专题05 完全平方公式 带解析

2022-2023学年苏科版七年级数学下册精选压轴题培优卷专题05完全平方公式一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022春•北碚区校级期中）设a＝x﹣2020，b＝x﹣2022，c＝x﹣2021，若a2+b2＝56，则c2＝（）A．27 B．24 C．22 D．20解：∵a＝x﹣2020，b＝x﹣2022，c＝x﹣2021，∴a＝c+1，b＝c﹣1，∵a2+b2＝56，∴（c+1）2+（c﹣1）2＝56，∴c2＝27．故选：A．2．（2分）（2022春•碑林区校级期末）如图，正方形ABCD的边长为x，其中AI＝5，JC＝3，两个阴影部分都是正方形且面积和为60，则重叠部分FJDI的面积为（）A．28 B．29 C．30 D．31解：设ID＝y，DJ＝z，∵两个阴影部分都是正方形，∴DN＝ID＝x，DM＝DJ＝y，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝CD，∵AD＝AI+ID，CD＝CJ+DJ，∴AI+ID＝CJ+DJ，∵AI＝5，CJ＝3，∴5+y＝3+z，∴y＝z﹣2，：∵阴影部分面积和为60，∴y2+z2＝60，方法1：将y＝z﹣2代入y2+z2＝60中，得：（z﹣2）2+z2＝60，解得：z＝1+或z＝1﹣（舍），∴y＝z﹣2＝﹣1，∴ID＝﹣1，DJ＝1+，∴S长方形FJDI＝ID•DJ＝（﹣1）×（1+）＝28；方法2：∵z﹣y＝2，所以（z﹣y）2＝4，∴y2+z2﹣2yz＝4，∴60﹣2yz＝4，yz＝28，∴S长方形FJDI＝ID•DJ＝28．故选：A．3．（2分）（2022春•碑林区校级期中）如图，有两个正方形A，B，现将B放置在A的内部得到图甲，将A、B并列放置，以正方形A与正方形B的边长之和为新的边长构造正方形得到图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和8，则正方形A、B的面积之和为（）A．8 B．9 C．10 D．12解：设大小正方形边长分别为a、b，S阴1＝（a﹣b）2＝1，即a2+b2﹣2ab＝1，S阴2＝（a+b）2﹣a2﹣b2＝8，得：ab＝4．∴a2+b2﹣2×4＝1，∴a2+b2＝9．故选：B．4．（2分）（2022春•碑林区校级期中）已知（a+b）2＝29，（a﹣b）2＝13，则ab的值为（）A．42 B．16 C．8 D．4解：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，∴29﹣13＝4ab，∴ab＝4．故选：D．5．（2分）（2021秋•温岭市期末）如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2＝40，已知BG＝8，则图中阴影部分面积为（）A．6 B．8 C．10 D．12解：设BC＝a，CG＝b，则S1＝a2，S2＝b2，a+b＝BG＝8．∴a2+b2＝40．∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝64，∴2ab＝64﹣40＝24，∴ab＝12，∴阴影部分的面积等于ab＝×12＝6．故选：A．6．（2分）（2021秋•金乡县期末）如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为20，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分）则图3阴影部分面积（）A．22 B．24 C．42 D．44解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图1可知，阴影部分面积a2﹣b2＝2，图2可知，阴影部分面积（a+b）2﹣a2﹣b2＝20，所以ab＝10，由图3可知，阴影部分面积（2a+b）2﹣3a2﹣2b2＝a2﹣b2+4ab＝2+40＝42．故选：C．7．（2分）（2021秋•临沂期末）如图所示，将四张全等的长方形硬纸片围成一个正方形，根据图形阴影部分面积的关系，可以直观地得到一个关于a、b的恒等式为（）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab D．a2+ab＝a（a+b）解：方法一阴影部分的面积为：（a﹣b）2，方法二阴影部分的面积为：（a+b）2﹣4ab，所以根据图形阴影部分面积的关系，可以直观地得到一个关于a、b的恒等式为（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．故选：C．8．（2分）（2021春•迁安市期末）对于等式（a+b）2＝a2+b2，甲、乙、丙三人有不同看法，则下列说法正确的是（）甲：无论a和b取何值，等式均不能成立．乙：只有当a＝0时，等式才能成立．丙：当a＝0或b＝0时，等式成立．A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．只有丙正确 D．三人说法均不正确解：∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴当（a+b）2＝a2+b2，则a2+2ab+b2＝a2+b2．∴2ab＝0．∴a＝0或b＝0．故选：C．9．（2分）（2021春•庐阳区期末）如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果a﹣b＝2，ab＝26，那么阴影部分的面积是（）A．30 B．34 C．40 D．44解：如图，∵a﹣b＝2，ab＝26，∴a2﹣2ab+b2＝4，∴a2+b2＝4+2ab＝4+52＝56，阴影部分的面积＝S△ABC+S△CDM+S△AEF+S△GHM＝2×（a﹣b）×a+2×b×b＝a（a﹣b）+b2＝a2+b2﹣ab＝56﹣26＝30．故选：A．10．（2分）（2021春•拱墅区期中）用若干个形状，大小完全相同的长方形纸片围成正方形，4个长方形纸片围成如图1所示的正方形，其阴影部分的面积为81；8个长方形纸片围成如图2所示的正方形，其阴影部分的面积为64；12个长方形纸片围成如图3所示的正方形，其阴影部分的面积为（）A．22 B．24 C．32 D．49解：设长方形的长为a，宽为b，由图1得，（a+b）2﹣4ab＝81，即：a﹣b＝9，由图2得，（a+2b）2﹣8ab＝64，即：a﹣2b＝8，解得：a＝10，b＝1，由图3得，（a+3b）2﹣12ab＝（a﹣3b）2＝49，即阴影部分的面积为49，故选：D．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022秋•和平区校级期末）（1）已知x+y＝7，xy＝5，则x2+y2的值为39．（2）已知（x+y）2＝49，x2+y2＝27，则（x﹣y）2的值为5．（3）已知x满足（x﹣2022）2+（2024﹣x）2＝12，则（x﹣2023）2的值为5．解：（1）∵x+y＝7，xy＝5，∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝72﹣2×5＝49﹣10＝39；故答案为：39；（2）∵（x+y）2＝49，x2+y2＝27，∴x2+2xy+y2＝49，即27+2xy＝49，∴xy＝11，∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝27﹣2×11＝27﹣22＝5；故答案为：5；（3）设x﹣2023＝a，∵x满足（x﹣2022）2+（2024﹣x）2＝12，∴（a+1）2+（a﹣1）2＝12，化简整理得：a2＝5，∴（x﹣2023）2的值为5．故答案为：5．12．（2分）（2022春•榆次区期中）如图，两个正方形的边长分别为a，b（a＞b），若a+b＝10，ab＝6，则阴影部分的面积为41．解：S阴影＝S大正方形+S小正方形﹣S△ABD﹣S△BEF＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）＝a2+b2﹣ab＝（a2+b2+2ab）﹣ab＝（a+b）2﹣ab∵a+b＝10，ab＝6；∴原式＝×102﹣×6＝×100﹣9＝41故答案为：41．13．（2分）（2022春•鄞州区期中）如果多项式x2﹣2（m+1）xy+16y2是个完全平方式，则m＝3或﹣5．解：∵（x±4y）2＝x2±8xy+16y2，∴﹣2m﹣2＝±8，∴m＝﹣5或3，故答案为：﹣5或3．14．（2分）（2022春•会宁县期末）若a2+b2＝2，a+b＝3，则ab的值为．解：把a+b＝3两边平方得：（a+b）2＝9，即a2+b2+2ab＝9，将a2+b2＝2代入得：2+2ab＝9，解得：ab＝，故答案为：15．（2分）（2022春•宁阳县期末）请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：根据前面各式的规律，则（a+b）6的第三项的系数为15．解：由题意可得：（a+b）6＝a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6，则（a+b）6的第三项的系数为：15．故答案为：15．16．（2分）（2022春•成都期末）如图，在一块边长为a的正方形纸片的四角各剪去一个边长为b的正方形，若a＝3.6，b＝0.8，则剩余部分的面积为10.4．解：由题意可得：剩余部分的面积为：a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b），将a＝3.6，b＝0.8代入上式可得：原式＝（3.6+2×0.8）（3.6﹣2×0.8）＝10.4．故答案为：10.4．17．（2分）（2022春•武侯区校级期中）如果a2+（k﹣1）ab+9b2是一个完全平方式，那么k＝7或﹣5．解：a2+（k﹣1）ab+9b2是一个完全平方式，∴①a2+（k﹣1）ab+9b2＝（a﹣3b）2+（k﹣1﹣6）ab，∴k﹣1﹣6＝0，即k＝7；②a2+（k﹣1）ab+9b2＝（a﹣3b）2+（k﹣1+6）ab，∴k﹣1+6＝0，即k＝﹣5．故答案为：7或﹣5．18．（2分）（2021春•全椒县期中）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图1，将A，B并排放置后构造新的正方形如图2，若图1和图2中阴影部分的面积分别为和，则正方形A，B的面积之和为3.5．解：设A的边长为x，B的边长为y，由甲、乙阴影面积分别是和，可列方程组：，将②化简得2xy＝③，由①得x2+y2﹣2xy＝，将③代入可知x2+y2＝3.5．故答案为：3.5．19．（2分）（2021春•南浔区期末）建党100周年主题活动中，702班浔浔设计了如图1的“红色徽章”其设计原理是：如图2，在边长为a的正方形EFGH四周分别放置四个边长为b的小正方形，构造了一个大正方形ABCD，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标．现将阴影部分图形面积记作S1，每一个边长为b的小正方形面积记作S2，若S1＝6S2，则的值是．解：∵S1＝（a+2b）2﹣b2﹣a（a+2b）﹣b2﹣（a+b）2＝2ab+b2，S2＝b2，S1＝6S2，∴2ab+b2＝6b2，∴．故答案为：．20．（2分）（2021秋•思明区校级期末）如图，两个正方形边长分别为a，b，如果a+b＝10，ab＝18，则阴影部分的面积为23．解：S阴影＝a2﹣（a﹣b）b＝a2﹣ab+b2＝（a2﹣ab+b2）＝[（a+b）2﹣3ab]，又∵a+b＝10，ab＝18，∴S阴影＝[（a+b）2﹣3ab]＝[（10）2﹣3×18]＝23，故答案为23．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•渝北区校级期末）若a+b＝6，ab＝4，求a2+4ab+b2的值．解：∵a+b＝6，ab＝4，∴（a+b）2＝36，∴a2+2ab+b2＝36，∴a2+2×4+b2＝36，∴a2+b2＝28，∴a2+4ab+b2＝28+4×4＝28+16＝44．22．（6分）（2022春•淮北月考）探究规律并解决问题．（1）比较a2+b2与2ab的大小（用“＞”“＜”或“＝”填空）：①当a＝3，b＝3时，a2+b2＝2ab；②当a＝2，b＝时，a2+b2＞2ab；③当a＝﹣2，b＝3时，a2+b2＞2ab．（2）通过上面的填空，猜想a2+b2与2ab的大小关系，并说明理由．解：（1）①把a＝3，b＝3代入，a2+b2＝9+9＝18，2ab＝2×3×3＝18，所以a2+b2＝2ab；②把a＝2，b＝代入，a2+b2＝4+＝，2ab＝2×2×＝2，所以a2+b2＞2ab；③把a＝﹣2，b＝3代入，a2+b2＝4+9＝13，2ab＝2×（﹣2）×3＝﹣12，所以a2+b2＞2ab；故答案为：＝，＞，＞：（2）由（1）可得，a2+b2≥2ab，理由如下：∵（a﹣b）2≥0，即a2﹣2ab+b2≥0，∴a2+b2≥2ab．23．（8分）（2022春•庐江县月考）乘法公式的探究及应用．数学活动课上，老师准备了若干个如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成了如图2所示的大正方形．（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积（用含a，b的式子表示）：方法1：（a+b）2；方法2：a2+2ab+b2．（2）观察图2，请你写出代数式（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系式（a+b）2＝a2+b2+2ab．（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知a+b＝6，a2+b2＝26，求ab的值；②已知（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝48，求（x﹣2022）2的值．解：（1）方法1：大正方形的边长为（a+b），∴S＝（a+b）2；方法2：大正方形＝各个部分相加之和，∴S＝a2+2ab+b2．故答案为：（a+b）2，a2+2ab+b2．（2）由图2可得总面积减掉两个小矩形面积等于两个正方形面积之和，即（a+b）2﹣2ab＝a2+b2；故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab；（3）①∵a+b＝6，∴（a+b）2＝36，∵a2+b2＝26，∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝36﹣26＝10，∴ab＝5．②令a＝x﹣2022，∴x﹣2021＝[x﹣（2022﹣1）]＝x﹣2022+1＝a+1，x﹣2023＝[x﹣（2022+1）]＝x﹣2022﹣1＝a﹣1，∵（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝48，∴（a+1）2+（a﹣1）2＝48，解得a2＝23．∴（x﹣2022）2＝23．24．（8分）（2022春•工业园区校级期中）如图①是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图②）．（1）根据上述过程，写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；（2）利用（1）中的结论，若x+y＝4，，则（x﹣y）2的值是7；（3）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式，如图③，请你写出这个等式：（3a+b）（a+b）＝3a2+4ab+b2；（4）两个正方形ABCD，AEFG如图④摆放，边长分别为x，y．若x2+y2＝34，BE＝2，求图中阴影部分面积和．解：（1）方法一：中间部分是边长为a﹣b的正方形，因此面积为（a﹣b）2，方法二：中间部分的面积可以看作从边长为a+b的正方形面积减去4个长为a，宽为b的长方形面积，即（a+b）2﹣4ab；∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；（2）∵x+y＝4，xy＝，（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝16﹣4×＝7，故答案为：7；（3）分别以大矩形的面积和几个小矩形的面积为等量可得：（3a+b）（a+b）＝3a2+4ab+b2，故答案为：（3a+b）（a+b）＝3a2+4ab+b2；（4）∵x2+y2＝34，BE＝2，∴x﹣y＝2①，∴x2﹣2xy+y2＝4，∴34﹣2xy＝4，∴xy＝15，∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝34+30＝64，且x+y＞0，∴x+y＝8②，①+②得：x＝5，∴y＝3，图中阴影部分面积和＝S△DFC+S△BEF＝•x（x﹣y）+•y（x﹣y）＝x2﹣xy+xy﹣y2＝（x2﹣y2）＝×（25﹣9）＝8．25．（8分）（2022春•皇姑区校级期中）图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于m﹣n；（2）观察图2写出三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；（3）若mn＝﹣3，m﹣n＝5，则：①（m+n）2的值为13；②m2+n2的值为19；③m4+n4的值为343．解：（1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于m﹣n；故答案为：m﹣n；（2）根据题意，方法1：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去4个长方形面积，即（m+n）2﹣4mn；方法2，阴影部分小正方形的边长为m﹣n，则面积为（m﹣n）2；∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；故答案为：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；（3）由（2）知：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn，∵mn＝﹣3，m﹣n＝5，①（m+n）2＝52+4×（﹣3）＝25﹣12＝13；故答案为：13；②m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝13﹣2×（﹣3）＝13+6＝19；故答案为：19；③m4+n4＝（m2+n2）2﹣2m2n2＝192﹣2×（﹣3）2＝361﹣18＝343；故答案为：343．26．（8分）（2022春•上虞区期末）图1是一个长为2b，宽为2a的长方形，沿虚线平均分成四块，然后按图2拼成一个正方形．解答下列问题．（1）图2中阴影部分的面积可表示为（b﹣a）2；对于（b﹣a）2，（b+a）2，ab，这三者间的等量关系为（b﹣a）2＝（b+a）2﹣4ab．（2）利用（1）中所得到的结论计算：若x+y＝﹣3，xy＝﹣，则x﹣y＝±4．（3）观察图3，从图中你能得到怎样的一个代数恒等式？再根据你所得到的这个代数恒等式探究：若m2+4mn+3n2＝0（n≠0），试求的值．解：（1）阴影部分是边长为b﹣a的正方形，因此面积为（b﹣a）2，根据拼图以及面积之间的关系可得，（b﹣a）2，（b+a）2，ab，这三者间的等量关系为（b﹣a）2＝（b+a）2﹣4ab，故答案为：（b﹣a）2；（b﹣a）2＝（b+a）2﹣4ab；（2）由（1）可得，（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝9+7＝16，∴x﹣y＝±4，故答案为：±4；（3）整个长方形是长为a+3b，宽为a+b，因此面积为（a+3b）（a+b），整个长方形的面积也可看作8个部分的面积和，即a2+4ab+3b2，因此有（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2；∵m2+4mn+3n2＝0（n≠0），即（m+n）（m+3n）＝0，∴m+n＝0或m+3n＝0，∴＝﹣1或＝﹣3．27．（8分）（2022春•新都区期末）【阅读材料】众所周知，图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能表现一些代数中的数量关系，运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．在某次数学活动课上，王老师准备了若干张如图1所示的甲，乙两种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，现用甲种纸片一张，乙种纸片一张，将甲种纸片放置在乙种纸片内部右下角，如图所示．【理解应用】（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式；【拓展升华】（2）利用（1）中的等式解决下列问题．①已知（a﹣b）2＝4，b2＝9，且a＞b，求a2的值；②已知（4044x﹣2）•2022x＝2021，求（1﹣2022x）2+20222x2的值．解：（1）图2中大正方形