北师大版八年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练重难点01直角三角形中的“锐角平分线”模型(原卷版+解析)

重难点01直角三角形中的“锐角平分线”模型【知识梳理】运用句股定理计算是中考必考知识点，如何巧妙地构造直角三角形是关键.有些难题，同学们找到了直角三角形，但是还是不会求解，关键一点就是忽略了设未知数列方程来求解.一．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．二．翻折变换（折叠问题）1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．【考点剖析】一．勾股定理（共1小题）1．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD，则BD＝．二．翻折变换（折叠问题）（共11小题）2．如图，直角三角形纸片ABC中，AC＝3，BC＝4，折叠纸片使边AC落在斜边AB上，折痕为AD，则CD的长为（）A．2 B． C． D．13．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm4．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边长AB＝6，BC＝8，将直角边AB折叠，使它落在斜边AC上，折痕为AD，则CD长是（）A．3 B．4 C．5 D．65．如图，有一块直角三角形纸片ABC，∠C＝90°．两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将该纸片沿直线AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E处，则折痕AD＝cm．6．有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将该纸片折叠，使直角边AB落在斜边AC上，折痕为AD，则BD＝．7．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则BD的长为．8．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将三角形ABC折叠，使AB落在斜边AC上得到线段AB'，折痕为AD，则BD的长为．9．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝3，BC＝4，将直角三角形纸片ABC折叠，使直角边AC落在斜边AB上，折痕为AD，则BD＝．10．如图，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CD的长为．11．如图，直角三角形纸片的两直角边AC＝6cm，BC＝8cm．现将直角边AC沿AD折叠，使它落在斜边AB上，点C与点E重合．求CD的长．12．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角三角形纸片沿直线AD折叠，使点C恰好落在斜边AB上点E处．（1）求AB的长；（2）直接写出AE、BE的长及∠BED的度数；（3）求CD的长．【过关检测】一．选择题（共7小题）1．（2021秋•定州市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，若CD＝3，则点D到AB边的距离为（）A．1 B． C．2 D．32．（2022秋•海曙区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC＝9，AB＝15，则CE的长为（）A．4 B． C． D．53．（2022•雁塔区模拟）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE∥AB交AC于点E，已知CE＝3，CD＝4，则AD长为（）A．7 B．8 C．4 D．44．（2021秋•西湖区校级期末）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝（）°（点A，B，P是网格交点）．A．30 B．45 C．60 D．755．（2021秋•杏花岭区校级期中）已知△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，则下列条件中：①a2﹣b2＝c2；②a2：b2：c2＝1：3：2；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④∠A＝2∠B＝2∠C．能判断△ABC是直角三角形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（2022秋•江阴市期中）以下四组代数式作为△ABC的三边，能使△ABC为直角三角形的有（）①3n，4n，5n（n为正整数）；②n，n+1，n+2（n为正整数）；③n2﹣1，2n，n2+1（n≥2，n为正整数）；④m2﹣n2，2mn，m2+n2（m＞n，m，n为正整数）．A．1组 B．2组 C．3组 D．4组7．（2022•东莞市校级一模）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将△ACD沿直线AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E处，则CD的长为（）cm．A． B． C．3 D．二．填空题（共7小题）8．（2022秋•海口期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，若DE＝5，DF＝3，则AC的长为．9．（2021秋•陵城区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于D，交AC于点E，若BC＝BD，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，则△ADE的周长是．10．（2021秋•鹿城区校级期中）△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，BD为AC边的高线，则BD的长为．11．（2021秋•金牛区校级期中）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论：①AB＝2；②△ABC的面积为10；③∠BAC＝90°；④点A到直线BC的距离是2．其中正确的结论是．（填序号）12．（2022秋•城阳区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝．13．（2022秋•菏泽月考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝30，BC＝40，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B'重合，AE为折痕，则EB'＝．14．（2021秋•连云港期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，点D在边AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是．三．解答题（共7小题）15．（2021秋•盘山县期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为点E．若AB＝15cm，AC＝9cm，求BE的长度．16．（2023春•大石桥市月考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，AC＝25cm．点P从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿BC方向以6cm/s的速度向终点C运动，P，Q两点同时出发，设点P的运动时间为t秒．（1）求BC的长；（2）当t＝2时，求P，Q两点之间的距离；（3）当AP＝CQ时，求t的值？17．（2021秋•东海县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）当△ABP为直角三角时，求t的值；（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．18．（2021秋•二道区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，BD平分∠ABC．动点P从点B出发，沿折线BA﹣AC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P不与点D重合时，连结P、B、D三点．设点P的运动时间为t秒．（1）线段AB的长为；（2）当DP⊥AB时，t＝；（3）求线段BD的长；（4）当∠DBP与∠DPB相等时，直接写出t的值．19．（2021秋•原阳县月考）如图，在三角形纸片ABC中，AB＝15cm，AC＝9cm，BC＝12cm，现将边AC沿过点A的直线折叠，使它落在AB边上．若折痕交BC于点D，点C落在点E处，你能求出BD的长吗？请写出求解过程．20．（2022春•新抚区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在斜边AC上，与点B′重合，AD为折痕，求DB′的长．21．（2021秋•皇姑区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，求EB′的长．重难点01直角三角形中的“锐角平分线”模型【知识梳理】运用句股定理计算是中考必考知识点，如何巧妙地构造直角三角形是关键.有些难题，同学们找到了直角三角形，但是还是不会求解，关键一点就是忽略了设未知数列方程来求解.一．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．二．翻折变换（折叠问题）1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．【考点剖析】一．勾股定理（共1小题）1．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD，则BD＝3．【分析】设点B落在AC上的E点处，连接DE，如图所示，由三角形ABC为直角三角形，由AB与BC的长，利用勾股定理求出AC的长，设BD＝x，由折叠的性质得到ED＝BD＝x，AE＝AB＝6，进而表示出CE与CD，在直角三角形DEC中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出BD的长．【解答】解：设点B落在AC上的E点处，连接DE，如图所示，∵△ABC为直角三角形，AB＝6，BC＝8，∴根据勾股定理得：AC＝＝10，设BD＝x，由折叠可知：DE＝BD＝x，AE＝AB＝6，可得：CE＝AC﹣AE＝10﹣6＝4，CD＝BC﹣BD＝8﹣x，在Rt△CDE中，根据勾股定理得：（8﹣x）2＝42+x2，解得：x＝3，则BD＝3．故答案为：3．【点评】此题考查了勾股定理，利用了方程的思想，熟练掌握勾股定理的解本题的关键．二．翻折变换（折叠问题）（共11小题）2．如图，直角三角形纸片ABC中，AC＝3，BC＝4，折叠纸片使边AC落在斜边AB上，折痕为AD，则CD的长为（）A．2 B． C． D．1【分析】首先根据勾股定理计算出AB的长，再根据折叠可得AC＝AE＝3，CD＝DE，BE＝5﹣3＝2，然后设CD＝DE＝x，则BD＝4﹣x，再在直角△BDE中利用勾股定理即可算出x的值．【解答】解：在直角△ABC中：AB＝＝＝5，根据折叠可得AC＝AE＝3，CD＝DE，BE＝5﹣3＝2，设CD＝DE＝x，则BD＝4﹣x，在直角△BDE中：（4﹣x）2＝x2+22，解得：x＝．故选：B．【点评】此题主要考查了图形的翻折变换，解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．3．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【分析】根据勾股定理可将斜边AB的长求出，根据折叠的性质知，AE＝AB，已知AC的长，可将CE的长求出．【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝，根据折叠的性质可知：AE＝AB＝10∵AC＝8∴CE＝AE﹣AC＝2即CE的长为2故选：B．【点评】此题考查翻折问题，将图形进行折叠后，两个图形全等，是解决折叠问题的突破口．4．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边长AB＝6，BC＝8，将直角边AB折叠，使它落在斜边AC上，折痕为AD，则CD长是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】设点B落在AC上的E点处，连接DE，如图所示，由三角形ABC为直角三角形，已知AB与BC的长，利用勾股定理求出AC的长，设BD＝x，由折叠的性质得到ED＝BD＝x，AE＝AB＝6，进而表示出CE与CD，在直角三角形DEC中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，进而得到CD的长．【解答】解：设点B落在AC上的E点处，连接DE，如图所示，∵△ABC为直角三角形，AB＝6，BC＝8，∴根据勾股定理得：AC＝＝10．设BD＝x，由折叠可知：DE＝BD＝x，AE＝AB＝6，可得：CE＝AC﹣AE＝10﹣6＝4，CD＝BC﹣BD＝8﹣x，在Rt△CDE中，根据勾股定理得：（8﹣x）2＝42+x2，解得：x＝3，∴CD＝8﹣3＝5．故选：C．【点评】本题主要考查了翻折变换、勾股定理等知识点，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．5．如图，有一块直角三角形纸片ABC，∠C＝90°．两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将该纸片沿直线AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E处，则折痕AD＝3cm．【分析】先根据勾股定理求得AB的长，再根据折叠的性质求得AE，BE的长，从而利用勾股定理可求得CD的长，然后根据勾股定理即可求得AD．【解答】解：∵AC＝6cm，BC＝8cm，∠C＝90°∴AB＝10cm，∵AE＝6cm（折叠的性质），∴BE＝4cm，设CD＝x，则在Rt△DEB中，42+x2＝（8﹣x）2，∴x＝3cm．∴CD＝3cm，在Rt△ACD中，AD＝＝3cm．故答案为3．【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出Rt△DEB的三边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键．6．有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将该纸片折叠，使直角边AB落在斜边AC上，折痕为AD，则BD＝3．【分析】作出图形，利用勾股定理列式求出AC，再根据翻折变换的性质可得AE＝AB，DE＝BD，然后求出CE，设BD＝x，表示出CD，再利用勾股定理列出方程求解即可．【解答】解：如图，∵两直角边AB＝6，BC＝8，∴斜边AC＝＝＝10，由翻折的性质得，AE＝AB，DE＝BD，∴CE＝AC﹣AE＝10﹣6＝4，设BD＝x，则CD＝8﹣x，在Rt△CDE中，DE2+CE2＝CD2，即x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，即BD＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，熟记性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键，作出图形更形象直观．7．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则BD的长为．【分析】根据勾股定理可将斜边AB的长求出，根据折叠的性质知，AE＝AB，已知AC的长，可将CE的长求出，再根据勾股定理可求BD的长．【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝＝10，根据折叠的性质可知：AE＝AB＝10，DE＝BD∵AC＝8∴CE＝AE﹣AC＝2在Rt△CDE中，DE2＝CD2+CE2．∴BD2＝（BC﹣BD）2+CE2．∴BD2＝（6﹣BD）2+4∴BD＝故答案为【点评】本题考查翻折问题，将图形进行折叠后，两个图形全等，是解决折叠问题的突破口．8．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将三角形ABC折叠，使AB落在斜边AC上得到线段AB'，折痕为AD，则BD的长为3．【分析】设点B落在AC上的E点处，连接DE，如图所示，由三角形ABC为直角三角形，由AB与BC的长，利用勾股定理求出AC的长，设BD＝x，由折叠的性质得到ED＝BD＝x，AE＝AB＝6，进而表示出CE与CD，在直角三角形DEC中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出BD的长．【解答】解：∵△ABC为直角三角形，AB＝6，BC＝8，∴根据勾股定理得：AC＝＝10，设BD＝x，由折叠可知：DB'＝BD＝x，AB'＝AB＝6，可得：CB'＝AC﹣AB'＝10﹣6＝4，CD＝BC﹣BD＝8﹣x，在Rt△CDB'中，根据勾股定理得：（8﹣x）2＝42+x2，解得：x＝3，则BD＝3．故答案为：3．【点评】此题考查了勾股定理，利用了方程的思想，熟练掌握勾股定理的解本题的关键．9．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝3，BC＝4，将直角三角形纸片ABC折叠，使直角边AC落在斜边AB上，折痕为AD，则BD＝．【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再设BD＝x，则CD＝4﹣x，由图形翻折变换的性质可得出AC＝AC′，CD＝C′D，再在Rt△BC′D中利用勾股定理即可求出x的值，进而可得出BD的长．【解答】解：∵Rt△ABC中，两直角边AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，设BD＝x，则CD＝4﹣x，∵AC′＝AC＝3，C′D＝CD＝CB﹣DB＝4﹣x，BC′＝AB﹣AC′＝5﹣3＝2，∴在Rt△BC′D中，BC′2+C′D2＝BD2，即22+（4﹣x）2＝x2，解得x＝，∴BD＝．故答案为：．【点评】本题考查的是图形的翻折变换及勾股定理，解答此类题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．10．如图，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CD的长为cm．【分析】易求AB＝5cm，则CE＝1cm．设CD＝x，则ED＝DB＝3﹣x．根据勾股定理求解．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，∴AB＝5cm．根据题意，AE＝AB＝5，ED＝BD．∴CE＝1cm．设CD＝x，则ED＝3﹣x．根据勾股定理得x2+12＝（3﹣x）2，解得x＝cm．即CD长为cm．故答案为cm．【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠前后的对应相等关系．11．如图，直角三角形纸片的两直角边AC＝6cm，BC＝8cm．现将直角边AC沿AD折叠，使它落在斜边AB上，点C与点E重合．求CD的长．【分析】由折叠的性质知CD＝DE，AC＝AE．根据题意在Rt△BDE中运用勾股定理求DE．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，AC＝6cm，BC＝8cm，∴AB＝＝＝10（cm），∵△AED是△ACD翻折而成，∴AE＝AC＝6cm，设DE＝CD＝xcm，∠AED＝90°，∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4cm，在Rt△BDE中，BD2＝DE2+BE2，即（8﹣x）2＝42+x2，解得x＝3．故CD的长为3cm．【点评】本题考查了翻折变换及勾股定理，解答此类题目时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其它线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．12．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角三角形纸片沿直线AD折叠，使点C恰好落在斜边AB上点E处．（1）求AB的长；（2）直接写出AE、BE的长及∠BED的度数；（3）求CD的长．【分析】（1）由有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，利用勾股定理即可求得AB的长；（2）由折叠的性质即可求得AE的长与∠AED的度数，继而求得BE的长与∠BED的度数；（3）设CD＝xcm，由勾股定理即可求得方程：x2+42＝（8﹣x）2，解此方程即可求得答案．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，∴AB＝＝10（cm）；（2）∵由折叠的性质可得：AE＝AC＝6cm，∠AED＝∠C＝90°，∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4（cm），∠BED＝90°；（3）设CD＝xcm，则DE＝CD＝xcm，BD＝BC﹣CD＝8﹣x（cm），在Rt△BDE中，DE2+BE2＝BD2，则x2+42＝（8﹣x）2，解得：x＝3．故CD＝3cm．【点评】此题考查了折叠的性质以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．【过关检测】一．选择题（共7小题）1．（2021秋•定州市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，若CD＝3，则点D到AB边的距离为（）A．1 B． C．2 D．3【分析】作DE⊥AB于E，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．【解答】解：作DE⊥AB于E，∵AD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝DC＝3，故选：D．【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．2．（2022秋•海曙区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC＝9，AB＝15，则CE的长为（）A．4 B． C． D．5【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF＝∠CFE，即可得出EC＝FC，再证明Rt△ACF≌Rt△AGF得AG，最后利用勾股定理列出方程进行解答．【解答】解：过点F作FG⊥AB于点G，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，∴∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠FAD，∴∠CFA＝∠AED＝∠CEF，∴CE＝CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF＝∠AGF＝90°，∴FC＝FG，∵∠ACB＝90°，AC＝9，AB＝15，∴BC＝，在Rt△ACF和Rt△AGF中，，∴Rt△ACF≌Rt△AGF（HL），∴AC＝AG＝9，设CE＝x，则FC＝FG＝x，BF＝12﹣x，BG＝15﹣9＝6，∵FG2+BG2＝BF2，即x2+62＝（12﹣x）2，解得x＝，即CE＝，故选：B．【点评】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及勾股定理的应用等知识，关键是推出∠CEF＝∠CFE和由勾股定理列出方程，体现了方程思想．3．（2022•雁塔区模拟）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE∥AB交AC于点E，已知CE＝3，CD＝4，则AD长为（）A．7 B．8 C．4 D．4【分析】根据勾股定理求出DE，根据平行线的性质、角平分线的定义得到∠CAD＝∠ADE，得出AE＝DE＝5，进而求出AC，根据勾股定理计算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，CE＝3，CD＝4，由勾股定理得：DE＝＝＝5，∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠ADE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠CAD＝∠ADE，∴AE＝DE＝5，∴AC＝AE+EC＝8，∴AD＝＝＝4，故选：D．【点评】本题考查的是勾股定理、平行线的性质、角平分线的定义，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．4．（2021秋•西湖区校级期末）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝（）°（点A，B，P是网格交点）．A．30 B．45 C．60 D．75【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，求得PD2+DB2＝PB2，于是得到∠PDB＝90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．【解答】解：延长AP交格点于D，连接BD，则PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，∴PD2+DB2＝PB2，∴∠PDB＝90°，∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，故选：B．【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．5．（2021秋•杏花岭区校级期中）已知△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，则下列条件中：①a2﹣b2＝c2；②a2：b2：c2＝1：3：2；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④∠A＝2∠B＝2∠C．能判断△ABC是直角三角形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据勾股定理的逆定理和直角三角形的判定解答即可．【解答】解：①a2﹣b2＝c2，△ABC是直角三角形；②a2：b2：c2＝1：3：2，△ABC是直角三角形；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5，△ABC不是直角三角形；④∠A＝2∠B＝2∠C，△ABC是等腰直角三角形．故选：C．【点评】此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理的逆定理和直角三角形的判定解答．6．（2022秋•江阴市期中）以下四组代数式作为△ABC的三边，能使△ABC为直角三角形的有（）①3n，4n，5n（n为正整数）；②n，n+1，n+2（n为正整数）；③n2﹣1，2n，n2+1（n≥2，n为正整数）；④m2﹣n2，2mn，m2+n2（m＞n，m，n为正整数）．A．1组 B．2组 C．3组 D．4组【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．【解答】解：①3n，4n，5n（n为正整数），（3n）2+（4n）2＝（5n）2，能构成直角三角形；②n，n+1，n+2（n为正整数），n2+（n+1）2≠（n+2）2，不能构成直角三角形；③n2﹣1，2n，n2+1（n≥2，n为正整数），（n2﹣1）2+（n2+1）2＝（2n）2，能构成直角三角形；④m2﹣n2，2mn，m2+n2（m＞n，m，n为正整数），（m2﹣n2）2+（2mn）2＝（m2+n2）2，能构成直角三角形．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．7．（2022•东莞市校级一模）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将△ACD沿直线AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E处，则CD的长为（）cm．A． B． C．3 D．【分析】先根据勾股定理求得AB的长，再根据折叠的性质求得AE，BE的长，从而利用勾股定理可求得CD的长．【解答】解：∵AC＝6cm，BC＝8cm，∠C＝90°，∴AB＝＝＝10（cm），由折叠的性质得：AE＝AC＝6cm，∠AED＝∠C＝90°，∴BE＝10cm﹣6cm＝4cm，∠BED＝90°，设CD＝x，则BD＝BC﹣CD＝8﹣x，在Rt△DEB中，BE2+DE2＝BD2，即42+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝3（cm），∴CD＝3cm，故选：C．【点评】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识；熟记折叠性质并表示出Rt△DEB的三边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键．二．填空题（共7小题）8．（2022秋•海口期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，若DE＝5，DF＝3，则AC的长为9．【分析】根据角平分线的性质得到∠CAD＝∠BAD，CD＝DF＝3，由平行线的性质得∠EDA＝∠BAD，则∠EDA＝CAD，△ADE为等腰三角形，因此DE＝AE＝5，再根据勾股定理得CE＝，最后由AC＝AE+CE即可求解．【解答】解：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DF⊥AB，∴∠CAD＝∠BAD，CD＝DF＝3，∵DE∥AB，∴∠EDA＝∠BAD，∴∠EDA＝∠CAD，∴△ADE为等腰三角形，∴DE＝AE＝5，在△CED中，由勾股定理得CE＝，∴AC＝AE+CE＝9．故答案为：9．【点评】本题主要考查角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是学会利用数形结合的思想，熟练运用所学知识答题．9．（2021秋•陵城区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于D，交AC于点E，若BC＝BD，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，则△ADE的周长是8cm．【分析】连接BE，利用HL证明Rt△BCE与Rt△BDE全等，利用全等三角形的性质解答即可．【解答】解：连接BE，∵∠C＝90°，DE⊥AB于D，∴∠C＝∠BDE＝90°，在Rt△BCE与Rt△BDE中，，∴Rt△BCE≌Rt△BDE（HL），∴DE＝CE，∵AB＝10cm，BC＝8cm，AC＝6cm，∴△ADE的周长＝DE+AE+AD＝CE+AE+AB﹣BD＝AC+AB﹣BC＝6+10﹣8＝8（cm），故答案为：8cm．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据HL得出Rt△BCE与Rt△BDE全等解答．10．（2021秋•鹿城区校级期中）△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，BD为AC边的高线，则BD的长为．【分析】过A作AE⊥BC于点E，利用勾股定理得出AE，进而利用三角形的面积公式解答即可．【解答】解：过A作AE⊥BC于点E，∵AB＝AC＝5，BC＝8，∴BE＝EC＝4，∴AE＝，∵，∴，∴BD＝，故答案为：．【点评】此题考查勾股定理，关键是利用勾股定理得出AE．11．（2021秋•金牛区校级期中）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论：①AB＝2；②△ABC的面积为10；③∠BAC＝90°；④点A到直线BC的距离是2．其中正确的结论是①③④．（填序号）【分析】根据三角形的面积公式、勾股定理、勾股定理的逆定理计算，判断即可．【解答】解：①∵AB2＝22+42＝20，∴AB＝2，故正确；③∵AC2＝12+22＝5，AB2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25，∴AC2+AB2＝BC2，∴∠BAC＝90°，故正确；②S△ABC＝4×4﹣×3×4﹣×1×2﹣×2×4＝5，故错误；④设点A到直线BC的距离为h，∵BC2＝32+42＝25，∴BC＝5，则×5×h＝5，解得，h＝2，即点A到直线BC的距离是2，故正确；故答案为①③④．【点评】本题考查的是勾股定理、三角形的面积计算，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．12．（2022秋•城阳区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝1.5．【分析】首先根据折叠可得BE＝EB′，AB′＝AB＝3，然后设BE＝EB′＝x，则EC＝4﹣x，在Rt△ABC中，由勾股定理求得AC的值，再在Rt△B′EC中，由勾股定理可得方程x2+22＝（4﹣x）2，再解方程即可算出答案．【解答】解：根据折叠可得BE＝EB′，AB′＝AB＝3，设BE＝EB′＝x，则EC＝4﹣x，∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，∴在Rt△ABC中，由勾股定理得，，∴B′C＝5﹣3＝2，在Rt△B′EC中，由勾股定理得，x2+22＝（4﹣x）2，解得x＝1.5，故答案为：1.5．【点评】此题主要考查了翻折变换，关键是分析清楚折叠以后哪些线段是相等的．13．（2022秋•菏泽月考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝30，BC＝40，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B'重合，AE为折痕，则EB'＝15．【分析】由翻折不变性可知：AB＝AB′＝30，EB＝EB′，设EB＝EB′＝x，在Rt△CEB′中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：在Rt△ABC中，∵AB＝30，BC＝40，∴AC＝＝50，由翻折不变性可知：AB＝AB′＝30，EB＝EB′，设EB＝EB′＝x，在Rt△CEB′中，则有：（40﹣x）2＝x2+202，∴x＝15，故答案为15．【点评】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．14．（2021秋•连云港期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，点D在边AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是．【分析】利用等腰三角形的性质可知AE是CD的垂直平分线，利用勾股定理求出AB的长，再利用等积法求出DE的长，再利用勾股定理求BE即可．【解答】解：∵AD＝AC，AE⊥CD，∴AE是CD的垂直平分线．∴CE＝DE．∴∠ADE＝∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝15．∴BD＝AB﹣AD＝6．∴S△ABC＝S△ACE+S△ABE，∴AC×BC＝AC×CE+AB×DE，∴9×12＝9CE+15DE，∴DE＝，在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE＝＝＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，运用等积法求出DE的长是解题的关键．三．解答题（共7小题）15．（2021秋•盘山县期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为点E．若AB＝15cm，AC＝9cm，求BE的长度．【分析】先利用角平分线的定义得到DE＝DC，再结合题中条件得出Rt△ADE≌Rt△ADC，从而可知AE＝AC＝9cm，所以求得BE＝AB﹣AE＝15﹣9＝6cm．【解答】解：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝DC．又∵AD＝AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADC（HL），∴AE＝AC＝9cm，∴BE＝AB﹣AE＝15﹣9＝6（cm）．【点评】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质及角平分线的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．证出DE＝DC是证明三角形全等的前提．16．（2023春•大石桥市月考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，AC＝25cm．点P从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿BC方向以6cm/s的速度向终点C运动，P，Q两点同时出发，设点P的运动时间为t秒．（1）求BC的长；（2）当t＝2时，求P，Q两点之间的距离；（3）当AP＝CQ时，求t的值？【分析】（1）在直角△ABC中，根据勾股定理来求BC的长度；（2）在直角△BPQ中，根据勾股定理来求PQ的长度；（3）由路程＝时间×速度求出AP，BQ，再根据等量关系：AP＝CQ列出方程求解即可．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，AC＝25cm，∴BC＝＝24cm．（2）如图，连接PQ，BP＝7﹣2＝5，BQ＝6×2＝12，在直角△BPQ中，由勾股定理得到：PQ＝＝13（cm）；（3）设t秒后，AP＝CQ．则t＝24﹣6t，解得t＝．答：P、Q两点运动秒，AP＝CQ．【点评】本题考查了勾股定理和一元一次方程的定义．解题时，需要熟悉路程＝时间×速度，以及变形后的公式．17．（2021秋•东海县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）当△ABP为直角三角时，求t的值；（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．【分析】（1）根据勾股定理得出BP即可；（2）根据勾股定理先求出BC＝8cm，再由△ABP为等腰三角形，只要求出BP的长即可，分三类，当AB＝AP时，则BP＝2BC＝16cm；当BA＝BP＝10cm；当PA＝PB时，如图：设BP＝PA＝x，则PC＝8﹣x，在Rt△ACP中，由勾股定理列出方程可求出BP的长．【解答】解：（1）当△ABC为直角三角时，（cm），①当∠APB＝90°时，点P与点C重合，BP＝BC＝8，∴t＝8，②当∠BAP＝90°，BP＝t，CP＝t﹣8，AC＝6，在Rt△ACP中，AP2＝62+（t﹣8）2，在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，∴102+[62+（t﹣8）2]＝t2，解得：t＝，综上所述，t＝8或；（2）在△ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理得：BC＝＝8（cm），∵△ABP为等腰三角形，当AB＝AP时，则BP＝2BC＝16cm，即t＝16；当BA＝BP＝10cm时，则t＝10；当PA＝PB时，如图：设BP＝PA＝x，则PC＝8﹣x，在Rt△ACP中，由勾股定理得：PC2+AC2＝AP2，∴（8﹣x）2+62＝x2，解得x＝，∴t＝．综上所述：t的值为16或10或．【点评】本题主要考查了勾股定理、以及等腰三角形的性质，运用分类思想是正确解题的关键．18．（2021秋•二道区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，BD平分∠ABC．动点P从点B出发，沿折线BA﹣AC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P不与点D重合时，连结P、B、D三点．设点P的运动时间为t秒．（1）线段AB的长为13；（2）当DP⊥AB时