北师大版八年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练第06讲估算和用计算器开方(3种题型)(原卷版+解析)

第06讲估算和用计算器开方（3种题型）【知识梳理】一．实数大小比较实数大小比较（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．二．估算无理数的大小估算无理数大小要用逼近法．思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．三．计算器—数的开方正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是：当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍．【考点剖析】一．实数大小比较（共16小题）1．（2023•福鼎市模拟）在实数，π，0，﹣1中，最小的数是（）A．﹣1 B．0 C． D．π2．（2023春•梁山县期中）比较下列各组数中两个数的大小，正确的是（）A． B． C． D．3．（2023•鄞州区校级模拟）[a]表示不超过a的最大整数．若实数a满足方程，则[a]＝（）A．1 B．2 C．3 D．44．（2022秋•海口期末）比较2，3，的大小，正确的是（）A．＜3＜2 B．2＜＜3 C．＜2＜3 D．2＜3＜5．（2022秋•和平区校级期末）已知，则a与b的大小关系是（）A．a＜b B．a＞b C．a＝b D．无法确定6．（2023•光山县三模）写出一个大于5小于6的无理数：．7．（2023春•富川县期中）比较大小：﹣+1﹣（填“＞”、“＜”或“＝”）8．（2023春•龙子湖区期中）比较大小：（填“＞”“＜”“＝”）．9．（2023•雁塔区校级模拟）比较大小：4（填“＞”，“＜”或“＝”）．10．（2023•临沭县一模）比较大小．11．（2022秋•宜阳县期末）将下列各数按从小到大的顺序排列，并用“＜”号连接起来：2，，﹣，0，﹣1.7．12．（2022秋•晋州市期中）已知如下信息：①实数a有两个不同的平方根，分别是x﹣1和7﹣3x；②a+b的立方根是3；③c的相反数是﹣5．请解决以下问题：（1）求出a，b，c的值；（2）比较与c的大小，直接写出结果．13．（2021秋•山亭区期末）数学课上，老师出了一道题：比较与的大小．小华的方法是：因为＞4，所以﹣22，所以（填“＞”或“＜”）；小英的方法是：﹣＝，因为19＞42＝16，所以﹣40，所以0，所以（填“＞”或“＜”）．（1）根据上述材料填空；（2）请从小华和小英的方法中选择一种比较与的大小．14．（2022春•洮北区期末）观察表格，回答问题：a…0.00010.01110010000……0.01x1y100…（1）表格中x＝，y＝；（2）从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：①已知≈3.16，则≈；②已知＝8.973，若＝897.3，用含m的代数式表示b，则b＝；（3）试比较与a的大小．当时，＞a；当时，＝a；当时，＜a．15．（2022秋•方城县月考）（1）用“＜”“＞”或“＝”填空：，；（2）由以上可知：①＝，②＝；（3）计算：．（结果保留根号）16．（2021秋•正定县期中）已知+1在两个连续的自然数a和a+1之间，1是b的一个平方根．（1）求a，b的值；（2）比较a+b的算术平方根与的大小．二．估算无理数的大小（共19小题）17．（2023春•鼓楼区校级期末）比大且比小的整数是（）A．1 B．2 C．3 D．418．（2023春•梁子湖区期末）一个正方形的面积是60，那么它的边长在哪两个相邻的整数之间（）A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间19．（2023•台儿庄区模拟）正整数a、b分别满足，，则ba＝（）A．16 B．9 C．8 D．420．（2023春•合江县期中）绝对值小于的所有正整数的和是．21．（2023春•浦东新区校级期末）在两个连续的整数a和b之间（a＜b），则ba＝．22．（2022秋•长安区校级期末）的小数部分为a，则a（a+4）＝．23．（2022秋•永兴县期末）定义[x]为不大于x的最大整数，如[2]＝2，，[4.1]＝4，则满足，则n的最大整数为．24．（2023•海淀区校级三模）已知a、b为两个连续整数，且a＜＜b，则a+b＝．25．（2023春•孝昌县期中）若的整数部分为a，小数部分为b，求的值．26．（2023春•临颍县期中）若6﹣的整数部分为x，小数部分为y，则（2x+）y的值为27．（2022秋•绥宁县期末）已知的整数部分是a，小数部分是b，则a﹣的值为．28．（2023春•忠县期末）已知实数a的平方根为2x+1，1﹣7x，的整数部分为b．（1）求a，b的值；（2）若的小数部分为c，求25a﹣（b+c）2的平方根．29．（2023春•常州期末）如图1，已知纸片A是边长为am的正方形，纸片B是相邻两边长分别为xm、ym的长方形，且纸片A、B的周长相等．​（1）当α＝5时．①若x＞6，求y的取值范围；②如图2，以纸片B的相邻两边为边长分别向外作正方形C、D，若纸片B的面积比纸片A的面积小10cm2，求C、D的面积之和；（2）如图3，将纸片A、B叠合在一起，记阴影部分的周长为M．①M＝（用含x、a的代数式表示）；②若关于x的不等式M＜12恰有3个正整数解，则a的取值范围是．30．（2023春•固始县期末）下面是小李同学探索的近似数的过程：∵面积为107的正方形边长是，且10＜＜11，∴设＝10+x，其中0＜x＜1，画出如图示意图，∵图中S正方形＝102+2×10•x+x2，S正方形＝107∴102+2×10•x+x2＝107当x2较小时，省略x2，得20x+100≈107，得到x≈0.35，即≈10.35．（1）的整数部分是；（2）仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）31．（2023春•鹤峰县期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵22＜（）2＜32，即2＜＜3，∴的整数部分为2，小数部分为（﹣2）．请解答：（1）的整数部分是，小数部分是（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b﹣的值．32．（2023春•前郭县期中）已知a﹣4的立方根是1，3a﹣b﹣2的算术平方根是3，的整数部分是c，求2a﹣3b+c的平方根．33．（2023春•无为市期中）根据表格解答下列问题：x1313.113.213.313.413.513.613.713.813.914x2169171.61174.24176.89179.56182.25184.96187.69190.44193.21196（1）190.44的平方根是．（2）≈，＝．（3）若13.5＜＜13.6，求满足条件的整数n的值．34．（2023•章贡区校级模拟）已知5a﹣2的立方根是﹣3，2a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分，求3a+b+c的平方根．35．（2023春•仙游县期中）观察：∵＜＜，即2＜＜3，∴的整数部分为2，小数部分为﹣2，请你观察上述式子规律后解决下面问题．（1）规定用符号[m]表示实数m的整数部分，例如：[]＝0，[π]＝3，填空：[+2]＝；[5﹣]＝．（2）如果5+的小数部分为a，5﹣的小数部分为b，求a2﹣b2的值．三．计算器—数的开方（共8小题）36．（2021秋•郏县期中）利用计算器求的值，正确的按键顺序为（）A． B． C． D．37．（2020•安丘市二模）用计算器求35值时，需相继按“3”，“yx”，“5”，“＝”键，若小颖相继按“”，“4”，“yx”“3”，“＝”键，则输出结果是（）A．6 B．8 C．16 D．4838．（2022秋•商水县月考）甲同学利用计算器探索一个数x的平方，并将数据记录如表：x16.216.316.416.516.616.716.816.917.0x2262.44265.69268.96272.25275.56278.89282.24285.61289根据表求得282.24的平方根是．39．（2021秋•杏花岭区校级期中）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得，还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察表：n0.00160.16161600160000…0.040.4440400…（1）表中所给的信息中，能发现规律：被开方数的小数点每向左或向右移动2位则它的算术平方根的小数点就向移动位；（2）运用你发现的规律，探究下列问题：①若≈1.910，≈6.042，则≈；②已知x2≈0.000365，则x≈．40．（2021秋•通川区校级期中）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下：………0.250.79062.57.9062579.06250…根据以上规律，若，＝4.11，则．41．（2023春•兴宁区校级期末）阅读下面材料，解答问题：【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“运用规律求一个正数的算术平方根”的实践活动．【实践探究】同学们利用计算器计算出下表中的算术平方根，整理数据如下：………0.250.7912.57.912579.1250…（1）根据上述探究，可以得到被开方数和它的算术平方根之间小数点的变化规律是：若被开方数的小数点向右或向左移动位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动位：（2）已知，请运用上述规律直接写出各式的值：≈，．（3）你能根据的值说出的值是多少吗？请说明理由．42．（2022•惠阳区校级开学）（1）用计算器计算：＝＝＝＝（2）观察题（1）中各式的计算结果，你能发现什么规律？（3）试运用发现的规律猜想：＝，并通过计算器验证你的猜想．43．（2022•惠阳区校级开学）用计算器求下列各式的近似值（精确到0.01）：（1）；（2）．【过关检测】一、单选题1．（2022秋·江苏·八年级专题练习）已知a为整数，且满足，则a等于（

）A．2 B．3 C．4 D．52．（2022秋·河南平顶山·八年级统考期中）用计算器求的按键顺序是（

）．A．8=S⇔D B．8=S⇔DC．=S⇔D D．8=S⇔D3．（2023·全国·八年级假期作业）估计12的算术平方根介于（

）A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间4．（2022秋·全国·八年级阶段练习）如果整数a满足，则a的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．45．（2023春·广东韶关·八年级统考期中）张华是初三的一名男生，今年三月，他参加了招飞体检测评，他的身高、体重和视力等各项指标均达到了合格标准，你认为他的身高和下面哪一个数值最接近？（

）A．米 B．米 C．米 D．米6．（2023春·河南安阳·八年级统考期中）一个正方形的面积是21，把此正方形的边长增加1，则新的正方形的边长范围是（

）A．4与5之间 B．5与6之间 C．6与7之间 D．7与8之间7．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）估计的值（

）A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间8．（2023秋·福建宁德·八年级统考期末）面积为20的正方形的边长为，则的值在（

）A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间9．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（

）A．4 B．5 C．6 D．710．（2023春·安徽亳州·八年级统考期末）满足的整数x可以是（

）A． B． C．2 D．3二、填空题11．（2023春·重庆九龙坡·八年级统考期末）已知，且n为正整数，则___________．12．（2022秋·北京昌平·八年级统考期末）若a和b为两个连续整数，且，那么___________，___________．13．（2022秋·河南周口·八年级校考阶段练习）若的底AB为4，底边AB上的高为5，面积为S，则______4（填“<”、“=”或“>”）．14．（2022秋·八年级课时练习）若，且a、b为两个连续的整数，c为这四个数，，，中的唯一有理数，则__________．15．（2023春·黑龙江绥化·八年级统考期中）已知a，b分别是的整数部分和小数部分，那么的值为______.16．（2021春·广东江门·八年级江门市第一中学校考期中）设的小数部分为，则的值是________．三、解答题17．（2022秋·八年级课时练习）已知，，，，……(1)填空：________；(2)已知，用含的代数式表示，则________；(3)根据规律写出与的大小情况．18．（2022秋·陕西榆林·八年级统考期中）观察：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请你观察上述规律后解决下面的问题：(1)规定用符号表示实数的整数部分，例如：，．按此规定，那么的值为___________．(2)若的整数部分为，小数部分为，，求的值．19．（2022秋·陕西渭南·八年级统考期末）已知是的立方根，是的整数部分，求的平方根.20．（2023·全国·八年级假期作业）如图，把两个面积均为的小正方形分别沿对角线裁剪后拼成一个大的正方形．(1)求大正方形的边长．(2)若沿此大正方形边的方向裁剪出一个长方形，能否使裁剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为．若能，试求剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由．21．（2023春·山东聊城·八年级统考期中）已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分．(1)求，，的值；(2)求的平方根．22．（2023·江苏·八年级假期作业）用计算器求下列各式的值（精确到）；(1)；(2)；(3)；(4)．23．（2023春·山东潍坊·八年级高密市立新中学校考阶段练习）如图图形，每个小正方形的边长为1．(1)求图中阴影部分的面积和边长；(2)已知为阴影正方形边长的小数部分，为的整数部分，求：①，的值；②的算术平方根．24．（2022秋·湖南常德·八年级统考期末）阅读下面的文字，解答问题.现规定：分别用和表示实数x的整数部分和小数部分，如实数的整数部分是，小数部分是；实数的整数部分是，小数部分是无限不循环小数，无法写完整，但是把它的整数部分减去，就等于它的小数部分，即就是的小数部分，所以.(1)___________，___________；___________，___________.(2)如果，，求的立方根.25．（2023·江苏·八年级假期作业）材料1：的整数部分是2，小数部分是，小数部分可以看成是得来的，类比来看，是无理数，而，所以的整数部分是1，于是可用来表示的小数部分．料2：若，则有理数部分相等，无理数部分也相等，即，要满足，．根据以上材料，完成下列问题：(1)的整数部分是______，小数部分是_____；(2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的算术平方根．26．（2022秋·八年级课前预习）设面积为5π的圆的半径为a．(1)a是有理数吗？说说你的理由；(2)估计a的值（结果精确到0.1），并利用计算器验证你的估计；(3)如果结果精确到0.01呢？27．（2023春·全国·八年级期末）数学张老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答：(1)的小数部分是多少，请表示出来；(2)为的小数部分，为的整数部分，求的值．(3)已知，其中是一个正整数，，求的值．

第06讲估算和用计算器开方（3种题型）【知识梳理】一．实数大小比较实数大小比较（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．二．估算无理数的大小估算无理数大小要用逼近法．思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．三．计算器—数的开方正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是：当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍．【考点剖析】一．实数大小比较（共16小题）1．（2023•福鼎市模拟）在实数，π，0，﹣1中，最小的数是（）A．﹣1 B．0 C． D．π【分析】正数＞0＞负数，据此进行判断即可．【解答】解：由题意可得π＞＞0＞﹣1，则最小的数是﹣1，故选：A．【点评】本题考查实数的大小比较，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．2．（2023春•梁山县期中）比较下列各组数中两个数的大小，正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据实数比较大小的方法，平方法，负数的绝对值大的反而小，逐一进行判断即可．【解答】解：A、，∴，∴，选项错误，不符合题意；B、，选项错误，不符合题意；C、＞，∴，选项正确，符合题意；D、，选项错误，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查实数比较大小．熟练掌握比较实数大小的方法是解题的关键．3．（2023•鄞州区校级模拟）[a]表示不超过a的最大整数．若实数a满足方程，则[a]＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据二次根式的非负性解决此题．【解答】解：由题意得，1﹣≥0，a﹣0，a≥0．∴a≥1．∴[a]＝1．故选：A．【点评】本题主要考查二次根式的非负性，熟练掌握二次根式的非负性是解决本题的关键．4．（2022秋•海口期末）比较2，3，的大小，正确的是（）A．＜3＜2 B．2＜＜3 C．＜2＜3 D．2＜3＜【分析】分别算出2，3的平方，即可比较大小．【解答】解：，∵7＜8＜9，∴，故选：C．【点评】本题考查了实数大小比较，解决本题的关键是先算出3个数的平方，即可比较大小．5．（2022秋•和平区校级期末）已知，则a与b的大小关系是（）A．a＜b B．a＞b C．a＝b D．无法确定【分析】把根号外面的数移到里面，再根据负数比较大小的法则进行比较即可．【解答】解：a＝﹣5＝﹣，b＝﹣2＝﹣，∵50＞20，∴＞，∴﹣＜﹣，∴﹣5＜﹣2，∴a＜b．故选：A．【点评】本题考查实数的大小比较，掌握正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数是关键．6．（2023•光山县三模）写出一个大于5小于6的无理数：．【分析】根据5＝，6＝，写出一个大于5小于6的无理数可以是，注意答案不唯一．【解答】解：写出一个大于5小于6的无理数：．故答案为：．【点评】此题主要考查了无理数的特征和应用，以及实数大小比较的方法，注意答案不唯一．7．（2023春•富川县期中）比较大小：﹣+1＜﹣（填“＞”、“＜”或“＝”）【分析】应用放缩法，判断出﹣+1与﹣的大小关系即可．【解答】解：∵﹣+1＜﹣2+1＝﹣1，﹣＞﹣1，∴﹣+1＜﹣．故答案为：＜．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，注意放缩法的应用．8．（2023春•龙子湖区期中）比较大小：＞（填“＞”“＜”“＝”）．【分析】首先确定﹣1与1的大小，进行比较即可求解．【解答】解：∵4＜5＜9，∴2＜＜3，∴1＜﹣1＜2，∴＞．故答案是：＞．【点评】此题主要考查了无理数的估算能力，此题把它们的减数变成和被减数相同的形式，然后只需比较被减数的大小．分母相同时，分子大的大．9．（2023•雁塔区校级模拟）比较大小：＜4（填“＞”，“＜”或“＝”）．【分析】先估算2的值，然后判断即可．【解答】解：∵1＜＜2，∴2＜2＜4，∴2＜4．故答案为：＜．【点评】本题考查了实数的大小比较，算术平方根，熟练准确估算无理数的大小是解题的关键．10．（2023•临沭县一模）比较大小＜．【分析】先估算出的范围，再求出的范围，再得出答案即可．【解答】解：∵2＜3，∴﹣2＞﹣＞﹣3，∴1＞3﹣＞0，∴＞＞0，即，故答案为：＜．【点评】本题考查了估算无理数的大小和实数的大小比较，能估算出的大小是解此题的关键．11．（2022秋•宜阳县期末）将下列各数按从小到大的顺序排列，并用“＜”号连接起来：2，，﹣，0，﹣1.7．【分析】利用π的近似值可比较和﹣1.7，再根据无理数的估算方法可得出，进而得出．【解答】解：∵，∴，又∵，∴，∴．【点评】本题考查实数的大小比较．将无理数的大小比较转化为整数大小的比较是解题关键．12．（2022秋•晋州市期中）已知如下信息：①实数a有两个不同的平方根，分别是x﹣1和7﹣3x；②a+b的立方根是3；③c的相反数是﹣5．请解决以下问题：（1）求出a，b，c的值；（2）比较与c的大小，直接写出结果．【分析】（1）根据平方根、立方根和相反数的定义即可得到a，b，c的值；（2）先求出，再与c比较大小即可求解．【解答】解：（1）∵实数a有两个不同的平方根，分别是x﹣1和7﹣3x，∴x﹣1+7﹣3x＝0，解得x＝3，则a＝（3﹣1）2＝4；∵a+b的立方根是3，∴4+b＝27，解得b＝23；∵c的相反数是﹣5，∴c＝5；（2）∵＝＝，c＝5，＜5，∴＜c．【点评】本题考查了实数大小比较，平方根、算术平方根、立方根和相反数，关键是求出a，b，c的值．13．（2021秋•山亭区期末）数学课上，老师出了一道题：比较与的大小．小华的方法是：因为＞4，所以﹣2＞2，所以＞（填“＞”或“＜”）；小英的方法是：﹣＝，因为19＞42＝16，所以﹣4＞0，所以＞0，所以＞（填“＞”或“＜”）．（1）根据上述材料填空；（2）请从小华和小英的方法中选择一种比较与的大小．【分析】（1）根据不等式的性质即可解答；（2）仿照例题的方法进行计算即可解答．【解答】解：（1）小华的方法是：因为＞4，所以﹣2＞2，所以＞，小英的方法是：﹣＝，因为19＞42＝16，﹣＝，因为19＞42＝16，所以﹣4＞0，所以＞0，所以＞，故答案为：＞，＞，＞，＞，＞；（2）如果选择小华的方法，∵，∴，∴，如果选择小英的方法，﹣＝＝，∵6＜9，∴＜3，∴﹣3＜0，∴＜0，∴．【点评】本题考查了实数大小比较，熟练掌握作差法比较大小的方法是解题的关键．14．（2022春•洮北区期末）观察表格，回答问题：a…0.00010.01110010000……0.01x1y100…（1）表格中x＝0.1，y＝10；（2）从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：①已知≈3.16，则≈31.6；②已知＝8.973，若＝897.3，用含m的代数式表示b，则b＝10000m；（3）试比较与a的大小．当0＜a＜1时，＞a；当a＝1或0时，＝a；当a＞1时，＜a．【分析】（1）由表格得出规律，求出x与y的值即可；（2）根据得出的规律确定出所求即可；（3）分类讨论a的范围，比较大小即可．【解答】解：（1）x＝，y＝＝10．故答案为：0.1；10；（2）①根据题意得：≈31.6．②结果扩大100倍，则被开方数扩大10000倍，∴b＝10000m．故答案为：31.6；10000m；（3）当a＝0或1时，＝a；当0＜a＜1时，＞a；当a＝1或0时，＝a；当a＞1时，＜a，故答案为：0＜a＜1，a＝1或0，a＞1．【点评】此题考查了实数的比较，弄清题中的规律是解本题的关键．15．（2022秋•方城县月考）（1）用“＜”“＞”或“＝”填空：＜，＜；（2）由以上可知：①＝﹣，②＝﹣；（3）计算：．（结果保留根号）【分析】（1）根据被开方数越大，它的算术平方根就越大比较即可；（2）根据绝对值的性质去掉绝对值符号即可；（3）先去掉绝对值符号，再算加减即可．【解答】解：（1）∵3＜4，5＜6，∴；故答案为：＜，＜；（2）∵，∴；|＝；故答案为：，；（3）原式＝1++…+＝﹣1．【点评】本题考查了算术平方根，绝对值和二次根式的加减，能正确去掉绝对值符号是解（2）（3）的关键．16．（2021秋•正定县期中）已知+1在两个连续的自然数a和a+1之间，1是b的一个平方根．（1）求a，b的值；（2）比较a+b的算术平方根与的大小．【分析】（1）利用“夹逼法”求得a的值，由平方根的定义求得b的值，代入计算即可；（2）利用（1）的结果进行比较即可．【解答】解：（1）∵4＜8＜9，∴2＜＜3．又+1在两个连续的自然数a和a+1之间，1是b的一个平方根，∴a＝3，b＝1；（2）由（1）知，a＝3，b＝1∴a+b＝3+1＝4，∴a+b的算术平方根是：2．∵4＜5，∴2＜．【点评】本题主要考查的是估算无理数的大小，掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．二．估算无理数的大小（共19小题）17．（2023春•鼓楼区校级期末）比大且比小的整数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】分别判断和在哪两个连续整数之间，继而得出答案．【解答】解：∵4＜5＜9＜11＜16∴2＜＜3＜＜4，∴比大且比小的整数是3，故选：C．【点评】本题考查无理数的估算，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．18．（2023春•梁子湖区期末）一个正方形的面积是60，那么它的边长在哪两个相邻的整数之间（）A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间【分析】先求出正方形的边长，再估算出的范围，即可得出选项．【解答】解：正方形的边长为，∵7＜＜8，∴正方形的边长在7和8之间，故选：C．【点评】本题考查了估算无理数的大小和算术平方根，能估算出的范围是解此题的关键．19．（2023•台儿庄区模拟）正整数a、b分别满足，，则ba＝（）A．16 B．9 C．8 D．4【分析】结合已知条件，利用无理数的估算分别求得a，b的值，然后代入ba中计算即可．【解答】解：∵53＜64＜98，2＜4＜7，∴＜4＜，＜2＜，∴a＝4，b＝2，∴ba＝24＝16，故选：A．【点评】本题考查无理数的估算，结合已知条件求得a，b的值是解题的关键．20．（2023春•合江县期中）绝对值小于的所有正整数的和是10．【分析】根据无理数的估算方法得到，即的整数部分是4，由此得到正整数值，得到答案．【解答】解：∵16＜21＜25，∴，∴绝对值小于的所有正整数有1，2，3，4，∴和为10，故答案为：10．【点评】此题考查了无理数的估算，正确掌握无理数的估算方法是解题的关键．21．（2023春•浦东新区校级期末）在两个连续的整数a和b之间（a＜b），则ba＝9．【分析】先估算出的值的范围，从而求出a，b的值，然后把a，b的值代入式子中，进行计算即可解答．【解答】解：∵4＜5＜9，∴2＜＜3，∵在两个连续的整数a和b之间（a＜b），∴a＝2，b＝3，∴ba＝32＝9，故答案为：9．【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键．22．（2022秋•长安区校级期末）的小数部分为a，则a（a+4）＝3．【分析】先根据的范围求出a的值，代入后进行计算即可．【解答】解；∵2＜＜3，∴a＝﹣2，∴a（a+4）＝（﹣2）（﹣2+2）＝（﹣2）（+2）＝7﹣4＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算，平方差公式的应用，解此题的关键是求出a的值．23．（2022秋•永兴县期末）定义[x]为不大于x的最大整数，如[2]＝2，，[4.1]＝4，则满足，则n的最大整数为35．【分析】由题意得：5＜≤6，然后利用平方运算，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：∵5≤＜6，∴25≤n＜36，∴n的最大整数为35．故答案为：35．【点评】本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法，用有理数夹逼无理数是关键．24．（2023•海淀区校级三模）已知a、b为两个连续整数，且a＜＜b，则a+b＝5．【分析】先估算出的取值范围，得出a，b的值，进而可得出结论．【解答】解：∵4＜7＜9，∴2＜＜3．∵a、b为两个连续整数，∴a＝2，b＝3，∴a+b＝2+3＝5．故答案为：5．【点评】本题考查的是估算无理数的大小，先根据题意求出a，b的值是解答此题的关键．25．（2023春•孝昌县期中）若的整数部分为a，小数部分为b，求的值6．【分析】求出a、b的值，代入计算即可．【解答】解：∵＜＜，∴3＜＜4，又∵的整数部分为a，小数部分为b，∴a＝3，b＝﹣3，∴a2+b﹣＝9+﹣3﹣＝6，故答案为：6．【点评】本题考查无理数的估算，表示出的整数部分和小数部分是正确计算的前提．26．（2023春•临颍县期中）若6﹣的整数部分为x，小数部分为y，则（2x+）y的值为3【分析】直接利用二次根式的性质得出x，y的值，进而估算的取值范围，进而得出答案．【解答】解：∵3＜＜4，∴2＜6﹣＜3∴6﹣的整数部分为x为：2，小数部分为y＝6﹣﹣2＝4﹣，故（2x+）y＝（4+）×（4﹣＝3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键．27．（2022秋•绥宁县期末）已知的整数部分是a，小数部分是b，则a﹣的值为﹣．【分析】首先根据的取值范围得出a，b的值进而求出即可．【解答】解：∵的整数部分是a，小数部分是b，且2＜＜3，∴a＝2，b＝﹣2，∴a﹣＝2﹣＝2﹣＝2﹣﹣2＝﹣．故答案为：﹣．【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，得出a，b的值是解题关键．28．（2023春•忠县期末）已知实数a的平方根为2x+1，1﹣7x，的整数部分为b．（1）求a，b的值；（2）若的小数部分为c，求25a﹣（b+c）2的平方根．【分析】（1）根据平方根的性质列方程求得a的值，利用无理数的估算求得b的值即可；（2）结合（1）中所求可得c的值，然后代入25a﹣（b+c）2中计算后求得它的平方根即可．【解答】解：（1）∵实数a的平方根为2x+1，1﹣7x，∴2x+1+1﹣7x＝0，解得：x＝，∴2x+1＝，那么a＝（）2＝，∵16＜17＜25，∴4＜＜5，∴b＝4；（2）∵4＜＜5，∴c＝﹣4，∵a＝，b＝4，∴25a﹣（b+c）2＝25×﹣（4+﹣4）2＝81﹣17＝64，∴它的平方根为±8．【点评】本题考查平方根的定义及性质，无理数的估算，结合已知条件分别求得a，b，c的值是解题的关键．29．（2023春•常州期末）如图1，已知纸片A是边长为am的正方形，纸片B是相邻两边长分别为xm、ym的长方形，且纸片A、B的周长相等．​（1）当α＝5时．①若x＞6，求y的取值范围；②如图2，以纸片B的相邻两边为边长分别向外作正方形C、D，若纸片B的面积比纸片A的面积小10cm2，求C、D的面积之和；（2）如图3，将纸片A、B叠合在一起，记阴影部分的周长为M．①M＝2a+2x（用含x、a的代数式表示）；②若关于x的不等式M＜12恰有3个正整数解，则a的取值范围是2≤a＜3．【分析】（1）①依据题意，由A、B的周长相等，可得4a＝2（x+y）＝20，再由x＞6，可求出y的取值范围；②由题意，xy＝a2﹣10，再由x+y＝20，进而可以得解；（2）①由题意，表示出阴影部分周长即可得解；②由①得，2x+2a＜12，再结合不等式M＜12恰有3个正整数解，可以得解．【解答】解：（1）①由题意，∵A、B的周长相等，a＝5，∴4a＝2（x+y）＝20．∴x＝10﹣y．又∵x＞6，∴10﹣y＞6．∴y＜4．又y＞0，∴0＜y＜4．②由题意，xy＝a2﹣10＝25﹣10＝15，又∵x+y＝10，∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝100﹣30＝70．∴C、D的面积之和为70．（2）①由题意，阴影部分周长M＝2a+2（a﹣y）+2y+2（x﹣a）＝2a+2a﹣2y+2y+2x﹣2a＝2a+2x．故答案为：2a+2x．②由①得，2x+2a＜12，∴x+a＜6．∴x＜6﹣a．又不等式M＜12恰有3个正整数解，∴x＜6﹣a恰有3个正整数解．∴3＜6﹣a≤4．∴2≤a＜3．故答案为：2≤a＜3．【点评】本题主要考查了整式的加减及一元一次不等式的应用，解题时要能熟练掌握并能灵活运用是关键．30．（2023春•固始县期末）下面是小李同学探索的近似数的过程：∵面积为107的正方形边长是，且10＜＜11，∴设＝10+x，其中0＜x＜1，画出如图示意图，∵图中S正方形＝102+2×10•x+x2，S正方形＝107∴102+2×10•x+x2＝107当x2较小时，省略x2，得20x+100≈107，得到x≈0.35，即≈10.35．（1）的整数部分是8；（2）仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）【分析】（1）估算无理数的大小即可；（2）根据题目所提供的解法进行计算即可．【解答】解：（1）∵＜，即8＜＜9，∴的整数部分为8，故答案为：8；（2）∵面积为76的正方形边长是，且8＜＜9，∴设＝8+x，其中0＜x＜1，如图所示，∵图中S正方形＝82+2×8•x+x2，S正方形＝76，∴82+2×8•x+x2＝76，当x2较小时，省略x2，得16x+64≈76，得到x≈0.75，即≈8.75．【点评】本题考查估算无理数的大小，理解题目所提供的解题方法是正确解答的前提．31．（2023春•鹤峰县期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵22＜（）2＜32，即2＜＜3，∴的整数部分为2，小数部分为（﹣2）．请解答：（1）的整数部分是3，小数部分是﹣3（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b﹣的值．【分析】（1）利用已知得出的取值范围，进而得出答案；（2）首先得出，的取值范围，进而得出答案．【解答】解：（1）∵＜＜，∴3＜＜4，∴的整数部分是3，小数部分是：﹣3；故答案为：3，﹣3；（2）∵＜＜，∴的小数部分为：a＝﹣2，∵＜＜，∴的整数部分为b＝6，∴a+b﹣＝﹣2+6﹣＝4．【点评】此题主要考查了估计无理数，得出无理数的取值范围是解题关键．32．（2023春•前郭县期中）已知a﹣4的立方根是1，3a﹣b﹣2的算术平方根是3，的整数部分是c，求2a﹣3b+c的平方根．【分析】首先根据立方根、算术平方根的概念可得a﹣4与3a﹣b﹣2的值，进而可得a、b的值；接着估计的大小，可得c的值；进而可得2a﹣3b+c，再根据平方根的求法可得答案．【解答】解：∵a﹣4的立方根是1，3a﹣b﹣2的算术平方根是±4，∴a﹣4＝1，3a﹣b﹣2＝9，解得：a＝5，b＝4；又∵3＜＜4，c是的整数部分，∴c＝3；则2a﹣3b+c＝1；故平方根为±1．【点评】此题主要考查了无理数的估算能力，掌握二次根式的基本运算技能，灵活应用．“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．33．（2023春•无为市期中）根据表格解答下列问题：x1313.113.213.313.413.513.613.713.813.914x2169171.61174.24176.89179.56182.25184.96187.69190.44193.21196（1）190.44的平方根是±13.8．（2）≈13.3，＝137．（3）若13.5＜＜13.6，求满足条件的整数n的值．【分析】（1）从表格中的对应值，结合平方根的定义可得答案；（2）将转化为×10，再根据表格中的对应值得出的值即可；（3）根据13.5＜＜13.6，结合表格中对应值可得n的取值范围，再确定整数n即可．【解答】解：（1）由表格中的数据的对应值可知，∵（±13.8）2＝190.44，∴190.44的平方根为＝±13.8，故答案为；±13.8；（2）∵13.32＝176.89≈176.9，∴≈13.3，∵＝×10＝137，故答案为：13.3，137；（3）由表格中的对应值可知，当13.5＜＜13.6时，182.25＜n＜184.96，∴整数n的值为183，184，答：满足条件的整数n的值为183或184．【点评】本题考查平方根、估算无理数的大小，理解平方根的定义是正确解答的关键．34．（2023•章贡区校级模拟）已知5a﹣2的立方根是﹣3，2a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分，求3a+b+c的平方根．【分析】根据算术平方根，立方根的意义可得5a﹣2＝﹣27，2a+b﹣1＝16，从而求出a，b的值，再估算出的值，从而求出c的值，然后代入式子中进行计算，求出3a+b+c的值，即可解答．【解答】解：由题意得：5a﹣2＝﹣27，2a+b﹣1＝16，∴a＝﹣5，b＝27，∵16＜17＜25，∴4＜＜5，∴的整数部分是4，∴c＝4，∴3a+b+c＝3×（﹣5）+27+4＝16，∴3a+b+c的平方根是±4．【点评】本题考查了估算无理数的大小，平方根，立方根，熟练掌握平方根，立方根的意义是解题的关键．35．（2023春•仙游县期中）观察：∵＜＜，即2＜＜3，∴的整数部分为2，小数部分为﹣2，请你观察上述式子规律后解决下面问题．（1）规定用符号[m]表示实数m的整数部分，例如：[]＝0，[π]＝3，填空：[+2]＝5；[5﹣]＝1．（2）如果5+的小数部分为a，5﹣的小数部分为b，求a2﹣b2的值．【分析】（1）根据题目中所给规律即可得结果；（2）把无理数的整数部分和小数部分分别表示出来，再代入计算即可．【解答】解：（1）[+2]＝5；[5﹣]＝1．故答案为5、1．（2）根据题意，得∵3＜＜4，∴8＜5+＜9，∴a＝5+﹣8＝﹣3．∵1＜5﹣＜2∴b＝5﹣﹣1＝4﹣，∴a+b＝1，a﹣b＝2﹣7．∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2﹣7．答：a2﹣b2的值为2﹣7．【点评】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是根据无理数的整数部分确定小数部分．三．计算器—数的开方（共8小题）36．（2021秋•郏县期中）利用计算器求的值，正确的按键顺序为（）A． B． C． D．【分析】根据用计算器算算术平方根的方法：先按键“”，再输入被开方数，按键“＝”即可得到结果．【解答】解：采用的科学计算器计算，按键顺序正确的是D选项中的顺序．故选：D．【点评】本题考查的是利用计算器求算术平方根，正确使用计算器是解题的关键．37．（2020•安丘市二模）用计算器求35值时，需相继按“3”，“yx”，“5”，“＝”键，若小颖相继按“”，“4”，“yx”“3”，“＝”键，则输出结果是（）A．6 B．8 C．16 D．48【分析】计算器按键转为算式，计算即可．【解答】解：计算器按键转为算式＝23＝8，故选：B．【点评】本题考查了计算器的使用，熟记计算器按键功能是解题的关键．38．（2022秋•商水县月考）甲同学利用计算器探索一个数x的平方，并将数据记录如表：x16.216.316.416.516.616.716.816.917.0x2262.44265.69268.96272.25275.56278.89282.24285.61289根据表求得282.24的平方根是±16.8．【分析】根据平方根的定义求解即可．【解答】解：有表格可知，16.82＝282.24，∴16.8是282.24的算术平方根，∴282.24的平方根是±16.8，故答案为：±16.8．【点评】本题考查了数的开方，做题的关键是掌握平方根的定义．39．（2021秋•杏花岭区校级期中）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得，还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察表：n0.00160.16161600160000…0.040.4440400…（1）表中所给的信息中，能发现规律：被开方数的小数点每向左或向右移动2位则它的算术平方根的小数点就向向左或向右移动1位；（2）运用你发现的规律，探究下列问题：①若≈1.910，≈6.042，则≈604.2；②已知x2≈0.000365，则x≈±0.0190．【分析】（1）从被开方数和算术平方根的小数点的移动位数考虑解答；（2）根据（1）中的规律解答即可．【解答】解：（1）由表格可以看出被开方数的小数点向左或向右移动2位，算术平方根的小数点就向左或向右移动1位，故答案为：向左或向右，1；（2）①由（1）可知，被开方数的小数点向右移动4位，算术平方根的小数点就向右移动2位，∵≈6.042，∴＝604.2；②由（1）可知，被开方数的小数点向左移动4位，算术平方根的小数点就向左移动2位，∵≈1.910，x2≈0.000365，又∵一个正数的平方根有两个，∴x＝±＝±0.0190．故答案为：①604.2；②±0.0190．【点评】本题考查了算术平方根，平方根以及规律型—数字的变化类，找出被开方数的小数点的移动规律是解题的关键．40．（2021秋•通川区校级期中）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下：………0.250.79062.57.9062579.06250…根据以上规律，若，＝4.11，则41.1．【分析】先根据表格得到规律，再根据规律确定结果．【解答】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位．∵16.9×100＝1690，∴＝×10＝4.11×10＝41.1．故答案为：41.1．【点评】本题考查了算术平方根和被开方数间关系，根据表格得到规律是解决本题的关键．41．（2023春•兴宁区校级期末）阅读下面材料，解答问题：【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“运用规律求一个正数的算术平方根”的实践活动．【实践探究】同学们利用计算器计算出下表中的算术平方根，整理数据如下：………0.250.7912.57.912579.1250…（1）根据上述探究，可以得到被开方数和它的算术平方根之间小数点的变化规律是：若被开方数的小数点向右或向左移动2位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动1位：（2）已知，请运用上述规律直接写出各式的值：≈0.1732，17.32．（3）你能根据的值说出的值是多少吗？请说明理由．【分析】（1）由上表可得，可以得到被开方数和它的算术平方根之间小数点的变化规律；（2）利用以上所得规律求解即可；（3）根据计算，可发现规律：被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，根据规律，可得答案．【解答】解：（1）由上表可得，可以得到被开方数和它的算术平方根之间小数点的变化规律是：若被开方数的小数点向右或向左移动2位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动1位．故答案为：2；1．（2）利用以上所得规律可得：∵≈1.732，∴≈0.1732，≈17.32．故答案为：0.1732；17.32．（3）∵＝0.25；≈0.791；＝2.5；≈7.91；＝25；≈79.057；＝250，∴规律是：被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍．∵≈1.732，∴≈0.1732，≈17.32．根据发现的规律，不能根据的值确定的值．【点评】本题考查了数的开方，发现规律：被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍是解题关键．42．（2022•惠阳区校级开学）（1）用计算器计算：＝3＝33＝333＝3333（2）观察题（1）中各式的计算结果，你能发现什么规律？（3）试运用发现的规律猜想：＝33333，并通过计算器验证你的猜想．【分析】（1）用计算器分别计算出各题的答案；（2）再根据得出的答案找出规律，根号内被开方数是2n个数字1和n个数字2的差，结果为n个数字3；（3）利用（2）中规律得出答案，从而用计算器验证即可．【解答】解：（1）＝3，＝33，＝333，＝3333；故答案为：3，33，333，3333；（2）根据以上可以得出：根号内被开方数是2n个数字1和n个数字2的差，结果为n个数字3；（3）试运用发现的规律可得：＝33333．故答案为：33333．【点评】此题考查了数的开方，解题的关键是根据用计算器计算得出规律即根号内被开方数是2n个数字1和n个数字2的差，结果为n个数字3．43．（2022•惠阳区校级开学）用计算器求下列各式的近似值（精确到0.01）：（1）；（2）．【分析】利用计算器计算后按要求取近似值可得．【解答】解：（1）原式≈×2.236+1.260﹣3.142≈﹣0.76；（2）原式≈3.317×1.414×2.449≈11.49．【点评】本题主要考查计算器﹣数的开方，解题的关键是掌握计算器的使用．【过关检测】一、单选题1．（2022秋·江苏·八年级专题练习）已知a为整数，且满足，则a等于（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】估算无理数和的大小，进而确定a的值即可．【详解】解：∵2＜＜3，3＜＜4，a为整数，且满足＜a＜，∴a=3．故选：B．【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数大小的方法进行求解是解决本题的关键．2．（2022秋·河南平顶山·八年级统考期中）用计算器求的按键顺序是（

）．A．8=S⇔D B．8=S⇔DC．=S⇔D D．8=S⇔D【答案】A【分析】根据计算器的使用方法解答即可；【详解】解：计算器求，先按，再按8，则A选项符合题意．故选A．【点睛】本题主要考查了计算器的应用，掌握计算器的基本操作是解答本题的关键．3．（2023·全国·八年级假期作业）估计12的算术平方根介于（

）A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间【答案】C【分析】首先根据，即可得出12的算术平方根介于3和4之间．【详解】∵，∴．∴估计12的算术平方根介于3和4之间．故选C．【点睛】本题主要考查了无理数大小的估算，得出接近的有理数是解题的关键．4．（2022秋·全国·八年级阶段练习）如果整数a满足，则a的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先计算（）2＝7，（）2＝11，然后看哪个平方数在7和11之间即可．【详解】解：∵7＜9＜11，∴＜3＜，∴如果整数a满足，则a的值是：3，故选：C．【点睛】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．5．（2023春·广东韶关·八年级统考期中）张华是初三的一名男生，今年三月，他参加了招飞体检测评，他的身高、体重和视力等各项指标均达到了合格标准，你认为他的身高和下面哪一个数值最接近？（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】估算各无理数，然后根据题意分析判断即可．【详解】解：∵，，，，∴若张华的身高指标均达到了合格标准，则他的身高与米最接近．故选：B．【点睛】本题主要考查了无理数的估算，熟练掌握相关知识是解题关键．6．（2023春·河南安阳·八年级统考期中）一个正方形的面积是21，把此正方形的边长增加1，则新的正方形的边长范围是（

）A．4与5之间 B．5与6之间 C．6与7之间 D．7与8之间【答案】B【分析】先求得正方形的边长，再利用算术平方根的性质估算边长范围即可求解．【详解】解：∵正方形的面积是21，∴正方形的边长是，∵，∴，∴新的正方形的边长范围在5与6之间，故选：B．【点睛】本题考查了算术平方根的应用，算术平方根的估算，用有理数夹逼无理数是解题的关键．7．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）估计的值（

）A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间【答案】D【分析】先估算的范围，进而即可求解．【详解】解：∵∴，故选：D．【点睛】本题考查了无理数的估算，正确的估算出的大小是解题的关键．8．（2023秋·福建宁德·八年级统考期末）面积为20的正方形的边长为，则的值在（

）A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间【答案】D【分析】利用算术平方根的含义先表示，再根据，从而可得答案．【详解】解：∵面积为20的正方形的边长为，∴，∵，∴，∴的值在4和5之间，故选D．【点睛】本题考查的是算术平方根的应用，无理数的估算，掌握“无理数的估算方法”是解本题的关键．9．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案．【详解】解：∵用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，∴大正方形的面积为：9+9=18，则大正方形的边长为：，∵，∴4＜＜4.5，∴大正方形的边长最接近的整数是4．故选：A．【点睛】本题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题关键．10．（2023春·安徽亳州·八年级统考期末）满足的整数x可以是（

）A． B． C．2 D．3【答案】C【分析】先判断和的大小，然后得到答案．【详解】解：∵，，∴满足的整数有：，0，1，2；故选：C．【点睛】本题考查了无理数的估算，以及实数大小比较，解题的关键是正确估算和的大小．二、填空题11．（2023春·重庆九龙坡·八年级统考期末）已知，且n为正整数，则___________．【答案】2【分析】根据无理数的估算即可得．【详解】解：，，为正整数，且，，故答案为：2．【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．12．（2022秋·北京昌平·八年级统考期末）若a和b为两个连续整数，且，那么___________，___________．【答案】34【分析】根据，可得：的值，进而即可求解．【详解】，又为两个连续整数，，故答案为：3；4．【点睛】本题主要考查算术平方根的估算，掌握算术平方根的意义，是解题的关键．13．（2022秋·河南周口·八年级校考阶段练习）若的底AB为4，底边AB上的高为5，面积为S，则______4（填“<”、“=”或“>”）．【答案】<【分析】根据已知求出，即可比较与4的大小．【详解】由题意得，，∴，故答案为<．【点睛】本题考查了一个数的算术平方根，正确计算是解题关键．14．（2022秋·八年级课时练习）若，且a、b为两个连续的整数，c为这四个数，，，中的唯一有理数，则__________．【答案】4【分析】根据题意分别求出a，b，c的值，再代入求值即可．【详解】解：∵，且a、b为两个连续的整数，∴a=3，b=4，∵，，，中有理数是，∴c=，则3×4×=4，故答案为：4．【点睛】本题考查无理数比大小，无理数的定义，能够根据条件判断无理数是解决本题的关键．15．（2023春·黑龙江绥化·八年级统考期中）已知a，b分别是的整数部分和小数部分，那么的值为______.【答案】【分析】根据，可得的大小，根据，可得a、b的值，根据实数的减法，可得答案．【详解】解：∵∴，∴，∴即∵a，b分别是的整数部分和小数部分，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了估算无理数的大小，根据，可得的大小是解题关键．16．（2021春·广东江门·八年级江门市第一中学校考期中）设的小数部分为，则的值是________．【答案】【分析】先求出的取值范围，即可表示出，然后求出,在代入求解即可．【详解】解：∵∴∴的整数部分为2，的小数部分为∴故答案为：．【点睛】此题考查的是求一个数算术平方根的小数部分，掌握实数比较大小方法是解决此题的关键．三、解答题17．（2022秋·八年级课时练习）已知，，，，……(1)填空：________；(2)已知，用含的代数式表示，则________；(3)根据规律写出与的大小情况．【答案】(1)0.01(2)10000x(3)当0<a<1时，＞a；当a=1或a=0时，=a；当a>1时，<a【分析】（1）根据被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律即可求解；（2）根据被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律即可得出x、y的关系，进而求解．（3）分三种情况：①当0<a<1时，②当a=1或a=0时，③当a>1时，分别求解即可．(1)解：∵，，，，∴0.01，故答案为：0.01；(2)解：∵，，又∵，∴y=10000x，故答案为：10000x；(3)解：分三种情况：①当0<a<1时，∵，∴＞a；②当a=1或a=0时，∵∴=a；③当a>1时，∵，，∴<a．【点睛】本题考查了估算无理数的大小、规律型-数字的变化，算术平方根，解决本题的关键是观察被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律，并运用规律．18．（2022秋·陕西榆林·八年级统考期中）观察：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请你观察上述规律后解决下面的问题：(1)规定用符号表示实数的整数部分，例如：，．按此规定，那么的值为___________．(2)若的整数部分为，小数部分为，，求的值．【答案】(1)4(2)的值为：或【分析】（1）根据二次根式大小的估算方法，估算的范围，即可求出答案；（2）根据题意分别写出a、b的值，然后带入代数式求值即可；【详解】（1）解：∴，∴故答案为：；（2）解：∵∴∴∴，∵∴当时，当时，综上所述：的值为：或．【点睛】本题考查了根式的运算，涉及了估算二次根式的大小等知识，掌握并熟练使用相关知识，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键．19．（2022秋·陕西渭南·八年级统考期末）已知是的立方根，是的整数部分，求的平方根.【答案】【分析】根据题意得出，，进而得出，，代入代数式求值，然后根据平方根的定义即可求解．【详解】解：是的立方根，是的整数部分∴，∴，，∴，∵的平方根是，∴的平方根．【点睛】本题考查了立方根的定义