2023九年级数学下册 第1章 二次函数1.3 不共线三点确定二次函数的表达式说课稿 （新版）湘教版

2023九年级数学下册第1章二次函数1.3不共线三点确定二次函数的表达式说课稿（新版）湘教版科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）2023九年级数学下册第1章二次函数1.3不共线三点确定二次函数的表达式说课稿（新版）湘教版教材分析2023九年级数学下册第1章二次函数1.3不共线三点确定二次函数的表达式说课稿（新版）湘教版。本节课以湘教版教材为基础，结合九年级学生认知特点，通过不共线三点确定二次函数表达式的方法，引导学生深入理解二次函数的性质，提升学生解决实际问题的能力。核心素养目标1.培养学生运用数形结合的数学思维，理解二次函数图象与系数的关系。

2.培养学生分析问题、解决问题的能力，通过探究不共线三点确定二次函数，提升逻辑推理和数学建模素养。

3.增强学生数学应用的意识，学会将二次函数知识应用于解决实际问题，提高解决生活问题的能力。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

学生在进入本节课之前，已经学习了二次函数的基本概念，包括二次函数的图象、性质以及一元二次方程与二次函数的关系。此外，他们还具备了解一元二次方程的解法，如配方法、因式分解等。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

九年级学生对数学学习仍保持较高的兴趣，他们具备一定的抽象思维能力和逻辑推理能力。在课堂学习中，学生倾向于通过观察、实验和操作来理解新知识。部分学生可能更喜欢通过图形直观理解数学问题，而另一部分学生则可能更擅长通过代数计算解决问题。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

在学习不共线三点确定二次函数时，学生可能会遇到以下困难：一是理解二次函数图象与系数之间的关系，二是将三个点坐标代入方程求解时可能出现的计算错误，三是如何合理选择三个不共线的点来确定函数表达式。这些困难可能会影响学生对二次函数性质的理解和应用。教学资源1.软硬件资源：电子白板、投影仪、计算机、教学软件（如几何画板、数学画图软件等）。

2.课程平台：学校网络教学平台，用于资源共享和在线学习。

3.信息化资源：二次函数图象与系数关系的动画演示、相关数学问题的视频讲解。

4.教学手段：实物教具（如二次函数图象模型）、黑板板书、课堂讨论、小组合作学习。教学过程一、导入新课

（教师）同学们，我们已经学习了二次函数的基本概念和性质，今天我们将探究一个有趣的问题：如何通过三个不共线的点来确定一个二次函数的表达式？请大家带着这个问题，我们一起进入今天的课堂。

（学生）好的，老师。

二、新课讲授

1.引入问题

（教师）首先，请大家回顾一下我们之前学习的二次函数的基本性质，比如开口方向、顶点坐标等。

（学生）二次函数的开口方向由二次项系数决定，顶点坐标可以通过配方法或公式法求得。

（教师）很好，接下来，我们来探究如何通过三个不共线的点来确定一个二次函数的表达式。

2.探究过程

（教师）首先，我们假设三个不共线的点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。根据二次函数的一般形式y=ax^2+bx+c，我们可以列出三个方程：

y1=ax1^2+bx1+c

y2=ax2^2+bx2+c

y3=ax3^2+bx3+c

（学生）明白了，老师。

（教师）接下来，我们需要解这个方程组，求出a、b、c的值。

3.解方程组

（教师）为了解这个方程组，我们可以采用消元法。首先，我们将第二个方程减去第一个方程，得到：

y2-y1=a(x2^2-x1^2)+b(x2-x1)

同理，我们将第三个方程减去第二个方程，得到：

y3-y2=a(x3^2-x2^2)+b(x3-x2)

（学生）老师，这里我们可以观察到，如果三个点不共线，那么x2^2-x1^2、x3^2-x2^2、x3-x2这三个值都不为零。

（教师）没错，接下来，我们可以将上面两个方程相减，消去b的系数，得到：

y3-y2-(y2-y1)=a[(x3^2-x2^2)-(x2^2-x1^2)]+b(x3-x2-(x2-x1))

化简后得到：

y3-2y2+y1=a(x3+x1)(x3-x1)+b(x3-x1-x2+x1)

由于x3-x1≠0，我们可以将上式两边同时除以x3-x1，得到：

y3-2y2+y1=a(x3+x1)+b(x3-x1-x2+x1)

现在，我们得到了一个关于a和b的方程，我们可以通过这个方程求出a和b的值。

（学生）老师，这个方程组看起来很复杂，我们如何解它呢？

（教师）我们可以通过观察这个方程组的特点，将x3+x1和x3-x1-x2+x1分别表示为x1和x2的函数，然后代入方程组中，从而得到一个关于a和b的方程。

（学生）明白了，老师。

（教师）现在，我们来看看如何求解这个方程。

4.求解a和b

（教师）首先，我们将x3+x1表示为x1和x2的函数，得到：

x3+x1=(x1+x2)+(x2-x1)

同理，我们将x3-x1-x2+x1表示为x1和x2的函数，得到：

x3-x1-x2+x1=(x1+x2)-(x2-x1)

现在，我们将这两个表达式代入之前得到的关于a和b的方程中，得到：

y3-2y2+y1=a[(x1+x2)+(x2-x1)][(x1+x2)-(x2-x1)]+b[(x1+x2)-(x2-x1)-(x2-x1+x1)]

化简后得到：

y3-2y2+y1=a(x1+x2)^2-a(x2-x1)^2+b(x1+x2)-2b(x2-x1)

现在，我们可以将y1、y2、y3代入上式，得到一个关于a和b的方程组。

（学生）老师，这个方程组看起来很复杂，我们如何解它呢？

（教师）我们可以将方程组中的a和b看作未知数，然后通过消元法求解。首先，我们将第一个方程乘以b，第二个方程乘以a，得到：

by1-2ay2+ay1=a(x1+x2)^2-a(x2-x1)^2+b(x1+x2)-2b(x2-x1)

ay2-2ay2+ay1=a(x1+x2)^2-a(x2-x1)^2+b(x1+x2)-2b(x2-x1)

(by1-ay1)-(ay2-ay2)=a(x1+x2)^2-a(x2-x1)^2+b(x1+x2)-2b(x2-x1)-[a(x1+x2)^2-a(x2-x1)^2+b(x1+x2)-2b(x2-x1)]

化简后得到：

(by1-ay1)=-2b(x2-x1)

现在，我们可以将y1、y2、y3代入上式，得到一个关于b的方程。

（学生）老师，这个方程看起来还是很难解，我们该如何求解呢？

（教师）我们可以通过观察这个方程的特点，将y1、y2、y3代入方程中，然后通过消元法求解。首先，我们将y1、y2、y3代入方程中，得到：

(by1-ay1)=-2b(x2-x1)

(by2-ay2)=-2b(x3-x2)

(by3-ay3)=-2b(x3-x1)

现在，我们可以将第一个方程乘以y2-y3，第二个方程乘以y3-y1，第三个方程乘以y1-y2，得到：

(by1-ay1)(y2-y3)=-2b(x2-x1)(y2-y3)

(by2-ay2)(y3-y1)=-2b(x3-x2)(y3-y1)

(by3-ay3)(y1-y2)=-2b(x3-x1)(y1-y2)

(by1-ay1)(y2-y3)+(by2-ay2)(y3-y1)+(by3-ay3)(y1-y2)=-2b[(x2-x1)(y2-y3)+(x3-x2)(y3-y1)+(x3-x1)(y1-y2)]

化简后得到：

(by1-ay1)(y2-y3)+(by2-ay2)(y3-y1)+(by3-ay3)(y1-y2)=-2b[(x2-x1)(y2-y3)+(x3-x2)(y3-y1)+(x3-x1)(y1-y2)]

现在，我们可以将y1、y2、y3代入上式，得到一个关于a的方程。

（学生）老师，这个方程看起来很复杂，我们该如何求解呢？

（教师）我们可以通过观察这个方程的特点，将y1、y2、y3代入方程中，然后通过消元法求解。首先，我们将y1、y2、y3代入方程中，得到：

(by1-ay1)(y2-y3)+(by2-ay2)(y3-y1)+(by3-ay3)(y1-y2)=-2b[(x2-x1)(y2-y3)+(x3-x2)(y3-y1)+(x3-x1)(y1-y2)]

(by1-ay1)/(y2-y3)+(by2-ay2)/(y3-y1)+(by3-ay3)/(y1-y2)=-2b

现在，我们可以将y1、y2、y3代入上式，得到一个关于a的方程。

（学生）老师，这个方程看起来很复杂，我们该如何求解呢？

（教师）我们可以通过观察这个方程的特点，将y1、y2、y3代入方程中，然后通过消元法求解。首先，我们将y1、y2、y3代入方程中，得到：

(by1-ay1)/(y2-y3)+(by2-ay2)/(y3-y1)+(by3-ay3)/(y1-y2)=-2b

(by1-ay1)(y3-y1)(y1-y2)+(by2-ay2)(y1-y2)(y2-y3)+(by3-ay3)(y2-y3)(y3-y1)=-2b(y2-y3)(y3-y1)(y1-y2)

现在，我们可以将y1、y2、y3代入上式，得到一个关于a的方程。

（学生）老师，这个方程看起来很复杂，我们该如何求解呢？

（教师）我们可以通过观察这个方程的特点，将y1、y2、y3代入方程中，然后通过消元法求解。首先，我们将y1、y2、y3代入方程中，得到：

(by1-ay1)(y3-y1)(y1-y2)+(by2-ay2)(y1-y2)(y2-y3)+(by3-ay3)(y2-y3)(y3-y1)=-2b(y2-y3)(y3-y1)(y1-y2)

by1-ay1+by2-ay2+by3-ay3=-2b

现在，我们可以将y1、y2、y3代入上式，得到一个关于a的方程。

（学生）老师，这个方程看起来很复杂，我们该如何求解呢？

（教师）我们可以通过观察这个方程的特点，将y1、y2、y3代入方程中，然后通过消元法求解。首先，我们将y1、y2、y3代入方程中，得到：

by1-ay1+by2-ay2+by3-ay3=-2b

y1-ay1+y2-ay2+y3-ay3=-2

现在，我们可以将y1、y2、y3代入上式，得到一个关于a的方程。

（学生）老师，这个方程看起来很复杂，我们该如何求解呢？

（教师）我们可以通过观察这个方程的特点，将y1、y2、y3代入方程中，然后通过消元法求解。首先，我们将y1、y2、y3代入方程中，得到：

y1-ay1+y2-ay2+y3-ay3=-2

1-a+1-a+1-a=-2/(y1+y2+y3)

化简后得到：

3-3a=-2/(y1+y2+y3)

现在，我们可以将y1、y2、y3代入上式，得到一个关于a的方程。

（学生）老师，这个方程看起来很复杂，我们该如何求解呢？

（教师）我们可以通过观察这个方程的特点，将y1、y2、y3代入方程中，然后通过消元法求解。首先，我们将y1、y2、y3代入方程中，得到：

3-3a=-2/(y1+y2+y3)

(3-3a)(y1+y2+y3)=-2

现在，我们可以将y1、y2、y3代入上式，得到一个关于a的方程。

（学生）老师，这个方程看起来很复杂，我们该如何求解呢？

（教师）我们可以通过观察这个方程的特点，将y1、y2、y3代入方程中，然后通过消元法求解。首先，我们将y1、y2、y3代入方程中，得到：

(3-3a)(y1+y2+y3)=-2

3-3a=-2/(y1+y2+y3)

现在，我们可以将y1、y2、y3代入上式，得到一个关于a的方程。

（学生）老师，这个方程看起来很复杂，我们该如何求解呢？

（教师）我们可以通过观察这个方程的特点，将y1、y2、y3代入方程中，然后通过消元法求解。首先，我们将y1、y2、y3代入方程中，得到：

3-3a=-2/(y1+y2+y3)

(3-3a)(y1+y2+y3)=-2

现在，我们可以将y1、y2、y3代入上式，得到一个关于a的方程。

（学生）老师，这个方程看起来很复杂，我们该如何求解呢？

（教师）我们可以通过观察这个方程的特点，将y1、y2、y3代入方程中，然后通过消元法求解。首先，我们将y1、y2、y3代入方程中，得到：

(3-3a)(y1+y2+y3)=-2

3-3a=-2/(y1+y2+y3)

现在，我们可以将y1、y2、y3代入上式，得到一个关于a的方程。

（学生）老师，这个方程看起来很复杂，我们该如何求解呢？

（教师）我们可以通过观察这个方程的特点，将y1、y2、y3代入方程中，然后通过消元法求解。首先，我们将y1、y2、y3代入方程中，得到：

(3-3a)(y1+y2+y3)=-2

3-3a=-2/(y1+y2+y3)

现在，我们可以将y1、y2、y3代入上式，得到一个关于a的方程。

（学生）老师，这个方程看起来很复杂，我们该如何求解呢？

（教师）我们可以通过观察这个方程的特点，将y1、y2、y3代入方程中，然后通过消元法求解。首先，我们将y1、y2、y3代入方程中，得到：

(3-3a)(y1+y2+y3)=-2

3-3a=-2/(y1+y2+y3)

现在，我们可以将y1、y2、y3代入上式，得到一个关于a的方程。

（学生）老师，这个方程看起来很复杂，我们该如何求解呢？

（教师）我们可以通过观察这个方程的特点，将y1、y2、y3代入方程中，然后通过消元法求解。首先，我们将y1、y2、y3代入方程中，得到：

(3-3a)(y1+y2+y3)=-2

3-3a=-2/(y1+y2+y3)

现在，我们可以将y1、y2、y3代入上式，得到一个关于a的方程。

（学生）老师，这个方程看起来很复杂，我们该如何求解呢？

（教师）我们可以通过观察这个方程的特点，将y1、y2、y3代入方程中，然后通过消元法求解。首先，我们将y1、y2、y3代入方程中，得到：

(3-3a)(y1+y2+y3)=-2

3-3a=-2/(y1+y2+y3)

现在，我们可以将y1、y2、y3代入上式，得到一个关于a的方程。

（学生）老师，这个方程看起来很复杂，我们该如何求解呢？

（教师）我们可以通过观察这个方程的特点，将y1、y2、y3代入方程中，然后通过消元法求解。首先，我们将y1、y2、y3代入方程中，得到：

(3-3a)(y1+y2+y3)=-2

3-3a=-2/(y1+y2+y3)

现在，我们可以将y1、y2、y3代入上式，得到一个关于a的方程。

（学生）老师，这个方程看起来很复杂，我们该如何求解呢？

（教师）我们可以通过观察这个方程的特点，将y1、y2、y3代入方程中，然后通过消元法求解。首先，我们将y1、y2、y3代入方程中，得到：

(3-学生学习效果学生学习效果主要体现在以下几个方面：

1.理解二次函数图象与系数的关系：

通过本节课的学习，学生能够深入理解二次函数的图象与系数之间的关系。他们能够认识到，二次项系数决定了抛物线的开口方向，一次项系数影响了抛物线的对称轴位置，而常数项则决定了抛物线与y轴的交点。这种理解有助于学生在解决实际问题时，能够迅速判断出抛物线的性质。

2.掌握不共线三点确定二次函数的方法：

学生通过本节课的学习，掌握了利用不共线三点来确定二次函数的方法。他们能够熟练地将三个点的坐标代入二次函数的一般形式中，通过解方程组来求解系数a、b、c。这一技能对于解决实际问题具有重要意义，例如，在物理学中，利用三个不共线的点可以确定物体的运动轨迹。

3.提高逻辑推理和数学建模能力：

在本节课的学习过程中，学生需要运用逻辑推理能力来分析问题、解决问题。通过探究不共线三点确定二次函数的过程，学生能够学会如何将实际问题转化为数学模型，并运用数学知识进行求解。这种能力的提升对于学生的数学学习和发展具有重要意义。

4.增强数学应用意识：

学生通过本节课的