二维随机变量

随机向量

二维随机变量及其分布

在实际问题中，有很多随机现象，往往需要引进两个.

三个或更多个变量来描述，为此，有必要研究多维随机变

».本节主要对二维随机变量展开讨论，至于二维以上情形

可以类推.

一二维随机变量及其分布

L定义设随机试验的样本空间为x和丫是定义在0上的两

个随机变员,我们称向量（X,丫）为二维随机变量或二维随机向量.

2・定义设（/丫）是一个二维随机变量，二元函数

2）=y&y｝（-8<>v+8,-oo<y<+oo）

称为（x,y）的分布函数，或称x与丫的联合分布函数.

如果将（X,丫）看成是平面上的随机点，则分布函数尸川表

示点（x,y）落在无限的矩形区城：“一8vx4x,-8〈丫4尸内的概率,

容易看出随机点（x,丫）落在隹形域：“&VX&,,的概率为

=F。2）一产（。A与）-F（。2,bD+尸（。1,b；）

二维随机变量的分布函数FQ,”有下列诸条性质：

1。0<F(X,3)<1,

2°FO,”对工和y分别是单倜不减的，即对任意的％若/V

巧，则

F(rH»<F(x2,?)；

对任意的马若力V。则

■小九)《尸(/—一

3°产a,刃对每个变元是右连续的;

4°lim产a,y)=(hlimF(t,y)=0；

—8Vf-8

JimF(x,y)=0ilimJF(X,y)=l,

X——8z-*+»

y一—8”+心

以上结果常记成：

F(—8,y)=0,F(x,—8)=o,

F(—8,-8)=0,F(+oo,4-oo)=1.

二二维离散型随机变量

若二维随机变量(X,K)的所有可能取的值是有限个或

可列无限多个数组，则称(X,V)为二维匐散型随机变量.

设(X,是二维离散型随机变量，它的所有可能取值

为(工“打)，(h，=1,2,…)，其取值规律记为

P{X-xh/=/}=少仃，;=i,2,…)

则称y=y力=力”《3；—1,2,…)为(x,y)

的分布律•分布律常用表格形式表达，其形式为

小yz

X.Pl1Pl2

x2力21222

PiIPiZ

满足oWjpjjWi,EP*J=I

例i设随机变量(X,y)只能取(一，o),(o,o,

<o,1)三组教，且取这些数对的概率分别是J,N4,试

23b

用表格形式列出(X,V)的分布律.

解由题意(X,P)的分布律为

0——

36

例2袋中有5个同样大小的球，2个涂有白色，3个

涂有红色，现进行有放回地与无放回地抽球两次，每次抽一

只，定义随机变量

一rV。，若有第弟一次队抽加到红江球坪

(1,若第一次抽到白球

叫X=1,

尸（X=l,y=1y=2」=2

“542。

其表格形式为

o1

66

2020

62

・'

2020

【例】从1.2,3,4四个整数中随机地取一个，记所取的数为

X,再从1到X中随机地取一个，记所取的数为匕求（羽丫）的分

布律.

解显然X,丫均为离散型随机变量，它们的可能取值均为

［，2,3,4.

当IV］时，P*=P{X=i,丫=J}=0.

当i），时，

P“=P{x=i,Y=j}=P{x=i}.p{y=j|x=i}

_11_1

4i4i,

（XY）的分布律:.

•■一工

X1234

**•・

I•

1T000

i1

2TW00

ii1

30

12f212

A±±12

16161616

三二维连续型随机变量

1.定义：设F以，炉为二维随机变量（X,K）的分布

函数，如果对任意（孙G,存在非负可积函数/（孙必，便

X

产⑸y)=于(乂,y)d«dy

巴（孙J）WG}=，八孙U）dxdg

G

例3已知（X,P）的密度函数为

/（4,外=%6-*—）,2WyW4

10,其它

设（1）A为平面上由％<1,y<3所确定的区域（图2—14）3

（2）。2为平面上由3+y<3所确定的区域（图2—15〉.试求

」々（以刃£小）,（3=1,2）.

解(1)。｛以，y)WDJ=F(l,3)

=U'dxdu

力13

=I/(x,y)dxdy

J-8J~8

(2)P{(x,y)C02}=jJfa，y)dxdy

..一5

Jb”J；W(6」一)d片最

例4设(X,Y)的密度函数为

无>0,?>0

0,其它

求Q)常数5(2)分布函数3(3)(X,V)落在三角形区

域y〉O,力W2-2%内的概率(图2—16).

解(D由密度函数性质(2)

+00

有ce-3Wdxdy=i

也就是J」J。…“w

+8I+«

=。1—。-打[-。力I°=1

0

由此求得c=i

⑵E(K,y)=f[/(«,v)dudv

J-8J

"乂>o,

'o，其它

=[(l-eT)(l--D,x>0,y>0

Y。，其它

(3)P1(X9y)WG}=JJ/(x,y)dxdy

=j

=(1-07)2=0.3996

二维连续型随机变量常见的分布

有均匀分布和正态分布.

L二维均匀分布「

设G是平面上面积为4（0Va<+8）的区域，称二维随机向

量（X,Y）服从G上的均匀分布，如果尸｛（X,Y）WG）=1,且（X,

丫）取值属于G之任何部分ACA是G的子区域）的概率与A的面

积成正比，这时（X,Y）称为二维均匀分布随机向量.

均匀分布随机向量（X,y）的联合密度为

p（充

〔0，其它.

2・二维正态分布：

如果f=（x,y）的密度函数

pCr,夕）

二1

2HoM2Jl-d

（-8OV+8$—8VyV+8）

（其中一8<MV+8,一8<〃2<+8必>。，。2>0/0<1是5

个参数）则称S=（X,Y）服从二维正态分布（或称为二维正态分布

随机向量），称Rny）为二维正态密度.

四边缘分布

通过上边的讨论，不难看出，二维随机变量的每一个分•

量又都是j维随机变量，它们的分布函数当然是一维的，又

由于（X,作为一个整体又有联合分布，那么分量的分布.

与联合分布必然存在某种联系，这一点表现出分量分布与前

边所讲的一维分布不完全相同，于是引入边缘分布溉念.

1离散型随机变量的边缘分布

设（X,P）的联合分布律为尸（心

，=/2,…），：可得

户工3）=广（N，+8）=£Epa

fN1

可知X的分布律为

第

i-1

同样，V的分布律为

｛Y=vA=E力j=i,2,…•

<=i

记

力.=£办）=产｛才=，才，？=2，…,

八1

力一=£〃）=卜、｛9=»仆，，=1,2,…，

显然，x与y的分布也是离散型的.

边缘分布律与联合分布律可用同一表格表达出来，其形

式如下：

例5已知(X,Y)的联合分布律为

'y

V.723

32

3030

6g

3030

42

3030

求关于X和关于V的边缘分布律.

解先列表计算

由此得到关于X与关于Y的边缘分布律分别为

X一123

5187

303030

Y-123

色1111

30-3030

显然关于X的边缘分布函数9-“)是连续型的，其密度

函数为

y5(x)=［，笈，y)dy.

J-8

同理

fY(U)=ff(x,U)d乂

J-8

是关乎P的边缘密度函数.

当已知二维连续型随机向量(X,Y)的分布密度pir.y

1

))

时,求关于X和关于Y的边缘分布密度时，须计算积分

广.3

办(N)=pCr,y)dy,

J-oo

「+8

队3)=p(*，y)d].

J_oo

当pCr，y)的表达式分区域给出，并且在某些区域上P(n?)=0,

为了计算积分

px8=J—8

首先要根据力(不”的表达式，确定彳的取值的某些范围.在这些

范围内，对任意,有力(1，？＞=。，于是，当N在这些范围内取值时

加Cr)=O,工在这些范围之外取值时，把N视为常数，确定y的取

值范围，使〃石7)#0,从而积分

8

p(x,y)dy

J—8

化为在上述的取值范围内的积分.一般,对n积分的上、下限可能

是H的函数，计算

f+g

Py(y)=p(1,y)<lr

J-R

的方法与Px(幻类似.

例6设(X,V)在平面区域G(图2T9所示)上服从

均匀分布，求(D关于(X,y)的联合分布密度函数，(2)关

于x和关于y的边缘密度函数.

解(1)G的面积为S(G)=1,因此得(X,匕)的联合

密度函数为

rf1,(%,y)WG

y)=1

10,其石

(2)先求关于X的边缘密度函数.

当nWO或方＞2时，显然，八⑺…

图2-19

当0<x<2时，

/x（%）=JfUyy）dy=jJdy+Jjzldy

4-J*0如=1-.★

2

从而/xG）=1一2'°<”<2

（0,其它

同理求得关于y的边缘分布密度函数

「2（1—，0<!/<1

/r（y）=人甘…

'0,其它

【例8】P.109——例1.7

例7设（X,V〉服从二维正态分布，它的密度函数为

2（1一户）

♦「I，（•・”1•一,—・出・♦V一•・'2D•。一"〜（",■•・-7"i）《y一》2〉♦十四^!]}

L

或关于X与关于P的边缘密度函数.

解令巴二mj更二区二。

:卬⑶口的=前»孑

fxW7r

。+8一.----―「（H一火1）2一2。（"一"2）.（1/i]2>2

。］

10241-以）L202J

J・ee

可见关于X的边缘分布为N(出，a/).

由对称性知关于P的边缘分布为N(出，a/),

-(”-2)2

即"3)=7方不2。22

例7告诉我们।二维正态分布的两个边缘分布都是一维

正态分布，而且均与参数。无关.该例还进一步表明］边缘

分布由联合分布唯一确定，而反过来，一般情况下边缘分布

不能确定联合分布.

即一般情况下(0工0)

/(")♦/(%)fY(y)

五随机变■的独立性

例7的结论指出，一般情况下边缘分布不能确定联合分

布，这里隐含着在特殊情况下，边缘分布还可以确定联合分

布，这种特殊情况是由*与Y间的相互关索所决定的，我们

把这种关系称为x&y的相互独立性，下边给出具体定义.

设Fg.U),Fx⑺,F-y)分别是(X,V)的联合分

布函数和边缘分布函数，若对•一切的二和y都有

F(%y)=F7(^)Fr(y>

则称随机变量X与P相互独立.

利用事件的相互独立性定义及分布函数与密度函数间的

关系，可以推出随机变量相互独立性有如下等价关系,

(1)若(X,是离散型随机变量，X与V相互独立的

充分必要条件是，对(X,的所有可能取值(9,外)都有

储尸》i・p.sG\j=L2,…）

（2）若（X,V）是连续型随机变量，则X与V相互独立

的充分必耍条件是，对一切的王，y都有

f（x,y）=fi〈x）3（y）

下面给出（2）的证明：

如果X、Y相互独立，则由

[I/（%，y）dxdys

J—BJ-Ct

=（j/工a）**〉；/]/"?〃'）

这说明X、V相互独立.

【注意】（1）在判断X和y是否相互独立时,首先由（X,y）的概率

分布（分布密度）求出关于x的边缘分布（边缘分布密度）和关于

y的边缘分布（边缘分布密度），再确定其独立性.

"）联合密度决定边缘密度,一般讲，边缘密度

不能决定联合密度，但当X,Y相互独立时,两个边缘密度PXCT）

和力（外的乘积就是联合密度，也就是说,当x,y独立时，边缘密

度也能确定联合密度.

（3）由例7知，二维正态分布，

f（x,y）^fx（x）fY（y）9（夕工0）

若（X,Y）服从二维正态分布，则它们相互独立的充要条件是p=0。

例8设（X,卜）•的联合分布律为

、\\K

X'、02

1212

2202020

1212

202020

24

2一•，▲—

202020

问X与V是否相互独立?

Pij=Pi.p.ja,/=i,2,3)

••・x,y是相互独立的.

例9证明例6中两随机变量不相互独立.

证由例6知

r19(必j)€G

“必

y)i,0,其它

0<%<2

于x(x)=

0,其它

,、2(l-y)0<y<l

“')气r。，5其它.

在/（乂，A<x）,的连续点处〉

/x（孩:,f?）=i显然

，仔，1产危楼外传）

故X与丁不相互独立

例1。证明到7中的两个随机变量x与y相互独立的

充分必要条件是。=久

证设x与丫相互独立.出例7知x与y的密度函数分

别是，fx^2",9

1_2"

/Y(&》-e於

」Y“M27r力

例”设（X,P）的分布函数是

1-e-十6-。,。卜…、>0,

尸(与")={xy>Q

°，其它

问（1〉X与丫是否相互独立（2）求P{X>120,V2120}

»<1>x与P的边缘分布函数是

1一十。，。\

XK)KC

F(=F(,+0)=I0,“V。

1一「。皿、y^Q

Fy(y)-F(+co,y)={

10.U<Q

对一切的#,U都有.・•

F(*y)=FxQ)尸Y(U)

故X与丫相互独立.

<2)由于x与丫相互独立，

F{X>120,F>120}=F{X>120}P{r>120}

=11一P4X〈12O}[11—户{YV120}：!

=：l-Fx(120)Kl-Fy