专题06 多边形角的计算

专题06多边形角的计算【专题解读】在几何学习中，我们常常要研究一些变化过程中的不变量．比如，随着多边形边数的变化，其内角和在变化，而外角和则始终保持不变．因此，在分析与解决有关多边形的角的计算题时，我们往往以图形的确定性分析为抓手，从基本图形的演变入手，在“变”与“不变”中探索规律．在解决问题的具体过程中，常常化多边形问题为三角形问题．此外，我们还可设立未知数表达相关的量，最终建立方程求解问题．【思维索引】例1．如图，从四边形ABCD的纸片中只剪一刀，剪去一个三角形，剩余的部分是几边形？请画出示意图，并在图形下方写上剩余部分多边形的内角和．例2．在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别是边AC，BC上的点，点F是一动点．设∠FDA＝α，∠FEB＝β，∠DFE＝n．（1）如图1，若点F在线段AB上，且n＝50°，则α＋β＝ ；（2）如图2，若点F在斜边BA的延长线上运动（CE＞CD），请直接写出n、a、β之间的关系 ；（3）若点F运动到△ABC形外（只需研究图3情形），则n、a、β之间有何关系？并说明理由．例3．如图：线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把这个图形称为“8字型”．根据三角形内角和容易得到：∠A＋∠D＝∠C＋∠B．（1）利用“8字型”：如图（1）：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝ ；（2）构造“8字型”：如图（2）：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝ ；（3）发现“8字型”：如图（3）：BE、CD相交于点A，CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线．①图中共有 个“8字型”；②若∠B：∠D：∠F＝4：6：x，求x的值．素养提升1．如图是一个长方形和两个等边三角形，若∠3＝50°，则∠1＋∠2的值是 ( )A．90° B．100° C．130° D．180°2．如图，在△ABC中，∠C＝50°，按图中虚线将∠C剪去后，∠1＋∠2等于 ( )A．230° B．210° C．130° D．310°3．将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是 ( )A．360° B．540° C．720° D．900°4．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为 ( )A．7 B．7或8 C．8或9 D．7或8或95．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E为 ( )A．360° B．300° C．220° D．180°6．如图，已知∠BOF＝120°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝ ．7．如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝220°，则∠BOD的度数为 ．8．将六边形ABCDEF沿直线GH折叠，使A、B落在六边形CDEFGH内部，若∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝510°，则∠A′KF＋∠B′JC＝ ．9．如图，在同一平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，则∠AEB＋∠CED－∠BEC＝ ．10．如图，已知∠AOB＝7°，一条光线从点A出发后射向OB边．若光线与OB边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时∠A＝90°－7°＝83°．当∠A＜83°时，光线射到OB边上的点A1后，经OB反射到线段AO上的点A2，易知∠BA1A＝∠A2AO．若A1A2⊥AO，光线又会沿A2→A1→A原路返回到点A，此时∠A＝76°．若光线从A点出发后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角∠A的最小值是 ．11．已知，在△ABC和△DEF中，∠A＝40°，∠E＋∠F＝100°，将△DEF如图1和图2摆放，使得∠D的两条边分别经过点B和点C．（1）当将△DEF如图1摆放时，则∠ABD＋∠ACD＝ ．（2）当将△DEF如图2摆放时，请求出∠ABD＋∠ACD的度数，并说明理由．（3）能否将△DEF摆放到某个位置时，使得BD与CD同时平分∠ABC和∠ACB，请说出理由．12．（1）在图甲中，猜想：∠A1＋∠B1＋∠C1＋∠A2＋∠B2＋∠C2＝ ，并说明理由．（2）如果把图甲称为2环三角形，它的内角和为∠A1＋∠B1＋∠C1＋∠A2＋∠B2＋∠C2；把图乙成为2环四边形，它的内角和为∠A1＋∠B1＋∠C1＋∠D1＋∠A2＋∠B2＋∠C2＋∠D2；把图丙成为2环五边形，它的内角和为∠A1＋∠B1＋∠C1＋∠D1＋∠E1＋∠A2＋∠B2＋∠C2＋∠D2＋∠E2．请你猜一猜，2环n边形的内角和是多少？（只要直接写出结论）13．（1）如图1，AD与BC相交于E，连接AB、CD，若AF、CF分别平分∠BAD、∠BCD，∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，试求∠F的度数；（2）如图2，直线AF平分∠NAD，CF平分∠MCB，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，试求∠F的度数；（3）在图3中，直线AF平分∠NAD，CF平分∠MCB，猜想∠F与∠B、∠D的关系，直接写出结论，无需说明理由；（4）在图4中，AF平分∠BAD，CF平分∠MCB，猜想∠F与∠B、∠D的关系，直接写出结论，无需说明理由．14．（1）如图1，已知直线PQ与直线EF交于点N，则∠PME、∠P、∠MEF、∠PNE之间有何数量关系？并说明理由；（2）根据（1）的结论求图2中∠P＋∠F＋∠Q＋∠M＋∠N＋∠E的度数．拓展延伸一：如图3，若平面内有点，连接，求的度数是多少？拓展延伸二：若平面内有n个点，且将这个点围成的多边形是凸多边形，连接，则的度数是多少？（请用含n的代数式表示）

专题06多边形角的计算【思维索引】例1．180°；360°；540°；例2．(1)140°；(2)β－α－n＝90°；(3)α＋n－β＝90°．例3．(1)360°(2)540°(3)①6个；②x＝5．【素养提升】1．B；2．A；3．D；4．D；5．D；6．240°；7．40°；8．60°；9．24°；10．6°；11．(1)240°；(2)40°；(3)不能；12．(1)360°；(2)360°(n一2)；13．(1)26°；(2)26°；(3)∠F＝180°－EQ\F(1,2)(∠B＋∠D)；(4)∠F＝90°＋EQ\F(1,2)(∠B＋∠D)；1