专题06 平面直角坐标系 带解析

2022-2023学年华师大版八年级数学下册精选压轴题培优卷专题06平面直角坐标系试卷满分：100分考试时间：120分钟姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、选择题(每题2分，共20分)1．(本题2分)（2023秋·福建厦门·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，已知点，其中，点B在y轴上运动．若是以为腰的等腰三角形，则的度数是（）A．或 B．或或C．或 D．或或【答案】D【思路点拨】根据等腰三角形的性质分类计算即可．【规范解答】∵，∴是第一象限的角平分线，当时，则；当时，则；当时，，则；故选D．【考点评析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．2．(本题2分)（2023秋·云南昆明·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，与x轴的夹角为，点P是x轴上动点，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．6个【答案】A【思路点拨】由题意得：，从而利用等边三角形的判定可得是等边三角形，然后分三种情况：当时，当时，当时，即可解答．【规范解答】解：如图：由题意得：，∵是等腰三角形，∴是等边三角形，分三种情况：当时，以点O为圆心，以长为半径作圆，交x轴于点，；当时，以点A为圆心，以长为半径作圆，交x轴于点；当时，作的垂直平分线，交x轴于点；综上所述：以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有2个，故选：A．【考点评析】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形的性质，分三种情况讨论是解题的关键．3．(本题2分)（2023秋·陕西西安·八年级陕西师大附中校考期末）如图，，，点，，则点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】A【思路点拨】过C和B分别作于D，于E，利用已知条件可证明，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标．【规范解答】解：过C和B分别作于D，于E，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵点C的坐标为，点A的坐标为，∴，，，∴∴则B点的坐标是．故选：A．【考点评析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是作垂线构造全等三角形．4．(本题2分)（2021春·江苏淮安·八年级校考期中）如图，已知正方形对角线的交点M的坐标为．规定“把正方形先沿轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2021次变换后，正方形的对角线交点M的坐标变为（

）A． B． C． D．【答案】A【思路点拨】根据题意求得第1次、2次、3次变换后的对角线交点M的对应点的坐标，即可得规律：第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为，当n为偶数时为，继而求得把正方形连续经过2021次这样的变换得到正方形的对角线交点M的坐标．【规范解答】解：∵对角线交点M的坐标为，根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为，即，第2次变换后的点M的对应点的坐标为：，即，第3次变换后的点M的对应点的坐标为，即，第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为，当n为偶数时为，∴连续经过2021次变换后，正方形的对角线交点M的坐标变为．故选：A．【考点评析】此题考查了点的坐标变化，对称与平移的性质，得到规律：第n次变换后的对角线交点M的对应点的坐标为：当n为奇数时为，当n为偶数时为是解此题的关键．5．(本题2分)（2020秋·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，…，观察每次变换前后的三角形的变化规律，找出规律，推测的坐标分别是（

）A． B． C． D．【答案】D【思路点拨】根据图中各点的坐标的变化，依次写出，．再根据点的坐标变化的特点写出的坐标即可．【规范解答】解：，；，；故选：D．【考点评析】此题考查了坐标与图形的变化，正确写出前几个点的坐标、找出坐标变化的规律是解答此题的关键．6．(本题2分)（2022秋·甘肃兰州·八年级校考期末）在平面直角坐标系中，将若干个整点按图中方向排列，即，……，按此规律排列下去第24个点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】C【思路点拨】先由题意写出前几个点的坐标，观察发现并归纳：横坐标与纵坐标相等且为偶数的点的坐标特点，从而可得答案．【规范解答】解：∵……∴观察发现：每三个点为一组，每组第一个点坐标为：，，∴第24个点在第八组的第三个，∵第八组的第一个点坐标为：，∴第24个点的坐标为：，故选：C．【考点评析】本题考查的是点坐标规律的探究，解题的关键是仔细观察坐标变化规律，掌握从具体到一般的探究方法．7．(本题2分)（2022秋·河南郑州·八年级校考期中）如图，、、、，点P在x轴上，直线将四边形面积分成两部分，求的长度（

）．A． B． C． D．或【答案】B【思路点拨】用分割法求出四边形的面积，分类讨论求出的面积，再求出的值，进而可得的值．【规范解答】解：作轴于点P，∵、、、，∴，∴，，，，∴，∴，①当即时，即，解得：，∴；②当即时，即，解得：，∴；综上可知．故选：B．【考点评析】本题考查了坐标与图形的性质，三角形的面积，根据坐标与图形的性质，用分割法求出不规则图形的面积，分类讨论是解本题的关键．8．(本题2分)（2022秋·山东滨州·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，，，点A的坐标为，点C的坐标为，则点B的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【思路点拨】作，作，证明，根据相等的线段推出坐标．【规范解答】如图，作，作，∵点A的坐标为，点C的坐标为，∴，∵，∴，∵在和中，∴，∴，∴点B的横坐标，纵坐标为：∴B点的坐标为故选A．【考点评析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．9．(本题2分)（2021秋·河南驻马店·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……，若点，．则点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】C【思路点拨】首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，…，由图象可知点在x轴上，，根据这个规律可以求得的坐标．【规范解答】解：由图象可知点在x轴上，，，，，，．故选C．【考点评析】本题考查坐标与图形的变化-旋转、勾股定理等知识，解题的关键是从特殊到一般探究规律，发现规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．10．(本题2分)（2022秋·河南郑州·八年级统考期中）如图，一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点（1，0），第二分钟，它从点（1，0）运动到点（1，1），而后它接着按图中箭头所示在与x轴，y轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在第2022分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（

）A．（44，4） B．（44，3） C．（44，2） D．（44，1）【答案】C【思路点拨】根据题意依次写出第一象限内从运动过的点坐标及其对应的运动时间，分析后发现，点，对应运动的时间为分钟．当为奇数时，运动方向向左；当为偶数时，运动方向向下．利用该规律，将2022写成，可以看做点向下运动42个单位长度，进而求出结果．【规范解答】解：由题意及图形分析可得，当点时，运动了2分钟，，方向向左，当点时，运动了6分钟，，方向向下，当点时，运动了12分钟，，方向向左，当点时，运动了20分钟，，方向向下，……点，运动了分钟，当为奇数时，方向向左；当为偶数时，方向向下．，方向向下，则当运动在第2022分钟时，可以看做点再向下运动42分钟，，即到达．故选：C．【考点评析】本题考查点的坐标的规律变化的分析推理能力．合理寻找特殊点与序号变化间的关系是解题的关键．评卷人得分二、填空题(每题2分，共20分)11．(本题2分)（2023秋·江苏南通·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，，，点在第四象限．若为等腰直角三角形，且，则点的坐标为___________．【答案】【思路点拨】按照题意，作出等腰直角三角形，然后通过条件证得，设，然后利用勾股定理列出方程求解．【规范解答】解：如图所示，为等腰直角三角形，，，作轴，垂足为点，轴，垂足为点，轴，轴，，，，在和中，,，，设，则，，由勾股定理得，，，，则，解得，点在第四象限，点的坐标为：，故答案为：．【考点评析】本题考查了等腰直角三角形，勾股定理，全等三角形的性质与判定，采用数形结合列方程是解题关键，12．(本题2分)（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是，点P在y轴上，且坐标为，点P关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，点关于点x轴的对称点为，点关于直线的对称点为，点关于y轴的对称点为，点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为…，按此规律进行下去，则点的坐标是_______．【答案】【思路点拨】本题是对点的变化规律的考查，作出图形，观察出每6次对称为一个循环是解题的关键，也是本题的难点．根据对称依次作出对称点，便不难发现，点与点P重合，也就是每6次对称为一个循环，用2022除以6，根据商和余数的情况确定点的位置，然后写出坐标即可．【规范解答】解：根据题意画图，如图所示，点与点P重合，，点是第337循环组的第6个点，与点重合，点的坐标为．故答案为：．【考点评析】本题主要考查了点的坐标规律探索，解题的关键在于能够准确找到相关规律进行求解．13．(本题2分)（2023秋·山东济南·八年级统考期末）如图所示，，，以点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，则点的横坐标是______．【答案】##【思路点拨】求出，根据勾股定理求出的长，即可得出的长，再求出的长即可．【规范解答】解：∵，，，∴，，在中，由勾股定理得，∴，∴，∵点位于轴负半轴，∴点的横坐标是．故答案为：．【考点评析】本题主要考查了勾股定理和坐标与图形性质的应用，解此题的关键是求出的长．14．(本题2分)（2023秋·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，直线轴于点A，，B，C分别为线段OA和射线AE上的一点，若点B从点A出发向点O运动，同时点C从点A出发沿射线AE方向运动，二者速度之比为，运动到某时刻同时停止，点D在y轴正半轴上，若使与全等，则D点的坐标为______．【答案】或【思路点拨】设，则，使与全等，分两种情况，或，根据，即可求解．【规范解答】解：依题意，∵，∴,∵，使与全等，分两种情况，当时，∴，∴即，解得：，∴当时，∴，∴即，解得：，∴，综上所述，或．故答案为：或．【考点评析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的性质，分类讨论是解题的关键．15．(本题2分)（2022春·广东河源·八年级校考期末）如图，正方形的各边分别平行于轴或者轴，蚂蚁甲和蚂蚁乙都由点出发，同时沿正方形的边做环绕运动，蚂蚁甲按顺时针方向以个单位长度/秒的速度做匀速运动，蚂蚁乙按逆时针方向以个单位长度/秒的速度做匀速运动，则两只蚂蚁出发后第三次相遇点的坐标是____．【答案】【思路点拨】根据两只蚂蚁运动速度和正方形周长，得到两只蚂蚁的相遇时间间隔，进而得到两只蚂蚁相遇的位置规律．【规范解答】解：由已知，正方形周长为，∵甲、乙速度分别为3单位/秒，1单位/秒，则两只蚂蚁每次相遇时间间隔为秒，则两只蚂蚁相遇点依次为，故答案为：【考点评析】本题为平面直角坐标系内的动点坐标规律探究题，解答关键是找到两只蚂蚁相遇的位置的变化规律．16．(本题2分)（2022秋·广东茂名·八年级茂名市第一中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点A分别作轴于点B，轴于点C，点D在射线上．将沿直线翻折，使点A恰好落在坐标轴上，则点D的坐标为____________．【答案】或或【思路点拨】分当翻折之后的A落在的正半轴上和落在y轴上以及落在x轴负半轴时，三种情况讨论，利用勾股定理列出方程，然后解方程求出m即可得到点D的坐标；【规范解答】解：①如图，设翻折之后的A落点点E，作．设，由题意可得，，，∵与关于直线对称，∴，，在Rt中，，∴．在Rt中，，∴，即，解得，∴点D的坐标是．②如图2：翻折之后A点落在y轴上时，即图中点E，，这时，，可求出D点坐标为；③如图3，当翻折之后A点落在x轴负半轴时，，在Rt中，，则，Rt中，设，利用勾股定理得到，解得D点坐标为故：D的坐标为或或．【考点评析】本题考查了作图以及利用折叠的性质和勾股定理解直角三角形，掌握相关性质是解答此题的关键．17．(本题2分)（2023秋·福建厦门·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点和，其中．点C在x轴上且在点B右侧，．点D为第四象限内一点，若，，则_______．（用含a，b的代数式表示）【答案】##【思路点拨】根据题意得出，过点A作的角平分线，利用各角之间的等量代换及等腰三角形的判定得出为等腰三角形，确定，过点A作，交x轴于点F，根据等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质得出，，即可求解．【规范解答】解：∵和，，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，过点A作的角平分线，∴，∵，，∴，∴，∴为等腰三角形，∴，过点A作，交x轴于点F，∴平分，，∴，∴，∴，即，∵，，∴∴，故答案为：．【考点评析】题目主要考查坐标与图形，勾股定理解三角形，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．18．(本题2分)（2022秋·浙江宁波·八年级统考期末）如图，为等腰直角三角形，，，点在延长线上，，过点作的垂线交延长线于点．若，连结，，则的最小值为_____．【答案】【思路点拨】根据题意可得为等腰直角三角形，设，所以，，然后利用勾股定理可得，，设，所以，，根据两点间的距离可以建立平面直角坐标系，设，，，，作点关于轴的对称点，连接，可得，所以的最小值为的值，然后利用勾股定理即可解决问题．【规范解答】解：为等腰直角三角形，，，，过点作的垂线交延长线于点，为等腰直角三角形，，设，，，，，在中，，，设，，，如图建立如下平面直角坐标系，设，，，，，，作点关于轴的对称点，连接，，的最小值为的值，，，．的最小值为．故答案为：．【考点评析】本题属于几何变换综合题，难度很大，是中考填空题的压轴题，考查了轴对称最短路线问题，等腰直角三角形，坐标与图形性质，勾股定理，两点之间的距离，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．19．(本题2分)（2022秋·河北邯郸·八年级校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，根据这个规律探索可得，第个点的坐标为______，第个点的坐标为______．【答案】

【思路点拨】从图中可以看出横坐标为的有一个点，横坐标为的有个点，横坐标为的有个点，依此类推横坐标为的有个点．题目要求写出第个点和第个点的坐标，我们可以通过加法计算算出第个点和第个点分别位于第几列第几行，然后对应得出坐标规律，将行列数代入规律式．【规范解答】解：在横坐标上，第一列有一个点，第二列有个点第列有个点，并且奇数列点数对称而偶数列点数轴上方比下方多一个，，第个点在第列自下而上第行，所以奇数列的坐标为：；偶数列的坐标为：．由加法推算可得到第个点位于第列自下而上第行．代入上式得第个点的坐标为，第个点的坐标为．故答案为：．【考点评析】本题是对点的变化规律的考查，观察得到横坐标相等的点的个数与横坐标相同是解题的关键，还要注意横坐标为奇数和偶数时的排列顺序不同．20．(本题2分)（2023秋·广东汕头·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标（0，3），点B坐标（4，0），AB＝5，∠OAB的平分线交x轴于点C，点P、Q分别为线段AC、线段AO上的动点，则OP＋PQ的最小值为___．【答案】##2.4【思路点拨】在AB上取一点G，使AG＝AQ，连接PG，过点O作OH⊥AB与H，证明△APQ≌△APG（SAS），即有PQ＝PG，则OP+PQ＝OP+PG，可知点O到直线AB上垂线段最短，即OP+PG最小值为OH的长度，根据三角形的面积，即可求解．【规范解答】解：在AB上取一点G，使AG＝AQ，连接PG，过点O作OH⊥AB与H，∵∠CAO＝∠BAC，AP＝AP，∴△APQ≌△APG（SAS），∴PQ＝PG，∴OP+PQ＝OP+PG，∵点O到直线AB上垂线段最短，∴OP+PG最小值为OH的长度，∵A(0,3)，B(4,0)，AB=5，∴OA=3，OB=4，∵，∴，∴OP+PQ的最小值为，故答案为：．【考点评析】本题考查了全等三角形的判定，垂线段最短等知识．构造合理的辅助线是解答本题的关键．评卷人得分三、解答题(共60分)21．(本题6分)（2023秋·山东淄博·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，现将平移，使得点A移至图中的点的位置．(1)平移后所得的顶点的坐标为______，的坐标为______；______；(2)平移过程中扫过的面积为______．【答案】(1)，，(2)8【思路点拨】（1）画出图形，观察即可得到点的坐标，再由勾股定理求解AB的长即可；（2）过平行四边形四个顶点作x轴、y轴平行线，得到一个矩形，用矩形面积减去4个直角三角形面积即可得答案．【规范解答】（1）解：如图，为平移后的三角形，则

故答案为：（2）如图，则平移过程中扫过的面积为：故答案为：8【考点评析】本题考查直角坐标系中的平移，坐标与图形，勾股定理的应用，平行四边形的面积，解题的关键是画出图形，数形结合解决问题．22．(本题6分)（2023秋·安徽池州·八年级统考期末）如图，等腰的顶点A始终在直线上，底边的一个端点O与坐标原点重合，另一个端点B在x轴的正半轴上，底边．将等腰的底边扩大一倍，得到等腰，叫做等腰的第一次倍增变换；将等腰的底边扩大一倍，得到等腰，叫做等腰的第二次倍增变换；以此类推，……(1)顶点的坐标是___________；顶点的坐标是___________；(2)等腰的第n次倍增变换后得到的等腰的顶点的坐标是___________（用含n的式子表示）；(3)等腰的第2023次倍增变换后得到的等腰的顶点的坐标是___________．【答案】(1)；(2)(3)【规范解答】（1）解：如图所示，过点，作于点，连接，∵，∴，∵将等腰的底边扩大一倍，得到等腰，∴，则,连接，则，又等腰的顶点A始终在直线上，∴同理可得，则,故答案为：；．（2）解：由（1）可知，等腰的第n次倍增变换后得到的等腰的顶点的横坐标是，纵坐标为，即的坐标是故答案为：；（3）解：等腰的第2023次倍增变换后得到的等腰的顶点的坐标是，故答案为：．【考点评析】本题考查了等腰三角形的性质，坐标与图形，点的坐标规律，找到规律是解题的关键．23．(本题8分)（2022秋·江西萍乡·八年级统考期中）已知在直角坐标系的位置如图所示：(1)则A点坐标为，B点坐标为，C点坐标为．(2)在平面直角坐标系中画出，使它与关于y轴对称．【答案】(1)，，(2)见解析【思路点拨】(1)根据坐标系中点的位置，直接写出坐标即可．(2)写出格点的对称点，依次连接构成三角形即可．【规范解答】（1）根据题意，得，，，故答案为：，，．（2）∵，，，且与关于y轴对称，∴，，，画图如下：故即为所求．【考点评析】本题考查了坐标的确定，关于y轴的对称图形的画法，熟练掌握对称坐标的特点是解题的关键．24．(本题8分)（2022秋·浙江宁波·八年级校联考期末）在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点分别是，，．(1)在所给的网格图中，画出这个平面直角坐标系；(2)点经过平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形．画出平移后的三角形；求三角形的面积．【答案】(1)见解析(2)见解析，9.5【思路点拨】（1）利用点的坐标确定轴的位置，从而得到直角坐标系；（2）利用点的坐标特征确定平移的方向与距离，再根据此平移规律写出的坐标，然后描点即可；用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积即可得到答案．【规范解答】（1）解：画出图如图所示：

（2）解：点经过平移后对应点为，点，点向左平移了2个单位长度，向上平移了3个单位长度，点的坐标为，点的坐标为，画出图如图所示：根据图形可得：．【考点评析】本题考查直角坐标系的建立、平移变换、利用网格计算三角形的面积，确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．25．(本题8分)（2023秋·浙江金华·八年级统考期末）已知在直角坐标系中，点，，，由线段绕原点O顺时针转动某个角度得到线段，线段顺时针转动得到线段，连接，作直线交于点R．(1)如图1，当点P在第一象限①若时，求点P坐标；②求证：；③求证：；(2)在线段绕原点转动的过程中，当为等腰三角形时，求点P坐标．【答案】(1)①；②见解析；③见解析(2)或或或．【思路点拨】（1）①作轴于点N，证明是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求解；②先求得，利用证明即可；③由可得，推出，再由四边形内角和定理即可证明；（2）分四种情况讨论，点P与点C重合、点P与点C关于x轴对称点重合时，画出图形即可求解；以及点P在第一象限时，点P在第二象限时，利用勾股定理以及三角形面积公式求解即可．【规范解答】（1）解：①作轴于点N，∵，∴是等腰直角三角形，且，∴，由勾股定理得，∴点P坐标为；②∵，∴，∵，，∴；③∵，∴，∵，∴，∵，∴；（2）解：由③知，，要使为等腰三角形，必定，∴，当点P与点C重合时，显然为等腰直角三角形，此时，；当点P与点C关于x轴对称点重合时，显然为等腰直角三角形，此时，；当点P在第一象限时，∵为等腰直角三角形，∴，∴，即，∴四边形是矩形，∵，∴矩形是正方形，由勾股定理得，作轴于点N，∵，∴，∴，由勾股定理得，点P坐标为；当点P在第二象限时，同理可证四边形是正方形，由勾股定理得，作轴于点N，同理求得，由勾股定理得，点P坐标为；综上，点P坐标为或或或．【考点评析】本题考查了坐标与图形，勾股定理以及三角形面积公式，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．26．(本题8分)（2022秋·福建福州·八年级统考期末）已知中，，，点A、B分别是x轴和y轴上的动点．(1)如图1，当点B在y轴负半轴，点A在x轴正半轴，若点C的横坐标为，请求出点B的坐标；(2)如图2，当点B在y轴负半轴，点A在x轴正半轴，交x轴于D，平分，若点C的纵坐标为3，，过C点作垂直于x轴，垂足为N，延长交的延长线于点M、请求出点D的坐标．【答案】(1)(2)【思路点拨】（1）如图1，作轴于，则，求出，，证，求出，即可得出结论；（2）利用全等三角形的性质得到和两点的坐标，然后求的解析式，与轴的交点就是点，得到点坐标.【规范解答】（1）如图1，作轴于，则，，，，，，在和中，∵，（），，；（2），，，，，，，（），，平分，，，，，（），，∵点的纵坐标为，，，，，，，故点的坐标为．【考点评析】本题是三角形的综合题，考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定，坐标与图形等知识点的应用，解题的关键是