专题04 幂的运算 带解析

2022-2023学年苏科版七年级数学下册精选压轴题培优卷专题04幂的运算一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022秋•晋江市校级期中）计算0.752022×（）2023的结果是（）A． B． C．0.75 D．﹣0.75解：0.752022×（）2023＝﹣（）2022×（）2022×＝﹣（×）2022×＝﹣．故选：B．2．（2分）（2022春•锦州期末）计算的结果为（）A．﹣2 B．2 C．﹣ D．解：＝＝＝＝﹣1×＝．故选：D．3．（2分）（2022春•泗阳县期末）已知27a×9b＝81，且a≥2b，则8a+4b的最小值为（）A．9 B．10 C．11 D．12解：∵27a×9b＝81，∴（33）a•（32）b＝34，∴33a•32b＝34，∴33a+2b＝34，∴3a+2b＝4．∴2b＝4﹣3a，∵a≥2b，∴a≥4﹣3a，解得：a≥1．∴8a+4b＝2a+2（3a+2b）＝8+2a，∴8a+4b的最小值为：8+2＝10，故选：B．4．（2分）（2022春•高新区校级期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：h（m+n）＝h（m）•h（n）；比如h（2）＝3，则h（4）＝h（2+2）＝3×3＝9，若h（2）＝k（k≠0），那么h（2n）•h（2020）的结果是（）A．2k+2021 B．2k+2022 C．kn+1010 D．2022k解：∵h（2）＝k（k≠0），h（m+n）＝h（m）•h（n），∴h（2n）•h（2020）＝h•h＝•＝kn•k1010＝kn+1010，故选：C．5．（2分）（2022春•西湖区校级期中）下列计算正确的是（）A．a3÷a2＝a B．a3•a2＝a6 C．a3+a2＝a5 D．（﹣a3）2＝a5解：A、原式＝a，符合题意；B、原式＝a5，不符合题意；C、原式不能合并同类项，不符合题意；D、原式＝a6，不符合题意，故选：A．6．（2分）（2019春•芮城县期末）“已知：am＝2，an＝3，求am+n的值”，解决这个问题需要逆用幂的运算性质中的哪一个？（）A．同底数幂的乘法 B．积的乘方 C．幂的乘方 D．同底数幂的除法解：am+n＝am•an，∴解决这个问题需要逆用同底数幂的乘法．故选：A．7．（2分）（2022春•南海区校级月考）若一个正方体的棱长为2×10﹣2米，则这个正方体的体积为（）A．6×10﹣6立方米 B．8×10﹣6立方米 C．2×10﹣6立方米 D．8×106立方米解：正方体的体积＝（2×10﹣2）3，＝8×（10﹣2）3，＝8×10﹣6，故选：B．8．（2分）（2021春•东明县期中）已知xa＝2，xb＝3，则x3a+b的值是（）A．17 B．72 C．24 D．36解：x3a+b＝x3a•xb＝（xa）3•xb＝23×3＝8×3＝24．故选：C．9．（2分）（2021春•盐城期末）计算22021×（）1010的值为（）A．22021 B． C．2 D．（）2021解：＝2＝＝＝＝11010×2＝1×2＝2．故选：C．10．（2分）（2021春•济阳区期末）如果a＝（﹣99）0，b＝（﹣0.1）﹣1，c＝，那么a、b、c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a解：a＝（﹣99）0＝1，b＝（﹣0.1）﹣1＝﹣10，c＝（﹣）﹣2＝9，所以c＞a＞b．故选：B．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022春•相城区校级期中）已知am＝2，an＝3（m，n为正整数），则a3m+n＝24．解：原式＝a3m•an＝（am）3•an＝23×3＝8×3＝24．故答案为：24．12．（2分）（2022春•西湖区校级期中）下列说法中：①若am＝3，an＝7，则am+n＝10；②两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行；③若（t﹣2）2t＝1，则t＝3或t＝0；④平移不改变图形的形状和大小；⑤经过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中正确的说法有④．（请填入序号）解：①am＝3，an＝7，则am+n＝am×an＝21；故此选项错误；②两条直线被第三条直线所截，如果两直线位置不平行，那么一组内错角的角平分线也不平行；故此选项错误；③若（t﹣2）2t＝1，则t＝3或t＝0或t＝1；故此选项错误；④平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小；故此选项正确；⑤在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故此选项错误；故答案为：④．13．（2分）（2022春•嘉兴期末）已知x＝2m+1，y＝3+2m+1，若用含x的代数式表示y，则y＝2x+1．解：∵x＝2m+1，∴2m＝x﹣1．∵2m+1＝2•2m，∴2m+1＝2（x﹣1）．∴y＝3+2m+1＝3+2（x﹣1）＝2x+1．故答案为：2x+1．14．（2分）（2022春•姜堰区月考）如果（a﹣1）a+4＝1成立，那么满足它的所有整数a的值是﹣4、2或0．解：如果（α﹣1）α+4＝1成立，则α+4＝0且a﹣1≠0或α﹣1＝1，即α＝﹣4或α＝2，当α＝0时，（﹣1）4＝1，故答案为：﹣4、2或0．15．（2分）（2021秋•赞皇县期末）如果xn＝y，那么我们规定（x，y）＝n．例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2．根据上述规定，（2，8）＝3，若（m，16）＝p，（m，5）＝q，（m，t）＝r，且满足p+q＝r，则t＝80．解：∵23＝8，∴（2，8）＝3．∵（m，16）＝p，（m，5）＝q，（m，t）＝r，∴mp＝16，mq＝5，mr＝t．∴mp•mq＝mp+q＝80．∵p+q＝r，∴mp+q＝mr．∴mr＝80＝t．∴t＝80．故答案为：3，80．16．（2分）（2022春•亭湖区校级期末）H9N2型禽流感病毒的病毒粒子的直径在0.00008毫米～0.00012毫米之间，数据0.00012用科学记数法可以表示为1.2×10﹣4．解：数据0.00012用科学记数法可以表示为1.2×10﹣4．故答案为：1.2×10﹣4．17．（2分）（2022•永城市模拟）计算：（﹣）﹣1＝﹣3．解：原式＝﹣3，故答案为：﹣3．18．（2分）（2022春•高新区期中）计算：22018•（﹣）2019＝﹣．解：原式＝22018•（﹣）2018•（﹣）＝[2×]2018＝（﹣1）2018＝﹣．故答案为﹣．19．（2分）（2016春•胶州市月考）有一个棱长10cm的正方体，在某种物质的作用下，棱长以每秒扩大为原来的102倍的速度膨胀，则3秒后该正方体的体积是1021立方厘米．解：由题意可得，3秒后该正方体的棱长为：10×102×102×102＝107（cm），故3秒后该正方体的体积是：（107）3＝1021（cm3），故答案为：1021．20．（2分）（2017春•碑林区校级期中）已知6x＝192，32y＝192，则（﹣2017）（x﹣1）（y﹣1）﹣2＝﹣．解：∵6x＝192，32y＝192，∴6x＝192＝32×6，32y＝192＝32×6，∴6x﹣1＝32，32y﹣1＝6，∴（6x﹣1）y﹣1＝6，∴（x﹣1）（y﹣1）＝1，∴（﹣2017）（x﹣1）（y﹣1）﹣2＝（﹣2017）﹣1＝﹣三．解答题（共9小题，满分60分）21．（6分）（2022春•高新区月考）（1）已知a＝2﹣4444，b＝3﹣3333，c＝5﹣2222，请用“＜”把它们按从小到大的顺序连接起来，说明理由．（2）请探索使得等式（2x+3）x+2021＝1成立的x的值．解：（1）∵a＝2﹣4444＝（）1111，b＝3﹣3333＝（）1111，c＝5﹣2222＝（）1111，又∵，∴（）1111＞（）1111＞（）1111，∴a＞c＞b；（2）∵（2x+3）x+2021＝1，∴2x+3＝1或2x+3＝﹣1且x+2021为偶数或2x+3≠0且x+2021＝0，解得：x＝﹣1或x＝﹣2021．22．（6分）（2022春•定远县校级期末）对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：x＝logaN，比如指数式24＝16可转化为4＝log216，对数式2＝log525互转化为52＝25．我们根据对数的定义可得对数的一个性质：loga（M•N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）解决以下问题：（1）将指数43＝64转化为对数式3＝log464；（2）试说明（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；（3）拓展运用：计算log32+log36﹣log34＝1．解：（1）指数43＝64转化为对数式3＝log464，故答案为：3＝log464；（2）设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，∴＝am÷an＝am﹣n，∴m﹣n＝∴＝logaM﹣logaN；（3）log32+log36﹣log34＝log32×6÷4＝log33＝1．故答案为：1．23．（6分）（2022春•涟源市校级期末）计算：．解：．＝+1﹣＝﹣8+1﹣＝﹣8+1﹣（﹣4）×12021＝﹣8+1﹣（﹣4）×1＝﹣8+1+4＝﹣3．24．（6分）（2022春•沛县校级月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（5，125）＝3，（﹣3，1）＝0，（﹣2，﹣）＝﹣5．（2）令（4，6）＝a，（4，7）＝b，（4，42）＝c，试说明下列等式成立的理由：（4，6）+（4，7）＝（4，42）解：（1）∵如果ac＝b，那么（a，b）＝c，53＝125，（﹣3）0＝1，（﹣2）﹣5＝，∴（5，125）＝3，（﹣3，1）＝0，（﹣2，﹣）＝﹣5．故答案为：3，0，﹣5．（2）由题意得：4a＝6，4b＝7，4c＝42．∵42＝6×7，∴4c＝4a×4b＝4a+b，∴a+b＝c．∴（4，6）+（4，7）＝（4，42）．25．（6分）（2022春•亭湖区校级月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：①（4，16）＝2，（﹣3，81）＝4；②若（x，）＝﹣4，则x＝±2．（2）小明在研究这种运算时发现一个特征：（3n，4n）＝（3，4），小明给出了如下的证明：设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，所以3x＝4，即（3，4）＝x，所以（3n，4n）＝（3，4）．试解决下列问题：．①计算（9，100）﹣（81，10000）②若（16，49）＝a，（4，3）＝b，（16，441）＝c，请探索a，b，c之间的数量关系．解：（1）①∵42＝16，∴（4，16）＝2，∵（﹣3）4＝81，∴（﹣3，81）＝4，故答案为：2，4；②由题意得：，∴，∴x＝±2，故答案为：±2；（2）①（9，100）﹣（81，10000）＝（32，102）﹣（34，104）＝（3，10）﹣（3，10）＝0；②∵（16，49）＝a，（16，441）＝c，∴（4，7）＝a，（4，21）＝c，∴4a＝7，4c＝21，4b＝3，∵4c＝3×7＝4a×4b，∴c＝a+b．26．（8分）（2022春•秦淮区校级期中）规定两数a，b之间的一种运算记作a※b，如果ac＝b，那么a※b＝c．例如：因为32＝9，所以3※9＝2．（1）根据上述规定，填空：2※16＝4，±※36＝﹣2；（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：3n※4n＝3※4，小明给出了如下的证明；设3n※4n＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，所以3x＝4，即3※4＝x，所以3n※4n＝3※4．请你尝试运用这种方法解决下列问题：①证明：5※7+5※9＝5※63；②猜想：（x﹣2）n※（y+1）n+（x﹣2）n※（y﹣3）n＝（x﹣2）※[（y+1）（y﹣3）]（结果化成最简形式）．解：（1）∵2c＝16＝24，∴2※16＝4，∵a※36＝﹣2，∴a﹣2＝36，∴a﹣2＝（±6）2＝，∴a＝±．（2）①∵设5※7＝x，5※9＝y，∴5x＝7，5y＝9，∴5x×5y＝7×9＝63，∴5x+y＝63，∴5※63＝x+y，即5※7+5※9＝5※63；②∵3n※4n＝3※4，∴（x﹣2）n※（y+1）n+（x﹣2）n※（y﹣3）n＝（x﹣2）※（y+1）+（x﹣2）※（y﹣3）＝（x﹣2）※[（y+1）（y﹣3）]．故答案为：（1）4，±；（2）①证明见解析；②（x﹣2），[（y+1）（y﹣3）]．；（2）①证明见解析；②（x﹣2），[（y+1）（y﹣3）]．27．（6分）（2022春•郏县期末）阅读下列材料：若a3＝2，b5＝3，则a，b的大小关系是a＞b（填“＜”或“＞”）．解：因为a15＝（a3）5＝25＝32，b15＝（b5）3＝33＝27，32＞27，所以a15＞b15，所以a＞b．解答下列问题：（1）上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质CA．同底数幂的乘法B．同底数幂的除法C．幂的乘方D．积的乘方（2）已知x7＝2，y9＝3，试比较x与y的大小．解：∵a15＝（a3）5＝25＝32，b15＝（b5）3＝33＝27，32＞27，所以a15＞b15，所以a＞b，故答案为：＞；（1）上述求解过程中，逆用了幂的乘方，故选C；（2）∵x63＝（x7）9＝29＝512，y63＝（y9）7＝37＝2187，2187＞512，∴x63＜y63，∴x＜y．28．（8分）（2021春•黔西南州期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（3，27）＝3，（5，1）＝0，（2，）＝﹣2．（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n