2024-2025学年高中数学第一章立体几何初步1.7.3球课时分层作业含解析北师大版必修2

PAGE1-课时分层作业(十二)球(建议用时：40分钟)一、选择题1．直径为6的球的表面积和体积分别是()A．36π，144π B．36π，36πC．144π，36π D．144π，144πB[球的半径为3，表面积S＝4π·32＝36π，体积V＝eq\f(4,3)π·33＝36π.]2．两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，这个大球的半径为()A．2B.eq\r(2)C.eq\r(3,2)D.eq\f(1,2)eq\r(3,4)C[设熔化后的球的半径为R，则其体积是原来小球的体积的2倍，即V＝eq\f(4,3)πR3＝2×eq\f(4,3)π×13，得R＝eq\r(3,2).]3．若一个圆锥的底面半径和一个半球的半径相等，体积也相等，则它们的高度之比为()A．2∶1B．2∶3C．2∶πD．2∶5A[设半球的半径为r，圆锥的高为h，则eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(4,3)πr3×eq\f(1,2)，所以h＝2r，故选A.]4．棱长为2的正方体的外接球的表面积是()A．8πB．4πC．12πD．16πC[正方体的体对角线长为2eq\r(3)，即2R＝2eq\r(3)，∴R＝eq\r(3)，S＝4πR2＝12π.]5．一根细金属丝下端挂着一个半径为1cm的金属球，将它浸没在底面半径为2cm的圆柱形容器内的水中，现将金属丝向上提升，当金属球被拉出水面时，容器内的水面下降了()A.eq\f(4,3)cmB.eq\f(3,16)cmC.eq\f(3,4)cmD.eq\f(1,3)cmD[设容器内的水面下降了hcm，则球的体积等于水下降的体积，即eq\f(4,3)π·13＝π·22·h，解得h＝eq\f(1,3).]二、填空题6．若一球与正方体的全部棱都相切，则正方体的棱长与球的半径之比为________；eq\r(2)∶1[若一球与正方体的全部棱都相切，则球的直径和正方体的面对角线的长相等，故正方体的棱长与球的半径之比为eq\r(2)∶1.]7．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为________．eq\f(81π,4)[如图所示，设球半径为R，底面中心为O′且球心为O，∵正四棱锥P­ABCD中AB＝2，∴AO′＝eq\r(2).∵PO′＝4，∴在Rt△AOO′中，AO2＝AO′2＋OO′2，∴R2＝(eq\r(2))2＋(4－R)2，解得R＝eq\f(9,4)，∴该球的表面积为4πR2＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)))2＝eq\f(81π,4).]8．圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好沉没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.4[设球的半径为r，放入3个球后，圆柱液面高度变为6r.则有πr2·6r＝8πr2＋3×eq\f(4,3)πr3，即2r＝8，∴r＝4.]三、解答题9．设正方体的表面积为24，求其内切球的体积及外接球的体积．[解]设正方体的棱长为a，则6a2＝24，∴a正方体内切球的直径等于其棱长，∴2r＝2，r＝1，故内切球的体积V内＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(4,3)π.外接球的直径等于正方体的体对角线长，∴2R＝eq\r(3)a，∴R＝eq\r(3)，故外接球的体积V外＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×(eq\r(3))3＝4eq\r(3)π.10.如图，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的体积．(其中∠BAC＝30°)[解]过C作CO1⊥AB于O1，在半圆中可得∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2R，∴AC＝eq\r(3)R，BC＝R，CO1＝eq\f(\r(3),2)R.AO1＝AC·sin60°＝eq\f(3,2)R，BO1＝AB－AO1＝eq\f(R,2)，∴V球＝eq\f(4,3)πR3.V圆锥AO1＝eq\f(1,3)·π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)R))2·eq\f(3,2)R＝eq\f(3,8)πR3，V圆锥BO1＝eq\f(1,3)·π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)R))2·eq\f(1,2)R＝eq\f(1,8)πR3，V几何体＝V球－V圆锥AO1－V圆锥BO1＝eq\f(4,3)πR3－eq\f(3,8)πR3－eq\f(1,8)πR3＝eq\f(5,6)πR3.1．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是()A．16πB．20πC．24πD．32πC[设正四棱柱底面边长为a，则S底＝a2，∴V＝S底·h＝4a2＝16，∴a又正四棱柱内接于球，设球半径为R，则(2R)2＝22＋22＋42＝24，∴R＝eq\r(6)，∴球的表面积为4πR2＝24π.]2．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为()A.eq\f(8π,3)B.eq\f(32π,3)C．8πD.eq\f(8\r(2)π,3)C[设球的半径为R，则截面圆的半径为eq\r(R2－1)，∴截面圆的面积为S＝π(eq\r(R2－1))2＝(R2－1)π＝π，∴R2＝2，∴球的表面积S＝4πR2＝8π.]3．已知一个正方体的全部顶点在一个球面上，若球的体积为eq\f(9π,2)，则正方体的棱长为________．eq\r(3)[设球半径为R，正方体棱长为a，则V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(9,2)π，得到R＝eq\f(3,2)，正方体体对角线的长为eq\r(3)a＝2R，则a＝eq\r(3)，所以正方体棱长为eq\r(3).]4．已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________．eq\f(9,2)π[如图，设球O半径为R，则BH＝eq\f(4,3)R，OH＝eq\f(R,3)，截面圆半径设为r，则πr2＝π，r＝1，即HC＝1，由勾股定理得R2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,3)))2＝1，R2＝eq\f(9,8)，S球＝4πR2＝eq\f(9,2)π.]5．求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比．[解]如图，等边△SAB为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形C1CDD1，截球面得球的大圆O1.设球的半径O1O＝R，则它的外切圆柱的高为2R，