2025年高考数学热点、重难点题型专项复习：集合与常用逻辑用语（新高考专用）（原卷版）

第01讲集合与常用逻辑用语（八大热点、九种解题

模型）

题型一：集合的表示

一、单选题

1.（2022.江苏南通.模拟预测）设集合4={（苍了）|2工-，=0},B={y|v=x2-2x+3）,则

AC3=（）

A.{1,3}B.{（1,2）,（3,6）}C.{ylj>2}D.0

2.（2022•河北秦皇岛•三模）已知集合A={1,2,3},B={（x,y）|xeA,yeA,|x-y|eA}中所含

元素的个数为（）

A.2B.4C.6D.8

二、填空题

3.（2022・上海•模拟预测）已知集合4={x|d-4x<0,xwN*},则用列举法表示集合

A=______

题型二：集合元素的特征

一、单选题

1.（2022・重庆•模拟预测）已知集合A={1,2,3},B^{a-b\a^A,b&A\,则集合2中元素

个数为（）

A.5B.6C.8D.9

2.（2022•重庆南开中学模拟预测）已知集合A={-1,0/},B=[a+b\a^A,b^A\,则集合

B=（）

A.{-1,1}B.{-1,0,1}C.{-2,-1,1,2}D.{-2,-1,0,1,2}

3.（2022・广东・揭西县河婆中学模拟预测）已知集合A、集合3={2,3,a,6},且

4。3={3,4},则下列结论正确的是（）

A.有可能a+0=8B.a+Z?w8

C.a+b<8D.a+b>8

题型三：集合的关系

一、单选题

1.（2022・河北•石家庄二中模拟预测）已知集合4={（工）0}=/},8={（x,y）|y=&},

1

则an8的真子集个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.（2022・海南海口•模拟预测）已知集合”={-2,0,1},N={尤卜依一2=0},若

NcM,则实数a=（）

A.2B.1C.0D.-1

3.（2022.江苏省木渎高级中学模拟预测）已知全集。集合43为其子集，若

BI@A）=0,则（）

A.B.gBC.AD.B

4.（2022•山东聊城•三模）设集合”={邓＜%＜3},^={x|log2（x-l）＜l},贝lj

（）

A.N建MB.M^NC.McN=MD.MuN=N

5.（2022.湖北.华中师大一附中模拟预测）若集合=则对于集合A及。的关

系，则下列关系中一定正确的是（）

A.AoBCB.ByC三A

C.CoBoAD.BoAoC

6.（2022•河北张家口•三模）已知A={%|%=2〃一l,〃wZ},B=^x\x=6k+m,k^7^,

机=0,1,2,3,4,5,若人口6=8,则根的取值集合为（）

A.{1,2,3}B.{2,3,5}C.{1,3,5}D.{0,2,4）

7.（2022.浙江.模拟预测）已知集合4={彳归=为，3={1,2,3},则AC8=

（）

A.©B.{/C.{1,2,3}D.{。,{1,2,3}}

8.（2020・南开中学模拟预测）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872

年，德国数学家戴金德提出了“戴金德分割”才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大

危机.所谓戴金德分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N,且满足

MDN=Q,MCN=0,M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称（M,N）为

戴金德分割.试判断，对于任一戴金德分割（M,N）,下列选项中一定不成立的是

（）

A.M没有最大元素，N有一个最小元素

B.M没有最大元素，N也没有最小元素

C.M有一个最大元素，N有一个最小元素

D.有一个最大元素，N没有最小元素

二、多选题

2

9.（2021•河北衡水中学三模）已知集合4=”昨2一3.18<0},

2={xeR,+ox+a--27<（）},则下列命题中正确的是（）

A.若4=3,则。=一3B.若则。=一3

C.若3=0,贝或“26D.若。=3,贝I]AcB={x卜3Vx<6}

10.（2021.广东湛江.二模）已知集合4=上如2-3龙-18<0},

5=R|.r2+ax+<7'—27<o1,则下列命题中正确的是（）

A.若A=B,则。=一3B.若则。=一3

C.若3=0,则。<-6或D.若时，贝l]-6<aW—3或.26

三、填空题

11.（2022・上海金山二模）已知集合4={-1,3,0},3={3,叫，若3三A,则实数机的值为

题型四：集合的运算

一、单选题

1.(2022.安徽蚌埠.一模)已知全集U={x|-3<x<3},集合A={x[d+*_2<o},则

加&=()

A.(-2,1]B.(-3,-2]u[l,3)

C.[-2,1)D.(-3,-2)u(l,3)

2.(2022•江苏・盐城中学模拟预测)已知集合4={,尤2-3工+220},8=卜卜+111元=0},则

()

A.[2,+oo)B.(-oo,l]C.(-oo,0)D.(^o,l]u[2,+co)

3.（2022•江苏泰州•模拟预测）已知全集。={0,123,4,5,6},集合A={0,2,4,5},集合

3={2,3,4,6},用如图所示的阴影部分表示的集合为（)

A.{2,4}B.{0,3,5,6}

C.{0,2,3,4,5,6}D.{1,2,4)

3

4.（2022・广东•模拟预测）已知集合A=1（x,y）三|="，集合

5={（尤,y）卬+y-2-。=0},AQB=0,则。的取值范围是（）

A.a--\B.asR且awl

C.acR且aw—1D.QER且。wl且aw—1

5.（2022・广西师范大学附属外国语学校模拟预测）设集合A={（x,y）|y=2]},

8={（尤,力}=/},则集合408的元素个数为（）

A.3B.2C.1D.0

6.（2022.辽宁实验中学模拟预测）已知集合A,B满足

A=[x\x>a^,B={x\x<a-^-b},（a,bER）,若24^|5=尺则（）

A.b<0B.b<0C.b>0D.b>0

7.（2022・湖北•孝昌县第一高级中学三模）已知集合A={2,3,4},

B={xeZ|x2-8^+12<0},则AU^中元素的个数是（）

A.4B.5C.6D.7

8.（2022•湖南岳阳•模拟预测）已知集合4={0,1,2,3,4},B={x\x>m],若AQ&B）

有三个元素，则实数机的取值范围是（）

A.[3,4）B.[1,2）C.[2,3）D.（2,3]

二、填空题

9.（2022・上海•华师大二附中模拟预测）已知集合A=（0,2）,B=（l,3）,则A。3=

题型五：集合与排列组合概率

L.设集合A={1,2,3,…,2020},选择A的两个非空子集B和C,要使C中最小的数大于8

中的最大数，则不同的选择方法有;

2.（2022.上海.模拟预测）已知复数z是方程0的一个根，集合

X

21

M={x|x=Z-,«eN-},若在集合M中任取两个数，则其和为零的概率为.

题型六：新定义

1.用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义&4]《,若4=

{1,2},8={冰/+冰>（炉+办+2）=0},且A*B=1,设实数。的所有可能取值组成的集

合是S,则C（S）等于（）

A.1B.3C.5D.7

4

2.在九元数集S={%,%,…，叫中，设耳5）=幺土七二±2，若S的非空子集A满足

x（A）=x（S）,则称A是集合S的一个“平均子集”，并记数集S的上元“平均子集”的个数为

八信）.已知集合5={1,2,3,4,5,6,7,8,9},T=p-3-2,-1,0,1,2,3,4},则下列说法错误的

是（）

A.%（9）=方⑴B.启8）=%⑴

C.%⑹=力（4）D.人（5）=%（4）

3.（2022・北京朝阳•一模）对非空数集X,Y,定义X与¥的和集

X+y={尤+y,eX,ye4.对任意有限集A,记|A|为集合A中元素的个数.

⑴若集合x={0,540},y={-2,-1,0,1,2},写出集合x+x与x+y；

⑵若集合*={占,赴,…,当}满足王〈/<…〈/，n>3,且|X+X|<2|X],求证：数列

X1,巧,L,xn是等差数列；

（3）设集合X={菁当}满足再<七，n>3,且％eZ〉=l,2,集合

B={k&Z\-m<k<m^（m>2,meN）,求证：存在集合A满足|川41+”忸：且

X^A+B.

题型七：集合与圆和圆锥曲线-

L设集合M,N={（x,y）卜一2），（'-2）2=户]（r>0）.当McN有

且只有一个元素时，则正数「的所有取值为（）

A.2+0或2应-2B.2<r<2^5

C.2<rV2相或r=2夜-2D.2<r<2>/5^4r=2A/2-2

2.已知集合4={（无,刈国+2M<4},集合8={（尤,川（尤-〃2）2+>2=1},若BQA,则实数

m的取值范围是_______.

3.设集合A={（x,y）l（x+3sina『+（y+3cosa『=l,czeR},B={（x,y）|3x+4y+10=0},,己

5

尸=Ac3,则点集P所表示的轨迹长度为（）

A.2石B.2sC.472D.4币

4.如图，有6个半径都为1的圆，其圆心分别为01（0,0）,。2（2,0）,。3（4,0）,。4（0,

2）,。5（2,2）,。6（4,2）.记集合i=l,2,3,4,5,6）.若A,2为M的非空

子集，且A中的任何一个圆与B中的任何一个圆均无公共点，则称（A,8）为一个“有序集

合对”（当小弟时，（A,B）和（B,A）为不同的有序集合对），那么M中“有序集合对“（A,B）

5.（2020福建福清西山高三）设平面点集

A=1（x,y）|（y-x）（y-1）>o1,B=｛（x,）；）|（^-l）2+（y-l）2<l｝,则4口3所表示的平面图形

的面积为

题型八：集合与数列

一、填空题

1.（2022.海南华侨中学模拟预测）已知集合&=｛》忖=2"-1,〃6?4*｝,

B=,卜=2\neN*｝,将中的所有元素按从小到大的顺序排列构成一个数列｛%｝,

设数列｛%｝的前n项和为Sn,则使得S“>100成立的最小的n的值为.

二、双空题

2.（2023・全国•高三专题练习）设集合A=｛2"|0V"V16,〃eN｝,它共有136个二元子集，

如｛2。,当、p,22｝、…等等，记这136个二元子集为用、与、层、…、稣6,设

耳=｛x,y｝（l<z<136,ieN*）,定义S（旦）=卜-y|,将S（g）按照从小到大排列构成数列

｛cn｝,则。7=;则S（3J+S（耳）+5（鸟）…+S（综6）=.（参考数

据：7x*=1835008,结果用数字作答）

三、解答题

3.（2022・湖北・襄阳四中模拟预测）已知等差数列｛%｝满足弓=1,且前四项和为28,数列

也｝的前"项和S,满足2sli=-32（26R）.

⑴求数列｛%,｝的通项公式，并判断抄/是否为等比数列；

（2）对于集合A,B,定义集合A-3=｛x|xeA且爪母.若2=1,设数列｛4｝和圾｝中的所有

6

项分别构成集合A,B,将集合A-3的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列

｛g｝,求数列｛%｝的前30项和7M.

4.（2022・广东•高三阶段练习）已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“，4+%=10,S9=81.

⑴求凡;

⑵若集合4=｛也=4，"—*｝,3=卜|彳=2%一*｝,将AUB中的所有元素按从小到大顺

序排列，构成数列｛〃｝.设数歹支2｝的前〃项和为求4.

5.（2022・全国•高三专题练习）已知等比数列也｝和递增的等差数列｛%｝满足q=12,

b]=1,a?—5b2,〃3—2b3.

⑴求数列｛%｝和数列也｝的通项公式；

⑵数列｛4｝和数列也｝中的所有项分别构成集合A和B,将AU3的所有元素按从小到大

依次排列构成一个新数列｛%｝，求数列｛g｝前63项和几•

6.（2022.江苏省赣榆高级中学模拟预测）已知数列｛%｝的前”项和为S“，且满足4=1,

S“+i=2S"+l,«eN+.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵令久=log2a记｛■中所有的项构成的集合为A,也｝中所有的项构成的集合为8,

将AU3中的所有元素从小到大依次排列得到数列｛%｝,求｛&｝的前50项的和.

7

7.(2021・上海虹口•一模)已知集合A={引丫=2X,%€77*},8={y|y=3*,xeN*}.A|J3中

的所有元素按从小到大的顺序排列构成数列{见},S“为数列{4}的前“项的和.

⑴求心；

(2)如果勺=81,a2022=t,求冽和t的值;

中一1、

(3)如果〃=—寸+k(ksN*),求1电(用。来表示).

❶【九种解题模型】

一：venn图法解决集合运算问题

一、单选题

1.(2022•海南•嘉积中学模拟预测)已知全集。=R,集合A={2,3,4},集合

3={0,2,4,5},则图中的阴影部分表示的集合为()

C.{5}D.{0,5}

2.(2022•山东潍坊•模拟预测)如图，已知全集。=R,集合A={1,2,3,4,5},

B={x|(x+l)(x-2)>0],则图中阴影部分表示的集合中，所包含元素的个数为

()

8

A.1B.2C.3D.4

3.（2022•浙江绍兴•模拟预测）已知全集。={0,123,4,5},集合A={1,3,5},B={0,l},

则（CMnB=（）

A.{0}B.{2,4}

C.{0,1,3,5}D.{0,1,2,4）

二、填空题

4.（2019•江苏南京•三模）已知全集U={1,2,3},A={2},则加A=.

5.（2020•江苏南通•三模）已知集合A={0,2},B=[-1,0},则集合B=

二：分类讨论方法解决元素与集合关系问题

一、单选题

1.（2013•全国•高考真题（理））设集合A={1,2,3},B={4,5},

M={x|x=a+b,aeA,beB）,则M中元素的个数为（）

A.3B.4C.5D.6

二、填空题

2.（2022•北京石景山•一模）已知非空集合48满足：AUB=R,4口8=0,函数

=对于下列结论：

3x-2,x&B

①不存在非空集合对（A,5）,使得外”为偶函数；

②存在唯一非空集合对（A3）,使得为奇函数；

③存在无穷多非空集合对（A3）,使得方程〃力=0无解.

其中正确结论的序号为.

三、解答题

3.（2020•北京•模拟预测）对给定的正整数〃,令Q,={a=（q,a2,见）|a,e{0,

1）,z=l,2,3,…，n].对任意的x=（%,巧，…，x“），y=（%,%，

9

y„)w，定义x与>的距离d{x,y)=|.r1-y1|+|x2-y2|+...+|x„-y„|.设A是的含有至少

两个元素的子集，集合。={4(x,y)|x*y,x,yeA}中的最小值称为A的特征，记作》

(A).

(1)当〃=3时，直接写出下述集合的特征：A={(0,0,0),(1,1,1)},B={(0,

0,o),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)},C={(0,0,o),(0,0,1),(0,1,

1),(1,1,1)).

(II)当“=2020时，设4G。2020且力(A)=2,求A中元素个数的最大值；

,2020

(III)当“=2020时，设4=且力(A)=3,求证：A中的元素个数小于^—.

2021

三：根据集合包含关系求参数值或范围

一、单选题

1.（2021•全国•模拟预测）已知集合4=卜b=j3+2x-/1,2={小一左+2|>2}.若

=则实数4的取值范围为（）

A.（7,+oo）B.（-oo,-l）

C.（-1,7）D.（-8,-1）U（7,+8）

2.（2021•全国•模拟预测）已知集合A={x|2<x<4},2=同2无一2a-1区1},若

=则实数。的取值范围是（）

A.（1,3）B.（2,3）C.[1,3]D.[2,3]

四：数轴法解决集合运算问题

一、单选题

1.（2022•四川•泸县五中模拟预测（文））设全集U=R,已知集合4={/9>4»,

3

B={x\y=4^},则QG4nB）=（

A.[0,4]B.（一s,4]C.（一8,0）D.[0,+s）

2.（2022•江西宜春•模拟预测（文））已知集合4=卜b=而1},8={无卜|<2},则

AAB=（）

A.RB.0C.[1,2]D.[1,2）

10

3.（2022•全国•模拟预测（文））已知集合”={祖吗尤<1},"={小2叫，则

MuN=（）

A.（-oo,l]B.（-oo,2）

C.[-1,2）D.（0,1]

二、填空题

4.（2022•重庆市育才中学模拟预测）设集合4=卜旧43},8=卜|尤2-6尤+5<0},则

5.（2020•上海•模拟预测）已知集合4={即。82（尸2）<1},B=jx|<lj,则

A[}B=.

6.（2020•江苏•模拟预测）已知集合A={x|—l<x<2},B={%|x>0},则

AW.

7.（2020•江苏•吴江盛泽中学模拟预测）已知集合A={0」,2},集合8={*|/-2<0},

则标=.

8.（2020•江苏镇江•三模）已知全集U=R,/={x|f（x）=ln（/-1）},B={x\x-

2…<。}，则4n的B=——•

五、元素、子集、集合的个数

22

1.（2022•衡水模拟）已知集合4={削三_+工_=1,xdN},月U位{0,1,2,3,4）,则满

43

足条件的集合C的个数为（）

A.2B.3C.4D.5

2.（2022•密云区一模）已知集合户={x|0<x<4,xdZ},且兹R则〃可以是（）

A.{1,2}B.{2,4}C.{0,2}D.{3,4}

六、集合的交、并、补全的运算

3.（2022•温江区模拟）集合/={aGZ|a2w4},B={b^\b<?,},则ZA6=（）

A.{1,2}B.{0,1,2}

C.{-2,-1,0,1,2}D.{1,2,3}

4.（2022•温江区模拟）给定正数a，6及实数m,记

22

A={（X,y）,B_=（（X,y）|—^―=m}>若满足凡=。的实数0的

a2x-1

取值集合为{2,-2},贝I（）

A.a—2,b—1B.a=4,b—1C.a=l,6=2D.a=l,6=4

11

七、集合法解充分必要条件

5.（2022•浙江模拟）设x,y都是不等于1的正数，则“logx2<log?’是"2'>2'>2”

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.（2022•丹东模拟）若xGR,则使‘寸<2『’成立的一个必要不充分条件为（）

A.0B.2X2>4，C..2>1D.x>0

八、充分、必要条件的应用

7.（2022•义乌市模拟）已知实数a,b,a>0,6>0,则“a+£<2”是通”的

（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

8.（2022•海口模拟）已知x,yGR且步0,则“x>y”是“•！〉上”的（）

XX2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

九、量词命题及其否定

9.（2022•齐齐哈尔三模）已知0<6<a<l,下列四个命题：①Vxd（0,+«=>）,a>b\

②Vxd（0,1）,log”〉10gzix,③mxd（0,1）,x>x,④mxG（0,6）,a>

log#.其中是真命题的有（）

A.①③B.②④C.①②D.③④

10.（2022•辽宁模拟）关于圆C-.（.x-a）：+y=a,有下列四个命题：

甲：圆C的半径r=l；

乙：直线x+\^y+3=0与圆。相切；

丙：圆C经过点（2,0）；

T：直线x-y-1=0平分圆C,

如果只有一个命题是假命题.

则该命题是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

H【热点、重难点真题训练】

12

一.选择题（共12小题）

1.(2022•新高考I)若集合M={x|«<4},N={x|3x》l},则MCN=()

A.{x|0Wx<2}B.{x|」Wx<2}C.{x|3Wx<16}D.{尤|」Wx<16}

33

2.(2022•乙卷)设全集U={1,2,3,4,5),集合M满足CuM={l，3},则()

A.2eMB.3EMC.4正M