2025年高考数学一轮复习专练：拓展之基本不等式（原卷版）

第06讲：拓展一：基本不等式

目录

法

方

一直接法...........................................3

法

方

二凑配法...........................................3

法

方

三分离法...........................................4

法

方

四

法

方

五

法常数代换的代换..............................

方

六“1”5

法

七

方消元法...........................................7

对钩函数.........................................7

1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）

①如果a>0,b>0,，万〈竺也，当且仅当a=b时，等号成立.

2

②其中J法叫做正数。，。的几何平均数；号叫做正数。，。的算数平均数.

2、两个重要的不等式

①々2+〃22"（a,bwR）当且仅当a=沙时，等号成立.

②abW（彳Y（a,beR）当且仅当a=b时，等号成立.

3、利用基本不等式求最值

①已知x,y是正数，如果积孙等于定值尸，那么当且仅当x=y时，和x+y有最小

值2/；

②已知x,y是正数，如果和x+y等于定值s,那么当且仅当％=丁时，积孙有最大

值2；

4

4、对钩函数：

b

对钩函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数,是形如：/（x）=奴+—（a>0力>0）

x

的函数.由图象得名，又被称为：“双勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”、“耐克函数''等.

b常考对钩函

/(x)=ax+—(a>0,b>0)/(x)=x+—(〃>0)

函数X数X

定义域(—8,0)U(0,+8)定义域S,o)U(o,y)

值域(-GO,-2A/^F]U[2y[ab,+8)值域(f,—2]U[2,y)

奇偶性奇函数奇偶性奇函数

%）=Q%+一在/（犬）=%+'在（_8,—6）,

单调性X单调性X

（一双一、p），（P，+8）上单（、份,+8）上单调递增；在

VaVa

（-J7,0）,（0,6）单调递减

调递增;在（―J2,o）,（0*）

VaVa

单调递减

5、常用技巧

利用基本不等式求最值的变形技巧—凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低

于分母次数））、代（1的代入）、解（整体解）.

①凑：凑项，例：xd——--=x-a-\——-——\-a>2+a=3（x>aI;

x-ax-a

凑系数，例：x（l-2x）=~2x（l-2x）<~[2X+^2X^=1[0<x<5］；

G+匚/ri冗2%之—4+4-44.

②拆：例：----=---------=X+2H----------x-2-\------1-4>：2〃+4=8（X〉2）；

x—2x—2x—2x—3

2x2

③除：例：工1"〉0）；

XH--

X

④1的代入：例：已知。>0力>0,。+匕=1,求工+工的最小值.

ab

解析：—I——（—1—）3+Z?）=2-1--1—N4.

ababab

⑤整体解：例：已知。，。是正数，且〃b=Q+b+3,求a+Z?的最小值.

解析：»a+b+3,即，a+»2—（“+3—3»0,解得

a+b>6（^a+b<-2舍去）.

基本不等式高频考点方法

方法一：直接法

典型例题

例题1.（2024上,山西长治•高一校联考期末）当XW0时，炉+4的最小值为（）

X

A.gB.1C.2D.2A/2

例题2.（2024上•陕西商洛•高一统考期末）若正数x,y满足肛=100,则x+y的最小值

是（）

A.10B.20C.100D.200

练透核心考点

1.（2024上•湖南长沙•高一校考期末）若尤>0,则x+工的最小值为（）

X

L3

A.—2B.—2^2C.——D.2

2.（2024上•贵州六盘水•高一统考期末）已知a>0力>0,々+b=3,则次?的最大值为.

方法二：凑配法

典型例题

4

例题1.（2024下•河南•高三校联考开学考试）已知。>0力>。，则a+2b+一丁7的最小

a+2b+l

值为（）

A.6B.5C.4D.3

例题2.（2024上•黑龙江哈尔滨•高一统考期末）已知实数x>l,则2-尤-一、■的（）

X-1

A.最小值为1B.最大值为1C.最小值为-1D.最大值为-1

g

例题3.（2024上•江苏南通・高一统考期末）函数〃司=4工+—1,的最小值

为（）

A.6B.8C.10D.12

练透核心考点

1.（2024上•湖北•高一校联考期末）已知了＞1,则x+丁二的最小值为__________

22元-1

9

2.（2024上•福建莆田•高一莆田一中校考期末）已知x＞2,则x+—^的最小值为____.

x-2

3.（2024上•福建宁德•高一统考期末）Vxe（2,+oo）,无+」—＞加+3〃?恒成立，则实数加

x-2

的取值范围是.

方法三：分离法

典型例题

例题1.（2024•全国•高三专题练习）函数4'+川16/+1

的最大值是（）

八）一4f+l

753

A.2B.一C.一D.-

444

例题2.（2024•全国•高三专题练习）函数［=一+尤+3口＞2）的最小值为

x—2

练透核心考点

函数小）=二+（—0）的最小值是（）

1.（2023•全国一*专题练习）X3

A.-1B.3C.6D.12

2x2+x+3

2.（2024・全国•高三专题练习）函数/(%)=（x＜0）的最大值为.

x

方法四：换元法

典型例题

例题1.（2023・全国•高一专题练习）函数y=±±±允（尤＞2）的最小值为_____

x—2

例题2.（2023•全国•高三专题练习）求下列函数的最小值

%2+X+1

(1)y=(%>0)；

X

x2+2x+6

(2)

y二(x>1).

x-1

练透核心考点

1.（2023上•江西南昌•高一南昌二中校考阶段练习）求函数y=、（x>-1）的最小

值.

2.（2023•全国,高一专题练习）求下列函数的最小值

X2+X+1/

⑴y=--------(x>0)；

x

尸舄…；

(2)

x2+2x+6.八

(3)y=--------：-(%〉］).

X-1

方法五：常数代换“1”的代换

典型例题

31

例题1.（2024上•浙江杭州,高一浙江省杭州第二中学校考期末）已知x>0,y>0,且一+—=1,

%y

JQ

则2x+y+一的最小值为（）

y

A.9B.10C.12D.13

例题2.（多选）（2024下•吉林通化•高三梅河口市第五中学校考开学考试）已知，>04>0,

若a+26=l,贝U()

,71

A.a+b>一B.a+b<l

2

c-仍的最大值为:D.女2+；1的最小值为8

ab

例题3.（2024下•全国•高一专题练习）如图所示，在AABC中，点。为8C边上一点，且

BD^lDC，过点。的直线E尸与直线AB相交于E点，与直线AC相交于下点（E,F交

两点不重合）.右AD=wiAB+〃AC，则fli"=,^AE=AAB,AF=juAC,贝IJ2+〃的

最小值为.

练透核心考点

1.（多选）（2024下•湖北•高一湖北省汉川市第一高级中学校联考开学考试）已知正实数%

>满足x+2y=l,则()

1

A.xy<-B.Vx+72^-^2C.y+2x>9xyD.x2+y2<}

8

2.（多选）（2024上•云南昭通・高一昭通市第一中学校联考期末）若相>0,H>0,且机+2〃=1,

则（

1

A.mn<—B.y[m+y/2n>\/2

8

C.以9D.m2+4n2<—

mn2

41

3.（2024上•江西•高一校联考期末）若存在正实数％，V满足一+—=1,且使不等式

y%

T<43〃7有解，则实数机的取值范围是

方法六：消元法

典型例题

例题1.（2024上•安徽亳州•高一亳州二中校考期末）已知尤>0»>0,2》+，=冲，贝|2x+y

的最小值为（）

A.8B.4C.80D.4加

41

例题2.（2024上•四川眉山•高一统考期末）己知a>0,b>0,且。+4=。匕，则一+；—的

ab-1

最小值为.

练透核心考点

1.（2024上•安徽芜湖•高一统考期末）若实数%，满足孙=1,则Y+2J的最小值为（）

A.1B.72C.2D.2-72

2.（2023上•广东东莞•高一统考期末）若无>0、y>0,M-+y=l,则上的最大值

XX

为.

方法七：对钩函数

典型例题

例题1.（2022上•全国•高一校联考阶段练习）函数>=尤+,（%22）的最小值为（）

X

57

A.2B.-