专项16-二次根式-重难点题型

二次根式-重难点题型【知识点1二次根式的定义】形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，叫做二次根号，a【题型1判断二次根式的个数】【例1】（林州市月考）在式子π，a2+b2，a+5，−3y（y≤0），m2−1和A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【变式1-1】（遂宁期末）下列式子中二次根式的个数有（）（1）13；（2）−3；（3）−x2+1；（4）38；（5）(−13A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式1-2】（沈丘县期末）在式子x2A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式1-3】（文登区期中）在式子，x2（x＞0），2，y+1（y＝﹣2），−2x（x＞0），33，x2+1，A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【题型2根据二次根式的定义求字母的值】【例2】（河西区期中）已知96n是整数，正整数n的最小值为（）A．96 B．6 C．24 D．2【变式2-1】（偃师市期中）已知n是正整数，5n−1是整数，则n的值可以是（）A．5 B．7 C．9 D．10【变式2-2】（青山区期中）已知n是正整数，117n是整数，则n的最小值为．【变式2-3】（南昌期中）若12−x是正整数，则x的最大值是．【知识点2二次根式有意义的条件】（1）二次根式中的被开方数是非负数；（2）二次根式具有非负性：a≥【知识点3判断二次根式有意义的条件】如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．【题型3根据二次根式有意义条件求范围】【例3】（宁波模拟）使代数式2x−13−x有意义的xA．x≠3 B．x≥12 C．x≥12且x≠3【变式3-1】（历城区校级月考）若式子1x2−4A．x＞﹣2 B．x≥﹣2，且x≠2 C．x≥﹣2 D．x＞﹣2，且x≠2【变式3-2】（怀化模拟）使x+1x2−1有意义的x的取值范围为【变式3-3】（海淀区校级月考）求a+4+1|a|−2−13−a有意义的【题型4根据二次根式有意义条件求值】【例4】（蜀山区校级期中）已知y=x−2+2−x−3，则（x+y）2000（xA．2−3 B．2+3 C．﹣1【变式4-1】（淮北月考）已知|2020﹣a|+a−2021=a，则4a﹣4040A．8084 B．6063 C．4042 D．2021【变式4-2】（石家庄模拟）若a、b为实数，且b=a2−1+1−a2a+7，则【变式4-3】（雨花区校级月考）已知实数x、y为实数，是否存在实数m满足关系式3x+5y−2−m+2x+3y−m=【知识点4二次根式的性质】性质1：a2=a（a性质2：a2=a=a（【题型5利用二次根式的性质化简】【例5】（柯桥区月考）已知在数轴上的位置如图所示，化简：n2+(m−n)【变式5-1】（江油市月考）已知0＜a＜1，化简得(a+1a)2【变式5-2】（合肥期中）已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简c2【变式5-3】（龙口市期中）阅读下列解题过程例：若代数式(a−1)2+(a−3)解：原式＝|a﹣1|+|a﹣3|，当a＜1时，原式＝（1﹣a）+（3﹣a）＝4﹣2a＝2，解得a＝1（舍去）；当1≤a≤3时，原式＝（a﹣1）+（3﹣a）＝2＝2，符合条件；当a＞3时，原式＝（a﹣1）+（a﹣3）＝2a﹣4＝2，解得a＝3（舍去）所以，a的取值范围是1≤a≤3上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题（1）当2≤a≤5时，化简：(a−2)2+(a−5)2（2）若等式(3−a)2+(a−7)2=4成立，则a（3）若(a+1)2+(a−5)【题型6化简复合二次根式】【例6】（雨城区校级期中）有这样一类题目：将a±2b化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a且mn=b，则a±2b将变成m2+n2±2mn，即变成（m±n）2，从而使a±2b得以化简．例如，因为5+26=3+2+26=（3）2+（2）2+22×3请仿照上面的例子化简下列根式：（1）4+23（2）9−45【变式6-1】（武侯区校级期中）阅读材料：把根式x±2y进行化简，若能找到两个数m，n，使m2+n2＝x且mn=y，则把x±2y变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而使得例如：化简3+22解：∵3+22=1+2+22=12+（2）2+2×1×2=（1∴3+22=(1+请你仿照上面的方法，化简下列各式：（1）7+43（2）5−26【变式6-2】（济南期中）先阅读下列材料，再解决问题：阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，形如a±2b，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a，且mn=b，则a±2b可变形为m2+例如：3−22=1+2−22=仿照上例完成下面各题：①填上适当的数：13−242=6+7−2×6×7=()②试将8+215【变式6-3】（漳浦县期中）阅读下面例题：化简7+2解：∵(2)27+210∴7+2由上述例题的方法化简：（1）5−26（2）2+3（3）4−10+2

二次根式-重难点题型（解析版）【知识点1二次根式的定义】形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，叫做二次根号，a【题型1判断二次根式的个数】【例1】（林州市月考）在式子π，a2+b2，a+5，−3y（y≤0），m2−1和A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式进行分析即可．【解答】解：式子π，a2+b2，−3y（y≤0），ab（故选：B．【点评】此题主要考查了二次根式定义，关键是注意被开方数为非负数．【变式1-1】（遂宁期末）下列式子中二次根式的个数有（）（1）13；（2）−3；（3）−x2+1；（4）38；（5）(−13A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据二次根式的定义对各小题分析判断即可得解．【解答】解：（1）13（2）−3不是二次根式；（3）−x（4）38（5）(−1（6）1−x（x＞1）不是二次根式；（7）7是二次根式．综上所述，是二次根式的有（1）（3）（5）（7）共4个．故选：C．【点评】本题考查了二次根式的定义，二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．【变式1-2】（沈丘县期末）在式子x2A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据二次根式的定义对各数分析判断即可得解．【解答】解：根据二次根式的定义，y＝﹣2时，y+1＝﹣2+1＝﹣1＜0，y+1无意义，故不符合题意；33是三次根式，不符合题意；x+y所以二次根式有x2（x＞0），2，−2x（x＜0），x故选：C．【点评】本题考查了二次根式的定义，比较简单，要注意被开方数是非负数，熟记概念是解题的关键．【变式1-3】（文登区期中）在式子，x2（x＞0），2，y+1（y＝﹣2），−2x（x＞0），33，x2+1，A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据二次根式的定义作答．【解答】解：x2（x＞0），2，xy+1（y＝﹣2），−2x（x＞0）无意义，不是二次根式．33x+y不是根式．故选：B．【点评】本题考查了二次根式的定义．一般形如a（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a≥0时，a表示a的算术平方根；当a小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）．【题型2根据二次根式的定义求字母的值】【例2】（河西区期中）已知96n是整数，正整数n的最小值为（）A．96 B．6 C．24 D．2【分析】根据96＝42×6n，若96n是整数，则96n一定是一个完全平方数，即可求解．【解答】解：96＝42×6n，则96n是整数，则正整数n的最小值6．故选：B．【点评】本题主要考查了二次根式的化简，理解96n是整数的条件是解决本题的关键．【变式2-1】（偃师市期中）已知n是正整数，5n−1是整数，则n的值可以是（）A．5 B．7 C．9 D．10【分析】将选项的值逐个代入验证即可．【解答】解：A、当n＝5时，5n−1=24=26B、当n＝7时，5n−1=34，不是整数，故C、当n＝9时，5n−1=44=211D、当n＝10时，5n−1=49=故选：D．【点评】本题考查了二次根式的定义及二次根式的化简，属于基础知识的考查，比较简单．【变式2-2】（青山区期中）已知n是正整数，117n是整数，则n的最小值为13．【分析】将117变形为9×13n，根据117是整数判断即可得．【解答】解：∵117=9×13n=313n∴正整数n的最小值为13，故答案为：13．【点评】本题主要考查二次根式的定义，解题的关键是掌握形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．【变式2-3】（南昌期中）若12−x是正整数，则x的最大值是11．【分析】根据二次根式的性质解答．【解答】解：由题意得：12﹣x≥0，∴x≤12．又12−x是正整数，∴x的最大值是11．故答案是：11．【点评】本题考查了二次根式的定义，注意“12−x是正整数”暗含条件x≠12．【知识点2二次根式有意义的条件】（1）二次根式中的被开方数是非负数；（2）二次根式具有非负性：a≥【知识点3判断二次根式有意义的条件】如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．【题型3根据二次根式有意义条件求范围】【例3】（宁波模拟）使代数式2x−13−x有意义的xA．x≠3 B．x≥12 C．x≥12且x≠3【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得，2x﹣1≥0，3﹣x≠0，解得，x≥12且故选：C．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式的分母不为0是解题的关键．【变式3-1】（历城区校级月考）若式子1x2−4A．x＞﹣2 B．x≥﹣2，且x≠2 C．x≥﹣2 D．x＞﹣2，且x≠2【分析】根据分式的分母不等于0和二次根式的被开方数是非负数解答．【解答】解：根据题意，得x+2≥0且x2﹣4≠0．解得x＞﹣2且x≠2．故选：D．【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．【变式3-2】（怀化模拟）使x+1x2−1有意义的x的取值范围为【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得：x+1≥0x解得：x＞﹣1且x≠1．故答案是：x＞﹣1且x≠1．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．【变式3-3】（海淀区校级月考）求a+4+1|a|−2−13−a有意义的【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出a的范围，进一步求得a的整数值．【解答】解：由题意得，a+4≥0，|a|﹣2≠0，3﹣a＞0，解得﹣4≤a＜3且a≠±2．故a的整数值为﹣4，﹣3，﹣1，0，1．故答案为：﹣4，﹣3，﹣1，0，1．【点评】本题考查的是二次根式的性质和分式的意义，掌握被开方数大于或等于0，分母不等于0是解题的关键．【题型4根据二次根式有意义条件求值】【例4】（蜀山区校级期中）已知y=x−2+2−x−3，则（x+y）2000（xA．2−3 B．2+3 C．﹣1【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x，y的值，进而利用积的乘方运算法则计算得出答案．【解答】解：∵y=x−2∴x＝2，y=−3则（x+y）2000（x﹣y）2001＝（2−3）2000×（2+3＝[（2+3）×（2−3）]2000×（2＝（4﹣3）2000×（2+3＝1×（2+3＝2+3故选：B．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确运用积的乘方运算法则是解题关键．【变式4-1】（淮北月考）已知|2020﹣a|+a−2021=a，则4a﹣4040A．8084 B．6063 C．4042 D．2021【分析】根据二次根式有意义的条件求出a的范围，把已知式子变形，代入计算即可．【解答】解：由题意得，a﹣2021≥0，解得，a≥2021，原式变形为：a﹣2020+a−2021=则a−2021=∴a﹣2021＝20202，∴4a＝4×20202+8084，∴4a﹣40402＝40402+8084﹣40402＝8084，故选：A．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件、绝对值的性质，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．【变式4-2】（石家庄模拟）若a、b为实数，且b=a2−1+1−a2a+7，则【分析】根据二次根式有意义的条件可求出a的值，将a的值代入原式即可求出b的值．【解答】解：由题意可知：a2∴a2＝1，∴a＝±1，∴b＝0，当a＝1时，原式＝1．当a＝﹣1时，原式＝﹣1．故答案为：±1【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．【变式4-3】（雨花区校级月考）已知实数x、y为实数，是否存在实数m满足关系式3x+5y−2−m+2x+3y−m=【分析】根据二次根式有意义的条件可得x+y＝100，等式右边等于0，可得方程组，解方程组即可．【解答】解：由题意得：x−100+y≥0100−x−y≥0解得：x+y＝100，∴3x+5y−2−m+∴x+y=1003x+5y−2−m=0解得：m＝102，∴存在，m的值为102．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得到方程组是解题的关键．【知识点4二次根式的性质】性质1：a2=a（a性质2：a2=a=a（【题型5利用二次根式的性质化简】【例5】（柯桥区月考）已知在数轴上的位置如图所示，化简：n2+(m−n)【分析】根据a2=|【解答】解：根据数轴得：n＞0，m＜n，m＜﹣1，∴m﹣n＜0，m+1＜0，∴原式＝n+n﹣m﹣（m+1）＝n+n﹣m﹣m﹣1＝2n﹣2m﹣1．故答案为：2n﹣2m﹣1．【点评】本题考查了二次根式的性质和化简，根据数轴判断出绝对值里面的数的正负是解题的关键．【变式5-1】（江油市月考）已知0＜a＜1，化简得(a+1a)2【分析】根据（a+1a）2﹣4＝（a−1a）2，（a−1a）2【解答】解：∵0＜a＜1，∴a＜∴原式=(a−1a)2+(a+1a)2=|故答案为：2a【点评】本题考查二次根式的性质和化简，掌握二次根式的性质是正确解答的前提．【变式5-2】（合肥期中）已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简c2【分析】由三角形三边关系求得c的取值范围；然后判断被开方数的正负，再化简开方，计算．【解答】解：由三边关系定理，得3+5＞c，5﹣3＜c，即8＞c＞2，∴原式=＝|c﹣2|−12|＝c﹣2−12（8﹣=32【点评】本题主要考查二次根式的化简方法与运用，掌握其性质是解决此题关键．【变式5-3】（龙口市期中）阅读下列解题过程例：若代数式(a−1)2+(a−3)解：原式＝|a﹣1|+|a﹣3|，当a＜1时，原式＝（1﹣a）+（3﹣a）＝4﹣2a＝2，解得a＝1（舍去）；当1≤a≤3时，原式＝（a﹣1）+（3﹣a）＝2＝2，符合条件；当a＞3时，原式＝（a﹣1）+（a﹣3）＝2a﹣4＝2，解得a＝3（舍去）所以，a的取值范围是1≤a≤3上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题（1）当2≤a≤5时，化简：(a−2)2+(a−5)2（2）若等式(3−a)2+(a−7)2=4成立，则a（3）若(a+1)2+(a−5)【分析】（1）根据二次根式的性质即可求出答案；（2）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案；（3）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案；【解答】解：（1）∵2≤a≤5，∴a﹣2≥0，a﹣5≤0，∴原式＝|a﹣2|+|a﹣5|＝a﹣2﹣（a﹣5）＝3；（2）由题意可知：|3﹣a|+|a﹣7|＝4，当a≤3时，∴3﹣a≥0，a﹣7＜0，∴原方程化为：3﹣a﹣（a﹣7）＝4，∴a＝3，符合题意；当3＜a＜7时，∴3﹣a＜0，a﹣7＜0，∴﹣（3﹣a）﹣（a﹣7）＝4，∴4＝4，故3＜a＜7符合题意；当a≥7时，∴3﹣a＜0，a﹣7≥0，∴﹣（3﹣a）+（a﹣7）＝4，∴a＝7，符合题意；综上所述，3≤a≤7；（3）原方程可化为：|a+1|+|a﹣5|＝8，当a≤﹣1时，∴a+1≤0，a﹣5＜0，∴原方程化为：﹣a﹣1﹣（a﹣5）＝8，∴a＝﹣2，符合题意；当﹣1＜a＜5时，∴a+1＞0，a﹣5＜0，∴（a+1）﹣（a﹣5）＝8，∴此方程无解，故﹣1＜a＜5不符合题意；当a≥5时，∴a+1＞0，a﹣5≥0，∴a+1+a﹣5＝8，∴a＝6，符合题意；综上所述，a＝﹣2或a＝6；故答案为：（1）3；（2）3≤a≤7【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．【题型6化简复合二次根式】【例6】（雨城区校级期中）有这样一类题目：将a±2b化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a且mn=b，则a±2b将变成m2+n2±2mn，即变成（m±n）2，从而使a±2b得以化简．例如，因为5+26=3+2+26=（3）2+（2）2+22×3请仿照上面的例子化简下列根式：（1）4+23（2）9−45【分析】将代数式转化为完全平方公式的结构形式，再根据二次根式的性质化简即可．【解答】解：（1）∵4+23=（3）2+12+2×3×1＝（3∴4+23=(3+1（2）∵9﹣45=（5）2+22﹣2×5×2＝（5∴9−45=(5−2【点评】本题考查完全平方公式，二次根式的性质与化简，掌握二次根式化简的方法是得出答案的前提．【变式6-1】（武侯区校级期中）阅读材料：把根式x±2y进行化简，若能找到两个数m，n，使m2+n2＝x且mn=