2025年湘教新版高一数学上册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年湘教新版高一数学上册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、定义在R上的奇函数f（x）在x∈[0；+∞）时的表达式是x（1-x），则在x∈（-∞，0]时的表达式是（）

A.x（1+x）

B.-x（1+x）

C.x（x-1）

D.-x（1-x）

2、【题文】定义域为R的函数满足当时，则当时，函数恒成立，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.3、【题文】函数的定义域为（）A.B.C.D.4、将两个数a=10，b=18交换，使a=18，b=10，下面语句正确一组是（）A.B.C.D.5、在鈻�ABC

中，若|AB鈫�+AC鈫�|<|AB鈫�鈭�AC鈫�|

则鈻�ABC

的形状为(

)

A.锐角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.钝角三角形6、已知AB鈫�=(3,0)

那么|AB鈫�|

等于(

)

A.2

B.3

C.4

D.5

评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)7、已知0＜x＜sin（-x）=则值为____．8、已知函数若f（x）为奇函数，则a=____．9、【题文】如图，在直三棱柱中，

则直线和所成的角是____．

10、已知直线ax﹣y+2a=0和（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，则a=____11、若直线x+（1+m）y+m﹣2=0与直线2mx+4y+16=0没有公共点，则m的值为____．12、若函数f（x）是定义域为R，最小正周期为π的函数，且当x∈[0，π]时，当f（x）=sinx，则=______．13、若a=sin（sin2013°），b=sin（cos2013°），c=cos（sin2013°），d=cos（cos2013°），则a、b、c、d从小到大的顺序是______．14、三个数1，a，2成等比数列，则实数a=______．15、若扇形的周长为16cm

圆心角为2rad

则该扇形的面积为______cm2

．评卷人得分三、证明题(共9题，共18分)16、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．17、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．18、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．19、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．20、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．21、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．22、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．23、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．24、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．评卷人得分四、作图题(共2题，共20分)25、画出计算1++++的程序框图．26、以下是一个用基本算法语句编写的程序；根据程序画出其相应的程序框图．

评卷人得分五、计算题(共1题，共3分)27、如图，AB是⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线DE，与过点A的直线垂直于E，弦BD的延长线与直线AE交于C点．

（1）求证：点D为BC的中点；

（2）设直线EA与⊙O的另一交点为F，求证：CA2-AF2=4CE•EA；

（3）若弧AD=弧DB，⊙O的半径为r．求由线段DE，AE和弧AD所围成的阴影部分的面积．评卷人得分六、综合题(共1题，共4分)28、已知函数f（x）=ax2+4x+b，其中a＜0，a、b是实数，设关于x的方程f（x）=0的两根为x1，x2；f（x）=x的两实根为α；β．

（1）若|α-β|=1，求a、b满足的关系式；

（2）若a、b均为负整数；且|α-β|=1，求f（x）解析式；

（3）试比较（x1+1）（x2+1）与7的大小．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、A【分析】

当x∈（-∞；0]时，-x∈[0，+∞）

∵x∈[0；+∞），f（x）=x（1-x）

∴f（-x）=-x（1+x）

由函数为奇函数可得；f（-x）=-f（x）

∴-f（x）=-x（1+x）

∴f（x）=x（1+x）

故选：A．

【解析】【答案】当x∈（-∞；0]时，-x∈[0，+∞）由x∈[0，+∞），f（x）=x（1-x）及函数为奇函数可得，f（-x）=-f（x）=-x（1+x），从而可求f（（X）

2、B【分析】【解析】

试题分析：

而当时，

所以

又函数满足

由当时，函数恒成立；

所以即解得故选B.

考点：分段函数，二次函数的性质，指数函数的性质.【解析】【答案】B3、C【分析】【解析】

试题分析：由题意得：解得或所以选C.

考点：函数定义域【解析】【答案】C4、B【分析】【解答】解：交换两个数a=10，b=18的程序是：

c=b；

b=a；

a=c．

故选B；

【分析】根据赋值语句的含义，可用语句c=b，b=a，a=c．交换a、b．5、D【分析】解：隆脽|AB鈫�+AC鈫�|<|AB鈫�鈭�AC鈫�|

隆脿|AB鈫�+AC鈫�|2<|AB鈫�鈭�AC鈫�|2

隆脿AB鈫�2+2AB鈫�?AC鈫�+AC鈫�2<AB鈫�2鈭�2AB鈫�?AC鈫�+AC鈫�2

隆脿4AB鈫�?AC鈫�<0

即AB鈫�?AC鈫�<0

隆脿隆脧A隆脢(娄脨2,娄脨)

即鈻�ABC

是钝角三角形．

故选：D

．

根据等式|AB鈫�+AC鈫�|<|AB鈫�鈭�AC鈫�|

两边平方可得AB鈫�鈰�AC鈫�<0

从而可判定三角形ABC

的形状．

本题主要考查了向量基本运算，以及向量模的求解和数量积的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．【解析】D

6、B【分析】解：隆脽

已知AB鈫�=(3,0)

那么|AB鈫�|=32+02=3

．

故选B．

利用向量的模的计算公式：|AB鈫�|=x2+y2

即可求解．

本小题主要考查向量的模等基础知识，属于基础题．【解析】B

二、填空题(共9题，共18分)7、略

【分析】

因为sin（-x）=所以

所以=．

故答案为：

【解析】【答案】注意到题目中-x与+x的和为应用诱导公式化为关于-x的三角式求解．

8、略

【分析】

函数若f（x）为奇函数；

则f（0）=0；

即a=．

故答案为

【解析】【答案】因为f（x）为奇函数；而在x=0时，f（x）有意义，利用f（0）=0建立方程，求出参数a的值．

9、略

【分析】【解析】

试题分析：设直线和所成的角为由下图可得：所以

所以

考点：空间几何体线线角的问题.【解析】【答案】10、0或1【分析】【解答】解：当a=0时；两直线分别为y=0，和x=0，满足垂直这个条件；

当a≠0时，两直线的斜率分别为a和由斜率之积等于﹣1得：a•=﹣1；

解得a=1．

综上；a=0或a=1．

故答案为0或1．

【分析】当a=0时；其中有一条直线的斜率不存在，经检验满足条件，当a≠0时，两直线的斜率都存在；

由斜率之积等于﹣1，可求a．11、1【分析】【解答】解：∵直线x+（1+m）y+m﹣2=0与直线2mx+4y+16=0没有公共点；

∴两条直线平行．

∴﹣=≠

解得m=1．

故答案为：1．

【分析】利用两条直线平行的充要条件即可得出．12、略

【分析】解：由题意可得f（）=f（-3π）=f（）；

∵当x∈[0，π]时，f（x）=sinx，∴f（）=sin=

则=f（）=

故答案为：．

由题意可得f（）=f（）=sin从而求得它的值．

本题主要考查函数的周期性的应用，属于基础题．【解析】13、略

【分析】解：∵2013°=5×360°+213°；

∴a=sin（sin2013°）=sin（sin213°）=sin（-sin33°）=-sin（sin33°）＜0；

b=sin（cos2013°）=sin（cos213°）=sin（-cos33°）=-sin（cos33°）＜0；

c=cos（sin2013°）=cos（sin213°）=cos（-sin33°）=cos（sin33°）＞0；

d=cos（cos2013°）=cos（cos213°）=cos（-cos33°）=cos（cos33°）＞0；

∵cos33°=sin57°；

∴＜sin33°＜sin57°＜

∴c＞d，-b＞-a；

∴b＜a＜d＜c．

故答案为：b＜a＜d＜c．

应用诱导公式化简sin2013°=-sin33°；cos2013°=-cos33°=-sin57°；

从而a=-sin（sin33°），b=-sin（sin57°）；c=cos（sin33°），d=cos（sin57°）；

再根据正弦、余弦函数的单调性即可判断a，b；c，d的大小．

本题考查了正弦函数、余弦函数的单调性及应用问题，也考查了诱导公式的应用问题，是基础题．【解析】b＜a＜d＜c14、略

【分析】解：∵三个数1；a，2成等比数列；

∴a2=1×2=2，则a=．

故答案为：．

直接利用等比中项的概念列式得答案．

本题考查等比数列的通项公式，考查了等比中项的概念，是基础题．【解析】±15、略

【分析】解设扇形的半径为r

弧长为l

则有{l=2r2r+l=16

得r=4l=8

故扇形的面积为S=12lr=12隆脕8隆脕4=16

．

故答案为：16

．

设扇形的半径为r

弧长为l

根据扇形周长和弧长公式列式，解之得r=4l=8

再由扇形面积公式可得扇形的面积S

．

本题给出扇形的周长和圆心角的大小，求扇形的面积，着重考查了扇形的面积公式和弧长公式等知识，属于基础题．【解析】16

三、证明题(共9题，共18分)16、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．17、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．18、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．19、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．20、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=21、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．22、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．23、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．24、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．四、作图题(共2题，共20分)25、解：程序框图如下：

【分析】【分析】根据题意，设计的程序框图时需要分别设置一个累加变量S和一个计数变量i，以及判断项数的判断框．26、解：程序框图如下：

【分析】【分析】根据题目中的程序语言，得出该程序是顺序结构，利用构成程序框的图形符号及其作用，即可画出流程图．五、计算题(共1题，共3分)27、略

【分析】【分析】（1）连接OD；ED为⊙O切线；由切线的性质知：OD⊥DE；根据垂直于同一直线的两条直线平行知：OD∥AC；由于O为AB中点，则点D为BC中点．

（2）连接BF；AB为⊙O直径，根据直径对的圆周角是直角知，∠CFB=∠CED=90°，根据垂直于同一直线的两条直线平行知

ED∥BF由平行线的性质知，由于点D为BC中点，则点E为CF中点，所以CA2-AF2=（CA-AF）（CA+AF）=（CE+AE-EF+AE）•CF=2AE•CF；将CF=2CE代入即可得出所求的结论．

（3）由于则弧AD是半圆ADB的三分之