高中数学《直线与圆的位置关系》课件

2.5.1直线与圆的位置关系人教A版（2019）选择性必修第一册新知导入“大漠孤烟直，长河落日圆”出自唐代诗人王维的《使至塞上》，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象．新知导入如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片．问题1：

图片中，地平线与太阳的位置关系怎样？提示：(1)相交，(2)相切，(3)相离．问题2：结合初中平面几何中学过的直线与圆的位置关系，直线与圆有几种位置关系？提示：3种，分别是相交、相切、相离．问题3：如何判断直线与圆的位置关系？提示：可利用圆心到直线的距离d与半径r的关系．新知讲解我们知道，直线与圆有三种位置关系：直线与圆相交，有两个公共点；2.直线与圆相切，只有一个公共点；3.直线与圆相离，没有公共点.新知讲解思考

在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？根据上述定义，如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？提示：直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断位置关系相交相切相离公共点个数两个一个零个判定方法几何法：d＜rd＝rd＞r代数法：Δ＞0Δ＝0Δ＜0合作探究分析：思路1：将判断直线l与圆C的位置关系转化为判断由它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解；若相交，可以由方程组解得两交点的坐标，利用两点间的距离公式求得弦长.思路2：依据圆心到直线的距离与半径的关系，判断直线与圆的位置关系；；若相交，则可利用勾股定理求得弦长.合作探究解法1(代数法)联立直线

l与圆C的方程，得

所以，直线

l与圆C相交，有两个公共点.所以，直线l与圆C的两个交点是A（2，0），B（1，3）.合作探究解法2(几何法)

圆心C（0，1）到直线l

的距离

所以，直线l与圆C相交，有两个公共点.合作探究思考与初中的方法比较，你认为用方程判断直线与圆的位置关系有什么优点？例1中两种解法的差异是什么？提示：1采用几何法判断直线与圆的位置关系时，必须准确计算出圆心坐标、圆的半径及圆心到直线的距离；2利用代数法判断直线与圆的位置关系时，不必求出方程组的实数解，只需将直线方程代入到圆的方程中，并消去一个未知数，得到一个关于x(或y)的一元二次方程组解的个数，进一步判断两者的位置关系；3当直线所过定点在圆内时，直线与圆恒相交.合作探究分析：如图合作探究解法1设切线l的斜率为k，则切线l的方程为y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0.由圆心（0，0）到切线l的距离等于圆的半径1，得

因此，所求切线l

的方程为y=1,或4x-3y-5=0.合作探究解法2设切线

l的斜率为

k，则切线

l方程为

y-1=k(x-2)因为直线l与圆相切，所以方程组

只有一组解.所以，所求切线l

的方程为y=1,或4x-3y-5=0.合作探究拓展：1．过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法2．过圆外一点(x0，y0)的切线方程的求法

设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．合作探究3圆的切线方程常用结论合作探究例3如图分析：（1）（2）合作探究（2）解：建立如图（2）所示的直角坐标系，使线段AB所在直线为x

轴，O为坐标原点，圆心在y

轴上.由题意，点P，B的坐标分别为（0，4），（10，0）.设圆心坐标是（0，b），圆的半径是r，那么圆的方程是

因为P，B两点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程，得

解得所以，圆的方程是

即

所以

合作探究例4一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20km的圆形区域内.已知小岛中心位于轮船正西40km处，港口位于小岛中心正北30km处.如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？分析：先画出示意图，了解小岛中心、轮船、港口的方位和距离.如图.根据题意，建立适当的平面直角坐标系，求出暗礁所在区域的边缘圆的方程，以及轮船返港直线的方程，利用方程判断直线与圆的位置关系，进而确定轮船是否有触礁危险.合作探究解：以小岛的中心为原点O，东西方向为x

轴，建立如图所示的直角坐标系.取10km为单位长度，则港口所在位置的坐标为（0，3），轮船所处的位置的坐标为（4，0）.则，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为

轮船航线所在直线l

的方程为

联立方程，得所以直线l与圆O相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险.合作探究用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论.课堂练习1若直线4x－3y＋a＝0与圆x2＋y2＝100有如下关系：①相交；②相切；③相离，试分别求实数a的取值范围．解：法一：(代数法)得

25x2＋8ax＋a2－900＝0.Δ＝(8a)2－4×25(a2－900)＝－36a2＋90000.当直线和圆相交时，Δ>0，即－36a2＋90000>0，－50<a<50；②当直线和圆相切时，Δ＝0，即a＝50或a＝－50；③当直线和圆相离时，Δ<0，即a<－50或a>50.课堂练习1若直线4x－3y＋a＝0与圆x2＋y2＝100有如下关系：①相交；②相切；③相离，试分别求实数a的取值范围．法二：(几何法)圆x2＋y2＝100的圆心为(0,0)，半径r＝10，则圆心到直线的距离

当直线和圆相交时，d<r，②当直线和圆相切时，d＝r，③当直线和圆相离时，d>r，

课堂练习解：由题意得圆心C（1，2）半径r=2∴点P在圆C上.∴过点P的圆C的切线方程是课堂练习解：∴点M在圆C外部.当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x=3,即x-3=0.又点C（1，2）到直线x-3=0的距离d=3-1=2=r即此时满足题意，所以直线x=3是圆的切线方程.当切线的斜率存在时，设切线方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0,课堂练习∴过点M的圆C的切线长为综上可得，过点M的圆C的切线方程x-3=0或3x-4y-5=0课堂练习3已知圆的方程为x2＋y2＝8，圆内有一点P(－1,2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦．(1)当α＝135°时，求AB的长；(2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．(1)法一：(几何法)解：如图所示，过点O作OC⊥AB.由已知条件得直线的斜率为k＝tan135°＝－1，∴直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.

课堂练习3已知圆的方程为x2＋y2＝8，圆内有一点P(－1,2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦．(1)当α＝135°时，求AB的长；(2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．解：(1)法二：(代数法)当α＝135°时，直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，即

y＝－x＋1，代入

x2＋y2＝8，得

2x2－2x－7＝0.

课堂练习3已知圆的方程为x2＋y2＝8，圆内有一点P(－1,2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦．(1)当α＝135°时，求AB的长；(2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．(2)如图，当弦AB被点P平分时，即x－2y＋5＝0.解：合作探究拓展求直线与圆相交时弦长的两种方法(1)几何法(2)代数法课堂练习解析：

点P(3,0)恒在圆内，过点P(3,0)不管怎么画直线，总与圆相交，故选AA课堂练习分析：

求出直线l的斜率，写出l的方程即可.课堂练习解：动直线l：

mx-y-m=0可化为m(x-1)-y=0,所以直线l过的定点C(1,0),所以直线l

的方程为y-0=-(x-1)即x+y-1=0课堂总结直线与圆有三种位置关系位置关系交点个数相交有两个公共点相切只有一个公共点相离没有公共点2.直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2

的位置关系的判断位置关系相交相切相离公共点个数两个一个零个判定方法几何法：d＜rd＝rd＞r代数法：Δ＞0Δ＝0Δ＜0课堂总结用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系