专项03 构造一元二次方程解题_第1页
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专项03构造一元二次方程解题类型一借助根的定义构造一元二次方程1.【一题多变·构造一元二次方程，求整式的值】若a、b是互不相等的两个实数，且分别满足a2-a-1=0，b2-b-1=0，求a+b+2ab的值.[变式·构造一元二次方程，求分式的值]若a、b为互不相等的两个实数，且a2-3a+1=0，b2-3b+1=0，求11+a2类型二借助根与系数的关系构造一元二次方程2.解方程：5+x+4−类型三借助求根公式构造一元二次方程3.若x=2+12，求类型四借助等式构造一元二次方程4.若a，b，c为实数，且a2+b2+c2-ab-bc-ca=0，求证：a=b=c.5.已知ba-ca=1，求证：b

专项03构造一元二次方程解题答案全解全析1.解析∵a、b是互不相等的两个实数，且分别满足a2-a-1=0，b2-b-1=0，∴a、b可看成方程x2-x-1=0的两个根，∴a+b=1，ab=-1，∴a+b+2ab=1+2×(-1)=-1.[变式]解析∵a2-3a+1=0，b2-3b+1=0，∴a2+1=3a，b2+1=3b，∵a、b为互不相等的两个实数，且a2-3a+1=0，b2-3b+1=0，∴a、b可看成一元二次方程x2-3x+1=0的两个实数根，∴a+b=3，ab=1，∴11+a2+11+b2=13a2.解析设a=5+x，b=4−x，则a+b=3，a2+b2=5+x+4-x=9，又a2+b2=(a+b)2-2ab，所以9-2ab=9，所以ab=0，易知a≠b，于是a，b可看成一元二次方程y2-3y=0互不相等的两个根，解得y1=0，y2=3.所以5+x=0,4−x所以原方程的根为x1=-5，x2=4.3解析将x=2+12看成是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根，可令a=1，b=-1，由b2-4ac=2，得c=-14，所以x=2+12是方程x2-x-14=0的一个根，所以x2=x+14，所以16x3+4x+116x5=x3+14x+14.证明由已知等式可构造关于c的一元二次方程c2-(a+b)c+(a2+b2-ab)=0，∵实数c满足方程，即方程有解，∴[-(a+b)]2-4(a2+b2-ab)=-3(a-b)2≥0.∵a，b为实数，∴(a-b)2≥0，∴-3(a-b)2≤0，∴-3(a-b)2=0，∴a=b.同理可证b=c，∴a=b=c.5.证明∵ba-ca=1∴x=-1满足一元二次方程

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