2023九年级数学上册 第22章 一元二次方程22.2 一元二次方程的解法 5一元二次方程的根与系数的关系说课稿 （新版）华东师大版

2023九年级数学上册第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法5一元二次方程的根与系数的关系说课稿（新版）华东师大版课题：科目：班级：课时：计划3课时教师：单位：一、设计思路本节课以“一元二次方程的根与系数的关系”为主题，通过复习一元二次方程的解法，引导学生探究根与系数之间的关系。设计思路如下：首先，通过实际问题引入，激发学生学习兴趣；其次，引导学生观察、分析、归纳，得出根与系数的关系；最后，通过练习巩固所学知识，提高学生解决问题的能力。二、核心素养目标培养学生数学抽象、逻辑推理和数学建模能力。通过探究一元二次方程的根与系数的关系，引导学生理解数学与实际生活的联系，提升学生运用数学知识解决实际问题的能力，同时培养严谨的数学思维和团队合作精神。三、学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

学生在九年级上册已经学习了方程的基本概念和一元一次方程的解法，对等式的性质、代数式的运算等基础知识有了一定的掌握。此外，他们已经接触过一元二次方程，了解其基本形式和解法，具备一定的代数推理能力。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

九年级学生普遍对数学学科有一定兴趣，尤其在解决实际问题方面。他们的逻辑思维能力和抽象思维能力逐渐增强，能够通过观察、比较、分析等方法探究数学问题。学习风格上，部分学生可能更倾向于通过具体实例来理解抽象概念，而另一部分学生则更偏好通过符号推理来解决问题。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

在学习一元二次方程的根与系数的关系时，学生可能会遇到以下困难：

-理解抽象的数学关系，难以将理论知识与实际问题相结合；

-掌握符号运算，特别是在处理根的判别式和韦达定理时；

-在解题过程中，可能难以正确运用公式和定理，导致计算错误。因此，需要教师通过有效的教学策略帮助学生克服这些困难。四、教学方法与策略1.采用讲授法结合讨论法，通过讲解一元二次方程的根与系数的关系，引导学生理解和应用；

2.设计小组合作探究活动，让学生通过实验和案例研究，自主发现和验证根与系数的关系；

3.利用多媒体展示一元二次方程的实际应用场景，增强学生的直观感受和参与度；

4.运用数学软件或在线平台进行互动练习，提高学生解题技能和计算效率。五、教学过程一、导入新课

（教师）同学们，我们已经学习了如何解一元二次方程，那么你们知道一元二次方程的根与系数之间有什么关系吗？今天我们就来探究这个问题。

（学生）不知道。

（教师）很好，今天我们就一起揭开这个神秘的面纱。

二、新课讲授

1.回顾一元二次方程的解法

（教师）首先，让我们回顾一下一元二次方程的解法。一元二次方程的一般形式是ax^2+bx+c=0，其中a、b、c是常数，且a≠0。解一元二次方程的方法主要有配方法、公式法和因式分解法。

（学生）老师，我们已经学过这些方法了。

（教师）很好，那么你们能告诉我，这些方法是如何帮助我们找到方程的根的呢？

（学生）通过配方法，我们可以将方程转化为完全平方形式，从而找到根；公式法可以直接计算出根；因式分解法则是将方程左边因式分解，得到方程的根。

（教师）非常好，那么接下来，我们就来探究一元二次方程的根与系数之间的关系。

2.探究一元二次方程的根与系数的关系

（教师）首先，我们来看一个例子：方程x^2-5x+6=0。这个方程的系数分别是a=1，b=-5，c=6。现在，我们来探究这个方程的根与系数之间的关系。

（学生）好的。

（教师）首先，我们需要找到这个方程的根。我们可以尝试使用公式法来解这个方程。

（学生）老师，公式法是？

（教师）公式法是直接使用一元二次方程的求根公式：x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。现在，我们来计算这个方程的根。

（学生）x1=(5+√(25-24))/2=3，x2=(5-√(25-24))/2=2。

（教师）很好，我们找到了这个方程的两个根：x1=3，x2=2。接下来，我们来探究根与系数之间的关系。

（教师）根据韦达定理，一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个根x1和x2满足以下关系：

x1+x2=-b/a

x1*x2=c/a

现在，我们来验证一下这个定理是否适用于我们的例子。

（学生）x1+x2=3+2=5，-b/a=-(-5)/1=5，所以x1+x2=-b/a。

（学生）x1*x2=3*2=6，c/a=6/1=6，所以x1*x2=c/a。

（教师）很好，我们验证了韦达定理适用于我们的例子。现在，我们来总结一下一元二次方程的根与系数之间的关系。

（教师）一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个根x1和x2满足以下关系：

x1+x2=-b/a

x1*x2=c/a

3.应用一元二次方程的根与系数的关系

（教师）现在，我们来应用这个关系解决一个实际问题。

（学生）好的。

（教师）假设一个长方形的周长是20米，长是宽的两倍。求这个长方形的长和宽。

（学生）设长方形的长为x米，宽为y米。根据题意，我们有2x+2y=20和x=2y。现在，我们可以利用一元二次方程的根与系数的关系来解决这个问题。

（教师）很好，让我们来解这个方程。

（学生）根据韦达定理，我们有x+y=-b/a和x*y=c/a。将方程2x+2y=20转化为x+y=10，得到x+y=-2/1和x*y=c/a。由于x=2y，我们可以将x*y替换为2y*y，得到2y^2=c/a。现在，我们需要找到c的值。

（教师）很好，让我们回到原方程2x+2y=20。由于x=2y，我们可以将x替换为2y，得到2(2y)+2y=20。现在，我们来解这个方程。

（学生）4y+2y=20

6y=20

y=20/6

y=10/3

（教师）很好，我们找到了宽的值y=10/3。现在，我们来计算长的值。

（学生）由于x=2y，我们有x=2*(10/3)=20/3。

（教师）很好，我们找到了长方形的长x=20/3米，宽y=10/3米。

（教师）同学们，通过这个例子，我们看到了一元二次方程的根与系数的关系在实际问题中的应用。现在，让我们来总结一下今天所学的内容。

三、课堂小结

（教师）今天我们学习了以下内容：

1.一元二次方程的解法；

2.一元二次方程的根与系数的关系；

3.应用一元二次方程的根与系数的关系解决实际问题。

（学生）老师，我们学到了很多。

（教师）很好，希望大家能够将所学知识应用到实际生活中，提高自己的数学能力。

四、作业布置

（教师）今天的作业如下：

1.完成课本第22章的练习题；

2.思考一元二次方程的根与系数的关系在实际问题中的应用。

（学生）好的，老师。

五、课堂反思

（教师）今天的课，我们通过回顾一元二次方程的解法，探究了一元二次方程的根与系数之间的关系，并应用这个关系解决了一个实际问题。在教学过程中，我发现学生们对于一元二次方程的根与系数的关系理解得比较好，但在解决实际问题时，部分学生遇到了一些困难。在今后的教学中，我将更加注重引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的实际应用能力。六、知识点梳理一元二次方程的根与系数的关系是九年级数学上册第22章的重要内容，以下是本章节的知识点梳理：

1.一元二次方程的定义

-一元二次方程是指形如ax^2+bx+c=0（a≠0）的方程。

-其中，a、b、c是实数，x是未知数。

2.一元二次方程的解法

-配方法：通过配方将一元二次方程转化为完全平方形式，从而找到方程的根。

-公式法：直接使用一元二次方程的求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)来求解方程。

-因式分解法：将一元二次方程左边因式分解，得到方程的根。

3.一元二次方程的根的性质

-根的和：一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个根x1和x2满足x1+x2=-b/a。

-根的积：一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个根x1和x2满足x1*x2=c/a。

4.判别式

-判别式Δ=b^2-4ac，它决定了方程根的性质。

-当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；

-当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；

-当Δ<0时，方程没有实数根，但有两个共轭复数根。

5.一元二次方程根与系数的关系的应用

-通过根与系数的关系，可以快速判断方程根的性质；

-可以利用根与系数的关系求解一元二次方程；

-可以将一元二次方程的根与系数的关系应用到实际问题中，如求解几何问题、物理问题等。

6.一元二次方程的实际应用

-在实际问题中，一元二次方程的根与系数的关系可以帮助我们求解最大值和最小值问题；

-可以用于解决优化问题，如生产问题、投资问题等；

-可以用于解决几何问题，如求解图形的面积、体积等。

7.一元二次方程的根与系数的关系的证明

-通过配方法或因式分解法，可以证明一元二次方程的根与系数的关系；

-可以通过构造一元二次方程的根与系数的关系，证明判别式的性质。七、板书设计①一元二次方程的定义

-形式：ax^2+bx+c=0（a≠0）

-元素：a、b、c为实数，x为未知数

②一元二次方程的解法

-配方法：通过配方转化为完全平方形式

-公式法：x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)

-因式分解法：将左边因式分解得到方程的根

③一元二次方程的根的性质

-根的和：x1+x2=-b/a

-根的积：x1*x2=c/a

④判别式

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