2025高考数学冲刺复习：立体几何截面、外接球、动点归类（原卷版）

培优冲刺09立体几何截面'外接球'动点归类

籍优题型大集合

目录

题型一：动点：恒平行..................................................................1

题型二：动点：恒垂直..................................................................2

题型三：动点：球截面..................................................................3

题型四：动点；定角....................................................................3

题型五：外接球：线面垂直型............................................................4

题型六：外接球：垂面型................................................................5

题型七：外接球：两线定心法............................................................5

题型八：外接球：二面角型..............................................................6

题型九：外接球：最值范围型............................................................7

题型十：外接球：动点与翻折............................................................7

题型十一：动点型最短距离和............................................................8

题型十二：动点：内切球................................................................9

题型十三：多选题综合应用：二面角型几何体............................................10

题型十四：多选题综合应用：翻折型.....................................................11

题型十五：多选题综合应用：正方体表面动点型..........................................13

题型十六：多选题综合应用：两部分体积比型............................................14

题型一：动点：恒平行

线面恒平行，过线做面，需要找它们和第三个面的交线互相平行，借助好“第三个面的交线平行“这个性

质，可以解决线面恒平行题型的截面问题

1.在四棱锥中，PA1•平面ABC。，且E4=AC=2AB=2A。=4,G为PC的

中点，过AG的平面a与棱尸夙尸。分别交于点£、尸.若所〃平面ABC。，则截面AEGF的面积为.

2.在三棱锥A8CZ）中，对棱45=CD="AD=BC=>/13,AC=BD=M,当平面a与三棱锥ABC。的某

组对棱均平行时，则三棱锥ABCD被平面a所截得的截面面积最大值为.

3.（山西省怀仁市2022届高三下学期一模数学试）在四棱锥尸-ABCD中，底面A5CD是边长为20的正方

形，尸在底面的射影为正方形的中心。,尸。=4,。点为中点.点T为该四棱锥表面上一个动点，满足

都平行于过的四棱锥的截面，则动点T的轨迹围成的多边形的面积为（）

A.5A/5B.侦C.2D.迪

442

题型二：动点：恒垂直

2.（江西省南昌三中2021-2022学年高三10月月考数学（理）试题）在棱长为2的正方体ABCD-A与GA

中，E是正方形3片GC的中心，M为G2的中点，过AM的平面a与直线。E垂直，则平面。截正方体

ABCD-A4G。所得的截面面积为（）

A.4A/2B.276C.2^5D.2屈

3.（清华大学自主招生暨领军计划数学试题）已知正方体A8C。-446。的棱长为1,棱A4的中点为E,

AC与30交于点。.若平面a经过点E且与OG垂直，则平面。该正方体所得截面的面积为（）

A.—B.—C.—D.1

422

题型三：动点：球截面

1.已知正四面体尸-ABC内接于球。，点E是底面三角形ABC一边的中点，过点E作球。的截面，若存

在半径为6的截面圆，则正四面体ABC棱长的取值范围是（）

A.[A/2，A/3]B.I5痢

C.[20,2我D.[2A/3,2A/6]

2.（江西省景德镇市浮梁县第一中学2022-2023学年高三数学试题）已知正方体ABCD-取©2的棱长为2,

E为棱9的中点，截面CRE交棱于点/，则四面体CDFR的外接球表面积为（）

A397r「4171——437r

A•-----B.C*127rD.-----

444

O■rr

3.（新疆2022届高三年级第一次联考数学试题）已知三棱锥P-ABC,AB=BC=2,ZABC=—,PA=4^,

PA过三棱锥尸-ABC外接球心。，点E是线段AB的中点，过点£作三棱锥尸-ABC外接球。的截面，则

下列结论正确的是（）

A.三棱锥尸-ABC体积为城B.截面面积的最小值是2万

3

C.三棱锥P-A5C体积为亚D.截面面积的最小值是:

题型四：动点；定角

定角：定角，可以平移旋转而成圆锥母线、轴关系

1.直线和直线成定角，可与平移-旋转为圆锥母线与轴的关系。

2.直线与面成定角，可以平移旋转为：直线-一面的法向量==圆锥母线-一轴的关系

1.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面a所成的角都相等，则。截此正方体所得截面面积的最大

值为

A3石R2石「30nV3

A•---D,---C----D.

2.（江苏省连云港市灌南高级中学2022-2023学年数学试题）如图所示空间直角坐标系A-盯？中，P（x,y,z）

是正三棱柱ABC-4玛0的底面A4G内一动点，AA=A3=3,直线上4和底面A3C所成角为:，则尸点

坐标满足（）

z.G

B.x2+y2+z2=3C.x2+y2=27D.x2+y2+z2=T1

3.正四面体尸-ABC中，点M是棱2C上的动点（包含端点），记异面直线PM与48所成角为a,直线尸河

与平面ABC所成角为夕，则（）

/X.a>/3B,«</?C.a--PD.a„P

题型五：外接球：线面垂直型

1.（2022・河南开封,高三河南省杞县高中校联考开学考试）在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形,

平面ABCD,且PA=6,A3=8,则四棱锥尸-ABCD的外接球与内切球的表面积之比为（）

A・孚BTC-3

2.（2023河南,高三校联考阶段练习）已知正方体的外接球表面积为27万，点E为棱网的

中点，且平面a,点Ge平面a,则平面a截正方体ABC。-所得的截面图形的面积为（）

A810以81V2r81n81

4848

3.（2022・河北唐山•高三开滦第二中学校考阶段练习）如图，在三棱锥S-ABC中，S3,平面

ABC,AB±BC,SB^AB=BC=2,P,。分别为AB,BC的中点，则平面SPQ截三棱锥S-ABC的外接球所得截

面的面积为（）

s

C.2兀D.20兀

题型六：外接球：垂面型

面面垂直（俩面必然是特殊三角形）

等边或者直角：（1）等边三角形中心（外心）做面垂线,必过球也、；

（2）直角三角形斜边中点（外心）做面垂线,必过球心；

1.（2022・安徽•高三校联考阶段练习）四棱锥尸-ABC。中，ABC。是正方形，PA=AB=PB=^,且面

面ABCD,则四棱锥P-ABCD的外接球表面积为

A.8万B.10〃C.12万D.14〃

2.（2023•全国•高三专题练习）已知在三棱锥C-ABD中，△ABD是等边三角形，BC1CD,平面平

面6C。，若该三棱锥的外接球表面积为4乃，则AC=（）

A.也B."C.后D.-

222

3.（2022•全国•高三专题练习）在三棱锥尸—ABC中，PA=PB=JBC=4,AC=8,AB，BC.平面PABJ_平面

ABC,若球。是三棱锥P-ABC的外接球，则球。的表面积为（）.

A.25兀B.60万C.727rD.80〃

题型七：外接球：两线定心法

双线交点定心法（特殊三角形圆心垂线交点确定球心法）

（1）等边三角形中心（外心）做面垂线，必过球心；

（2）直角三角形斜边中点（外心）做面垂线，必过球心；

L（福建省龙岩市一级达标校2022-2023学年高三教学质量检查数学试题）三棱锥P-ABC的底面ABC是

等腰三角形，AC=BC=2,AB=2石，侧面PAB是等边三角形且与底面ABC垂直，则该三棱锥的外接球表

面积为一.

2.（湖北省鄂东南省级示范高中教学改革联盟2023届高三模拟考试数学（文）试）已知在三棱锥C-ABD中,

是等边三角形，BCJ_CD,平面AB£>_L平面6。。,若该三棱锥的外接球表面积为4；?■，则AC=（）

A.立B.9C.D.-

222

3.（江苏省盐城中学2022-2023学年高三上学期第三次阶段性质量检测数学试题）已知菱形ABGD边长为3,

za4Z）=60°,£1为对角线AC上一点，AC=6AE.将△ABZ）沿3D翻折到VA8D的位置，E记为E'且二面角

A-3D-C的大小为120°,贝归棱锥A-BCD的外接球的半径为；过F作平面a与该外接球相交，

所得截面面积的最小值为.

题型八：外接球：二面角型

1.向量法.一面角2一/一4的大小为。（0464乃）

rr

u-v

|cos

Mllv

2.定义法：在棱上任一点，分别在两个半平面内做棱的垂线，两垂线所成的角即为二面角的平面角

3.垂面法：做与棱垂直的平面，交二面角两个半平面，两条交线所成的角即为二面角的平面角

1.（2023•全国•高三专题练习）在三棱锥中，AB=BC=2,NADC=90,二面角O—AC—B的平

面角为30,则三棱锥ABC外接球表面积的最小值为（）

A.16（2/-1bB,16（2A/3-3）TT

C.16(2港+1,D.16(2肉3卜

2.（2022上•山西•高三校联考阶段练习）在边长为2的菱形ABCD中，BZ）=273,将菱形ABCD沿对角线AC

折起，使二面角3-AC-D的大小为60,则所得三棱锥88的外接球表面积为（）

「52°,c2°

A.4%B.—TCC.67rD.—71

93

3.（2023•全国高三专题练习）在三棱锥尸-ABC中，ABC为等腰直角三角形，AB=AC=2,△PAC为

TT

正三角形，且二面角尸-AC-3的平面角为:，则三棱锥P-ABC的外接球表面积为（）

6

人52c4八28C32

A.——71B.-7CC.---71D.---71

9939

题型九：外接球：最值范围型

1.（福建省泉州市南安第一中学2022-2023学年高三上学期月考数学）已知球。是正三棱锥A-3CD的外接

球，底边BC=3,侧棱A3=2g,点E在线段瓦）上，且BD=3DE,过点E作球。的截面，则所得截面圆

面积的取值范围是（）

571A「c“I971A11%，

A.—,4TTB.[2匹4»]C.—,4〃D.-----,44

4L」44

2.正三棱锥P—ABC,。为5C中点,PA=y[2,AB=2,过。的平面截三棱锥P-ABC的外接球所得截面

的面积范围为（）

-13一12

A.二犯二万B.一兀，一n

4523

3_

C.[匹2句D.冗、一兀

2

3.（山东省2023年普通高等学校招生统一考试数学必刷卷）已知等边三角形A3C的边长为2g,M,N分

别为AB,AC的中点，将AAW沿MN折起得到四棱锥A-MVCB点P为四棱锥A-MVCB的外接球球面

上任意一点，当四棱锥A-的体积最大时，四棱锥A-外接球的半径为，点?到平面

MNCB距离的最大值为.

题型十：外接球：动点与翻折

1.如图，在ABC中，A5=8,3C+AC=12,分别取Afi、BC、AC边的中点。,石,尸，将.以羽14£＞尸,_（?所分

别沿三条中位线折起，使得A民C重合于点P,则三棱锥P-DEF的外接球体积的最小值为

2.已知四边形ABCD是边长为5的菱形，对角线5。=8（如图1）,现以AC为折痕将菱形折起，使点6达

到点夕的位置.棱AC,的中点分别为&F,且四面体R4CD的外接球球心落在四面体内部（不含边界,

如图2）,则线段所长度的取值范围为（）

3.（2023・四川・四川省金堂中学校校联考三模）如图，在梯形ABC。中，AB//CD,AB=4,BC=CD=DA=2,

将△AC。沿AC边折起，使得点。翻折到点P,若三棱锥尸-ABC的外接球表面积为20小贝1］依=（）

题型十一：动点型最短距离和

◎0目点

多通过侧面（表面）展开，把空间距离转化为平面距离来求解。棱台、棱锥、棱柱，可以通过旋转截面（或者表

面）来达到空间距离转为平面距离

在展开的过程中，要注意不同几何体，可能有多种展开方式，要分开各自计算，再做比较

圆锥与圆台侧面展开示意图

1.（广东省广州市华南师范大学附属中学等四所中学2023届高三上学期期末数学试题）如图，在三棱锥

A-44G中，相，平面4百£,乙姬6=9。°,A耳=2AA=2耳G=2,尸为线段A片的中点，M,N分别为

线段AC1和线段4C上任意一点，则6PM+MN的最小值为（）

BTC.小D.2

2.（浙江省温州市平阳县2023届高三下学期5月高考适应性考试数学试题）在棱长为3的正方体

ABCQ-A耳中，0为棱。C的中点，E为线段AO上的点，且AE=2EO,若点分别是线段〃G，

BG上的动点，贝HPEF周长的最小值为（）

A.3-\/2B.1C.D..^42

3.在棱长均为26的正四面体ABCD中，M为AC中点，E为中点,P是DM上的动点，。是平面ECD

上的动点，则AP+PQ的最小值是（）

B.73+72c.讨D.2拒

题型十二：动点：内切球

11111

^D-ABC~^O-BCD^O-ABC^O-ACD^O-ABD=Jr^ABCD+-^AABD=

+§r5AAsc+§r5AAe05r(SABCQ+SAABC+1

nr_3VoYBC

SbBCD+

1.（安徽省阜阳市2022-2023学年高三数学试题）如图，正三棱柱ABC-A耳G的侧棱长为3，底面边长

2

为2,D,E,F,M,N分别为棱AC,AB,BC,AG,4G的中点，尸为线段MN上的动点，则三棱锥尸—DEF

内切球半径的最大值为.

C

2.（河南省商丘市部分学校2022-2023学年高中毕业班阶段性测试（三）数学试题）如图，有一半径为1的

球形灯泡，要为其做一个上窄下宽的圆台形灯罩，要求灯罩对应的圆台的轴截面为球形灯泡对应的大圆的

外切等腰梯形，则灯罩的表面积（不含下底面）至少为.

3.（百师联盟全国高三模拟考（三）数学试题）已知四棱锥P-ABCD,底面四边形ABCD为正方形，

PA=PB=PC=PD,四棱锥的体积为封1,在该四棱锥内放置一球。，则球。体积的最大值为

3

题型十三：多选题综合应用：二面角型几何体

1.（多选）（23-24高三•湖南长沙•阶段练习）已知函数/（好=彳4!1（如+0）（2＞0,。＞0,0＜9＜万）图象如图

1所示，A,8分别为图象的最高点和最低点，过A,3作x轴的垂线，分别交x轴于A1&,点C为该部分

图象与x轴的交点，/（无）与y轴的交点为£＞（0,道），此时/A4'3=135。.将绘有该图象的纸片沿无轴折成60。

的二面角c-OC-Z?,如图2所示，折叠后|A8|=20,则下列四个结论正确的有（）

图1图2

71

AA.（p=—

3

B.7（尤）的图象在（2,3）上单调递增

C.在图2中，/5）上存在唯一一点0,使得面ABC

D.在图2中，若匕心是/⑴上两个不同的点，且满足的，89/=1,2,则山闾的最小值为g

2.（多选）（2024•云南•模拟预测）如图，已知二面角齐的棱/上有A,8两点，C^a,AC±l,D^j3,BD±l,

A.当CP时，直线CO与平面4所成角的正弦值为迫

3

B.当二面角&-/-/的大小为60时，直线AB与8所成角为45

C.若CD=2AB=2,则三棱锥A-3CD的外接球的体积为之反

3

D.若CD=2AB,则二面角C—如-A的余弦值为2c

7

3.（多选）（2024,广东梅州,二模）如图，平面ABN人a,肱V|=2,M为线段42的中点，直线

MN与平面a的所成角大小为30。，点P为平面a内的动点，则（）

A.以N为球心，半径为2的球面在平面a上的截痕长为2%

B.若尸到点M和点N的距离相等，则点P的轨迹是一条直线

C.若P到直线MN的距离为1,则/APB的最大值为：

D.满足/肱VP=45。的点尸的轨迹是椭圆

题型十四：多选题综合应用：翻折型

翻折

1.翻折前后，在同一平平面内的点线关系不变

2.翻折过程中是否存在垂直或者平行等特殊位置关系

3.翻折过程中，角度是否为定值

4.翻折过程中，体积是否存在变化

1.（2024.吉林.模拟预测）如图1,在等腰梯形ABC。中，ABDC,且。C=2A3=2AO=4,。为BO的

中点，沿8。将翻折，使得点A到达H的位置，构成三棱锥A'-3CD（如图2）,则（）

图1图2

A.在翻折过程中，AD与可能垂直

B.在翻折过程中，二面角A-3C-。无最大值

C.当三棱锥A-3C。体积最大时，AD与CO所成角小于g

7T

D.点尸在平面A3。内，且直线PC与直线5c所成角为：，若点尸的轨迹是椭圆，则三棱锥A-5co的

6

体积的取值范围是与当

2.（22-23高三•山东蒲泽模拟）如图，矩形A5CD中，AB=2AD=2,E为边AB的中点，将VADE沿直

线DE翻折成△ADE（点A不落在底面BCDE内），若M在线段AC上（点/与A,C不重合），则在

VADE翻转过程中，以下命题正确的是（）

A.存在某个位置，使。

B.存在点M,使得平面A.DC成立

C.存在点〃，使得板//平面AOE成立

D,四棱锥体积最大值为Y2

3.（2024•河南南阳•一模）如图1,在直角梯形ABC。中，AB//CD,AB±AD,AB=3A/3,CD=4A/3,AD=3,

点E,尸分别为边AB,CO上的点，且E尸//4D,AE=2百.将四边形AE/*沿EF折起，如图2,使得平面AEFD±

平面E8CE点M是四边形AEFD内的动点，且直线MB与平面AE/*所成的角和直线MC与平面AEFD

所成的角相等，则下列结论正确的是（）

图I图2

A.AC1BF

B.点M的轨迹长度为R

C.点M到平面EBCF的最大距离为£

D.当点〃到平面E8C尸的距离最大时，三棱锥M-Bb外接球的表面积为28兀

题型十五：多选题综合应用：正方体表面动点型

L（2024•浙江•模拟预测）已知棱长为1的正方体ABCO-4耳GAB是空间中一个动平面，下列结论正确的

是（）

A.设棱破的）,"所在的直线与平面S所成的角为则sin2（z+sin，+sin2/=l

B.设棱ARAAAA,所在的直线与平面5所成的角为d/V,JjllJcos2（z+cos2/?+cos2/=1

C.正方体的12条棱在平面S上的射影长度的平方和为8

D,四面体A-瓦CR的6条棱在平面S上的射影长度的平方和为8

2.（2024•江西鹰潭•一模）直四棱柱A