2025届高三高考数学三角恒等变换（八大题型＋精准练习）

三角恒等变换(八大题型+精准练习)题型归类

题型一、两角和与差的三角函数公式的应用

题型二、两角和与差的三角函数公式的逆用与变形

题型三、角的变换问题

题型四、二倍角公式的应用

题型五、给角求值

题型六、给值求值

题型七、给值求角

题型八、三角恒等变换的综合应用

题型一、两角和与差的三角函数公式的应用

知识要点

两角和与差的正余弦与正切

①sin(df±0)=sinacos^±cosasin^;

②cos((2±6)=cosdrcos^+sinasin/?；

精准练习

1.(24—25高三•山东泰安•开学考试)已知sin(a+6)=[,sin(a-0)=《,则普*=()

o2tanp

D.—5

2.(24—25高三上•安徽•开学考试)已知sin(&+£)=-1■，上+焉=2,则sinasi*=()

3.(24—25高三•重庆•阶段练习)已知COS(Q+6)cosacos^=■，则cos(2a-20)=()

O/

4.(2025.广东•一模)已知sin(a+*^)—sinq=半则cos(2a+~|")=()

5.(2024•江西九江・二模)已知a，BE(0昼),cos(u-0)=卷,tana-tan^=小则a+0=()

6.(24—25高三上•江苏徐州•开学考试)已知sin(a-6)=2cos(a+6),tan(a—£)=《，则tana—tan^=

o

()

7.(2025•黑龙江大庆.一模)已知OVaV^V兀，且sin(a+£)+cos(a+£)=0,sinasin/3=6cosacos£,则

tan(a—6)=()

A.-1B.-C.一看D.--y

8.(24-25高三上•河北张家口.开学考试)已知sin(a—£)=春,更吟=4,则sin(a+£)=

3tan//---------

题型二、两角和与差的三角函数公式的逆用与变形

知识要点

1、两角和与差的正切公式的变形

tana±tan^S=tan(a±£)(1干tanatan^)；

介ttanof+tan5tana—tan£.

tana•tanp=1--------；-------=------；------；----1.

tan(a+6)tan(a—£)

2、辅助角公式

asina+bcosa=Va2+fe2sin(a+。)(其中sin。=，cos。=。

Va2+fe2Va2+fe2

精准练习

9.(23—24高一.黑龙江齐齐哈尔.期末)tanl30+tan32°+tanl3°tan32°=()

A.tanl9°B.1C.—tanl9°D.—1

10.(2024•福建泉州•模拟预测)若sin9+V^cosJ=2』Utan9=()

A.-V3B.-乎C.卓D.V3

oo

题型三、角的变换问题

知识要点

拆分角问题：

①a=2^号；a=(a+£)—6；②a=£—(£—a)；③a=2[(a+£)+(a—£)]；

④£=/[(&+£)—(&—£)]；⑤£+a=

注意:特殊的角也看成已知角，如常用的拆角、配角技巧：2a=(a+£)+(a-£)；a=(a+S)-B=(a—£)+

£；£=^|^一^^=3+2£)—(。+£);0-£=(“一7)+(7—£);15"=45°—30°；+a=(^―a)

等.

___________F

精准练习

11.(24-25高三・安徽,阶段练习)若(：0$3+6)(3056=上3为11(0+6)=3coy,则cos2a=()

msmp

A.警-1B.%-1C.-^-1D.W-1

mmmm

12.(2024•江苏镇江•三模)已知角a,0满足tana=2,2sin6=cos(a+£)sina,贝Utan/?=()

A1C—D.2

3B-7。6

13.(24—25高三•福建福州•开学考试)已知a,/3E(0,兀)，且cosa=春，sin(a—£)=&■，则cos/3=()

513

晅R16C33

AB-65Q65DT

,6565

14.(23—24高一・江苏南京・期末)若sin(a+6)=cos2asin(a—£)，则tan(a+£)的最大值为()

A®B

A,2-4

15.(2024•黑龙江双鸭山•模拟预测)已知a,(0,(),cos2a—sin2a=■，且3sin0=sin(2a+0),贝!|a+£

的值为()

A工c兀D

12C-Tf

16.(23-24高三•天津•阶段练习)已知角a,£为锐角，tana=孚，sin(a-£)=噜，则tan(2a—£)的值

ZJL41

为

17.(24—25高三•福建•阶段练习)已知tan(a+6)=4,tan(a-0)=—3,则tan20=

题型四、二倍角公式的应用

知识要点

1、二倍角公式

①sin2a=2sinacosa；

②cos2a=cos2a—sin2a=2cos%—1=1-2sin2a；

③tan2a=3邈号；

l-tan%

2、降次(幕)公式

・

smacosa=-1sm•2cof；si•n2a=1--—-co--s2--a;cos2a=-1-+-c-o--s-2-a

3、半角公式

崂=±；COSy=±1+cosa

2

a

tansina1—cosa

21+cosasina

精准练习

2

18.（2025•安徽・模拟预测）six?若-sin^-)•

B-f

19.（24—25高三•安徽亳州•开学考试）已知QG（0号）,sin3a=5sinacos2a,则tana值为（）

A.V3B.乌。•夸D.1

20.（24—25高三•广西•阶段练习）已知sin[+a）=3$山仔—°）,则cos2a=（）

43

RB3

5*-4

21.(24—25高三・云南昆明•阶段练习)已知3sin(8+等)=cos(9+看)，则cos2d=()

四

A__—n_LQCJLD

A。27-2-2

22.（23—24高一•江苏无锡•阶段练习）已知函数/（c）=cos%*+sin&xrcos&xr->1）的一个零点是

且/㈤在（—专卡）上单调，则3=（）

11

A—B7D.

4-ZT

23.（24—25高三・江苏徐州•阶段练习）已知sin2a=%e(o奇)，贝!Jcos(a+1)=()

平V15

A.B.4D.

66c-3

4tan需

24.（24-25高三・全国•阶段练习）已知-------cosasin(6+)=1,则tan(6—a)=(

1+tan2^-\3

B-<2V3

A.瓜C.1D.

3

25.（多选）（2024•辽宁・模拟预测）已知aC*，兀）,£e（0,7T）,cos2a=—|-,cos（/?—ff）=—（）

A.tana=--B.sin（/?—«）="7那

C.a+6=D.cosacos/3=—

题型五、给角求值

知识要点

（1）给角求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系,借助角之间的联系寻找转化方法.

（2）给角求值问题的一般步骤

①化简条件式子或待求式子；

②观察条件与所求之间的联系,从函数名称及角入手;

③将已知条件代入所求式子，化简求值.

精准练习

1cos菖兀

26.（23—24（Wj二・甘肃•阶段练习）计算---------1-------（）

2cosg兀cos告兀

55

A.2B.—C.-1D.-2

27.（多选）（23—24高三.安徽合肥.阶段练习）下列代数式的值为/的是（）

A.COS275°—sin275°B.—的111?C.cos36°cos72°D.2cos20°cos40°cos80°

l+tan215°

28.（23-24高三•吉林长春•阶段练习）,8s20（tan20，+右）=

Vl+cos20

29.（2024.广东深圳.模拟预测）计算：cos72°cos（-36°）=.

30.（23-24高三・安徽・期中）tan20°+4sin20°=.

er/八__.人e"±°。osin50o（l+V3tanl0o）—cos20°

31.（2024IWJ二•全国•专题练习）化间求值：cos36cos72H----------=：--------------.

cos80°V1—cos20°

32.（2024高一•湖南株洲・竞赛）上空呼■—2cosl00=

2sinl0------

33.（11—12高一•全国课后作业），"tanl2—3。=

（4COS212-2）sinl2------

题型六、给值求值

知识要点

给值求值:给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”，使其角相同或

具有某种关系，解题的基本方法是:①将待求式用已知三角函数表示;②将已知条件转化而推出结论，其中

“凑角法''是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这

些关系来选择公式

精准练习

34.（2024•河南新乡•模拟预测）设cos20。=a,则「1。—=（）

V3tan50—1

A.与近B.空4C.aD.a2

O/

35.（24-25高三上•江苏徐州•开学考试）已知sin（a+（+sina=1，则cos（2a+~|~）

Q__________

36.(24—25高三・湖南衡阳•开学考试)已知cos(a+£)=娓4鼻，sina-sin.=,则cos(2a—2£)=

()

A.卷B.乎C.卑D.1

ZZZ

37.(24—25高三•云南昆明•阶段练习)若sinl60°=7n,则sin40°=()

A.—2mB.—2mVl—m2C.—2mVl+m2D.2mVl—m2

38.（24-25高三.四川绵阳.开学考试）已知sin《-cosg=^,0E（0,兀），则1俨12。+=

幺23cos0—sin9

()

一卷「31n*

A.-<B,一才一武

355cD.

39.(24-25高三安徽•阶段练习)若cos(")c°sS=*an(a+£)=靠，则cos2a=()

42

A.警-1B.^4-1C.---1D.---1

mmmm

40.（24—25高三•贵州黔东南•开学考试）已知aG（0,兀），且cos（a+于）=今，则cos2a=（）

A4V2,4V2C.y口.士田

A•丁RB.土丁

41.(2024•山东淄博•二模)设0G(0,5),若sina=3sin(a+2£),tan/?=-^■，则tan(a+20)=()

7B.*C.-乎D.乎

42.(2024.江西宜春.模拟预测)已知ae,tan(3+a)=[tan—a),则^一si，2*=()

'24，'4'2'4'4cosa

A.6+4V2B.6-4V2C.17+12V2D.17-12V2

43.（2024•湖南衡阳•模拟预测）已知cos（I--a)=g,则$也(号^+2&)=()

\5

A.《B.4V24V2

9999

44.(2024•安徽合肥•三模)已知2sina=1+2通cosa,则sin(2”号)=()

\67

AB

--l-lC'T

45.(2024•河北保定•三模)已知锐角a,£(a40)满足sina+2cosa=sin/3+2cos£,则sin(a+£)的值为

()

A3VWn2V5Cc3

10-T

46.（2024•福建泉州•模拟预测）已知明£均为锐角，sin（2a—£）•cosa+sin£,贝！Jsin(a—6)=()

3

A"Bcr2D

5--5-y--3

47.(2024•重庆•三模)已知aG(0昼)，且2sin2a=4cosa—3cos%,则cos2a=()

D.罕

A，2BCc，—

9f9o

48.(2024•山西•三模)若sin2a=^^,sin(£—a)

cos(a+6)=()

3o

A娓+鼻口V30D2斯

B

6--r6

题型七、给值求角

知识要点

给值求角:解此类问题的基本方法是:先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助

三角函数图像、诱导公式求角.

精准练习

49.（23—24高一•江苏盐城・期中）已知tana=—tanjB=2,且E（0,兀），则a+0的值为（

O

R3兀C5兀

A匹BcD?

4--T-ir

50.（23—24高一・河南•阶段练习）已知0VaV方，（1+sin2a）sin告=2cos之吉cos2a，则a=

A—B.察c兀一

142o-7

51.（多选）（2023•山西•模拟预测）已知0V6VaV。•，且sin（a—/?）=:.tana=5tan0,则（)

4o

A.sinacos£=之B.sin£cosa=yC.sin2(7sin2/?=D.a+/3=-^~

6123b3

52.simn（于一a）,则a的值为

53.（2024高三・江苏•专题练习）已知a为锐角，且sina+sin（a+g

54.（23-24高三•河北石家庄•阶段练习）若a,£6-y->sin（y-^）=一^■，贝I]a+6

题型八、三角恒等变换的综合应用

知识要点

（1）进行三角恒等变换要抓住:变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系;注意公式的逆用和变形使用.

⑵形如y=asinx+bcosx化为y=Va2+b2sin（x+cp），可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性.

精准练习

55.（2024.广东珠海.一模）函数/⑺=2屈也2（如）+sin（2@c+奢），其中0>0,其最小正周期为兀，则下

列说法错误的是（）

A.8=1

B.函数/⑺图象关于点（等四）对称

C.函数/（力）图象向右移卬（0>0）个单位后，图象关于5轴对称，则卬的最小值为普

D.若力6[（）,£■],则函数/（①）的最大值为，5+1

56.（22—23高三上•河北唐山・开学考试）已知a,£e（0,g）,且H^=tan（与+&）,则（）

\27cosp'4）

A.2a=6B.a=BC.a+£=D.a+8=冗

57.（2024.宁夏吴忠•模拟预测）下列四个函数中，最小正周期为2兀的是（）

A.f（x）=cos2c+sinccos%B..0°s2/

J''J'）2smecosc

C./（力）=cos（%+~|~）+cos（力—D./（力）=sin（6+V）cos（c+*）

58.（多选）（2023•河北保定•三模）已知/（力）=2V3cos2a:+2sinccosc—V3，则（）

A./⑸=2cos（2/_^"）

B./O）的图象的对称轴方程为力=2k7T—卷（kez）

o

C./（20237r）=V3

D.f3在（一^^‘—"上单调递减

59.（2024高三・全国・专题练习）设/（力）=2sin力cos力—2sin2^-当⑦2（。号）时，/（力+专）=―1■'则

cos2rc的值为.

60.（24-25高三上・河南•开学考试）已知函数/⑺=5皿22+5也（21—年）在区间（0,m）上有且仅有2个零

________________________________F

点，则实数小的取值范围为.

61.（24—25高三・福建•阶段练习）已知函数/（力）=2V2cos2a:+2，^sin力cosc.

（1）将/（/）化成/（2）=Acos（cox+g））+B（A>0,^>0,|^）|<7c）的形式；

（2）求/（力）的单调区间；

（3）若f3）在上的值域为求b—a的取值范围.

62.（24—25高三•北京・开学考试）已知函数/（力）=COST（2A/3sinrc+cosre）—sin?2.

（1）求函数/（为的最小正周期和单调递增区间；

（2）若/（2）在区间［0,山］上有且只有两个零点，求小的取值范围.

63.（22—23高三・陕西榆林•阶段练习）已知平面向量后=（sin（力—看）,］）,日=（cosc,］）.

⑴若左_Lit，/e求实数力的值；

（2）求函数/（%）=m-n的单调递增区间.

64.（24—25高一•全国・期末）设/㈤=2sinccosc+2sin（c+j~）•sin（十—re）.

⑴当力e［—寺o］时，求/⑵的最大值和最小值；

（2）已知/（一卷）=乎,且当着WaW27r时，求/⑷的值.

三角恒等变换(八大题型+精准练习)题型归类

题型一、两角和与差的三角函数公式的应用

题型二、两角和与差的三角函数公式的逆用与变形

题型三、角的变换问题

题型四、二倍角公式的应用

题型五、给角求值

题型六、给值求值

题型七、给值求角

题型八、三角恒等变换的综合应用

题型一、两角和与差的三角函数公式的应用

知识要点

两角和与差的正余弦与正切

①sin(df±0)=sinacos^±cosasin^;

②cos((2±6)=cosdrcos^+sinasin/?；

tana±tan£

③tan(a±6)=

1+tan(2tan^'

精准练习

1.(24—25高三•山东泰安•开学考试)已知sin(a+6)=春，sin(a-0)=4■，则产吗)

o2tanp

A,X5C.5D.—5

【答案】。

【详解】根据题意，由两角和与差的正弦公式，可得：

sin(«+/?)=sinacos§+cosasin/?=:，sin(«—/?)=sintzcos/?—cosorsin/?=J,

o/

联立方程组，可得sinofcos/?=卷,cosasin^=—七，

Q-L

tandf_smacos"_12

又由

tan^cosdfsinyS__L

故选：D

2.(24-25高三上.安徽.开学考试)已知-6)=得上+』=2,则sinasin.=()

c,_L

A，__1—0B-l5D-w

【答案】A

1+1_costz+cos0_cosdfsin^+cosySsindf_sin(6+a)

【详解】因为sin(a+6)——因为

tan(7tan^Ssinasin/3sinasin/3sinasin/3

所以sinasin^=―需.

故选：4

3.(24—25高三・重庆•阶段练习)已知cos(a+6)=!，cosacos/?=；，则cos(2a—26)=()

O/

21

A。c__-D.-

393

【答案】。

【详解】,**cos(a+6)=costzcos^—sintzsin^=),cosacos£=[

o乙

•..sm.a.smHA丁1[1石1

cos(2a—20)=2XIF-4

故选：C.

4.（2025•广东•一模）已知sin（a+K—sina=,贝！Jcos

o

A——c，—D

99-f

【答案】B

兀或乎

【详解】由题干得1~=sin(a+-sina=na+cosa-sina

3

V31.

=—costz—1smacos((2+—

\6

1

所以cos(2c+~^)=2cos2(a+%-1=2义21

I)-9

故选：

卷,・。,则

5.（2024•江西九江•二模）已知a,£6(0.,y),COS(t?-^)=tanatan£=a+£=()

D.等

A三RB兀c

,3-7-io

【答案】A

【详解】因为cos(a—£)=3,tana•tan/?=!

o4

2

cosdfcos^+sinasinB=卷COStZCOS/?=y

所以sinasinf_1，解得

sinasin^=，

cosacos04

所以cos(a+6)=cosdfcosyS—sinasin^=/,

又a/G(0,g，所以a+0e(0,兀)，所以2+6=看.

故选：A

6.(24—25高三上•江苏徐州•开学考试)已知sin(a-6)=2cos(a+6),tan(a—£)=g，则tana—tan^=

(),

A.4B.Jc.4D./

7456

【答案】A

【详解】因为sin(a—£)=2cos(a+0),

___________________________________F

则sinacos^—cosasin^=2(cosacos0—sinasiM),

由题意可知：cosa#0,cos6W。,

两边同除cosdfcosyS,得到tan(7—tan/?=2-2tana•tan^,

or八rtana—tan/?

即tana•tan6—1--------------------,

tana—tan6_tana—tan/?_1

又因为tan(。一6)

1+tana•tan§]+]_tana—tan63

4

所以tana—tan/?=

7

故选：A

7.(2025•黑龙江大庆•一模)已知0VaV£V兀，且sin(a+0)+cos(a+£)=0,sin(zsin/?=6cosacos£，则

tan(a—6)=()

A.-1B.-C.-D.-Y

【答案】。

【详解】由题意得sin(a+0)=—cos(a+0),则tan(a+6)=—1,

又因为sinasin/3=6cosacos§,所以tanatan0=6,tana,tan§同号，

_l,、，/tana+tan6tana+tan6_

又因为tan(a+6)=—=--.=-1，

1—tanartanp1—o

贝|Jtan(2+tanf=5,tan0,tan6同正,

所以0VaV6<5,则tana<tan§,

所以tana—tan§=—J(tana+tan,/—4tanatan6=-V52—4x6=—1,

所以tan(a—6)=tanla/=tan:—?=tana[an/?=_^,故。正确.

1+tan^tanp1+677

故选：D

8.(24-25高三上•河北张家口.开学考试)已知sin(a—£)=春,且吟=4,则sin(a+£)=.

3tan//----------

【答案】q

9

【详解】由sin("0)=4鼻=4,得卜nacos"c°sginG斗，

3tanp[sinacos^=4cosasin£

,415

解得sindfcos^=—,cos<2sinyS="^■，所以sin(a+0)=sinacos^+cosasin^=.

999

故答案为：仔

题型二、两角和与差的三角函数公式的逆用与变形

知识要点

1、两角和与差的正切公式的变形

tana±tan£=tan(a±0)(1干tanatan£)；

_ttanaf+tanfitanor-tan51

।tana•tanp=1----------；-----=------------；-----------1.

;tan(a+£)tan(a—£)

2、辅助角公式

Q_______

asina+bcosa—y/a2+b2sin(a+0)(其中sin0='，cos(f)—@，

Va2+62Va2+b2

tan。=立)

精准练习

9.(23-24高一•黑龙江齐齐哈尔•期末)tanl3°+tan32°+tanl3°tan32°=()

A.tanl9°B.1C.-tanl9°D.-1

【答案】B

【详解】因为tan45°=tan(13°+32°)=tanl3yan32：=1，

1—tanl3tan32

所以tanl3°+tan32°+tanl3°tan32°=1,

故选：

变式1.(23-24高一・江苏徐州•阶段练习)tanl0°+tan50°+V3tanl0°tan50°的值为()

A,-A/3C*.3D.

o

【答案】B

【详解】tanlO°+tan50°+V3tanl0°tan50°

=tan(10°+50°)(1—tanl0°tan50°)+A/3tanl0°tan50°

=A/3(1—tanl0°tan50°)+A/3tanl0°tan50°

=V3—V3tanl0°tan50°+V3tanl0°tan50°

故选：

变式2.(23-24高一・江苏扬州•期中)计算：tan730—tanl3°—，^tan73°tanl30=.

【答案】

tan73°—tanl3°=tan60o(H-tan73°tanl3°)=V3(1+tan73°tanl3°),

所以tan73°—tanl3°—A/3tan73°tanl3°=V3.

故答案为：四

变式3.(24—25高一^上海•课堂例题)求(1+tanl°)(1+tan2°)(1+tan3°)…(l+tan44°)的值.

【答案】222

【分析】1的灵活代换和逆用和角正切公式即可.

【详解】若a+B=45°,则(1+tandf)(1+tan^S)

=1+tan(7+tanyS+tantztan^

=1+tan(a+6)(1—tantztan/?)+tanatan/?=2,

因此(1+1@!11°)(1+1@1144°)=2,(1+13112°)(1+181143°)=2,3

(l+tan22°)(l+tan23°)=2,

所以原式=2x2]…义3=222.

22个2

10.(2024.福建泉州.模拟预测)若sin9+V5cos9=2/!jtan9=()

A.-V3B.-乎C.乎D.V3

OO

【答案】。

【详解】解法一：(特殊法)由题知sin。=cos。=满足条件，所以tan。=g

zzo

解法二：由题得/sin。H■—;-cos。=1,所以sin（9+等）=1,

所以夕+3—2k兀+3,keZ,所以夕=2k兀+~~ykEZ,

32o

tan。=tan（2k7r+£,7U四

\o丁

解法三：由题得sin%+2，3sin9cos9+3cos%=4,

所以3sin%—2V3sin0cos0+cos%=0,即（V^sin。—cos0）2=0,

所以V3sin0—cos0=0,即tan夕=

o

解法四：由题得sin。=2—A/^COS。，所以（2—V3cos0）2+cos20=1,

所以4cos%—4A/3COS^+3=0,即（2COS。—V3）2=0,

所以cos夕=-^-,sin0=2—V3cos0=/，所以tan。=

解法五:观察sin3+V3cos0=2,知sincos0同正，夕为第一^限角,

其正切值为正，排除A,6.

若tan。=V3，可取夕=请■，则sin3+V3cos0=A/3,

不符合已知条件，排除。，

故选C

变式1.（24-25高三・安徽•开学考试）若斌11140°-121140°=血，则实数/1的值为（）

A.-2B.2C.3D.4

【答案】。

（

【详解】由/tsinl40°—tan40°=V3化简得，/lsin40°—sin40=V3,

cos40°

即/Isin40°cos40°=sin40°+V3cos40°,

即-1-/Isin80o=2sin（40°+60°）=2sin80°,

因sin80°>0,解得1=4.

故选：D

变式2.(2024・陕西铜川•三模)已知cosa—兀）

3

A--lB-ic-f

【答案】4

•sina-]cosa=sin（a兀

【详解】・・・cos(a——cosa=

26

1

cos(2a一11—2sin2（（7—l-2x

I）2

故选：A.

变式3.(24-25高三•山东烟台・开学考试)若sin(a—20°)=―‘吗。产，则cos(2«+140°)=(

tan20—V3

A.—j-C.~^D.1

o8oo

【答案】。

sin20°sin20°cos20°sin20°cos20°

【详解】根据题意，sin(a—20°)

tan20°-V3sin20°-V3cos20°

2i侪cos20,

_sin200cos200_sin200cos200_♦，也4°___

―2sin(-40°)—-2sin40°--2sin40°一一W'

C