高考数学(理)一轮复习教案：第十三篇 推理证明、算法、复数第2讲　直接证明与间接证明

第2讲直接证明与间接证明【20XX年高考会这样考】1．在历年的高考中，证明方法是常考内容，考查的主要方式是对它们原理的理解和用法．难度多为中档题，也有高档题．2．从考查形式上看，主要以不等式、立体几何、解析几何、函数与方程、数列等知识为载体，考查综合法、分析法、反证法等方法．【复习指导】在备考中，对本部分的内容，要抓住关键，即分析法、综合法、反证法，要搞清三种方法的特点，把握三种方法在解决问题中的一般步骤，熟悉三种方法适用于解决的问题的类型，同时也要加强训练，达到熟能生巧，有效运用它们的目的．基础梳理1．直接证明(1)综合法①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．②框图表示：eq\x(P⇒Q1)→eq\x(Q1⇒Q2)→eq\x(Q2⇒Q3)→…→eq\x(Qn⇒Q)(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证的结论)．(2)分析法①定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法．②框图表示：eq\x(Q⇐P1)→eq\x(P1⇐P2)→eq\x(P2⇐P3)→…→eq\x(得到一个明显成立的条件).2．间接证明一般地，由证明p⇒q转向证明：綈q⇒r⇒…⇒t.t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判定綈q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．一个关系综合法与分析法的关系分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件、基础知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方法交叉使用．两个防范(1)利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．(2)用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．双基自测1．(人教A版教材习题改编)p＝eq\r(ab)＋eq\r(cd)，q＝eq\r(ma＋nc)·eq\r(\f(b,m)＋\f(d,n))(m、n、a、b、c、d均为正数)，则p、q的大小为()．A．p≥qB．p≤qC．p＞qD．不确定解析q＝eq\r(ab＋\f(mad,n)＋\f(nbc,m)＋cd)≥eq\r(ab＋2\r(abcd)＋cd)＝eq\r(ab)＋eq\r(cd)＝p，当且仅当eq\f(mad,n)＝eq\f(abc,m)时取等号．答案B2．设a＝lg2＋lg5，b＝ex(x＜0)，则a与b大小关系为()．A．a＞b B．a＜bC．a＝b D．a≤b解析a＝lg2＋lg5＝1，b＝ex，当x＜0时，0＜b＜1.∴a＞b.答案A3．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为()．A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数解析∵a，b，c恰有一个偶数，即a，b，c中只有一个偶数，其反面是有两个或两个以上偶数或没有一个偶数即全都是奇数，故只有D正确．答案D4．(2012·广州调研)设a、b∈R，若a－|b|＞0，则下列不等式中正确的是()．A．b－a＞0B．a3＋b3＜0C．a2－b2＜0D．b＋解析∵a－|b|＞0，∴|b|＜a，∴a＞0，∴－a＜b＜a，∴b＋a＞0.答案D5．在用反证法证明数学命题时，如果原命题的否定事项不止一个时，必须将结论的否定情况逐一驳倒，才能肯定原命题的正确．例如：在△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内一点，∠APB＞∠APC，求证：∠BAP＜∠CAP，用反证法证明时应分：假设________和________两类．答案∠BAP＝∠CAP∠BAP＞∠CAP考向一综合法的应用【例1】►设a，b，c＞0，证明：eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥a＋b＋c.[审题视点]用综合法证明，可考虑运用基本不等式．证明∵a，b，c＞0，根据均值不等式，有eq\f(a2,b)＋b≥2a，eq\f(b2,c)＋c≥2b，eq\f(c2,a)＋a≥2c.三式相加：eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c)．当且仅当a＝b＝c时取等号．即eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥a＋b＋c.综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立．因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法．其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性．【训练1】设a，b为互不相等的正数，且a＋b＝1，证明：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＞4.证明eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))·(a＋b)＝2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2＋2＝4.又a与b不相等．故eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＞4.考向二分析法的应用【例2】►已知m＞0，a，b∈R，求证：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋mb,1＋m)))2≤eq\f(a2＋mb2,1＋m).[审题视点]先去分母，合并同类项，化成积式．证明∵m＞0，∴1＋m＞0.所以要证原不等式成立，只需证明(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)，即证m(a2－2ab＋b2)≥0，即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立，故原不等式得证．逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．【训练2】已知a，b，m都是正数，且a＜b.求证：eq\f(a＋m,b＋m)＞eq\f(a,b).证明要证明eq\f(a＋m,b＋m)＞eq\f(a,b)，由于a，b，m都是正数，只需证a(b＋m)＜b(a＋m)，只需证am＜bm，由于m＞0，所以，只需证a＜b.已知a＜b，所以原不等式成立．(说明：本题还可用作差比较法、综合法、反证法)考向三反证法的应用【例3】►已知函数f(x)＝ax＋eq\f(x－2,x＋1)(a＞1)．(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．(2)用反证法证明f(x)＝0没有负根．[审题视点]第(1)问用单调增函数的定义证明；第(2)问假设存在x0＜0后，应推导出x0的范围与x0＜0矛盾即可．证明(1)法一任取x1，x2∈(－1，＋∞)，不妨设x1＜x2，则x2－x1＞0，ax2－x1＞1，且ax1＞0.所以ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)＞0.又因为x1＋1＞0，x2＋1＞0，所以eq\f(x2－2,x2＋1)－eq\f(x1－2,x1＋1)＝eq\f(x2－2x1＋1－x1－2x2＋1,x2＋1x1＋1)＝eq\f(3x2－x1,x2＋1x1＋1)＞0，于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋eq\f(x2－2,x2＋1)－eq\f(x1－2,x1＋1)＞0，故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．法二f′(x)＝axlna＋eq\f(3,x＋12)＞0，∴f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．(2)假设存在x0＜0(x0≠－1)满足f(x0)＝0，则ax0＝－eq\f(x0－2,x0＋1)，又0＜ax0＜1，所以0＜－eq\f(x0－2,x0＋1)＜1，即eq\f(1,2)＜x0＜2，与x0＜0(x0≠－1)假设矛盾．故f(x0)＝0没有负根．当一个命题的结论是以“至多”，“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与事实矛盾等方面，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．【训练3】已知a，b为非零向量，且a，b不平行，求证：向量a＋b与a－b不平行．证明假设向量a＋b与a－b平行，即存在实数λ使a＋b＝λ(a－b)成立，则(1－λ)a＋(1＋λ)b＝0，∵a，b不平行，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－λ＝0，,1＋λ＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝1，,λ＝－1，))所以方程组无解，故假设不成立，故原命题成立．规范解答24——怎样用反证法证明问题【问题研究】反证法是主要的间接证明方法，其基本特点是反设结论，导出矛盾，当问题从正面证明无法入手时，就可以考虑使用反证法进行证明.在高考中，对反证法的考查往往是在试题中某个重要的步骤进行.【解决方案】首先反设，且反设必须恰当，然后再推理、得出矛盾，最后肯定.【示例】►(本题满分12分)(2011·安徽)设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0.(1)证明l1与l2相交；(2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上．第(1)问采用反证法，第(2)问解l1与l2的交点坐标，代入椭圆方程验证．[解答示范]证明(1)假设l1与l2不相交，则l1与l2平行或重合，有k1＝k2，(2分)代入k1k2＋2＝0，得keq\o\al(2,1)＋2＝0.(4分)这与k1为实数的事实相矛盾，从而k1≠k2，即l1与l2相交．(6分)(2)由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝k1x＋1，,y＝k2x－1，))解得交点P的坐标(x，y)为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,k2－k1)，,y＝\f(k2＋k1,k2－k1).))(9分)从而2x2＋y2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,k2－k1)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k2＋k1,k2－k1)))2＝eq\f(8＋k\o\al(2,2)＋k\o\al(2,1)＋2k1k2,k\o\al(2,2)＋k\o\al(2,1)－2k1k2)＝eq\f(k\o\al(2,1)＋k\o\al(2,2)＋4,k\o\al(2,1)＋k\o\al(2,2)＋4)＝1，此即表明交点P(x，y)在椭圆2x2＋y2＝1上．(12分)用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面；(2)必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，但是推导出的矛盾必须是明显的．【试一试】已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．[尝试解答](1)当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1又an＋Sn＝2，所以an＋1