沪教版九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练重难点专项突破03相似三角形中的“母子”型(原卷版+解析)

重难点专项突破03相似三角形中的“母子”型【知识梳理】“子母型”相似的图形特点：有一个公共角，

一对完全重合的边，

一对半重合的边，

一对完全不重合的边。子母型的结论：AB²=AD·AB

(重合边的平方等半重合边的乘积)

特殊的子母型（双垂直型）【考点剖析】例1.如图，中，，于点D．求证：．AABCD例2.如图，，于点，，，求的长．AABCDE例3．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，．（1）求证：DFBE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB．例4.已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD．（1）求证：△BND∽△CNM；（2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN．例5.如图，已知在△ABC中，BC＞AB，BD平分∠ABC，交边AC于点D，E是BC边上一点，且BE＝BA，过点A作AG∥DE，分别交BD、BC于点F、G，联结FE．（1）求证：四边形AFED是菱形；（2）求证：AB2＝BG•BC；（3）若AB＝AC，BG＝CE，联结AE，求的值．【过关检测】一、填空题1．如图，在中，点D在AB上，请再添一个适当的条件，使，那么可添加的条件是__________．2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AD＝，那么BC＝_______．3．如图，中，点在边上，且，若，，则的长为______．二、解答题4．【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．5．如图，在三角形ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿边AB运动，速度为2cm/s，点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s，如果点P、Q两动点同时运动，何时QBP与ABC相似？6．已知：如图，在中，D是AC上一点，连接BD，且∠ABD=∠ACB．（1）求证：△ABD∽△ACB；（2）若AD=5，AB=7，求AC的长.7．如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且AC=，CD＝4，BD＝2，求证：△ACD∽△BCA．8．如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．（1）求证：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长．9．如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA．（1）求证：AC2＝BC•CD；（2）若AD是△ABC的中线，求的值．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝．（1）求证△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．11．如图，已知中，P是AB上一点，连接CP，B=ACP，求证：．12．如图，中，点分别是的中点，与点．（1）求证：；（2）求的大小；（3）若，求的面积．重难点专项突破03相似三角形中的“母子”型【知识梳理】“子母型”相似的图形特点：有一个公共角，

一对完全重合的边，

一对半重合的边，

一对完全不重合的边。子母型的结论：AB²=AD·AB

(重合边的平方等半重合边的乘积)

特殊的子母型（双垂直型）【考点剖析】例1.如图，中，，于点D．求证：．AABCD【解析】，． ．， ，．，． ．【总结】本题考查相似三角形的性质及判定等知识例2.如图，，于点，，，求的长．AABCDE【答案】．【解析】，，，．根据面积法，可知，解得．又，，可得．，代入可得：．，，．代入得：．【总结】考查对于“子母三角形”的认识，初步建立可将相似三角形中可将对应边之比转化为 同一三角形中边长比的思想，实际上这个这个图形中包含5个直角三角形，全部都是两相似．例3．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，．（1）求证：DFBE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB．【分析】（1）由题意易得，则有，进而问题可求证；（2）由（1）及题意可知，然后可得，进而可证，最后问题可求证．【详解】解：（1）∵DEBC，∴，∵，∴，∴DFBE；（2）∵AF＝2，EF＝4，∴由（1）可知，，AE=6，∵AB＝6，∴，∴，∴，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△AEB．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．例4.已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD．（1）求证：△BND∽△CNM；（2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN．【分析】（1）利用平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，再证明四边形BECD为平行四边形得到BD∥CE，根据相似三角形的判定方法，由CM∥DB可判断△BND∽△CNM；（2）先利用AD2=AB•AF可证明△ADB∽△AFD，则∠1=∠F，再根据平行线的性质得∠F=∠4，∠2=∠3，所以∠3=∠4，加上∠NMC=∠CMD，于是可判断△MNC∽△MCD，所以MC：MD=CN：CD，然后利用CD=AB和比例的性质即可得到结论．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，而BE=AB，∴BE=CD，而BE∥CD，∴四边形BECD为平行四边形，∴BD∥CE，∵CM∥DB，∴△BND∽△CNM；（2）∵AD2=AB•AF，∴AD：AB=AF：AD，而∠DAB=∠FAD，∴△ADB∽△AFD，∴∠1=∠F，∵CD∥AF，BD∥CE，∴∠F=∠4，∠2=∠3，∴∠3=∠4，而∠NMC=∠CMD，∴△MNC∽△MCD，∴MC：MD=CN：CD，∴MC•CD=MD•CN，而CD=AB，∴CM•AB=DM•CN．【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长．也考查了平行四边形的判定与性质．例5.如图，已知在△ABC中，BC＞AB，BD平分∠ABC，交边AC于点D，E是BC边上一点，且BE＝BA，过点A作AG∥DE，分别交BD、BC于点F、G，联结FE．（1）求证：四边形AFED是菱形；（2）求证：AB2＝BG•BC；（3）若AB＝AC，BG＝CE，联结AE，求的值．【分析】（1）由题目条件可证得△ABF≌△EBF（SAS）及△ABD≌△EBD（SAS），进而可推出AF＝FE＝ED＝DA，可得出四边形AFED是菱形．（2）根据条件可证得△ABG∽△CBA，即可证明结论．（3）由条件可得△DAE∽△ABC，由相似比可得，由BE2＝EC•BC，得到点E是BC的黄金分割点，可得出，即可得出结论．【详解】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABF＝∠EBF，∵BA＝BE，BF＝BF，∴△ABF≌△EBF（SAS），∴AF＝EF，同理可得△ABD≌△EBD（SAS），∴AD＝ED，∠ADB＝∠EDB，∵AG∥DE，∴∠AFD＝∠EDF，∴∠AFD＝∠ADF，∴AF＝AD，∴AF＝FE＝ED＝DA，∴四边形AFED菱形．（2）证明：由（1）得：△ABF≌△EBF，∴∠BAG＝∠BEF，∵四边形AFED是菱形，∴AD∥FE，∴∠BEF＝∠C，∴∠BAG＝∠C，∵∠ABG＝∠CBA，∴△ABG∽△CBA，∴，即AB2＝BG•BC．（3）解：如图，∵AB＝AC，∴∠ABG＝∠C，∵∠BAG＝∠C，∴∠ABG＝∠BAG，∵∠AGC＝∠ABG＋∠BAG，∴∠AGC＝2∠BAG，∵BG＝CE，∴BE＝CG，∴CG＝CA，∴∠CAG＝∠CGA，∵∠CAG＝2∠DAE，∴∠DAE＝∠ABC，∴∠DEA＝∠ACB，∴△DAE∽△ABC，∴，∵AB2＝BG•BC，AB＝BE，∴BE2＝EC•BC，∴点E是BC黄金分割点，∴，∴，∵∠EAC＝∠C，∴CE＝AE，∴，∴．【点睛】本题考查了菱形的判定，相似三角形的性质与判定及黄金分割点等知识，综合性较强，熟练掌握相关知识并灵活运用所学知识求解是解题的关键．【过关检测】一、填空题1．如图，在中，点D在AB上，请再添一个适当的条件，使，那么可添加的条件是__________．【答案】（答案不唯一，也可以增加条件：或）．【分析】题目中相似的两个三角形已经有一个公共角，可以再增加一对相等的角，用两组角相等判定两三角形相似，也可以增加两组对应边成比例，利用两组边对应成比例及夹角相等判定两三角形相似．【详解】若增加条件：∠ACD=∠ABC，∵∠ACD=∠ABC，且∠A=∠A，∴．【点睛】本题考查相似三角形的判定，比较简单，熟练掌握相似三角形的三种判定方法是解题的关键．2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AD＝，那么BC＝_______．【答案】【分析】证明△BCD∽△BAC，根据相似三角形的性质列式计算即可．【详解】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACB＝∠CDB＝90°，∵∠B＝∠B，∴△BCD∽△BAC，∴＝，即＝，∴,∵∴BC＝，故答案为：．【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，牢记相关知识点并能结合图形灵活应用是解题关键．3．如图，中，点在边上，且，若，，则的长为______．【答案】2【分析】由∠ACD=∠ABC、∠A=∠A，即可得出△ABC∽△ACD，根据相似三角形的性质可得出，代入AC、AD的值可求出AB的长，再根据BD=AB-AD即可求出结论．【详解】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD，∴．∵AC=，AD=1，∴，∴AB=3，∴BD=AB-AD=3-1=2．故答案为2【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的判定定理是解题的关键．二、解答题4．【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．【答案】（1）见解析；（2）AD=．【分析】（1）证明△ADC∽△ACB，即可得出结论；（2）证明△BFE∽△BCF，得出BF2=BE•BC，求出BC，则可求出AD．【详解】（1）证明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB，∴，∴AC2=AD•AB．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠A=∠C，又∵∠BFE=∠A，∴∠BFE=∠C，又∵∠FBE=∠CBF，∴△BFE∽△BCF，∴，∴BF2=BE•BC，∴BC===，∴AD=．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．5．如图，在三角形ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿边AB运动，速度为2cm/s，点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s，如果点P、Q两动点同时运动，何时QBP与ABC相似？【答案】经过4秒或1.6秒时，△QBC与△ABC相似【分析】由题意可得，，根据△QBC与△ABC相似，分情况列式计算即可．【详解】解：由题意可得，∵∠PBQ=∠ABC，当时，，即，解得：；当时，，即，解得：；即经过4秒或1.6秒时，△QBC与△ABC相似．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，解题的关键是准确分析题意列出方程求解．6．已知：如图，在中，D是AC上一点，连接BD，且∠ABD=∠ACB．（1）求证：△ABD∽△ACB；（2）若AD=5，AB=7，求AC的长.【答案】(1)见详解；（2）【详解】（1）证明：∵∠A=∠A,∠ABD=∠ACB,∴△ABD∽△ACB.（2）解:∵△ABD∽△ACB，∴，∴，∴7．如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且AC=，CD＝4，BD＝2，求证：△ACD∽△BCA．【答案】证明见解析．【分析】根据AC=，CD＝4，BD＝2，可得，根据∠C=∠C，即可证明结论．【详解】解：∵AC=，CD＝4，BD＝2∴，∴∵∠C=∠C∴△ACD∽△BCA．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，掌握知识点是解题关键．8．如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．（1）求证：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长．【答案】（1）见解析；（2）2【分析】（1）利用三角形外角的性质及∠DEC=∠ADB可得出∠ADE=∠C，结合∠DAE=∠CAD即可证出△AED∽△ADC；（2）利用相似三角形的性质可求出AD的长，再结合AD=AB即可得出AB的长．【详解】解：（1）证明：∵∠DEC=∠DAE+∠ADE，∠ADB=∠DAE+∠C，∠DEC=∠ADB，∴∠ADE=∠C．又∵∠DAE=∠CAD，∴△AED∽△ADC．（2）∵△AED∽△ADC，∴，即，∴AD＝2或AD＝﹣2（舍去）．又∵AD＝AB，∴AB＝2【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等，两三角形相似”证出△AED∽△ADC；（2）利用相似三角形的性质，求出AD的长．9．如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA．（1）求证：AC2＝BC•CD；（2）若AD是△ABC的中线，求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出，得，进而求出，再利用相似三角形的性质得出答案即可；（2）由可证，进而得出，再由（1）可证，由此即可得出线段之间关系．【详解】（1）证明：，，，，，，，．（2）解：，，，，AD是△ABC的中线，，，即：，∴．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及重心的性质等知识，根据已知得出是解题关键．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝．（1）求证△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据相似三角形的判定两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出（2）由得，，推出，由相