2025年外研版高一数学下册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年外研版高一数学下册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、设x；y、z是空间不同的直线或平面；对下列四种情形：

①x；y、z均为直线；②x、y是直线；z是平面；③z是直线，x、y是平面；④x、y、z均为平面．其中使“x⊥z且y⊥z⇒x∥y”为真命题的是（）

A.③④

B.①③

C.②③

D.①②

2、已知函数是定义在区间上的偶函数，当时，是减函数，如果不等式成立，求实数的取值范围.（）A.B.C.D.（）3、已知集合则实数值为（）A.4B.3C.2D.14、在中，角的对边分别是若则等于：（）A.B.C.D.5、【题文】设是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）A.若则B.若则C.若则D.若则6、若则=（）A.B.C.D.7、已知f（x5）=lgx，则f（2）=（）A.lg2B.lg32C.D.评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)8、已知偶函数满足:任意的都有且时，则函数的所有零点之和为____.9、log369+log672=____．10、下列四个判断正确的个数是________.①②③④11、【题文】已知不等式对于恒成立，则实数的取值范围是___________.12、设一个正方体与底面边长为2侧棱长为的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为____13、已知f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是____14、比较大小：则从小到大的顺序为______．15、正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别为AB、A1C1的中点，则EF的长是______．评卷人得分三、证明题(共6题，共12分)16、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．17、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．18、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．19、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．20、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．21、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．评卷人得分四、解答题(共2题，共6分)22、【题文】（本题满分12分）；

某省两相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车，已知该车每次拖4节车厢，一日能来回16次，如果每次拖7节车厢，则每日能来回10次，每日来回的次数是车头每次拖挂车厢个数的一次函数，每节车厢能载乘客110人.问这列火车每天来回多少次,每次应拖挂多少车厢才能使运营人数最多?并求出每天最多运营人数.23、【题文】（本题满分12分）已知：如图边长为1的正方体

（1）求证:直线

（2）求直线与平面所成角的正切值。

（3）求三棱锥的体积。评卷人得分五、综合题(共3题，共12分)24、已知抛物线y=ax2-2ax+c-1的顶点在直线y=-上，与x轴相交于B（α，0）、C（β，0）两点，其中α＜β，且α2+β2=10．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）设这个抛物线与y轴的交点为P；H是线段BC上的一个动点，过H作HK∥PB，交PC于K，连接PH，记线段BH的长为t，△PHK的面积为S，试将S表示成t的函数；

（3）求S的最大值，以及S取最大值时过H、K两点的直线的解析式．25、数学课上；老师提出：

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点的坐标为（1，0），点B在x轴上，且在点A的右侧，AB=OA，过点A和B作x轴的垂线，分别交二次函数y=x2的图象于点C和D，直线OC交BD于点M，直线CD交y轴于点H，记点C、D的横坐标分别为xC、xD，点H的纵坐标为yH．

同学发现两个结论：

①S△CMD：S梯形ABMC=2：3②数值相等关系：xC•xD=-yH

（1）请你验证结论①和结论②成立；

（2）请你研究：如果上述框中的条件“A的坐标（1；0）”改为“A的坐标（t，0）（t＞0）”，其他条件不变，结论①是否仍成立（请说明理由）；

（3）进一步研究：如果上述框中的条件“A的坐标（1，0）”改为“A的坐标（t，0）（t＞0）”，又将条件“y=x2”改为“y=ax2（a＞0）”，其他条件不变，那么xC、xD与yH有怎样的数值关系？（写出结果并说明理由）26、如图，△ABC中，AB=5，BC=6，BD=BC；AD⊥BC于D，E为AB延长线上的一点，且EC交AD的延长线于F．

（1）设BE为x；DF为y，试用x的式子表示y．

（2）当∠ACE=90°时，求此时x的值．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、C【分析】

①当直线X；Y、Z位于正方体的三条共点棱时；不正确．

②因为垂直于同一平面的两直线平行；正确．

③因为垂直于同一直线的两平面平行；正确．

④如X；Y、Z位于正方体的三个共点侧面时；不正确．

答案为：②③．

故选C．

【解析】【答案】①举反例；如直线X；Y、Z位于正方体的三条共点棱时②用垂直于同一平面的两直线平行判断．③用垂直于同一直线的两平面平行判断．④举例，如X、Y、Z位于正方体的三个共点侧面时．

2、A【分析】【解析】试题分析：因为，函数是定义在区间上的偶函数，当时，是减函数，且不等式成立，所以，故解得，选A。考点：函数的奇偶性、单调性，简单不等式组的解法。【解析】【答案】A3、B【分析】因为集合故必有m+1=4,m=3,选B【解析】【答案】B4、D【分析】【解析】

因为利用内角和为选D【解析】【答案】D5、B【分析】【解析】因为选项A中只有一条直线同时垂直于两条相交直线时；能成立，故错误；

选项C中，一条直线平行与一个平面，则与平面内的直线位置关系有3种，选项D中，同时平行与同一平面的两直线有三种位置关系，故D错误，选B.【解析】【答案】B6、A【分析】【解答】选A.7、D【分析】【解答】解：令x5=2；

∴得x=

∵f（x5）=lgx；

∴f（2）=lg=．

故选D．

【分析】令x5=2，得x=从而即可求得f（2）的值．二、填空题(共8题，共16分)8、略

【分析】【解析】试题分析：根据题意可知函数偶函数满足:任意的都有说明周期为2，那么再结合在给定的区间那么可知其后者关于x=4对称，那么可知所有的零点关于x=4对称，共有8个交点，那么可知所求的零点和为32，故答案为32.考点：函数的零点【解析】【答案】329、略

【分析】

log369+log672

=

=log63+log672

=log6216

=3．

故答案为3．

【解析】【答案】首先把log369的底数和真数化为平方的形式；把指数拿到对数式前面约掉，然后再利用对数的和等于乘积的对数求解．

10、略

【分析】【解析】试题分析：是无理数，所以①错。0是整数，所以②错。③④对。考点：元素与集合的关系。【解析】【答案】211、略

【分析】【解析】

试题分析：由可得因为所以令则在上单调递减，于是当时，即

考点：函数的单调性.【解析】【答案】12、2【分析】【解答】解：已知正四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，SB=

过S作SE⊥底面ABCD；垂足为E，过E作EF⊥BC，交BC于F，连结SF；

则EF=BF=SF==SE==2；

∴VS﹣ABCD==8；

设该正方体的棱长为a；

∵一个正方体与底面边长为2侧棱长为的正四棱锥的体积相等；

∴a3=8；解得a=2．

故答案为：2．

【分析】由已知条件先求出正四棱锥的体积，再设该正方体的棱长为a，由正方体与正四棱锥的体积相等，能求出正方体的棱长．13、≤a＜【分析】【解答】解：∵当x≥1时，y=logax单调递减；

∴0＜a＜1；

而当x＜1时；f（x）=（3a﹣1）x+4a单调递减；

∴a＜

又函数在其定义域内单调递减；

故当x=1时，（3a﹣1）x+4a≥logax，得a≥

综上可知，≤a＜．

故答案为：≤a＜

【分析】由分段函数的性质，若f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，则分段函数在每一段上的图象都是下降的，且在分界点即x=1时，第一段函数的函数值应大于等于第二段函数的函数值．由此不难判断a的取值范围．14、略

【分析】解：∵=-＜0，＞0，∴a＜b．

∵a＞-1，c==-1；∴a＞c．

∴c＜a＜b．

故答案为c＜a＜b．

利用诱导公式和三角函数的单调性即可得出．

熟练掌握诱导公式和三角函数的单调性是解题的关键．【解析】c＜a＜b15、略

【分析】解：以E为坐标原点；以EC，EA和竖直向上的方向分别为X，Y，Z轴的正方向建立坐标系；

∵E是BC的中点；

则E（0，0，0），A（0，0），C（1，0，0）

A1（0，2），C1（1；0，2）

F是A1C1的中点，则F点的坐标为（2）

则|EF|==．

故答案为：．

由已知中正三棱柱ABC-A1B1C1（底面是正三角形的直棱柱为正三棱柱）的每条棱长均为2，E、F分别是BC、A1C1的中点；可以建立空间坐标系，求出E，F两点的坐标后，代入空间两点间的距离公式，即可得到答案．

本题考查的知识点是空间点、线、面的距离，其中建立坐标系，求出E，F两点的坐标，是解答本题的关键．【解析】三、证明题(共6题，共12分)16、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=17、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．18、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．19、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．20、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．21、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．四、解答题(共2题，共6分)22、略

【分析】【解析】本试题主要是考查了函数在实际生活中的运用。求解函数的最值以及函数的解析式的综合运用。

（1）合理的设出位置变量，设每日来回y次,每次挂x节车厢,由题意

然后运用待定系数法得到解析式。

由题意知,每日挂车厢最多时,营运人数最多,设每日营运S节车厢。

则运用二次函数的性质得到最值。

解：设每日来回y次,每次挂x节车厢,由题意

当x=4时y=16当x=7时y=10得下列方程组:

16=4k+b

10=7k+b解得:k=b=24

由题意知,每日挂车厢最多时,营运人数最多,设每日营运S节车厢。

则

所以当时,此时y=12

则每日最多运营人数为110×6×12=7920(人)【解析】【答案】当时,此时y=12，则每日最多运营人数为110×6×12=7920(人)23、略

【分析】【解析】

（1）证明：在正方体中有平面

所以所以直线平面

（2）因为平面所以直线与平面所成角为

在正方体中，

所以

（3）【解析】【答案】（1）略（2）（3）五、综合题(共3题，共12分)24、略

【分析】【分析】（1）把顶点A的坐标代入直线的解析式得出c=a+；根据根与系数的关系求出c=1-3a，得出方程组，求出方程组的解即可；

（2）求出P、B、C的坐标，BC=4，根据sin∠BCP==，和HK∥BP，得出=，求出PK=t；过H作HG⊥PC于G，根据三角形的面积公式即可求出答案；

（3）根据S=-（t-2）2+2求出S取最大值，作KK′⊥HC于K′，求出KK′和OK′，得到点K的坐标，设所求直线的解析式为y=kx+b，代入得到方程组求出即可．【解析】【解答】解：（1）由y=ax2-2ax+c-1=a（x-1）2+c-1-a得抛物线的顶点为

A（1；c-1-a）．

∵点A在直线y=-x+8上；

∴c-1-a=-×1+8；

即c=a+；①

又抛物线与x轴相交于B（α；0）；C（β，0）两点；

∴α、β是方程ax2-2ax+c-1=0的两个根．

∴α+β=2，αβ=；

又α2+β2=10，即（α+β）2-2αβ=10；

∴4-2×=10；

即c=1-3a②；

由①②解得：a=-；c=5；

∴y=-x2+x+4；

此时；抛物线与x轴确有两个交点；

答：这个抛物线解析式为：y=-x2+x+4．

（2）由抛物线y=-x2+x+4；

令x=0；得y=4，故P点坐标为（0，4）；

令y=0，解得x1=-1，x2=3；

∵α＜β；∴B（-1，0），C（3，0）；

∴BC=4，又由OC=3，OP=4，得PC=5，sin∠BCP==；

∵BH=t；∴HC=4-t．

∵HK∥BP，=，=；

∴PK=t

如图，过H作HG⊥PC于G，则HG=HC，

sin∠BCP=（4-t）•=（4-t）；

∴S=×t×（4-t）=t2+2t；

∵点H在线段BC上且HK∥BP；∴0＜t＜4．

∴所求的函数式为：S=-t2+2t（0＜t＜4）；

答：将S表示成t的函数为S=-t2+2t（0＜t＜4）．

（3）由S=-t2+2t=-（t-2）2+2（0＜t＜4）；知：

当t=2（满足0＜t＜4）时；S取最大值，其值为2；

此时；点H的坐标为（1，0）；

∵HK∥PB；且H为BC的中点；

∴K为PC的中点；

作KK′⊥HC于K′；

则KK′=PO=2，OK′=CO=；

∴点K的坐标为（；2）；

设所求直线的解析式为y=kx+b；则

；

∴

故所求的解析式为y=4x-4；

答S的最大值是2，S取最大值时过H、K两点的直线的解析式是y=4x-4．25、略

【分析】【分析】（1）可先根据AB=OA得出B点的坐标；然后根据抛物线的解析式和A，B的坐标得出C，D两点的坐标，再依据C点的坐标求出直线OC的解析式．进而可求出M点的坐标，然后根据C；D两点的坐标求出直线CD的解析式进而求出D点的坐标，然后可根据这些点的坐标进行求解即可；

（2）（3）的解法同（1）完全一样．【解析】【解答】解：（1）由已知可得点B的坐标为（2；0），点C坐标为（1，1），点D的坐标为（2，4）；

由点C坐标为（1；1）易得直线OC的函数解析式为y=x；

故点M的坐标为（2；2）；

所以S△CMD=1，S梯形ABMC=

所以S△CMD：S梯形ABMC=2：3；