2024-2025学年新教材高中数学第十章概率10.1随机事件与概率10.1.2事件的关系和运算学案含解析新人教A版必修第二册

PAGE1-10．1.2事务的关系和运算[目标]1.了解事务的关系与运算；2.理解互斥事务、对立事务的概念．[重点]事务的关系、运算.[难点]事务关系的判定．要点整合夯基础学问点事务的关系与运算[填一填][答一答]1．下列说法正确吗？(1)在掷骰子的试验中，{出现1点}⊆{出现的点数为奇数}；(2)不行能事务记作∅，明显C⊇∅(C是任一事务)；(3)事务A也包含于事务A，即A⊆A.提示：(1)(2)(3)的说法都正确，探讨事务的关系可以类比集合间的关系．2．并事务、交事务和集合的并集、交集意义一样吗？提示：并事务、交事务和集合的并集、交集的意义一样．例如，并事务包含三种状况：事务A发生，事务B不发生；事务A不发生，事务B发生；事务A，B同时发生，即事务A，B中至少有一个发生．3．事务A与事务B互斥的含义是什么？提示：事务A与事务B互斥的含义是：事务A与事务B在任何一次试验中都不会同时发生．4．互斥事务与对立事务的关系是怎样的？提示：互斥事务不肯定是对立事务，对立事务肯定是互斥事务．典例讲练破题型类型一事务关系的推断[例1]从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各1张)中，任取一张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”推断上面给出的每对事务是否为互斥事务，是否为对立事务，并说明理由．[分析]要推断两个事务是不是互斥事务，只须要分别找出各个事务包含的全部结果，看它们之间能不能同时发生．在互斥的前提下，看两个事务的并事务是否为必定事务，从而可推断是否为对立事务．[解](1)是互斥事务，不是对立事务．理由是：从40张扑克牌中随意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不行能同时发生的，所以是互斥事务．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事务．(2)既是互斥事务，又是对立事务．理由是：从40张扑克牌中，随意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事务不行能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事务，又是对立事务．(3)不是互斥事务，也不是对立事务．理由是：从40张扑克牌中随意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”互斥事务、对立事务的推断方法(1)利用基本概念①互斥事务不行能同时发生；②对立事务首先是互斥事务，且一次试验中必有一个要发生．(2)利用集合观点设事务A与B所含的结果组成的集合分别是A，B.①若事务A与B互斥，则集合A∩B＝∅；②若事务A与B对立，则集合A∩B＝∅且A∪B＝Ω.[变式训练1]从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事务中，互斥而不对立的是(D)A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．至少有一个红球与至少有一个白球D．恰有一个红球与恰有两个红球解析：依据互斥事务与对立事务的定义推断．A中两事务不是互斥事务，事务“三个球都是红球”是两事务的交事务；B中两事务是对立事务；C中两事务能同时发生，如“恰有一个红球和两个白球”，故不是互斥事务；D中两事务是互斥而不对立事务．类型二事务的运算[例2]掷一枚骰子，下列事务：A＝“出现奇数点”，B＝“出现偶数点”，C＝“点数小于3”，D＝“点数大于2”，E＝“求：(1)A∩B，BC；(2)A∪B，B＋C；(3)记eq\x\to(H)为事务H的对立事务，求eq\x\to(D)，eq\x\to(A)C，eq\x\to(B)∪C，eq\x\to(D)＋eq\x\to(E).[分析]利用事务间运算的定义．列出同一条件下的试验全部可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事务间的运算．[解](1)A∩B＝∅，BC＝{2}．(2)A∪B＝{1,2,3,4,5,6}，B＋C＝{1,2,4,6}．(3)eq\x\to(D)＝{1,2}；eq\x\to(A)C＝BC＝{2}；eq\x\to(B)∪C＝A∪C＝{1,2,3,5}；eq\x\to(D)＋eq\x\to(E)＝{1,2,4,5}．进行事务的运算时，一是要紧扣运算的定义；二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.[变式训练2]盒子里有6个红球，4个的白球，现从中任取3个球，设事务A＝{3个球中有1个红球，2个白球}，事务B＝{3个球中有2个红球，1个白球}，事务C＝{3个球中至少有1个红球}，事务E＝{3个红球}，那么事务C与A，B，E的运算关系是(B)A．C＝(A∩B)∪EB．C＝A∪B∪EC．C＝(A∪B)∩ED．C＝A∩B∩E解析：由题意可知C＝A∪B∪E.课堂达标练经典1．某人打靶时，连续射击两次，事务“至少有一次中靶”的互斥事务是(C)A．至多有一次中靶B．两次都中靶C．两次都不中靶D．只有一次中靶解析：“至少有一次中靶”与“两次都不中靶”为互斥事务，同时，也是对立事务．2．假如事务A，B互斥，那么(B)A．A∪B是必定事务B．A的对立事务与B的对立事务的和事务是必定事务C．A的对立事务与B的对立事务是互斥事务D．A的对立事务与B的对立事务不是互斥事务解析：A与B有两种状况，一种是互斥不对立，另一种是A与B是对立事务，要分类探讨．3．从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事务中，是对立事务的是(C)A．①B．②④C．③D．①③解析：③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7中任取两个数依据取到数的奇偶性可认为共有三件事务：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事务，易知其余都不是对立事务．4．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事务A、B、C、D、E，则事务“取出的是理科书”可记为B∪D∪E.解析：由题意可知事务“取到理科书”的可记为B∪D∪E.5．用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色．设事务A＝“三个圆的颜色全不相同”，事务B＝“三个圆的颜色不全相同”，事务C＝“其中两个圆的颜色相同”，事务D＝“三个圆的颜色全相同”．(1)写出试验的样本空间；(2)用集合的形式表示事务A，B，C，D；(3)事务B与事务C有什么关系？事务A和B的交事务与事务D有什么关系？解：(1)用数组(a，b，c)表示可能的结果，a，b，c分别表示三个圆所涂的颜色，则试验的样本空间Ω＝{(红，红，红)，(黄，黄，黄)，(蓝，蓝，蓝)，(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)，(红，黄，蓝)}．(2)A＝{(红，黄，蓝)}，B＝{(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)，(红，黄，蓝)}