2025高考数学冲刺复习：数列递推公式与求和归类（原卷版）

培优冲刺07数列递推公式与求和归类

籍优题型大集合

目录

题型一：数列型恒成立求参.....................................................................1

题型二：是否存在型求参......................................................................2

题型三：恒成立证明型.......................................................................3

题型四：求和型不等式证明...................................................................3

题型五：数列不定方程型......................................................................4

题型六：恒成立求参：奇偶讨论型.............................................................5

题型七：下标数列............................................................................6

题型八：高斯取整数列型......................................................................6

题型九：前n项积型不等式恒成立求参.........................................................7

题型十：先放缩再求和型证明不等式............................................................8

题型十一：插入数型：等差型...................................................................9

题型十二：插入数列型.........................................................................10

题型十三：新结构19题型压轴..................................................................11

色筌一大一槎如

题型一：数列型恒成立求参

分离参数法基本步骤为：

第一步：首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参

数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，

第二步：先求出含变量一边的式子的最值，通常使用导函数或基本不等式进行求解.

第三步：由此推出参数的取值范围即可得到结论.

数列恒成立求参数关键“坑”：

数列是以正整数为“变量”的函数，所以求最小值时要注意正整数的取值范围

L(河北省邯郸市部分学校2023届高三下学期开学考试数学试题)若数列｛q｝满足=2%+2"，q,

能为常数.

(1)求证：［/;是等差数列；

(2)若对任意〃©N*,都有。用＞4,求实数机的取值范围.

2..(河北省石家庄二中教育集团2022-2023学年高三四校联考数学试题)已知等比数列｛4｝满足。

h+1'

〃1+4+。3=13,且42M3+6,应为等差数列.

⑴求数列｛《,｝的通项公式;

(2)若2=%+Jog3a“+i,Sn=bi+b2++bn,对任意正整数”，2s“-(9〃+〃?)%>0恒成立，试求加的取值

范围.

3.(重庆市巫山第二中学2022-2023学年高三数学试题)已知正项数列｛%｝的前〃项和为S”,且4S“=(1+«„)2,

数列间满足%=含(〃eN*)且々=1.

⑴分别求数列｛4｝和也,｝的通项公式；

⑵若。“=」一，设数列匕」的前"项和为北，且(下-22)ZW〃.d，对任意正整数恒成立，求实数2的取

anan+\

值范围.

题型二：是否存在型求参

一般地，已知函数y=〃x),xe[a,6],y=g^x),x&[c,d]

不等关系

⑴若依目初,山€上,田，总有/(%)<g(趣)成立,故"X)1mx〈gUL；

⑵若％e[a,司,BX2e[c,d],有/(%)<8仁)成立,故了⑺1mx<g(x)„1ax；

(3)若叫e[a,b],\/x2G[C,J],有/(%)<g(%)成立,故/⑺0<g(XL；

⑷若叫e[a,b],3X2e[c,rf],有/(%)<g(%)成立，故/⑺―<g(x)一.

1.(上海市敬业中学2022届高三上学期数学试题)设正项数列｛凡｝的前"项和为S“，首项为1,已知对任

m

意整数以巴当">心时，Sn-Sm=q-Sn_m(4为正常数)恒成立.

⑴求证：数列｛%｝是等比数列；

s

⑵证明：数列｛「｝是递增数列；

⑶是否存在正常数C,使得｛lg(c-S.)｝为等差数列？若存在，求出常数C的值；若不存在，说明理由.

2.(四川省绵阳市2023届高三第二次诊断性考试数学(文)试题)已知各项均为正数的数列｛q｝的前八项

和为之,且七,5”，端为等差数列.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵已知(neN*),是否存在加eN*,使得，他4a也恒成立?若存在，求出根的值；若不

存在，说明理由.

3.(江苏省南通市如东县2022-2023学年高三上学期数学试题)已知3是数列｛〃“｝的前”项和，且4=1,

数列]，[是公差为g的等差数列.

(1)求数列｛〃“｝的通项公式；

⑵记数列｛2〃%｝的前〃项和为(，是否存在实数f使得数列1零)成等差数列，若存在，求出实数：的值;若

不存在，说明理由.

题型三：恒成立证明型

数列与不等式问题要抓住一个中心一一函数，两个密切联系：一是数列和函数之间的密切联系，数列

的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，

利用它们之间的对应关系进行灵活的处理.

1.（2024高三•全国专题练习）已知在数列｛%｝中，4=1,点P（24,4+J,“eN*在直线x-2y+2=0上.

⑴求数列｛凡｝的通项公式.

（2）设2=',为数列也,｝的前“项和，试问：是否存在关于"的整式g（w）,使得

an

岳+邑++5„_1=（S„-l）-g（n）（n>2,且N*）恒成立？若存在,写出g⑺的表达式,并加以证明;

若不存在，请说明理由.

2.（广西南宁市第八中学2022-2023学年高三数学试题）在数列｛%｝中，已知4=0,%=6,且对于任意正

整数w都有q,+2=5*1-6n“.

⑴令2=an+1-2an,求数列出｝的通项公式；

（2）设机是一个正数，无论m为何值，是否都有一个正整数〃使--3〈机成立.

%

3.（23-24高三上•重庆•阶段练习）已知公比不为1的等比数列｛4｝的前n项和为S„,且R，%，生成等差数列.

⑴求数列｛。“｝的公比；

（2）是否存在八s,“N’,且「>s>r，使得5,电总成等差数列？若存在，求出乙s一的关系；若不存

在，请说明理由.

题型四：求和型不等式证明

求和型不等式证明：

先求和再放缩，放缩时，可以直接放缩，可以借助数列的单调性放缩。

求和常用方法

1.形如盘=可（等差）+c“（等比），用分组求和法，分别求和而后相加减

2.形如%（等差比）+%（裂项），用分组求和法，分别求和而后相加减

3.形如4,=2+分（勾，c“为可以求和的常见数列），用分组求和法，分别求和而后相加减

4.错位相减法求数列｛”“｝的前n项和

若&｝是公差为或4片0）的等差数列,｛£｝是公比为4（#1）的等比数歹”,求数列｛an.bn｝的前n项和S“.

5.常见的裂项技巧：

⑴1-

+k\nn+kJ'

⑵~/==—7=+k-赤）；

7n+k+7nkv）

11J1]

⑶

（2〃-1）（2〃+1）2<2n—12n+lJ

2〃（2"+1-l）-（2"-l）11

（2"-1）（2"+1-1）一（2"-l）（2"+l-1）~T-l2"+1-l

指数型（”一1）/=4n+l—an,.

（6）对数型log。—=log.an+l-log.an.

an

1_111

n（n+l]（n+2]2n（n+l}（n+l）（n+2）

nil

⑻（n+1）!n\（〃+l）!

2〃=11

（9）（2向一1）（2"-1）—2〃—12n+1-l

♦+2__J________]什

（1。）仆+1）.2"一".2"T-（"+1）.2"寺

1.（山东省德州市2022-2023学年高三上学期期末数学试题）已知公差不为零的等差数列｛%｝的前w项和为

数列出｝的前〃项和北=匕-”.

S",53=6,出，%,%成等比数列,2

⑴求数列｛叫和也｝通项公式；

100

⑵求2城yos（应•万）的值；

k=l

J_、

⑶证明：<1.

<-4+1>

2.（2023上・山东・高三山东省实验中学校考）已知数列｛4｝的前”项和为%且2%=S.+L

⑴求｛%｝的通项公式：

2〃+139

（2）若a=（一1）"也｝的前〃项和为T,，证明：一/4（4一］

log2a„+1-\og2an+2

3.（2023上湖南长沙•高三长沙麓山国际实验学校校联考阶段练习）已知数列｛4｝满足

%=l,a“M=3a”+2,〃eN*,数列也｝满足々=1,S„+i-n=S,l+b„+n+l,其中S“为数列也｝的前〃项和.

⑴证明数歹£%+1｝为等比数列，并求数列｛%｝的通项公式；

（2）令c“=丫-1,求数列c”的前”项和1,并证明：24（＜，

%,+1）4

题型五：数列不定方程型

1.（重庆市第十一中学2023届高三上学期10月自主质量抽测数学试题）已知等差数列｛4｝的前〃项和为S,,

且满足。2+4=18,S5=35.

（1）求数列｛a“｝的通项公式；

4s-20;“-27

⑵试求所有的正整数机，使得3---------------为整数.

aa

mm+i

2.(23-24高三・上海模拟)已知函数/(x)=a"的图像过点｛4,j和3(5,1).

(1)求函数/⑺的解析式；

⑵记4=1吗/(〃)，〃是正整数，S“是｛%｝的前〃项和，解关于〃的不等式。“S”,,0；

(3)对于(2)中的数列凡，整数IO"是否为如£｝中的项？若是，则求出相应的项；若不是，则说明理由.

3.(22-23高三•湖北,联考)已知等比数列｛%｝的前"项和为S“，首项%>0,若。>3%，生成等差数列且

a4=2g+4.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)2为整数，是否存在正整数”使10。“=2S”+22成立？若存在，求正整数〃及X；若不存在，请说明理

由.

题型六：恒成立求参：奇偶讨论型

正负相间讨论型：

1.奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。

2.如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇

数项通项。

3.分奇偶讨论时，对于奇数，带入时要代入1,3,5等奇数。对于偶数，代入时要代入2.4.6..............

1.(重庆市第一中学校2022-2023学年高三数学试题)已知数列｛%｝的前"项和为S“，S,=2a,-2.

⑴求数列同｝的通项公式；

2n—1

⑵若2=——,数列也J前〃项和为7“，是否存在实数力，使得(<2(-1)'"4“+3对任意加，〃eN*恒成

an

立，若存在，求出实数％的所有取值；若处存在，说明理由.

2.(天津市青光中学2022-2023学年高三上学期数学试题)已知｛%｝为等差数列，也｝为等比数列，

q=4=1吗=5(%-%),么=4(%—4).

(1)求｛%｝和｛2｝的通项公式；

⑵令q=%也，求数列｛c0｝的前”项和T“；

⑶记4=3"-2.(-1)"独0*0).是否存在实数X,使得对任意的〃eN*,恒有？若存在，求出2的

取值范围；若不存在，说明理由.

3.(22-23高三•吉林•阶段练习)数列｛风｝中，4=1,点p(%,%+J在直线》-'+2=。上.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

(2)令—,数列｛2｝的前〃项和为S..

anan+\

⑴求S”;

他)是否存在整数X(XHO),使得不等式恒成立？若存在，求出所有兄的值；若不

存在，请说明理由.

题型七：下标数列

下标数列

下标数列，最常用的是直接函数代入型，an=f(n),则ag(Q=f(g(n))

下标数列，要注意随着下标数列的代入，对应的项数和新数列的性质，以及系数列与原母数列是否存在着联系,

以利用解题突破

an+-,〃为偶数，

54

（neN*,aeR,a为常数），

1.(2023江苏高考模拟)已知数列｛4｝满足：an=<

2tzn+]—ci+〃为奇数,

X2

数列｛4｝中，a=42-1。⑴求的,出，。3；⑵证明：数列仍“｝为等差数列;

⑶求证：数列｛4｝中存在三项构成等比数列时，。为有理数。

2.(湖北省黄冈中学2023届高三下学期5月第三次模拟考试数学试题)设｛a,｝是等差数列，｛勿｝是等比数歹U.

已知。］=1,4=2,b2=2a2,b3=2a3+2.

(1)求｛4｝和也｝的通项公式；

k

(,fl,n=2,y

(2)数列｛%｝满足c,=<'/,设数列｛%｝的前几项和为S“，求5”.

a”"2

3.(河北省衡水市第二中学2023届高考模拟数学试题)定义集合屈=｛21卜eN*｝,数列｛?｝满足

［a.+2,〃史M

a-=\0,n.M

⑴定义数列九=a2„+2„-,,证明：也｝为等比数列

⑵记数列｛4｝的前“项和为S“，求满足邑”=31。的正整数〃

题型八：高斯取整数列型

取整函数丫=［司,［可表示不超过x的最大整数，又叫做“高斯函数，

1.（2024辽宁沈阳模拟预测）已知数列｛%｝是正项等比数列，论,｝是等差数列，且q=24=2,%=4,

⑴求数列｛4｝和也｝的通项公式；

⑵国表示不超过x的最大整数，配表示数列,-1）闫仓卜勺前4〃项和,

集合A=J〃几4,J%,neN*｝共

4+2

有4个元素，求2范围；

]4匹丁啦=，及=2k_l,keN*_

（3）3=14+27讨+2>,求数列｛%｝的前2”项和•

[an-bn,n=2k,keK

2.（23-24高三河北保定）已知等差数列｛%｝的前"项和为%S6=9S2,且%=2%+l.

⑴求数列｛凡｝的通项公式；

14

（2）设2=4,+---------，数列也,｝的前”项和为此，定义因为不超过x的最大整数，例如[1.6]=1,[5.4]=5,

an'an+\

求数列的前几项和T,.

（说明：F+22+3?+…+/=小+1）（2〃+1））

6

3.（23-24高三上•天津）已知数列｛g｝是正项等比数列，也“｝是等差数列，且q=24=2,%=%,%=4%,

⑴求数列｛4｝和也,｝的通项公式；

⑵㈤表示不超过x的最大整数，&表示数列]（-0山面卜勺前4〃项和，集合4=卜卜.共

有4个元素，求2范围；

-亚0717IV*/、

--/丫—，「=2左一1,左£N,、25（2〃2、।

⑶，

%=%+2•相E数列k｝的前2〃项和为S",求证：52„<-+---4-.

VioyJyJ

an-bn,n=2k,kEW

题型九：前n项积型不等式恒成立求参

注意区分“和”与“积”的公式：

应,〃

1=1,

1.通项明与前〃项和s“的关系是：an=\

2.可以类比前n项和求通项过程来求数列前n项积：

1.〃=1,得41

2.”22时，4=工'所以Ti

ln-\

L（23-24高三•江西•阶段练习）已知数列｛q｝和也｝满足也+"=2,2%=4%,且%=1.

⑴求｛凡｝和也｝的通项公式；

（2）若陷n+2>求数列｛%｝的前〃项和S.；

…）…）（”）等后£恒成立，求实数上的取值范围.

（3）若对任意的〃eN+,

（、（〃为奇数），（、

2.（23-24高三上,云南昆明•阶段练习）已知数列｛%｝满足4=1,%2（〃为着数）数列间满足

b„=a2n-l-

⑴求外,b3的值及数列也｝的通项公式；

（2）若|1+--1+7~|py/2n+l（p>0,〃eN*）,求〃的取值范围；

I4人即Ibn）

⑶在数列论,｝中，是否存在正整数加，3使心bm,bk（m,左eN*,5<m<k）构成等比数列？若存

在，求符合条件的一组（私左）的值，若不存在，请说明理由.

3.（22-23高三•四川成都）设数列｛%｝的前“项和为S,,,且5"=24-2向，数歹ij也“｝满足仇=bg?悬，其

中〃eN*.

⑴证明［会:为等差数列，求数列｛q｝的通项公式；

⑵求数列，三｝的前〃项和为Z,；

（1A（1A（1A___

⑶求使不等式1+--1+--•…1+--2m.师,对任意正整数”都成立的最大实数小的值.

I勘"I勘3）I“2〃一”

题型十：先放缩再求和型证明不等式

常用的数列放缩式还有：

]___1__[<J_<]__i__j_

nn+1+n2—1)n—ln

2i22

«+JM+Iy/n+y[n

等，解题过程中，注意观察数列特征选择合适的放缩方法.

/、

]<]_]1_]

an“Mi1向？猴）用■一疯7

1.（2024全国模拟预测）已知数列｛4｝不为常数数列且各项均为正数，数列｛4｝的前〃项和为%4=1,

满足力=XS“+〃a”，其中4〃是不为零的常数，〃eN*

⑴是否存在九〃使得数列｛%｝为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；

⑵若数列是公比为"2>2）的等比数列，证明：°<」7+；++」7<1（“22且〃eN*）

电一1。3T«„-1

2.（2024.河北邢台.二模）已知数列｛4｝的前”项和为S“且5“=2%-1.

⑴求｛4｝的通项公式；

（2）求证：[+：+：+

+2

Q]r

3.（21-22高三・北京强基计划）已知数列｛%｝是公差d不等于0的等差数列，且｛旬｝是等比数列，其中

左1=3,左2=5,43=9.

(1)求上1+4+…+々的值•

(2)若a=也+、昌,weN11]

证明：-

.2向.2.3弧+n-(n+l)yj2b^

an+2Van+2

题型十一：插入数型：等差型

插入数型

1.插入数构成等差数列

在%和区田之间插入〃个数，使这71+2个数构成等差数列，可通过构造新数列｛么｝来求解dn

〃+2个数构成等差数列，公差记为口，所以：

b—h

*2=4+5+2-1）<od=（；3二）

n

1.（2023•江苏苏州•统考三模）在①S“M=2S“+2,②%-a“=2",③S,=-2这三个条件中任选一个,

补充在下面的问题中，并解答.

已知数列｛m｝的前"项和为5,首项为2,且满足一.

（1）求数列缶疥的通项公式；

（2）在小与斯+/之间插入”个数，使这〃+2个数组成一个公差为加的等差数列，求证：.

2.(2023上海闵行.统考一模)已知数列｛%｝的各项均为整数，其前〃项和为S”.规定：若数列｛a“｝满足前

r项依次成公差为1的等差数列，从第r-1项起往后依次成公比为2的等比数列，则称数列｛〃“｝为>关联

数列”.

(1)若数列｛%｝为“6关联数列”，求数列｛%｝的通项公式；

(2)在⑴的条件下，求出S,,并证明：对任意〃wN*,anSn>a6S6；

(3)若数列｛4｝为“6关联数列”，当，后6时，在。,与。用之间插入〃个数，使这〃+2个数组成一个公差为

4,的等差数列，求4,,并探究在数列｛4｝中是否存在三项4”，dk,d.其中见k,p成等差数列)成等比

数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由.

3.(2023,安徽马鞍山,高三阶段练习)设数列｛〃0｝的前”项和为S“，且%M=S“+l(〃eN*),«,=1.

(I)求数列｛%｝的通项公式；

(II)在。,与1之间插入〃个数，使这〃+2个数组成一个公差为久的等差数列，求数歹卜勺前〃项和

题型十二：插入数列型

插入数混合型

混合型插入数列，其突破口在于：在插入这些数中，数列｛%｝提供了多少项，其余都是插入进来的。

1.(2023•浙江金华统考模拟预测)已知数列｛凡｝的前"项和%4=3,且5向=25“+〃+3.数列也｝满足

4=i,%=[i+Jr卜(〃cN)

⑴求数列｛。,｝,也｝的通项公式；

⑵将数列｛2｝中的项按从小到大的顺序依次插入数列｛凡｝中，在任意的知,之间插入2%-1项，从而构

成一个新数列｛g｝,求数列｛%｝的前100项的和.

2.(2023福建福州•高三福建省福州格致中学校考)已知各项均为正数的数列｛«„｝中，4=1且满足

2%M=a；+2a“，数列｛〃｝的前〃项和为S,,满足2s“+1=36”.

⑴求数列｛4｝,也,｝的通项公式；

⑵若在4与%之间依次插入数列｛%｝中的左项构成新数列｛%｝:[,4也，4，%，%%，%,线也,.,求数列

｛%｝中前40项的和久).

3.(2022•广东汕头・统考三模)已知各项均为正数的数列｛q｝中，q=1且满足-d=2an+2an+l,数列｛b,,｝

的前〃项和为S“，满足2S.+l=3b”.

⑴求数列｛4｝,也｝的通项公式；

⑵