2018年数学（北师大版选修1-2）练习312活页作业8类比推理

活页作业(八)类比推理1．下列说法正确的是()A．类比推理是由特殊到一般的推理B．合情推理的结论都是正确的C．归纳推理是由个别到一般的推理D．合情推理可以作为证明的步骤解析：根据合情推理的定义可知，合情推理得到的结论只是猜想，不可以作为证明的步骤，结论不一定正确，因此B，D错．类比推理是由特殊到特殊的推理，而归纳推理是由特殊到一般的推理，故A错，C正确．答案：C2．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是()A．若一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交B．若一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直C．若两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行D．若两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行解析：推广到空间以后，对于A，C，D选项中的两直线还有可能异面．答案：B3．下面使用类比推理，得到正确结论的是()A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b”B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“eq\f(a＋b,c)＝eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)(c≠0)”D．“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn”解析：A中“若a·3＝b·3，则a＝b”类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b”，结论不正确；B中“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”，结论不正确；C中“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“eq\f(a＋b,c)＝eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)(c≠0)”，结论正确；D中“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn”，结论不正确．答案：C4．在平面直角坐标系xOy中，满足x2＋y2≤1，x≥0，y≥0的点P(x，y)的集合对应的平面图形的面积为eq\f(π,4)；类似地，在空间直角坐标系O­xyz中，满足x2＋y2＋z2≤1，x≥0，y≥0，z≥0的点P(x，y，z)的集合对应的空间几何体的体积为()A．eq\f(π,8) B．eq\f(π,6)C．eq\f(π,4) D．eq\f(π,3)解析：类似地，在空间直角坐标系O­xyz中，满足x2＋y2＋z2≤1，x≥0，y≥0，z≥0的点P(x，y，z)的集合对应的空间几何体的体积为球的体积的eq\f(1,8)，即eq\f(1,8)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(π,6).答案：B5．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为__________.解析：弄清平面几何与立体几何之间的类比关系，即面积→体积，是进一步求解的关键．∵两个正三角形是相似三角形，∴它们的面积之比是相似比的平方．同理，∵两个正四面体是相似几何体，∴其体积之比为相似比的立方，即它们的体积比为1∶8.答案：1∶86．在平面直角坐标系xOy中，二元一次方程Ax＋By＝0(A，B不同时为0)表示过原点的直线．类似地，在空间直角坐标系O­xyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同时为0)表示______________.解析：平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面，“过原点”类比后仍为“过原点”．因此应得到：在空间直角坐标系O­xyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同时为0)表示过原点的平面．答案：过原点的平面7．通过圆与球的相似性，用圆的下列性质(在同一圆中)类比球(同一球中)的有关性质．(1)圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦；(2)与圆心距离相等的弦相等；(3)圆的周长C＝πd(d为直径)；(4)圆的面积S＝πr2(r为半径)．解：如下表所示.圆球圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦球心与截面圆(不经过球心的截面圆)圆心的连线垂直于截面与圆心距离相等的弦相等与球心距离相等的截面圆面积相等圆的周长C＝πd(d为直径)球的表面积S＝πd2(d为球的直径)圆的面积S＝πr2(r为半径)球的体积V＝eq\f(4,3)πr3(r为球的半径)8．如图，已知O是△ABC内任一点，连接AO，BO，CO，并延长交对边于A′，B′，C′.(1)求证：eq\f(OA′,AA′)＋eq\f(OB′,BB′)＋eq\f(OC′,CC′)＝1；(2)现运用类比的思想，对于空间中的四面体V­BCD，存在什么类似的结论，并用“体积法”证明．(1)证明：eq\f(OA′,AA′)＋eq\f(OB′,BB′)＋eq\f(OC′,CC′)＝eq\f(S△OBC,S△ABC)＋eq\f(S△OCA,S△ABC)＋eq\f(S△OAB,S△ABC)＝eq\f(S△ABC,S△ABC)＝1.(2)解：eq\f(OV′,VV′)＋eq\f(OB′,BB′)＋eq\f(OC′,CC′)＋eq\f(OD′,DD′)＝1，其中V′，B′，C′，D′为V，B，C，D四点与点O(四面体内一点)相连并延长后与所对面的交点．证明如下：因为eq\f(VO­BCD,VV­BCD)＝eq\f(OV′,VV′)，eq\f(VO­VCD,VB­VCD)＝eq\f(OB′,BB′)，eq\f(VO­VBD,VC­VBD)＝eq\f(OC′,CC′)，eq\f(VO­VBC,VD­VBC)＝eq\f(OD′,DD′)，所以eq\f(OV′,VV′)＋eq\f(OB′,BB′)＋eq\f(OC′,CC′)＋eq\f(OD′,DD′)＝eq\f(VO­BCD,VV­BCD)＋eq\f(VO­VCD,VB­VCD)＋eq\f(VO­VBD,VC­VBD)＋eq\f(VO­VBC,VD­VBC)＝eq\f(VV­BCD,VV­BCD)＝1.1．向量的运算常常与实数运算进行类比，下列类比推理中结论正确的是()A．“若ac＝bc(c≠0)，则a＝b”类比推出“若a·c＝b·c(c≠0)，则a＝b”B．“在实数中有(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“在向量中有(a＋b)·c＝a·c＋b·c”C．“在实数中有(ab)c＝a(bc)”类比推出“在向量中有(a·b)·c＝a·(b·c)”D．“若ab＝0，则a＝0或b＝0”类比推出“若a·b＝0，则a＝0或b＝解析：由条件，得出(a－b)·c＝0，∴(a－b)与c垂直，则a＝b不一定成立，故A不正确；向量的数量积满足分配律，故B正确；在向量中(a·b)·c与c共线，a·(b·c)与a共线，故C不正确；若a·b＝0，则a⊥b，显然a＝0或b＝0不一定成立，故D不正确．答案：B2．在解数学题中，常会碰到形如“eq\f(x＋y,1－xy)”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设a，b是非零实数，且满足eq\f(asin\f(π,5)＋bcos\f(π,5),acos\f(π,5)－bsin\f(π,5))＝taneq\f(8π,15)，则eq\f(b,a)＝()A．4 B．eq\r(15)C．2 D．eq\r(3)解析：eq\f(asin\f(π,5)＋bcos\f(π,5),acos\f(π,5)－bsin\f(π,5))＝eq\f(atan\f(π,5)＋b,a－btan\f(π,5))＝eq\f(tan\f(π,5)＋\f(b,a),1－\f(b,a)tan\f(π,5))＝taneq\f(8π,15)，类比正切的和角公式，即tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)，可知只有当eq\f(b,a)＝taneq\f(π,3)＝eq\r(3)时，上式成立．答案：D3．已知结论“在三边长都相等的△ABC中，若D是BC的中点，G是△ABC外接圆的圆心，则eq\f(AG,GD)＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论“在六条棱长都相等的四面体A­BCD中，若M是△BCD的三边中线的交点，O为四面体A­BCD外接球的球心，则eq\f(AO,OM)＝__________”．解析：如图，易知球心O在线段AM上，不妨设四面体A­BCD的棱长为1，外接球的半径为R，则BM＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(2,3)＝eq\f(\r(3),3)，AM＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2)＝eq\f(\r(6),3)，R＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)－R))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2)，解得R＝eq\f(\r(6),4).于是，eq\f(AO,OM)＝eq\f(\f(\r(6),4),\f(\r(6),3)－\f(\r(6),4))＝3.答案：34．已知数列{an}为等差数列，若am＝a，an＝b(n－m≥1，m，n∈N＋)，则am＋n＝eq\f(nb－ma,n－m).类比等差数列{an}的上述结论，对于等比数列{bn}(bn>0，n∈N＋)，若bm＝c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈N＋)，则可以得到bm＋n＝__________.解析：设数列{an}的公差为d′，数列{bn}的公比为q.因为an＝a1＋(n－1)d′，bn＝b1qn－1，am＋n＝eq\f(nb－ma,n－m)，所以类比得bm＋n＝eq\r(n－m,\f(dn,cm)).答案：eq\r(n－m,\f(dn,cm))5．在△ABC中，若AB⊥AC且AD⊥BC于D，则有eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)，那么在四面体A­BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由．解：猜想四面体A­BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD于E，则eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).如图所示，连接BE并延长交CD于F.∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD．而AF平面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AF2).在Rt△ACD中，AF⊥CD，AC⊥AD，∴eq\f(1,AF2)＝eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).∴eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2)，故猜想正确．6．我们已经学过了等差数列，你是否想过有没有等和数列呢？(1)类比“等差数列”给出“等和数列”的定义；(2)探索等和数列{an}的奇数项与偶数项各有什么特点，并加以说明；(3)在等和数列{an}中，如果a1＝a，a2＝b，求它的前n项和Sn.解：(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫作等和数列．(2)由(1)知an＋an＋1＝an＋1＋an＋2，∴an＋2＝an.∴等和数列的奇数项相等，偶数项也相等．(