2025年高考数学一轮复习讲义：幂指对比较大小常见方法总结

第4讲暴指对函数比较大小题型及方法总结

一、考情分析：

赛指对函数“比大小”是高考的热点题型之一，难度不定，而且很受命题者的青睐。几

乎每年高考都会出现，目前有难度逐年上升的趋势。

命题形式主要是选择题，分值一般为5分，试题往往将赛函数、指数函数、对数函数、

三角函数等混在一起进行考查。

二、解题策略：

三、方法精讲

方法1:直接利用函数单调性

【例1】（2024福建宁德高三统考）设。=0.3"3”=0.3°-二=0.50-3,4=0.5%则a也」d的

大小关系为（）

A.b>d>a>cB.b>a>d>cC.c>a>d>bD.c>d>a>b

答案D

解：因为>=。3,且y=Q5'是R上单减，

故可得0.3°-3>0.3°-5,O.503>O.50-5,即a>3,c〉d;

又因为a=0.3M=0,027°』,d=0.5°5=0.31250」,

而y=x°」是（O，+°°）上单增，贝U0.031251n>0.027°,，即d>a.

故c〉d〉a〉b.

故选：D.

【变式1］（2023•安徽•高三校联考阶段练习）已知。=log?3,b=log46,c=log89,

则a、6、c的大小顺序为（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

答案C

解：观察条件可知，可以将反c都化为以2为底的对数，然后借助于函数的单调性进行

比较。

b=log46=log2V6,c=log89=log2^/9,因为3＞疵＞^，y=log2X单调递增,

.\c<b<a.

故选：C

【变式2］（2024・天津•高三统考期末）设々=c=loSo_503,贝1Ia,b,c

的大小关系为（）

A.c<b<aB.a<b<cC.b<a<cD.c<a<b

答案B

解：。=2一°5,b=（^\=2«3,一y=2'在R上单增，.•.q<6<2°=l,

­,,y=log05%在（o,+℃）上单减，.-.c=log050.3>log050.5=1,

综上，a<b<c。

故选：B.

2a3b5c

【变式3】（2024•陕西宝鸡统考一模）已知实数满足J=J=J=2,则

235

（）

A.a>b>cB.a<b<cC.b>a>cD.c>a>b

答案A

p2a3b5c

解：—=—=—=2,所以e?"=4,e3"=6,e50=10,

■235

2a=In4,36=ln6,5c=lnl0,.•.a=ln2,b=lnV^,c=ln痂,;y=Inx在（0,+力）上单

增，比较2,而泞的大小即可，2,福河同时取15次赛，

•,=产在（0,+8）上单增，比较2、65,1。3即可，

215=524288,65=7776,103=1000;215>103>65

即2>西〉正，即a〉b>c.

故选：A.

71

【变式4］（2023•北京顺义高三校考阶段检测）已知a=log52,Z7=log43,c=sin—,比

6

较d6,c的大小为（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

答案C

解：Qy=log5%在（o,+"）上单增，/.a=log52<log5辨=；,

.兀1.）

c=sin—=—,..a<c；

62

Qy=log4%在（o,+8）上单增，.•.iog43>log42=1,

综上,b>c>a.

故选：C

【方法总结】

当两个实数都是指数恭或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或暴函数的

函数值，然后利用该函数的单调性进行比较

(1)底数相同，指数不同时，如〃西和42,利用指数函数>=的单调性即可；

(2)指数相同，底数不同，如普和芯，利用赛函数y=x"的单调性即可；

(3)底数相同，真数不同，如log。％和log。％,利用指数函数y=log“x的单调性即可；

(4)如果底数或者指数不同时，可以先尝试化为同底数或者同指数的形式，进而借助单调

性进行比较

(5)除了暴指对函数，也可以利用三角函数、对勾函数等函数的单调性进行比较大小。

方法2:利用作差法或作商法

【例题1】(2023•辽宁•大连高三开学考试)已知20"=22,22匕=23,ac=b,则db,

c的大小关系为()

A.c>a>bB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c

答案D

解：分别对20"=22,220=23,两边取对数，得a=log2022,Z?=log2223,

C=logqb.

lg22lg23_(lg22)2-lg20」g23

a-b=log22-log23=

2022Ig261g22-lg20-lg22

由基本不等式，可得:

1g484?

lg20」g23〈产产).用

所以(lg22)2-lg20」g23>0,^a-b>Q,:.a>b>l.

又cnlogo8vlogaaul,；.a>b>c.

故选：D.

171

【变式1](2023•山东青岛•高三莱西市第一中学校联考期中)已知。=一，b=cos-,

183

c=3sin-,5H()

3

A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>bD.b>c>a

答案B

c.1

3sin—1.

解：-=----=3tan-,0<-<—,

b„„„1332

(7［\-c1c11

,A:e0?—时，由不等式得sinx<x<tanx,/.3tan—>3x—=1：.c>b,

\2)33

--2sin2-=2--sin2—

318618186366

1.1nfl).17八7

—>sin—>0,—>sin2—,.\b—a>0,.\b>a,

661^6)6

综上，c>b>ao

故选：B.

【变式2］已知a=0.8一b=log53,c=Iog85,则()

A.水伙cB.X&a

C.WXaD.K&b

答案B

22

…blog53In3XIn8,(In3+In8)(In^/24)^/目，,

解：噎=诟=(In5)2<4(55)2=(Ing<〔，付灰,，又：c<1<a=0.8-04,

:.XXa.

故选B

【变式3】（2023•河南•安阳高中高三模拟）设Q=log23,Z?=log45,c=21og32,则

a,6、c的大小关系为（）

A.a>c>bB.a>b>cC.b>a>cD.c>b>a

答案A

解：•••"皿嚼，『叫5=昂”2加2—胃,

Ig2.1g4<(妲詈［.野］〈［野J=(lg3)

又

Ig2」g4.即"f

lg2lg31g21g3

2

c_^lg4_lg5jlg4)-lg3-lg5>()>即c»,..“cm

lg3lg4Ig31g4

故选：A.

【变式4】已知1084相=方9,10812"=11,。.9"=0.8,则正数机，p的大小关系为()

A.p>m>nB.m>n>p

c.m>p>nD.p>n>m

答案A

922

20

解：由Iog4/77=—,得m=4=21°<2,

11

由l0gi2/7=-,得77=124,

——x9994

m420420'4^20'4Aio^4^20256Vo,

--->1,因此2>/77>/7；

243）

1241220巨

由0.9"=0.8,得p—Iogo.9O.8>Iogo.?0.81—2,于是pynT^n,

所以正数0,n,p的大4、关系为

故选A

【方法总结】作差法、作商法：

(1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；

(2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法;

方法3:引入中间量法

【例1】（2023•高三新疆石河子一中校考阶段练习）设a=2°3,〃=o.32,c=log20.3,则a,

b,c的大小顺序是（）

A.c<a<bB.c<b<a

0.a<c<bD.b<c<a

答案B

解Qa=2°3>2°=l,Z?=0,32=0.09<l,c=log,0.3<log,1=0；

:.c<b<a.

故选：B.

【变式1】（2024•天津红桥•高三统考期末）设a=logz兀，Z，=logl71,c=一则（）

2

A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>b>a

答案C

解：，）=02兀>10g22=l,b=log；<logj=0,0<c=d<兀。=1,

.\a>c>bo

故选：C

【变式2】（2023•河北石家庄高三专题检测）已知10"=兀,5〃=3,log3C=-；,则a,b,c

的大小关系为()

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.a<c<b

答案D

解：10"=i,5"=3/og3C=—g,.-.a=lg7t,6=1吗3,c=3日，

；

a=1g7t<IgVlO=,b=log53>log5石=；,而

「4+14

13-3

5<35:.a<c<b.

"用<y，.,.^=log53>log55

故选D

【变式3】（2024•四川绵阳高三专题检测）若Q=log23,b=log34,c=log45,则〃、

b、。的大小关系是（）

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<b<a

答案D

解：log23>log22=l,log34>log33=1,log45>log44=1,

即。c>\,

11

2r

C=log45=10g225=-log25=log25=log2,5,

而Q=log23>log26，,a>C>\,

33

a=log23>log225/2=-,而匕=log34<log33A/3=-,

3

a>—>b>l,

4

又：=log33=log3V?,b=log34=log3行',

而44>3,,则logs#肝>log3#3,—,

4

同理，=log44=log4,c=log45=log4V?,

而45>54,贝也呜">log4⑸即（>C,

35

综上得：——

24

：.c<b<a.

故选：D.

方法4:构造函数法

【例题1】（2023•辽宁大连二十四中校联考模拟预测）已知

1ln2ln3

4=电2［2,c=［9）3,试比较的大小关系（）

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<b<a

答案C

M：设〃同=手（工>。）0/（到=1］；龙,

当x>e时，/'（x）<0,/（x）单调递减，

.-./（e）>/（3）>/（4）,

1_IneIn2_21n2_In4

ee'244

1ln3In4

->——>----,

e34

设g(%)=九*(%>0)=>Ing(x)=x\nx,

设y=xlnx=>y'=lnx+l,

当0<%<！时，/<0,函数y=%ln%单调递减,

e

e34

因为函数y=In%是正实数集上的增函数,

:.a<c<b,

［变式1］（2023•甘肃兰州高三模拟预测）设a=5（2/n5）In4e

b=-c=---,贝I。，

e4

b,。的大小顺序为（）

A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c

答案A

产

5(2—In5)71IneIn4

解：va=b=—=---

e2ee

5

所以构造函数无）=/，则（（无）=上誓

XX

人,、1-lnx

令r(=二0,解得产e

当了£（0,e）时，>0,/（%）在（0,e）上单调递增,

当x«e,+oo)时，/(%)在(e,+oo)上单调递减,

心

又a=于—，b=f5c=〃4)

:.a<b,c<b.

3〃4)=竽=竽=〃2),又?<2<e,

<2>

•e-fe</(2),即c>“，版a<c<b,

I3J

故选：A.

【变式2］（2023•江苏无锡•统考模拟预测）已知。=ln%,b=eTc=（9-31n3）e-3,则。，

b,。的大小为（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

答案C

解：令函数/（幻=止（尤Ne）,当x>e时，求导得：匕学<0,

XX

则函数/⑺在［e,+8）上单调递减，又〃=吧=/（3）,b=—=f{€）,

3e

3

显然e<3<(则有吗)<〃3"⑹，所以。3江

故选：0

【方法总结】构造函数，运用函数的单调性比较：

构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐

藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数规律

(1)对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来”去除f()外衣”比较大

小；

(2)有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数的单调性、对称性，比较大

小。

四、真题练

1.(2023•天津•统考高考真题)若4=1.0俨5涉=1.01。6,°=06。5,则a,瓦c的大小关系为

()

A.c>a>bB.c>b>a

C.a>b>c

答案：DD.b>a>c

解：由y=1.01'在R上递增，则a=1.0产5<6=i.01。.6,

由y=在［0,+co)上递增，则4=1,0产5>。=0.6°5.所以6>。>°.故选：D

2.(2023•全国•统考高考真题)已知函数/(x)=e-d.记

a=2,6=，则()

IJ[2J、2,

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

答案：A

解：令g(尤)=-(x-l)2,则g(x)开口向下，对称轴为x=l,

灰1。④瓜+6

而（遍+我2-4?=9+6忘-16=6五一7>0,

22J2

・布一6]屈+61>0,即立一1>1_0

.-----1-1-

222222

VJ

由二次函数性质知g)，

回瓜+垃4

1—

22J22

(A/6+^)2-42=8+4>/3-16=473-8=4(>/3-2)<0,

即乎-1<1-日，仔）〉gg），综上，g（字<g*）<g$，

又〉=厘为增函数，ika<c<b,即b>c>a.故选：A.

3.（2022•天津•统考高考真题）已知a=207,b=，c=log21,则（）

A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

答案：C

解：>0=log2l>log21,.”>6>C.故答案为：C.

4.（2022•全国•统考高考真题）已知yMlOmuKr-lLbuge—g,贝4（）

A.a>Q>bB.a>b>0C.b>a>QD.b>O>a

答案：A

解：［方法一］:（指对数函数性质）

由9"'=10可得m=log10=黑>1

9而想叫11<1］=［等［<l=（lglO）2,所

1g9产产

以曾〉型

即加电“-

1g91g10.•.a=10"'—11>1011=0.

又lg81glO〈(3=(等)<(炮9『,..茬胃'即l°g89>〃z

<越詈2；<2JIgoIgy

=8m-9<810gs9-9=0.：.a>o>b.

［方法二］:【最优解】（构造函数）

由9m=10,可得，〃=log）。e（LL5）.

根据a/的形式构造函数/(尤)=廿一x—l(x>l),贝|/(力=,加7-1,

令((x)=0,解得％=机占，由，"=log910e(LL5)知天©(0,1).

f(x)在(1,+刃)上单调递增，.•"(10)>/(8),即a>b,

又,，/(9)=9log91°-10=0,:.a>0>b.故选:A.

3111

5.(2022•全国•统考高考真题)已知。=—*=cos-,c=4sin-,贝|()

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【解析】[方法一]:构造函数

(兀、Q1,

因为当工£0,不，xvtanx,故一=4tan—〉l,故一>1,所以c>Z?；

<2Jb4b

设/(x)=cosx+g炉_i,%£(o,+oo),/'(4)=一sinx+%>0,所以f(x)在(0,+oo)单调递增,

(131

f~>f(0)-0/.cos--------->0,所以.c>b>a,故选彳

⑷432

［方法二］:不等式放缩

2>

因为当xe[0,=],sinx<x,取％=!得：COs-=l-2sin->l-2f-|=—,故

I2；848⑻32

..11/r=­.(114

4sin—+cos—=V17sin^—+^?j,其中^G^O,—J,JLsin^=-^=,cos^=-^=

当4sin'+cos工时，—+(p=—,7L(p=~~—

444224

止匕时sin—=cos0=—j=cos—=sintz?=—j=./.cos—=——<—j==sin—<4sin—故

-4V174V174V/17如44'

b<c

：,b>a,.\c>b>a,故选/

［方法三］:泰勒展开

310.252

设％=0.25,贝I。=——=1—,一『但

322424!

1

1sin八Q^2Q,勺4

c=4sin-=^^®l--+^—,计算得c>6>a,故选A.

4

［方法四］:构造函数

—=4tan—,因为当xJo,g],sinx<x<tanx,tan—>—，即£>1,：.c>b-,设

b4I2；44。

/(x)=cosx+^x2-l,xe(0,+oo),/'(x)=-sinx+x>0,所以/(x)在(0,+oo)单调递增

则

/[：)>/(0)=。，所以cos；-||>0,:.b>a,:.c>b>a,故选：A.

［方法五］:【最优解】不等式放缩

—=4tan—,因为当xe[o,'],sinx<x<tanx,所以tan1>^，即£>1,所以c>〃；因

b4k2J44b

为当xe(0,g],sinx<x,取苫=!得cos』=]_2sin2l>]_2[l]=—,：.b>a,

\2；848⑻32

:.c>b>a.

故选：A.

6.(2022•全国•统考高考真题)设。=0.卜°」,6=。c=-ln0.9,贝|()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

答案C

解：方法一,:构造法

1Y

设/(%)=ln(l+x)-x(x>-1),因为/(%)=;——1=---,

l+x1+X

当无£(—1,0)时，f\x)>0,当%£(0,+8)时/'(x)<0,

所以函数/(%)=ln(l+x)-%在(0,+8)单调递减，在(-1,0)上单调递增，

/(1)</(0)=o,.-.lny-1<0,故卜吟=Tn0.9

即/?>C,

1919--111

f(---)<f(0)=0,In—+—<0,故—<e10,/.—e10<—,故〃<6,

10101010109

设g(x)=xe，+ln(l-x)(0<x<l),则g，(％)=(x+i)e*+-^=~:：+J

令力(尤)=e'(^2-1)+1,h'(x)-ex(x2+2x-l),

当O<x<0-1时，"(x)<0,函数〃(尤)=/(尤2-1)+1单调递减，

当a-1<X<1时，〃(x)>。，函数/2(%)=/(%2-1)+1单调递增，

又〃(0)=0,所以当0〈尤〈夜一1时，h{x)<0,

所以当0<尤<近一1时，g'(x)>0,函数g(x)=xe*+ln(l-x)单调递增,

所以g(01)>g(0)=0,即0.1e°i>—ln0.9,■-a>c,故选：C.

方法二：比较法

解：a=O.le01,b=-^-,c=-ln(l-O.l),

1—(J.1

①ln«-lnZ7=0.1+ln(l-0.1),

令/(-^)=x+ln(l-x),xG(0,0.1],

1—Y

则/,U)=1---=—<0,

1-x1-x

故f(x)在(0,0.1]上单调递减,

可得f(0-1)</(0)=0,即lna-ln&<0,所以a<b;

②o-c=0.1e01+ln(l-0.1),

令g(x)=xex+In(l-A：),x6(0,0.1],

1(l+x)(l-x)e%-1

则g\x)=xex+ex

1—x1—X

令*(x)=(l+x)(l-x)er-l,所以r(x)=(l-%2-2x)ex>0,

k(x)在(0,0.1］上单调递增，可得左。)>打0)>0,即g'(x)>0,

g(x)在(0,。』上单调递增，可得g(0.1)>g(0)=0,即a-c>0,所以a>c.

故c<a<b.

7.(2021•天津•统考高考真题)