专题06 最短距离问题（勾股定理的应用） 带解析

2022-2023学年湘教版八年级数学下册精选压轴题培优卷专题06最短路径问题（勾股定理的应用）姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、选择题(每题2分，共22分)1．(本题2分)（2022秋·陕西西安·八年级校考期中）如图，有一个圆柱形仓库，它的高为，地面直径为，在该仓库下地面A处有一只蚂蚁，它想吃相对一侧外面中点B处的食物，蚂蚁爬行的速度是，那么蚂蚁吃到食物至少需要爬行（取3）（

）A． B． C． D．【答案】A【思路点拨】将圆柱体展开，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路径，利用路程除以速度求出时间，即可得解．【规范解答】解：由题意，得：蚂蚁爬行的最短路径为线段的长，如图所示：设圆柱底面直径为，高为，则：，，∵，∴，∵蚂蚁爬行的速度是，∴蚂蚁吃到食物至少需要爬行；故选：A．【考点评析】本题考查勾股定理的应用．根据题意，利用勾股定理求出最短路径，是解题的关键．2．(本题2分)（2022秋·广东茂名·八年级茂名市第一中学校考期中）固定在地面上的一个正方体木块（如图①），其棱长为，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）去掉一角，得到如图②所示的几何体木块，一只蚂蚁沿着该木块的表面从点A爬行到点B的最短路程为（

）A． B． C． D．【答案】A【思路点拨】根据两点之间线段最短，将图②展开，利用勾股定理进行求解即可．【规范解答】解：如图，正方体上表面的对角线为，将图②展开，连接交于点，线段的长度即为蚂蚁爬行的最短路程，由题意可知：为等边三角形，为等腰直角三角形，∵，∴，∴，∴，∵正方体的棱长为，∴，，在中，，在中，，∴；故选A.【考点评析】本题考查勾股定理的应用．解题的关键，是将立体图像展开，根据两点之间线段最短，确定最短路径．3．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）如图，一长方体木块长，宽，高，一直蚂蚁从木块点A处，沿木块表面爬行到点位置最短路径的长度为（

）A． B． C． D．【答案】B【思路点拨】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．注意不同的展法，答案不同，需要分别分析．【规范解答】解：如图将长方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段即为最短路线．①如图1，∵，，，∴在中，，，∴；②如图2，∵，，，∴，∴，∴．②如图3，∵，，，∴，，∴．∵，∴蚂蚁所行路程的最小值为．故选：B．【考点评析】此题考查了最短路径问题．解决本题的关键是熟练掌握用勾股定理的应用，要注意数形结合思想的应用．4．(本题2分)（2021秋·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（

）A． B．25 C． D．35【答案】B【思路点拨】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．【规范解答】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1，∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴，，在直角三角形中，根据勾股定理得：；只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2，∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴，在直角三角形中，根据勾股定理得：∴；只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3，∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴，在直角三角形中，根据勾股定理得：∴；∵，∴蚂蚁爬行的最短距离是25，故选：B．【考点评析】本题主要考查两点之间线段最短，关键是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．5．(本题2分)（2022秋·全国·八年级期末）如图是一个长方体盒子，其长、宽、高分别为4，2，9，用一根细线绕侧面绑在点A，B处，不计线头，细线的最短长度为（

）A．12 B．15 C．18 D．21【答案】B【思路点拨】把长方体沿边剪开，再根据勾股定理计算即可．【规范解答】如图所示，连接，则即为所求的最短长度，，在中，故选：B．【考点评析】本题主要考查了勾股定理的应用，把长方体沿边剪开得到矩形是解题的关键．6．(本题2分)（2022·全国·八年级专题练习）如图，一只蚂蚁从长、宽都是2cm，高是4cm的长方体纸盒的A点沿纸盒面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（）A．cm B．cm C．cm D．8cm【答案】B【思路点拨】将长方体纸盒按照不同方式展开，分别根据勾股定理求出不同展开图中AB的长，再找到其中最短者即为蚂蚁所行的最短路程．【规范解答】解：将长方体纸盒按照两种不同方式展开，①如图所示：，根据勾股定理；②如图所示：，根据勾股定理，∵所以最短路径为故选：B．【考点评析】本题考查了平面展开-最短路径问题，解题的关键是将长方体展开，构造直角三角形，然后利用勾股定理解答．7．(本题2分)（2022·全国·八年级专题练习）如图，圆柱底面半径为，高为18cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且点B在点A的正上方，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（）A．21cm B．24cm C．30cm D．32cm【答案】C【思路点拨】要求圆柱体中两点之间的最短路径，常用“化曲面为平面”的思想，将圆柱体的侧面展开，利用勾股定理计算斜边长度．【规范解答】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的最短路线是；即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分为3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的最短路线：；圆柱体地面半径为cm，cm圆柱体的高cm，cm在中，．故选：C．【考点评析】本题主要考查勾股定理在计算最短路径中的应用，要求学生具有一定空间想象能力，利用化曲面为平面的思想，准确画出侧面展开图并结合勾股定理进行计算是本题的解题关键．8．(本题2分)（2022秋·河南三门峡·八年级校考阶段练习）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为（

）（杯壁厚度不计）．A．14 B．18 C．20 D．25【答案】C【思路点拨】如图（见解析），将杯子侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得．【规范解答】解：如图，将杯子侧面展开，作关于的对称点，连接，作，交延长线于点，则，由两点之间线段最短可知，当点、、在同一条直线上时，取得最小值，最小值为的长度，由题意可知，，，则，即蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为，故选：C．【考点评析】本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．9．(本题2分)（2022春·河北廊坊·八年级统考阶段练习）如图，圆柱的底面周长为16cm，AC是底面圆的直径，点P是BC上的一点，且，．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱体的表面爬行到点P最短路程是（

）A．17 B．16 C．15 D．13【答案】A【思路点拨】先画出圆柱的侧面展开图，再根据勾股定理求解即可．【规范解答】如图所示，∵圆柱的底面周长为16cm，∴AC=8cm，∵BC=20cm，，∴PC=15cm，在中，∴．故选：A．【考点评析】本题考查的是平面展开--最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图是解答此题的关键．10．(本题2分)（2022秋·八年级单元测试）如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线的距离分别为，，且，要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为（

）A． B． C． D．【答案】B【思路点拨】根据题意画出图形，再利用轴对称求最短路径的方法得出P点位置，进而结合勾股定理得出即可．【规范解答】解：如图所示：作A点关于直线MN的对称点，再连接，交直线MN于点P，则此时最小，过点B作交延长线于点E，∵AC=2km，BD=4km，CD=8km，∴（km），=4km，∴km，km，在中，（km），则的最小值为：10km．故选：B．【考点评析】本题主要考查了应用与设计作图，两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题．11．(本题2分)（2022秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，有一个圆柱，它的高等于9cm，底面上圆的周长等于24cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是（

）A．15cm B．17cm C．18cm D．20cm【答案】A【思路点拨】如图把圆柱体展开，连接AB，然后可知AC=12cm，BC=9cm，进而可由两点之间，线段最短可知AB即为所求．【规范解答】解：如图所示：∵圆柱的高等于9cm，底面上圆的周长等于24cm，∴AC=12cm，BC=9cm，∴，∴蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是15cm．故选：A．【考点评析】本题主要考查利用勾股定理求最短路径，熟练掌握勾股定理是解题的关键．评卷人得分二、填空题(每题2分，共18分)12．(本题2分)（2023秋·陕西西安·八年级校考期末）如图，圆柱底面半径为，高为，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B在同一条竖直直线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为___________cm．【答案】15【思路点拨】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答．【规范解答】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：；即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短；∵圆柱底面半径为∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长：；又∵圆柱高为，∴小长方形的一条边长是；根据勾股定理求得；∴；故答案为：15．【考点评析】本题主要考查了平面展开--路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．13．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）如图，有一圆柱体，它的高为，底面直径为．在圆柱的下底面处有一个蜘蛛，它想吃到上底面上与点相对的点处的苍蝇，需要爬行的最短路径是______（结果用带根号和的式子表示）【答案】【思路点拨】根据题意，将圆柱体侧面展开，如图所示，利用勾股定理求出对角线长即可得到答案．【规范解答】解：如图所示：根据题意，蜘蛛想吃到上底面上与点相对的点处的苍蝇，需要爬行的最短路径是长，在中，，，，则（），故答案为：．【考点评析】本题考查圆柱侧面展开图及勾股定理求线段长，读懂题意，找准圆柱侧面展开图是解决问题的关键．14．(本题2分)（2023春·全国·八年级专题练习）如图是某滑雪场U型池的示意图，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为3的半圆，其边缘，点在上，．一名滑雪爱好者从点滑到点时，他滑行的最短路程约为______（取3）．【答案】15【思路点拨】要使滑行的距离最短，则沿着的线段滑行，先将半圆展开为长方形，展开后，A、D、E三点构成直角三角形，为斜边，和为直角边，求出和的长，再根据勾股定理求出的长度即可．【规范解答】解：将半圆面展开可得，如图所示：∵滑行部分的斜面是半径为3的半圆∴，∵，，∴，在中，．故答案为：15．【考点评析】本题考查了勾股定理的应用和两点之间线段最短，解题关键是把U型池的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，再利用勾股定理求解．15．(本题2分)（2022秋·辽宁阜新·八年级校考期中）如图，有一个圆柱，底面圆周长为，高，为的中点，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱的侧面爬到点的最短距离为______．【答案】##厘米【思路点拨】把圆柱的侧面展开，连接，利用勾股定理即可得出的长，即蚂蚁从点爬到点的最短距离；【规范解答】解：如图，把圆柱的侧面展开，连接；∵圆柱底面周长为、高，为的中点∴，在中，（）∴蚂蚁从点出发沿着圆柱的侧面爬到点的最短距离为；故答案为：【考点评析】本题考查了勾股定理的实际应用；根据题意画出圆柱的侧面展开图，然后利用勾股定理求解是解题的关键．16．(本题2分)（2022秋·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，在中，，，点E的边上，，点P是线段AC上一动点，点F是线段上一动点，___________．当的值最小时，___________【答案】

10

##【思路点拨】根据勾股定理即可求出；作点E关于的对称点，过点作于点F，交于点P，通过证明得出，，进而得出，根据勾股定理列出方程求解即可．【规范解答】解：在中，由勾股定理可得：，作点E关于的对称点，过点作于点F，交于点P．∵，，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴，在和中，，∴，∴，设，则，在中，由勾股定理可得：，即，解得：．故答案为：10，．【考点评析】本题主要考查了勾股定理，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，根据题意做出辅助线构建全等三角形，根据勾股定理列出方程求解．17．(本题2分)（2022秋·重庆·八年级重庆一中校考阶段练习）如图，在桌面上的长方体中，长为8米，宽为6米，高为4米，点在棱上，且．一只蚂蚁从点出发沿长方体的表面爬到点，则它爬行的最短路程为______米．【答案】【思路点拨】先求解，再分三种情况讨论：如图，把长方体沿前面与上面展开，过作于，如图，把长方体沿左边面与上面展开，如图，把长方体沿左边面与后面展开，过作于，再利用勾股定理求解即可．【规范解答】解：∵长方体中，长为8米，，∴，如图，把长方体沿前面与上面展开，过作于，则，∴，如图，把长方体沿左边面与上面展开，则，∴，如图，把长方体沿左边面与后面展开，过作于，则，∴，而，∴一只蚂蚁从点出发沿长方体的表面爬到点，则它爬行的最短路程为米，故答案为：．【考点评析】本题考查的是勾股定理的应用，立体图形的表面展开图的认识，掌握“利用勾股定理构建直角三角形”是解本题的关键．18．(本题2分)（2022秋·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，长方体盒子的长、宽、高分别是12cm，8cm，30cm．在AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫沿外表面从D处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是_____cm；此长方体盒子能放入木棒的最大长度是_____cm．【答案】

25

【思路点拨】（1）要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体的侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．（2）利用长方体的性质，连接AG，BG利用勾股定理解答即可．【规范解答】解：（1）将长方体沿AB剪开，使AB与D在同一平面内，得到如图所示的长方形，连接CD，∵长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别是12cm，8cm，30cm，即，∴，故答案为：25；（2）连接AP，BP，在中，，由勾股定理得，，在中，，，由勾股定理得，．故答案为：．【考点评析】本题考查了平面展开—最短路径问题，关键是画出图形知道求出哪一条线段的长，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，切记要进行分类讨论．19．(本题2分)（2023·全国·八年级专题练习）在一个长米，宽为4米的长方形草地上，如图推放着一根三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，木块的主视图的高是米的等腰直角三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是___________．【答案】【思路点拨】根据几何体的展开图，利用两点之间线段最短计算．【规范解答】解：因为木块的主视图的高是米的等腰直角三角形，所以等腰直角三角形的腰为2，斜边长为，将木块展开如下，所以，所以，故答案为：．【考点评析】本题考查了几何体的展开图中计算最短距离，熟练掌握几何展开图是解题的关键．20．(本题2分)（2022秋·重庆江北·八年级校考期末）如图，在中，，，，是的平分线，若M、N分别是和上的动点，则的最小值是______．【答案】【思路点拨】如图，作N关于的对称点E，连接，在中，勾股定理解出，根据三角形两边之和大于第三边得到：，最后利用等积法求解即可【规范解答】如图，作N关于的对称点E，连接在中，，，，是的平分线，与关于轴对称，当时最小，由即解得故答案为：．【考点评析】本题考查轴对称——最短问题，解直角三角形等知识；解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，再利用等面积法结算线段长度是解题的关键．评卷人得分三、解答题(共60分)21．(本题6分)（2023春·八年级课时练习）如图，A，B两个村庄在河CD的同侧，两村庄的距离为a千米，，它们到河CD的距离分别是1千米和3千米．为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河CD边上修建一水厂向A，B两村输送水．(1)在图上作出向A，B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M．（只需作图，不需要证明）(2)经预算，修建水厂需20万元，铺设水管的所有费用平均每千米为3万元，其他费用需5万元，求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元．【答案】(1)见解析；(2)50万元.【思路点拨】（1）作点A关于直线的对称点，连接，交于M点，即M为所求；（2）连接交于H点，过点B作，根据勾股定理求出，即可得出答案．【规范解答】（1）解：如图，作点A关于直线的对称点，连接，交于M点，即M为所求.（2）解：如图，连接交于H点，过点B作，由题意可知：，，，∴，∴在中，，∴在中，，由对称性质可知：，水管长，完成这项工程乡政府投入的资金至少为（万元）【考点评析】本题考查了轴对称最短路线问题，勾股定理，题目比较典型，是一道比较好的题目，考查了学生的动手操作能力和计算能力．22．(本题6分)（2023春·全国·八年级专题练习）如图，一个长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B与点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的侧面从点A爬到点B那么需要爬行的最短距离是多少？【答案】25cm【思路点拨】画出长方体的侧面展开图，根据勾股定理求出的长即可．【规范解答】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图：长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5，，，在直角三角形中，根据勾股定理得：；只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5，，，在直角三角形中，根据勾股定理得：；只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5，，在直角三角形中，根据勾股定理得：；，蚂蚁爬行的最短距离是25．【考点评析】本题考查的是平面展开最短路径问题，根据题意画出长方体的侧面展开图，根据勾股定理求解是解答此题的关键．23．(本题8分)（2023春·八年级单元测试）如图，，两个工厂位于一段直线形河的异侧，厂距离河边，B厂距离河边，经测量，现准备在河边某处(河宽不计)修一个污水处理厂．(1)设，请用的代数式表示的长；(2)为了使两厂的排污管道最短，污水厂的位置应怎样来确定此时需要管道多长？(3)通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你猜想的最小值为多少？【答案】(1)(2)连接与的交点就是污水处理厂的位置，此时最少需要管道(3)的最小值为【思路点拨】（1）在和中，根据勾股定理可得，的长，进而即可求解；（2）连接与的交点就是污水处理厂的位置，过点作⊥于，在△中，勾股定理即可求解；（3）当、、共线时，求出的值即为原式的最小值，在△中，勾股定理即可求解．【规范解答】（1）解：在和中，根据勾股定理可得，，∴，（2）根据两点之间线段最短可知，连接与的交点就是污水处理厂的位置．过点作⊥于，则有，．．在△中，，此时最少需要管道．（3）根据以上推理，可作出下图，设，，，，当、、共线时，求出的值即为原式的最小值．在△中，，，由勾股定理可得：，的最小值为．【考点评析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．24．(本题8分)（2022秋·陕西汉中·八年级统考期末）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．【知识运用】(1)如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为米．(2)在（1）的背景下，若千米，千米，千米，现要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图中作出P点的位置并求出的距离．(3)【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，则代数式（其中）最小值为．【答案】(1)；(2)P点的位置见解析，的距离为16千米；(3)15．【思路点拨】（1）连接，作于点E，根据，得到，，由平行线间的距离处处相等可得千米，千米，求出，然后利用勾股定理求得CD两地之间的距离；（2）连接，作的垂直平分线交于P，根据线段垂直平分线的性质可得，点P即为所求；设千米，则千米，分别在和中，利用勾股定理表示出和，然后根据建立方程，解方程即可；（3）如图3，，，，，，设，则，然后根据轴对称求最短路线的方法求解即可．【规范解答】（1）解：如图1，连接，作于点E，∵，，∴，，∴千米，千米，∴千米，∴（千米），即两个村庄的距离为千米，故答案为：；（2）解：如图2，连接，作的垂直平分线交于P，点P即为所求，设千米，则千米，在中，，在中，，∵，∴，解得，即的距离为16千米；（3）解：如图3，，，，，，设，则，作点C关于的对称点F，连接，过点F作于E，则是的最小值，即代数式的最小值，∵，，，∴代数式最小值为：，故答案为：15．【考点评析】此题考查了勾股定理的应用，线段垂直平分线的性质，轴对称—最短路线问题等知识，（3）中构造出是解本题的难点．25．(本题8分)（2022秋·河南新乡·八年级新乡市第一中学校考期末）如图，在长方体中，点E是棱B'C'的中点，已知．一只小虫从A点出发沿长方体的表面到E点处觅食，求小虫爬行的最短距离．【答案】小虫爬行的最短距离为【思路点拨】将长方体沿进行展开，将长方体沿进行展开，将长方体沿进行展开，分别计算出三种情况下的长度即可得到答案．【规范解答】解：如图1所示，将长方体沿进行展开，∴；如图2所示，将长方体沿进行展开，∴；如图3所示，将长方体沿进行展开，∴；∵，∴小虫爬行的最短距离为．【考点评析】本题主要考查了长方体表面上的最短距离问题，勾股定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．26．(本题8分)（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝2，DE＝1，BD＝4，设CD＝x．(1)用含x的代数式表示AC＋CE的值；(2)探究：当点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小？最小值是多少？(3)根据（2）中的结论，请构造图形求代数式的最小值．【答案】(1)(2)5(3)13【思路点拨】（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；（2）若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和＞第三边知，AC+CE＞AE，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；（3）由（1）（2）的结果可作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，则AE的长即为代数式的最小值，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值．（1）解：∵AB⊥BD，ED⊥BD在中，∴AC＝＝，CE＝＝，∴AC+CE＝；（2）当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小，过A作AF⊥DE交ED的延长线于F，∴DF＝AB＝2，∴AE＝＝5，∴AC+CE的最小值是5；（3）如图2所示，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，连接AE交BD于点C，设BC＝x，则AE的长即为代数式的最小值．过点A作AFBD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，则AB＝DF＝2，AF＝BD＝12，EF＝ED+DF＝3+2＝5，所以AE＝＝＝13，即的的最小值为13．【考点评析】本题考查了最短路线问题，综合利用了勾股定理，及用数形结合的方法求代数式的值的方法，利用两点之间线段最短是解决问题的关键．27．(本题8分)（2022秋·江苏·八年级期末）将沿AD折叠，使点C刚好落在AB边上的点E处．展开如图1．【操作观察】（1）图1中，，．①则_______；②若，则_______；【理解应用】（2）如图2，若，试说明：；【拓展延伸】（3）如图3，若，点G为AC的中点，且．点P是AD上的一个动点，连接PG、PC．求的最小值．【答案】（1）①2；②12；（2）见解析