理的应用.................................................6

题型三：两个计数原理的综合应用.................................................7

04真题练习•命题洞见.............................................................8

05课本典例高考素材.............................................................9

06易错分析•答题模板............................................................10

易错点：对两种计数原理的概念理解不够深刻......................................10

答题模板：计数原理的应用......................................................11

春情目标导航

考点要求考题统计考情分析

今后在本节的考查形式依然以选择或者填空

(1)分类加法计数原理2020年上海卷第10题，5分

为主，以考查基本概念和基本方法为主，难度中

(2)分步乘法计数原理2016年上海卷第8题，3分

等偏下，与教材相当.

复习目标：

(1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.

(2)会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.

匐2

知识导图•思维引航

分类加法计效原理和“分类”有关，如果完成某件

事情有n类办法，这n类办法之间是互斥的，那

么求完成这件事情的方法总数时，就用分类加技

计数原理.

分步乘法计数原理和“分步”有关，是针对“分步完

计数原理成”的问题.如果完成某件事情有n个步骤，而且这

n个步骡缺一不可，且互不影响（独立），当且

仅当依次完成这n个步骤后，这件事情才算完

成，那么求完成这件事情的方法总数时，就用分

步乘法计数原理.

考点突破■题型探究

-------QO-OOy.

知识JJ

知识点1：分类加法计数原理

完成一件事，有〃类办法，在第1类办法中有叫种不同的办法，在第2类办法中有恤种不同的方

法，…，在第〃类办法中有机“种不同的方法，那么完成这件事共有：N=77R+〃12++”种不同的方法.

【诊断自测】4.己知A,B两个公司承包6项工程，每个公司至少承包2项，则承包方式共有（）

A.24种B.70种C.48种D.50种

【答案】D

【解析】根据题意，分三种情况：

①A公司承包2项工程，剩余4项工程8公司承包，则有C；=15种方式，

②A公司承包3项工程，剩余3项工程8公司承包，则有C：=20种方式，

③A公司承包4项工程，剩余2项工程8公司承包，则有C：=15种方式，

所以承包方式共有15+20+15=50种方式.

故选：D

知识点2：分步乘法计数原理

完成一件事，需要分成〃个步骤，做第1步有网种不同的方法，做第2步有啊种不同的方法，…，做

第〃步有叫，种不同的方法，那么完成这件事共有：N=m1-m2■•种不同的方法.

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0

0

注意：两个原理及其区别

分类加法计数原理和“分类”有关，如果完成某件事情有〃类办法，这W类办法之间是互斥的，那么求

完成这件事情的方法总数时，就用分类加法计数原理.

分步乘法计数原理和“分步”有关，是针对“分步完成”的问题.如果完成某件事情有〃个步骤，而且这

几个步骤缺一不可，且互不影响（独立），当且仅当依次完成这〃个步骤后，这件事情才算完成，那么求完

成这件事情的方法总数时，就用分步乘法计数原理.

当然，在解决实际问题时，并不一定是单一应用分类计数原理或分步计数原理，有时可能同时用到两

个计数原理.即分类时，每类的方法可能运用分步完成；而分步后，每步的方法数可能会采取分类的思想

求方法数.对于同一问题，我们可以从不同的角度去处理，从而得到不同的解法（但方法数相同），这也

是检验排列组合问题的很好方法.

【诊断自测】14.如图，无人机光影秀中，有8架无人机排列成如图所示，每架无人机均可以发出4种不

同颜色的光，1至5号的无人机颜色必须相同，6、7号无人机颜色必须相同，8号无人机与其他无人机颜

色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（）种灯光组合.

①

其

②/'、、④

③注…X---…覆@

七?1............:汩9

⑦⑧

A.48B.12C.18D.36

【答案】D

【解析】根据题意可知，1至5号的无人机颜色有4种选择；

当6、7号无人机颜色与1至5号的无人机颜色相同时，8号无人机颜色有3种选择；

当6、7号无人机颜色与1至5号的无人机颜色不同时，6、7号无人机颜色有3种选择，8号无人机颜色

有2种选择；

再由分类加法和分步乘法计数原理计算可得共有4x（lx3+3x2）=36种.

故选：D

知识点3：两个计数原理的综合应用

如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理.如

果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事

的方法数时，使用分步计数原理.

【诊断自测】L用数字0,1,2,3,4,5组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为（）

A.76B.38C.36D.30

【答案】B

【解析】由题意可知，这三位数是偶数，则说明其个位数为偶数，即0,2,4,有3种选择，

而由于这是一个三位数，所以百位数不能是0,有5种选择，因为存在重复数字，由此分类讨论：

①当个位数为。时，则百位数有5种选择，十位数有两种情况，

与百位数一样，只有一种选择，

与个位数一样，也只有一种选择；

②当个位数为2时，

如果百位数为2,则十位数有6种选择，

如果百位数不为2,则百位数有4种选择，此时十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择：

当个位数为4时，

如果百位数为4,则十位数有6种选择，

如果百位数不为4,则百位数有4种选择，十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择

综上所述，5x1+5x1+1x6+4x2+1x6+4x2=38.

故选：B.

题型一：分类加法计数原理的应用

【典例1-1】（2024•高三・江苏南通・开学考试）今年暑期档，全国各大院线推出多部精彩影片，其中比较热

门的有《异形：夺命舰》，《名侦探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《姥姥的外孙》这5部，小明和小华两

位同学准备从这5部影片中各选2部观看，若两人所选的影片至多有一部相同，且小明一定选看《名侦探

柯南》，则两位同学不同的观影方案种数为（）

A.12B.24C.28D.36

【答案】D

【解析】若两人所选影片均不同，此时小明先从除《名侦探柯南》中选择一部，

小华从剩余的3部中选择两部，此时共有C；C；=12种方案，

若两人所选影片中，《名侦探柯南》相同，则两人从剩余4部中各选1部，有A：=12种方案，

若两人所选影片中，不是《名侦探柯南》相同，相同的影片为4部中1部，有C：种选择，

再给小华从剩余3部中选择一部，有C；种选择，故共有C：C；=12种方案，

综上，共有12+12+12=36种方案.

故选：D

【典例1-2】从4名男生，3名女生中选出3人（可以一种性别）到校学生会任职，女生人数不多于男生人

数，那么不同的选法种数有（）种.

A.23B.22C.24D.26

【答案】B

【解析】由题意知，选取的3人中女生人数不多于男生人数，包括2男1女和3男0女两种情况.

若3人中有2男1女，则不同的选法共有C：C；=18（种）；

若3人中有3男0女，则不同的选法共有C：C；=4（种）.

根据分类计数原理，所有不同的选法共有18+4=22（种）.

故选：B

【方法技巧】

分类标准的选择

（1）应抓住题目中的关键词、关键元素、关键位置.根据题目特点恰当选择一个分类标准.

（2）分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方

法是不同的方法，不能重复，但也不能有遗漏.

【变式1-11（2024.安徽安庆.三模）A、B、C、D、E5所学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有甲、

乙、丙三个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，且每个基地至少有1所学校去，则A校不去甲地,

乙地仅有2所学校去的不同的选择种数共有（）

A.36种B.42种C.48种D.60种

【答案】B

【解析】①A校去乙地有C；C；A；=24种；

②A校与另一所学校去丙地有C：C：=12种，

③A校单独去丙地有C=6种，

所以共有24+12+6=42种，

故选：B.

【变式1-2］在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有（）个

A.44B.45C.54D.55

【答案】B

【解析】对于一个两位数，个位上的数字能取的值分别为：0~9之间的任意一个数字，

十位上的数字能取的值为：1~9之间的任意一个数字，

为使个位上的数字小于十位上的数字，

当个位上的数字是。时，十位上的数字可以取1~9之间的任意一个数字，共9种情况；

当个位上的数字不是0时，只需从1~9之间任取两个数字，

较大的数字当做十位上的数字即可，此时共有C；=36.

故满足题意的两位数共有36+9=45个.

故选：B

【变式1-3】红黄蓝三种不同颜色的小球各两个，分别放置在正八面体的6个顶点上，共有几种不同的放

置方法（）

A.7B.8C.4D.5

【答案】D

【解析】如图，用对角线线段代表正八面体的6个顶点上小球及颜色,

黄

・红蓝

靖飞

黄

所以共五种.

故选：D.

【变式1-4］定义“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”，比如116,431,则所有幸运数的个数为（）

A.18B.21C.35D.36

【答案】D

【解析】按照百位数字进行分类讨论:

当百位数是1,后两位相加为7,有8种;当百位数是2,后两位相加为6,有7种;

当百位数是3,后两位相加为5,有6种;当百位数是4,后两位相加为4,有5种;

当百位数是5,后两位相加为3,有4种;当百位数是6,后两位相加为2,有3种;

当百位数是7,后两位相加为1,有2种;当百位数是8,后两位相加为0,有1种;

总共有8+7+6+5+4+3+2+1=36种.

故选：D.

【变式1-5】某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人,三班有优秀团员6人，学校组

织他们去参观某爱国主义教育基地.推选1名优秀团员为总负责人，不同的选法种数是（）

A.480B.24C.14D.18

【答案】B

【解析】采用分类计数原理，有8+10+6=24种方法.

故选：B

【变式1-6］书架上有10本不同的自然科学图书和9本不同的社会科学图书，甲同学想从中选出1本阅读,

则不同的选法共有（）

A.9种B.10种C.19种D.90种

【答案】C

【解析】由分类加法计数原理知，不同的选法种数为10+9=19.

故选C.

题型二：分步乘法计数原理的应用

【典例2-1］（2024•云南大理•模拟预测）现有4个同学站成一排，将甲、乙2个同学加入排列，保持原来4

个同学顺序不变，不同的方法共有（）种

A.10B.20C.30D.60

【答案】C

【解析】4个同学站成一排有5个空，甲加入排列有5种情况，队列变成5个人有6个空，乙加入排列有6

种情况，

由分步计数原理得，共有5x6=30种不同的方法.

故选：C

【典例2-2】编号为1,2,3,4的四位同学参观某博物馆，该博物馆共有编号为1,2,3,4的四个门，

若规定编号为1,2,3,4的四位同学进入博物馆不能走与自己编号相同的门，则四位同学用不同的方式

进入博物馆的方法种数为（）

A.12B.16C.81D.256

【答案】C

【解析】因不能走与自己编号相同的门，安排编号为1的同学进入博物馆有3种选法；

同理编号为2,3,4的同学进入博物馆各有3种方法，

由分步乘法计数原理，共有3x3x3x3=81种方法.故C正确.

故选：C.

【方法技巧】

利用分步乘法计数原理解题的策略

（1）明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的.

（2）将这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整

个事件才算完成.

【变式2-1】已知乘积（％+%）由+d+4）（。1+。2+。3+,+c.）（〃eN+）展开后共有60项,则〃的值为（

A.5B.7C.10D.12

【答案】C

【解析】根据多项式的乘法法则，展开后的项数为2X3X/7=6O,

所以〃=10.

故选：C.

【变式2-2］（2024•高三•江苏徐州•开学考试）甲、乙、丙、丁四人打算从北京、上海、西安、长沙四个城

市中任选一个前去游玩，其中甲去过北京，所以甲不去北京，则不同的选法有（）

A.18种B.48种C.108种D.192种

【答案】D

【解析】因甲不去北京，应该分步完成：

第一步，甲在上海、西安、长沙三个城市中任选一个，有3种选法；

第二步，乙、丙、丁从北京、上海、西安、长沙四个城市中分别任选一个，有4x4x4=64中选法；

由分步乘法计数原理，可得不同选法有：3x64=192种.

故选：D.

【变式2-3】某农学院计划从10种不同的水稻品种和7种不同的小麦品种中，选5种品种种植在如图所示

五块实验田中，要求仅选两种小麦品种且需种植在相邻两块实验田中，其他三块实验田选种水稻品种，则

不同种法有（）

12345

A.30240种B.60480种C.120960D.241920种

【答案】C

【解析】由题得相邻两块实验田分成1和2；2和3；3和4；4和5四类；

第一类在1和2上种植小麦，“1”有7种选择，“2”有6种选择，剩下3块实验田种植水稻，

分别有10,9,8种选择，所以共计7x6x10x9x8=30240种；

第二、三、四类和第一类种数相同.综上总计有30240x4=120960种方法.

故选：C.

【变式2-4］（2024・高三・河南•期中）玩积木有利于儿童想象力和创造力的培养.一小朋友在玩四棱柱形积

木（四个侧面有各不相同的图案）时，想用5种颜色给积木的12条棱染色，要求侧棱用同一种颜色，且在

积木的6个面中，除侧棱的颜色相同外，则染法总数为（）

A.216B.360C.720D.1080

【答案】D

【解析】根据题意，如图：

分3步进行分析：

①要求侧棱用同一种颜色，则侧棱有5种选色的方法，

②对于上底ABCD,有4种颜色可选，则有A：,

③对于下底A片GA，每条边与上底和侧棱的颜色不同，有3x3xlxl=9种选法,

贝I］共有5x24x9=1080种选法.

故选：D.

【变式2-5］（2024•河南郑州•模拟预测）已知xeZ,jeZ,则满足方程芍+2024（*7）=8092的解（尤4）

的个数为（）

A.27B.54C.108D.216

【答案】B

【解析】由题设，得2024）（,+2024）=-2022?,

又2022=2x3x337,其中2,3,337都为质数，

所以（x-2024）（y+2024）=-22x32x3372,

因为x,"Z,所以x-2024可能为（-1广।2"3'337。，笈e{。』},a,"ce{0,l,2},

所以x-2024的取值个数为2x3x3x3=54,

方程移+2024（尤-y）=8092的整数解（x,y）的个数为54.

故选：B.

题型三：两个计数原理的综合应用

【典例3-1】（2024•高三.全国•自主招生）（a+26+3c+4d-展开式共项.

【答案】286

【解析】可以看作10个相同的小盒子，每个盒子里都4个不同的数a,2b,3c,44,

展开式的每一项都是从10个盒子里取一个数，然后相乘构成的，

若选一个数，能构成不同的项C：=4种，

若选2个数，先选2个数有C：种选法，然后把10个盒子分给这2个数，利用隔板法可得分法为C；种，故

能构成不同的项C：xC；=54种，

若选3个数，同理可知能构成不同的项C：xC；=144种，

若选4个数，可构成不同的项C：xC；=84种，

由分类加法计数原理可得，共有4+54+144+84=286种，

故答案为：286

【典例3-2】(2024.高三.上海.开学考试)若从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取2个偶数和2个奇数，

组成一个无重复数字的四位数，则不同的四位数的个数是—.

【答案】180

【解析】根据题意，可将四位数分成两类：

第一类，数字0被取到，则可从2,4中任选一个，再从1,3,5中任选两个，

接着从除。外的另外三个数中取一个排在首位，剩下的在三个数位上全排，

此时共有C；C；C；A：=108个四位数；

第二类，数字。没被取到，故2,4全被取到，只需从1,3,5中任选两个，

再与2,4共4个数字在四个数位上全排，此时共有C；A：=72个四位数.

根据分类加法计数原理，不同的四位数的个数是108+72=180.

故答案为：180.

【方法技巧】

利用两个计数原理解题时的三个注意点

(1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事.

(2)分类时，标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图.

(3)对于复杂问题，一般是先分类再分步.

【变式3-1】用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数，将这些数字从小到大排列起来,

第71个数是—.

【答案】3140

【解析】①千位为1,个位为0,有A；=12个；

②千位为1,个位为2,有A；=12个；

③千位为1,个位为4,有A；=12个；

④千位为2,个位为0,有A；=12个；

⑤千位为2,个位为4,有A；=12个；

⑥千位为3,百位为0,个位为2(或4),各有3个.共66个.

接下来有3102,3104,3120,3124,3140,L,第71个数是3140.

故答案为：3140.

【变式3-2](2024・高三・上海•开学考试)已知集合4=.：,-；,：1,2,3，，若A且互不相等，则使

得指数函数y=优，对数函数y=基函数y=x。中至少有两个函数在(0,+w)上严格增函数的有序数

对(a,Z?,c)的个数是

【答案】24

【解析】由题意可知，满足指数函数〉=优(4＞0且。声1),

对数函数y=log”仅＞。且6列的。力取值只有4个，分别为:，：，2,3；

而使它们在(0,+«0上严格增函数的取值。涉都只有两个，分别是2,3；

而满足幕函数y=必的c的取值有6个(全部)，

使得幕函数y=在(0,+◎上是严格增函数的取值有4个，即g,；,2,3；

由于且互不相等，有三种情况：

第一种：指数函数＞=优，对数函数y=log〃x在(0,+s)上是严格增函数，

而幕函数y=x°不满足，共有2xlx2=4种；

第二种：指数函数＞=屋，幕函数y=x。在(0,+8)上是严格增函数，

而对数函数＞=log/不满足，共有2x2x2=8种；

第三种：对数函数y=log炉，幕函数y=x°在(0,+8)上是严格增函数，

而指数函数＞=优不满足，共有2x2x2=8种；

第四种：三个函数在(0,+8)上都是严格增函数，共有2