第2章 直线与圆的位置关系 浙教版九年级数学下册单元测试1(含答案)

第十六讲直线与圆的位置关系考点1：直线与圆的位置关系分析：直线与圆的位置关系是比较圆心到直线的距离和半径的大小.其它的说法是不够准确的.我们要注意！例题1：下列判断正确的是（）①直线上一点到圆心的距离大于半径，则直线与圆相离；②直线上一点到圆心的距离等于半径，则直线与圆相切；③直线上一点到圆心的距离小于半径，则直线与圆相交．A．①②③B．①②C．②③D．③答案：D；例题2：已知∠AOB=30°，P是OA上的一点，OP=4cm，以r为半径作⊙P，若r=cm，则⊙P与OB的位置关系是，若⊙P与OB相离，则r满足的条件是．解：相离，0＜r＜2．例题3：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，若以C为圆心，r为半径作圆，那么:（1）当直线AB与⊙C相切时，求r的取值范围；（2）当直线AB与⊙C相离时，求r的取值范围；（3）当直线AB与⊙C相交时，求r的取值范围．解答：∵∠C=90°，AC=3，AB=5，∴BC=4；过点C作CD⊥AB于点D；∵S=×AC×BC=×AB×CD，∴CD==；∵直线AB与圆C相切，∴r=CD=；∵直线AB与圆C相离，∴r＜CD，即r＜；∵直线AB与圆C相交，∴r＞CD，即r＞；考点2：动圆与定线(线段、射线、直线)的位置关系，分析：通过圆心所在的轨迹对切线作垂直，垂线段等于半径，然后解决问题.例题1：（2019秋•长兴县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，点D在边BC上，CD＝6，BD＝10．点P是线段AD上一动点，当半径为4的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为．答案为：5或或4．例题2：射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值（单位：秒）答案：t=2或3≤t≤7或t=8．例题3：（2018秋•拱墅区期末）如图，已知四边形ABCD是菱形，BC∥x轴，点B的坐标是（1，），坐标原点O是AB的中点，动圆⊙P的半径是，圆心P（m，0）在x轴上移动，若⊙P在运动过程中只与菱形ABCD的一边相切，则m的取值范围是．答案为﹣5≤m＜﹣3或﹣1＜m≤1或m＝2或m＝﹣6．例题4：（2018•镇江）如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=6，AD=10，点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点．（1）如图2，当⊙P与边CD相切于点F时，求AP的长；（2）不难发现，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围．解：（1）如图2所示，连接PF，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC==8，设AP=x，则DP=10﹣x，PF=x，∵⊙P与边CD相切于点F，∴PF⊥CD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∵AB⊥AC，∴AC⊥CD，∴AC∥PF，∴△DPF∽△DAC，∴，∴，∴x=，AP=；（2）＜AP＜或AP=5．考点3：动线(线段、射线、直线)与圆位置关系分析：抓住动直线的特点，是否平行直线束，还是过定点旋转的直线束，画出与圆相切的直线，然后过圆心对直线作垂线.注意|k|=tanɑ，ɑ指的是直线与x轴夹的锐角.可能要利用三角函数或相似解决问题.例题1：如图，直线l与以线段AB为直径的圆相切于点C，AB=6，AC=3，点P是直线l上一个动点．当∠APB的度数最大时，线段BP的长度为（）A．6 B． C．9 D．解：D．例题2：如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A′B′CD′的边A′B′与⊙O相切，切点为E，边CD′与⊙O相交于点F，则CF的长为4．解：4．例题3：如图，已知直线l：y=﹣x﹣以每秒3个单位的速度向右平移；同时以点M（3，3）为圆心，3个单位长度为半径的⊙M以每秒2个单位长度的速度向右平移，当直线l与⊙M相切时，则它们运动的时间为秒．答案：2.5或10．例题4：如图1，△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，点P为BC上一点，PA=PB，⊙O是△PAB的外接圆．（1）求⊙O的直径；（2）如图2，将△ABC绕点B逆时针旋转至△A′BC′，使边BA′与⊙O相切，BC′交⊙O于点M，求此时的旋转角度及弧AQM的长度．解：（1）连接OP，OB，OP交AB于H，如图1，∵AB=AC=4，∠BAC=120°，∴∠ABC=∠C=30°，∵PA=PB，∴∠PAB=∠ABP=30°，OP⊥AB，∴∠BOP=2∠PAB=60°，BH=AH=2，在Rt△PBH中，PH=BH=，BP=2PH=，∵OB=OP，∴△OBP为等边三角形，∴OB=BP=，∴⊙O的直径为；（2）连接OB，OM，OA，如图2，∵边BA′与⊙O相切，∴OB⊥BA′，∴∠OBA′=90°，∵∠OBA=60°，∴∠ABA′=90°+30°=120°，∵△ABC绕点B逆时针旋转至△A′BC′，∴∠CBC′=∠ABA′=120°，即旋转角度为120°，∵∠OBP=60°，∴∠OBM=60°，∴△OBM为等边三角形，∴∠BOM=60°，∴∠AOM=360°﹣60°﹣120°=180°，而OB=，∴弧AQM的长度==π．知识点2：切线的性质定理切线的性质定理：圆的切线垂直于过其切点的半径；经过半径的非圆心一端，并且垂直于这条半径的直线，就是这个圆的一条切线.切线的性质定理的推论：（1）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.（2）圆的切线垂直于经过切点的半径.注意：对于切线的性质定理的掌握可归纳为三条：（1）过圆心；（2）过切点；（3）垂直于切线.事实上只要知道其中两个性质，就可以推出第三个.考点4：利用垂直分析：已知切线，那么我们必须要连结圆心和切点，得出两个结论：①长度等于半径，②垂直直线.例题1：（2020•温州）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（）A．1 B．2 C． D．答案为：D．例题2：如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（﹣1，0），半径为1，点P为直线y=﹣x+3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是．答案：2．例题3：（2020•台州）如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，以AD为直径的⊙O交AC于点E，连接DE．若⊙O与BC相切，∠ADE＝55°，则∠C的度数为．答案为：55°．例题4：如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为．答案：3或4．例题5：如图，⊙O与Rt△ABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C，D，与边BC相交于点F，OA与CD相交于点E，连接FE并延长交AC边于点G．（1）求证：DF∥AO；（2）若AC=6，AB=10，求CG的长．解答：（1）证明：连接OD．∵AB与⊙O相切于点D，且OC⊥AC，∴CF为直径，∴∠CDF=90°，∵AC与⊙O相切于点C，∴AC=AD，．∵OC=OD，∴OA⊥CD，∴∠CDF=∠OEC=90°，∴DF∥AO．（2）过点作EM⊥OC于M，∵AC=6，AB=10，∴BC==8，∴AD=AC=6，∴BD=AB﹣AD=4，∵BD2=BF•BC，∴BF=2，∴CF=BC﹣BF=6．OC=CF=3，∴OA==3，∵OC2=OE•OA，∴OE=，∵EM∥AC，∴===，∴OM=，EM=，FM=OF+OM=，∴===，∴CG=EM=2．例题6：（2020•温州一模）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，以AD为直径的⊙O交AB于点E，与BC相切于点C，连结CE．（1）求证：CD＝CE．（2）若AE＝3，tan∠D＝，求⊙O的半径．【解答】解：（1）证明：如图，连结DE，OC交于点F．∵BC切⊙O于点C，∴∠OCB＝90°，∵∠B＝90°，∴OC∥AB，∵AD是圆的直径，∴∠DEA＝∠FEB＝90°，∴OC⊥DE，∴＝，∴CD＝CE；（2）如图，连结AC，∵四边形ABCD内接于圆，∴∠CEB＝∠ADC，∵＝，∴∠DAC＝∠CAB，∴∠ADC＝∠ACB∴tan∠ACB＝tan∠CEB＝tan∠ADC，设BE＝3x，则BC＝4x，CE＝5x，∴＝，解得：x＝，∴CD＝，∴AD＝＝，∴OA＝．考点5：切线的判定分析：判定切线的方法：（1）直接证明（2）若切点明确，则“连半径，证垂直”.常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；（3）若切点不明确，则“作垂直，证半径”.常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直.在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线方法一：直接证明例题1：（2018•邵阳）如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点B作BD⊥CD，垂足为点D，连结BC．BC平分∠ABD．求证：CD为⊙O的切线．证明：∵BC平分∠ABD，∴∠OBC=∠DBC，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠OCB=∠DBC，∴OC∥BD，∵BD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD为⊙O的切线．例题2：（2018•扬州一模）如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，且AD=DC，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连结DE．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若sinC=，AC=6，求⊙O的直径．（1）证明：∵AB=AC，AD=DC，∴∠C=∠B，∠1=∠C，∴∠1=∠B，又∵∠E=∠B，∴∠1=∠E，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE=90°，∴∠E+∠EAD=90°，∴∠1+∠EAD=90°，即∠EAC=90°，∴AE⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：过点D作DF⊥AC于点F，如图，∵DA=DC，∴CF=AC=3，在Rt△CDF中，∵sinC==，设DF=4x，DC=5x，∴CF==3x，∴3x=3，解得x=1，∴DC=5，∴AD=5，∵∠ADE=∠DFC=90°，∠E=∠C，∴△ADE∽△DFC，∴=，即=，解得AE=，即⊙O的直径为．例题3：如图，已知A，B，C，D，E是⊙O上五点，⊙O的直径BE=2，∠BCD=120°，A为的中点，延长BA到点P，使BA=AP，连接PE．（1）求线段BD的长；（2）求证：直线PE是⊙O的切线．【解答】（1）解：连接DE，如图，∵∠BCD+∠DEB=180°，∴∠DEB=180°﹣120°=60°，∵BE为直径，∴∠BDE=90°，在Rt△BDE中，DE=BE=×2=，BD=DE=×=3；（2）证明：连接EA，如图，∵BE为直径，∴∠BAE=90°，∵A为的中点，∴∠ABE=45°，∵BA=AP，而EA⊥BA，∴△BEP为等腰直角三角形，∴∠PEB=90°，∴PE⊥BE，∴直线PE是⊙O的切线．方法二：若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例题1：如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.求证：PC是⊙O的切线.证明：连接OC；∵OA²=OD·OP，且OA=OC=R，∴OC²=OD·OP,即，∵∠COD=∠POC，∴△OCD∽△OPC，∵CD⊥AB，∴∠ODC=90°=∠OCP，即OC⊥PC；∵OC为半径，∴PC是圆O的切线；例题2：（2018•嘉兴一模）如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，点M和点N分别是l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移，若⊙O的半径为1，∠1=60°，下列结论错误的是（）A.MN= B.若MN与⊙O相切，则AM= C.l1和l2的距离为2 D.若∠MON=90°，则MN与⊙O相切解：B．例题3：（2020•湖州模拟）如图，已知在等腰△ABC中，AC＝BC，以AC为直径作⊙O交AB于点D．（1）若AC＝2，∠A＝30°，求的长．（2）过点D作DE⊥BC于点E，求证：DE是⊙O的切线．【解答】（1）解：连接OD，如图所示：∵∠A＝30°，∴∠COD＝2∠A＝60°，∵AC＝2，AC为⊙O的直径，∴OA＝OC＝1，∴的长＝＝；（2）证明：∵OD＝OA，∴∠A＝∠ODA，∵AC＝BC，∴∠B＝∠A，∴∠B＝∠ODA，∴OD∥BC，∵DE⊥BC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．例题4：如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与⊙O相切.解答：连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，∵AE为⊙O的直径，∴∠EBA=90°，∵PA=PD，∴∠PAD=∠2，即∠1+∠CAD=∠2，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠DAC，∵∠ABD+∠BAD=∠2，∴∠1=∠ABC，∵∠CBE=∠EAC，∠ABC+∠CBE=90°，∴∠CAE+∠1=90°，∴PA与⊙O相切．例题5：（2018•莱芜）如图，已知A，B是⊙O上两点，△OAB外角的平分线交⊙O于另一点C，CD⊥AB交AB的延长线于D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）E为的中点，F为⊙O上一点，EF交AB于G，若tan∠AFE=，BE=BG，EG=3，求⊙O的半径．（1）证明：连接OC，如图，∵BC平分∠OBD，∴∠OBD=∠CBD，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠OCB=∠CBD，∴OC∥AD，而CD⊥AB，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）解：连接OE交AB于H，如图，∵E为的中点，∴OE⊥AB，∵∠ABE=∠AFE，∴tan∠ABE=tan∠AFE=，∴在Rt△BEH中，tan∠HBE==设EH=3x，BH=4x，∴BE=5x，∵BG=BE=5x，∴GH=x，在Rt△EHG中，x2+（3x）2=（3）2，解得x=3，∴EH=9，BH=12，设⊙O的半径为r，则OH=r﹣9，在Rt△OHB中，（r﹣9）2+122=r2，解得r=，即⊙O的半径为．方法三：若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”(一般用于函数与几何综合题）例题1：已知：如图，AC，BD与⊙O切于A，B，且AC∥BD，若∠COD=900.求证：CD是⊙O的切线.证明：延长DO与CA的延长线相交于F，过O作OE⊥CD于E，∵AC，BD是⊙O的切线，∴OA⊥AC，OB⊥BD，∵AD∥BC，∴A，O，B三点共线，∠F=∠BDO，在△BDO与△AFO中，，∴△BDO≌△AFO，∴OD=OF，∵∠COD=90°，∴∠COF=90°，∴CF=CD，∴∠OCA=∠ECO，∴OE=OA，∴CD是⊙O的切线．例题2：（2019秋•镇海区期末）如图，O为∠MBN角平分线上一点，⊙O与BN相切于点C，连结CO并延长交BM于点A，过点A作AD⊥BO于点D．（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）若BC＝6，tan∠ABC＝，求AD的长．【解答】解：（1）过点O作OE⊥AB于点E，∵O为∠MBN角平分线上一点，∴∠ABD＝∠CBD，又∵BC为⊙O的切线，∴AC⊥BC，∵AD⊥BO于点D，∴∠D＝90°，∴∠BCO＝∠D＝90°，在△BOC和△BOE中，∵，∴△BOC≌△BOE（AAS），∴OE＝OC，∵OE⊥AB，∴AB是⊙O的切线；（2）∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠EOA+∠BAC＝90°，∴∠EOA＝∠ABC，∵tan∠ABC＝、BC＝6，∴AC＝BC•tan∠ABC＝8，则AB＝10，由（1）知BE＝BC＝6，∴AE＝4，∵tan∠EOA＝tan∠ABC＝，∴，∴OE＝3，OB＝＝3，∵∠ABD＝∠OBC，∠D＝∠ACB＝90°，∴△ABD∽△OBC，∴，即＝，∴AD＝2．考点6：与坐标和网格的结合分析：坐标内一般辅助线均为对坐标轴作垂线.例题1：如图，在平面直角坐标系中，⊙M与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙M于P，Q两点，点P在点Q的右边，若P点的坐标为（﹣1，2），则Q点的坐标是（）A．（﹣4，2） B．（﹣4.5，2） C．（﹣5，2） D．（﹣5.5，2）故选：A．例题2：如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，⊙A与x轴相切于B，与y轴交于C（0，1），D（0，4）两点，则点A的坐标是.答案：（2，）．例题3：（2019秋•江北区期末）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C画圆弧，则点B与下列格点连线所得的直线中，能够与该圆弧相切的格点坐标是（）A．（5，2） B．（2，4） C．（1，4） D．（6，2）故选：D．例题4：如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（3，0），将⊙P沿x轴左平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（）A．1 B．3 C．5 D．1或5故选：D．考点6：切线长定理考察长度相等分析：切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角.这里有几个结论，一，长度相等，二，角平分线.例题1：（2019•杭州）如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝3，则PB＝（）A．2 B．3 C．4 D．5故选：B．例题2：如图，⊙O与正方形ABCD是两边AB，AD相切，DE与⊙O相切于点E，若正方形ABCD的边长为5，DE=3，则tan∠ODE为（）A． B． C． D．选：B．例题3：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E；（1）求证：BE=CE；（2）若以O，D，E，C为顶点的四边形是正方形，⊙O的半径为r，求△ABC的面积；（3）若EC=4，BD=，求⊙O的半径OC的长．解答：（1）证明：连接CD，由AC是直径知CD⊥AB；DE，CE都是切线，所以DE=CE，∠EDC=∠ECD；又∠B+∠ECD=90°，∠BDE+∠EDC=90°；所以∠B=∠BDE，所以BE=DE，从而BE=CE；（2）解：连接OD，当以O，D，E，C为顶点的四边形是正方形时，DE=EC=OC=OD=r；从而BE=r，即△ABC是一个等腰直角三角形；AC=AB=2r，S△ABC=2r2；（3）解：若EC=4，BD=4，则BC=8；在Rt△BDC中，cos∠CBD==；所以∠CBD=30°；在Rt△ABC中，=tan30°，即AC=BCtan30°=8×=，OC==；另解：设OC=r，AD=x；由EC=4，BD=4得BC=8，DC=4；则：，解得；即OC=．例题4：（2020•浙江自主招生）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为．【解答】解：连接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，∵∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝4，∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，∴四边形AFOE，FBGO是正方形，∴AF＝BF＝AE＝BG＝2，∴DE＝3，∵DM是⊙O的切线，∴DN＝DE＝3，MN＝MG，∴CM＝5﹣2﹣MN＝3﹣MN，在Rt△DMC中，DM2＝CD2+CM2，∴（3+NM）2＝（3﹣NM）2+42，∴NM＝，∴DM＝3+＝．故答案为．考点7：切线长定理考察角度分析：切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角.这里有几个结论，一，长度相等；二，角平分线.要算角度得利用角平分线的性质，还有垂直.例题1：如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，OP交⊙O于点C，点D是上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD，CD，若∠APB=80°，则∠ADC的度数是（）A．15° B．20° C．25° D．30°答案：C；例题2：如图，∠APB=52°，PA，PB，DE都为⊙O的切线，切点分别为A，B，F，且PA=6．（1）求△PDE的周长；（2）求∠DOE的度数．解答：（1）∵PA，PB，DE都为⊙O的切线，∴DA=DF，EB=EF，PA=PB=6，∴DE=DA+EB，∴PE+PD+DE=PA+PB=12，即△PDE的周长为12；（2）连接OF，∵PA，PB，DE分别切⊙O于A，B，F三点，∴OB⊥PB，OA⊥PA，∠BOE=∠FOD=∠BOF，∠FOD=∠AOD=∠AOF，∵∠APB=52°，∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣52°=128°，∴∠DOE=∠FOE+∠FOD=（∠BOF+∠AOF）=∠BOA=64°．考点8：弦切角定理分析：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.如图，∠PAB=∠C.例题1：（2020春•绍兴月考）如图，AB是⊙O的直径，DB，DE分别切⊙O于点B，C，若∠ACE＝20°，则∠D的度数是（）A．40° B．50° C．60° D．70°【解答】解：连OC，如图，∵DB、DE分别切⊙O于点B、C，∴∠OBD＝∠OCD＝∠OCE＝90°，∵∠ACE＝20°，∴∠OCA＝90°﹣20°＝70°，∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA＝70°，∴∠BOC＝2×70°＝140°，∴∠D＝360°﹣90°﹣90°﹣140°＝40°．故选：A．例题2：点P是⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于点A，B，∠P=70°，点C是⊙O上的点（不与点A，B重合），则∠ACB等于（）A．70° B．55° C．70°或110° D．55°或125°答案：D例题3：如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于点C，∠PCB=35°，则∠B等于度．答案：55°；例题4：（2018•马边县模拟）已知，如图，半径为1的⊙M经过直角坐标系的原点O，且与x轴、y轴分别交于点A，B，点A的坐标为（，0）