专项10 新定义型试题

专项10新定义型试题类型一与二次根式有关的新定义型问题1.定义:若两个二次根式a,b满足ab=c,且c是有理数,则称a与b是关于c的共轭二次根式.问题解决:(1)若a与23是关于6的共轭二次根式,求a的值;(2)若4+3与8-3m是关于26的共轭二次根式,求m的值.类型二与一元二次方程有关的新定义型问题2.(2023安徽滁州定远三中第一次月考)定义:如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a-b+c=0,那么我们称这个方程为“黄金方程”.(1)判断一元二次方程2x2+5x+3=0是不是黄金方程,并说明理由.(2)已知3x2-ax+b=0是关于x的黄金方程,若a是此黄金方程的一个根,求a的值.类型三与勾股定理有关的新定义型问题3.【新考法】定义:在△ABC中,若BC=a,AC=b,AB=c,a,b,c满足ac+a2=b2,则称这个三角形为“类勾股三角形”.请根据以上定义解决下列问题:(1)如图1所示,若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”,其中AB=BC,AC>AB,求∠A的度数.(2)如图2所示,在△ABC中,∠B=2∠A,且∠C>∠A.请证明△ABC为“类勾股三角形”.图1 图24.阅读下面的材料,然后解答问题:定义:两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形.(1)理解并填空:①根据奇异三角形的定义,判断:等边三角形一定是奇异三角形吗?(填“一定是”或“一定不是”).

②若某三角形的三边长分别为1、7、2,则该三角形(填“是”或“不是”)奇异三角形.

(2)探究:在Rt△ABC中,两边长分别是a、c,且a2=50,c2=100,则这个三角形是不是奇异三角形?请说明理由.5.如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长,那么我们称这个三角形为“美丽三角形”.(1)如图,在△ABC中,AB=AC=25,BC=4,求证:△ABC是“美丽三角形”;(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=43,若△ABC是“美丽三角形”,求BC的长. 备用图

专项10新定义型试题答案全解全析1.解析(1)∵a与23是关于6的共轭二次根式,∴23a=6,∴a=623=(2)∵4+3与8-3m是关于26的共轭二次根式,∴(4+3)(8-3m)=26,∴8-3m=264+3=26(4−3∴m=2.2.解析(1)一元二次方程2x2+5x+3=0是黄金方程.理由:由题意得,a=2,b=5,c=3,∴a-b+c=2-5+3=0,∴一元二次方程2x2+5x+3=0是黄金方程.(2)∵3x2-ax+b=0是关于x的黄金方程,∴3-(-a)+b=0,∴b=-a-3,∴原方程为3x2-ax-a-3=0.∵a是此黄金方程的一个根,∴3a2-a2-a-3=0,即2a2-a-3=0,∴(a+1)(2a-3)=0,解得a=-1或a=323.解析(1)∵AB=BC,AC>AB,∴a=c,b>c.∵△ABC是类勾股三角形,∴ac+a2=b2,∴c2+a2=b2,∴△ABC是等腰直角三角形,∴∠A=45°.(2)如图,在AB边上取点D,连接CD,使∠ACD=∠A,作CG⊥AB于G,∴∠CDB=∠ACD+∠A=2∠A.∵∠B=2∠A,∴∠CDB=∠B,∴CD=CB=a.∵∠ACD=∠A,∴AD=CD=a,∴DB=AB-AD=c-a.∵CG⊥AB,∴DG=BG=12∴AG=AD+DG=a+12(c-a)=1在Rt△ACG中,CG2=AC2-AG2=b2-12在Rt△BCG中,CG2=BC2-BG2=a2-12∴b2-12(a+c)2=a2∴b2=ac+a2,∴△ABC是“类勾股三角形”.4.解析(1)①设等边三角形的边长为a,则a2+a2=2a2,∴等边三角形一定是奇异三角形.②∵12+(7)2=8,2×22=8,∴12+(7)2=2×22,∴该三角形是奇异三角形.(2)当AB为斜边时,b2=c2-a2=100-50=50,则a2+b2≠2c2,a2+c2≠2b2,∴Rt△ABC不是奇异三角形;当AC为斜边时,b2=a2+c2=150,则有a2+b2=50+150=200=2c2,∴Rt△ABC是奇异三角形.答:当AB为斜边时,Rt△ABC不是奇异三角形;当AC为斜边时,Rt△ABC是奇异三角形.5.解析(1)证明:过点A作AD⊥BC于D,如图1,∵AB=AC,AD⊥BC,∴AD为△ABC的中线,∴BD=12由勾股定理,得AD=AB即△ABC是“美丽三角形”.(2)当AC边上的中线BD等于AC时,如图2,AD=CD=23,BD=AC=43,∴BC=BD当BC边上的中线AE等于BC时,如图3,AC2=AE2-CE2,即BC2-12BC2=(43Rt△AB