专题09 菱形的判定和性质 带解析

2022-2023学年人教版八年级数学下册精选压轴题培优卷专题09菱形的判定和性质一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022春•南岗区校级期中）如图，菱形ABCD中，AC与BD交于点O，CD＝2OB，E为CD延长线上一点，使得DE＝CD，连结BE，分别交AC、AD于点F、G，连结OG，AE，则下列结论：①∠ABC＝120°；②；③四边形ODEG与四边形OBAG的面积相等；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．其中正确的结论个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1解：∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD＝AB，AB∥CD，OB＝OD，∵CD＝2OB，∴BC＝DC＝BD，∴△BDC是等边三角形，∴∠BCD＝60°，∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠ABC＝120°，故①正确；∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠EDG，∵AB＝CD，CD＝DE，∴AB＝DE，在△ABG和△DEG中，，∴△ABG≌△DEG（AAS），∴AG＝DG，BG＝GE，∵BO＝DO，AB∥DE，∴OG∥AB∥DE，OG＝AB，OG到AB之间的距离＝OG到DE之间的距离（设距离为h），∵四边形ODEG的面积S＝（DE+OG）h，四边形OBAG的面积S′＝（AB+OG）h，AB＝DE，∴四边形ODEG与四边形OBAG的面积相等，故②正确，③正确；∵AG＝DG，BG＝GE，∴四边形ABDE是平行四边形，∵DE＝CD＝BD，∴四边形ABDE是菱形，故④正确；即正确的个数是4，故选：A．2．（2分）（2022春•留坝县期末）已知：如图，四边形ABCD是菱形，E、F是直线AC上两点，AF＝CE．求证：四边形FBED是菱形．几名同学对这个问题，给出了如下几种解题思路，其中正确的是（）甲：利用全等，证明四边形FBED四条边相等，进而说明该四边形是菱形；乙：连接BD，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定四边形FBED是菱形；丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形．A．甲、乙 B．乙、丙 C．甲．乙、丙 D．甲、丙解：甲：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAC＝∠DAC＝∠BCA＝∠DCA，∴∠BAF＝∠DAF＝∠BCE＝∠DCE，在△BAF和△DAF中，，∴△BAF≌△DAF（SAS），∴BF＝DF，同理：△DCE≌△BCE（SAS），△BAF≌△BCE（SAS），∴BE＝DE，BF＝BE，∴BF＝DF＝BE＝DE，∴四边形FBED是菱形；乙：连接BD交AC于O，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∵AF＝CE，∴OA+AF＝OC+CE，即OF＝OE，∴四边形FBED是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴平行四边形FBED是菱形；综上所述，甲对、乙对，故选：A．3．（2分）（2022春•白河县期末）如图所示，以Rt△ABC的直角边AC向△ABC外构造等边△ACD，E为AB的中点，连接CE、DE，∠ACB＝90，∠ABC＝30°．下列结论：①AC⊥DE；②四边形BCDE是平行四边形；③四边形ADCE是菱形；④S四边形BCDE＝3S△ACD．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠BAC＝60°，AC＝AB，∵△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠BAC，∴CD∥AB，∵E为AB的中点，∴BE＝AE＝AB，∴BE∥CD，CD＝BE＝AE，∴四边形BCDE为平行四边形，故②正确；四边形ADCE是平行四边形，∵∠ACB＝90°，AE＝BE，∴CE＝AE＝AB，∴四边形ADCE是菱形，故③正确；∵四边形BCDE为平行四边形，∴DF∥BC，又∵∠ACB＝90°，∴AC⊥DE，故①正确；设AC＝x，则AB＝2x，∴S△ACD＝S△ACE＝S△CBE＝x2，∴S四边形BCDE＝2S△BCE＝2S△ACD，故④错误；故选：C．4．（2分）（2022春•江北区期末）如图是一个由5张纸片拼成的菱形ABCD，相邻纸片之间互不重叠也无空隙，其中周围四张小平行四边形纸片都全等，中间一张纸片的面积为S1．连结BE，BG，DE，DG，四边形BEDG的面积为S2，若，则周围小平行四边形的宽与长的比值为（）A． B． C． D．解：如图，过点D作DP⊥BC，交BC的延长线于P，交MG的延长线于Q，设小平行四边形的宽是x，长是x，DQ＝h，PQ＝h1，∵周围四张小平行四边形纸片都全等，∵EH＝GH＝FG＝EF＝y﹣x，∴四边形EFGH是菱形，∵，∴＝，即＝，∴＝，∴＝．故选：B．5．（2分）（2022春•高邑县期末）如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；再分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；再连接AC，BC，AB，OC．若AB＝2，OC＝4．则四边形AOBC的面积是（）A．4 B．8 C．4 D．解：由题意得：OA＝AC＝BC＝OB，∴四边形OACB是菱形，∵AB＝2，OC＝4，∴菱形OACB的面积＝OC•AB＝×4×2＝4，故选：C．6．（2分）（2021秋•垦利区期末）如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且CD＝DE，连结BE，分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论：①OG＝AB；②S四边形ODGF＞S△ABF；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④S△ACD＝4S△BOG．其中正确的结论是（）A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∴∠BAG＝∠EDG，∵CD＝DE，∴AB＝DE，在△ABG和△DEG中，，∴△ABG≌△DEG（AAS），∴AG＝DG，∴OG是△ABD的中位线，∴OG＝AB，故①正确；∵AB∥CE，AB＝DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∵∠BCD＝∠BAD＝60°，∴△ABD、△BCD是等边三角形，∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，∴平行四边形ABDE是菱形，故③正确；∵OA＝OC，AG＝DG，∴OG是△ACD的中位线，∴OG∥CD∥AB，OG＝CD，∴S△ACD＝4S△AOG，∵S△AOG＝S△BOG，∴S△ACD＝4S△BOG，故④正确；连接FD，如图：∵△ABD是等边三角形，AO平分∠BAD，BG平分∠ABD，∴F到△ABD三边的距离相等，∴S△BDF＝S△ABF＝2S△BOF＝2S△DOF＝S四边形ODGF，∴S四边形ODGF＝S△ABF，故②错误；正确的是①③④，故选：C．7．（2分）（2022春•礼县期末）两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图方式交叉叠放在一起，AB＝AF，AE＝BC．若AB＝1，BC＝3，则图中重叠（阴影）部分的面积为（）A．2 B． C． D．解：设BC交AE于G，AD交CF于H，如图所示：∵四边形ABCD、四边形AECF是全等的矩形，∴AB＝CE，∠B＝∠E＝90°，AD∥BC，AE∥CF，∴四边形AGCH是平行四边形，在△ABG和△CEG中，，∴△ABG≌△CEG（AAS），∴AG＝CG，∴四边形AGCH是菱形，设AG＝CG＝x，则BG＝BC﹣CG＝3﹣x，在Rt△ABG中，由勾股定理得：12+（3﹣x）2＝x2，解得：x＝，∴CG＝，∴菱形AGCH的面积＝CG×AB＝×1＝，即图中重叠（阴影）部分的面积为；故选：C．8．（2分）（2022春•白水县期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABC＝60°，点E，F分别是BC，CD的中点，BD分别与AE，AF相交于点M，N，连接OE，OF，下列结论：（1）△AEF是等边三角形；（2）四边形CEOF是菱形；（3）OF⊥AE；（4）BM＝MN＝ND．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ADC＝∠ABC＝60°，OA＝OD＝AC，OB＝OD＝BD，AC⊥BD，∴△ABC、△ADC是等边三角形，∴OB是等边三角形ABC的高，∵点E是BC的中点，∴AE时等边三角形ABC的高，∴AE＝OB，同理：AF＝OD，∴AE＝AF，∵点E，F分别是BC，CD的中点，∴EF是△BCD的中位线，∴EF＝BD＝OB，EF∥BD，∴AE＝AF＝EF，即△AEF是等边三角形，∴（1）正确；∵点E，F分别是BC，CD的中点，AC⊥BD，∴OE＝BC＝CE，OF＝CD＝CF，∴OE＝OF＝CE＝CF，∴四边形CEOF是菱形，∴（2）正确；∵四边形CEOF是菱形，∴OF∥BC，∵AE⊥BC，∴OF⊥AE，∴（3）正确；∵AE、BO是等边三角形ABC的中线，∴AM＝BM，同理：AN＝ND，∵△AEF是等边三角形，∴∠AEF＝∠AFE＝60°，∵EF∥BD，∴∠AMN＝∠AEF＝60°，∠ANM＝∠AFE＝60°，∴∠AMN＝∠ANM＝60°，∴AM＝AN，∴BM＝MN＝ND，∴（4）正确；正确的结论有4个，故选：D．9．（2分）（2021春•莱阳市期末）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论：①；②与△DEG全等的三角形共有5个；③四边形ODEG与四边形OBAG面积相等；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．其中一定成立的是（）A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD（SSS），∵CD＝DE，∴AB＝DE，在△ABG和△DEG中，，∴△ABG≌△DEG（AAS），∴AG＝DG，∴OG是△ACD的中位线，∴OG＝CD＝AB，故①正确；∵AB∥CE，AB＝DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∵∠BCD＝∠BAD＝60°，∴△ABD、△BCD是等边三角形，∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形，故④正确；∴AD⊥BE，由菱形的性质得：△BGA≌△BGD≌△EGD（SSS），在△BGA和△COD中，，∴△BGA≌△COD（SAS），∴△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，故②不正确；∵OB＝OD，∴S△BOG＝S△DOG，∵四边形ABDE是菱形，∴S△ABG＝S△DGE，∴四边形ODEG与四边形OBAG面积相等，故③正确；故选：A．10．（2分）（2021春•两江新区期末）如图，O是菱形ABCD的对角线AC，BD的交点，E，F分别是OA，OC的中点．下列结论中正确的是（）①S△ABE＝S△OBF；②四边形EBFD是菱形；③四边形ABCD的面积为OC×OD；④∠ABE＝∠OBE．A．①② B．②④ C．②③ D．③④解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，∵E、F分别是OA、OC的中点，∴AE＝EO＝FO＝CF，∴S△ABE＝S△OBF，故①正确；∵EO＝OF，BO＝DO，∴四边形EBFD是平行四边形，又∵AC⊥BD∴四边形EBFD是菱形，故②正确；∵菱形ABCD的面积＝AC×BD＝2OC•OD，故③错误；∵四边形EBFD是菱形，∴∠OBF＝∠OBE，∠ABE≠∠OBE，故④错误；故选：A．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022春•惠民县期末）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形，转动其中一张纸条，则下列相等关系：①AD＝AB；②AD＝BC；③∠DAC＝∠ACD；④AO＝BO，其中一定成立的是②.（只填序号）解：由题意可知：AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC，故答案为：②．12．（2分）（2022春•锡山区期中）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，作∠BAD角平分线AE交BD、BC于点F、E．若EC＝3，CD＝4，那么AE长为2．解：连接DE．在直角三角形CDE中，EC＝3，CD＝4，根据勾股定理，得DE＝5．∵AB＝AD，AE⊥BD，∴AE垂直平分BD，∠BAE＝∠DAE．∴DE＝BE＝5．∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE＝5，∴BC＝BE+EC＝8，∴四边形ABED是菱形，由勾股定理得出BD＝，∴OE＝，∴AE＝2OE＝2，故答案为：2．13．（2分）（2021春•华容县期末）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，CE⊥AB于点E，点F、G分别是AD、BC的中点，连接CF、EF、FG，下列五种说法：①CE⊥FG；②四边形ABGF是菱形；③BC＝2EG；④∠DFC＝∠EFG；⑤∠AEF＝∠EGB．正确的有①②③④．（填序号）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵点F、G分别是AD、BC的中点，∴AF＝AD，BG＝BC，∴AF＝BG，∵AF∥BG，∴四边形ABGF是平行四边形，∴AB∥FG，∵CE⊥AB，∴CE⊥FG；故①正确；∵AD＝2AB，AD＝2AF，∴AB＝AF，∴四边形ABGF是菱形，故②正确；∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∵点G是BC的中点，∴BC＝2EG，故③正确；延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A＝∠MDF，∵F为AD中点，∴AF＝FD，在△AEF和△DFM中，，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE＝MF，∠AEF＝∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°∴∠AEC＝∠ECD＝90°，∵FM＝EF，∴FC＝EF＝FM，∴CF＝EM，∴∠ECM＝90°，∴∠FCD＝∠M＝∠FCE＝∠FEC＝45°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD∥BC，∵AF＝DF，AD＝2AB，∴DF＝DC，∴∠DCF＝∠DFC，∵DF＝AF＝AD，CD＝AB＝AD，∴四边形CDFG是菱形，∴FG∥CD，∴∠DCF＝∠CFG，∵FG⊥CE，∴∠EFC＝∠CFG，∴∠EFG＝∠DFC，故④正确，∵EG＝BG，∴∠B＝∠BEG，∴∠EGB＝180°﹣2∠B，∵EF≠FG，∴∠FEG≠∠FGE，∴∠FEG≠∠FGE，∵∠FGE＝∠BEG＝∠B，∴∠FEG≠∠B，∴∠AEF＝180°﹣∠BEG﹣∠FEG＝180°﹣∠B﹣∠FEG，∴∠AEF≠∠EGB，故⑤错误；故答案为：①②③④．14．（2分）（2021春•朝阳区校级月考）如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形一定是菱形，依据是邻边相等的平行四边形是菱形．解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，如图所示：∵两把完全一样的直尺叠放在一起，∴AB∥CD，AD∥BC，两把直尺的宽度相等，∴四边形ABCD是平行四边形，DE＝DF，又∵平行四边形ABCD的面积＝AB•DE＝BC•DF，∴AB＝BC，∴平行四边形ABCD为菱形，故答案为：菱形，邻边相等的平行四边形是菱形．15．（2分）（2020•寿光市二模）如图所示，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，点P为线段AC上的一个动点．过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N．连接PB，在点P运动过程中，PM+PN+PB的最小值等于7.8．解：∵AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，∴AC＝8，四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD于点O，∴平行四边形ABCD是菱形，AD＝＝＝5，∴CD＝AD＝5，连接PD，如图所示：∵S△ADP+S△CDP＝S△ADC，∴AD•PM+DC•PN＝AC•OD，即×5×PM+×5×PN＝×8×3，∴5×（PM+PN）＝8×3，∴PM+PN＝4.8，∴当PB最短时，PM+PN+PB有最小值，由垂线段最短可知：当BP⊥AC时，PB最短，∴当点P与点O重合时，PM+PN+PB有最小值，最小值＝4.8+3＝7.8，故答案为：7.8．16．（2分）（2020春•渌口区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的平分线交AC于D．过点A作AE⊥BC于E，交BD于G，过点D作DF⊥BC于F，过点G作GH∥BC，交AC于点H，则下列结论：①∠BAE＝∠C；②S△ABG：S△EBG＝AB：BE；③∠ADF＝2∠CDF；④四边形AGFD是菱形；⑤CH＝DF．其中正确的结论是①②④⑤．解：①∵∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠CAE＝90°，∵AE⊥BC，∴∠C+∠CAE＝90°，∴∠BAE＝∠C，①正确；②作AM∥BD交CB的延长线于M，如图所示：则∠M＝∠CBD，∠BAM＝∠ABD，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD，∴∠M＝∠BAM，∴AB＝BM，∵AM∥BD，∴AG：GE＝BM：BE，∴AG：GE＝AB：BE，∵S△ABG：S△EBG＝AG：GE，∴S△ABG：S△EBG＝AB：BE；②正确；④∵∠AGD＝∠ABD+∠BAE，∠ADG＝∠CBD+∠C，∠BAE＝∠C，∠CBD＝∠ABD，∴∠AGD＝∠ADG，∴AG＝AD，∵∠BAC＝90°，BD平分∠ABC．DF⊥BC，∴AD＝DF，∴AG＝DF，∵AE⊥BC，∴AG∥DF，∴四边形AGFD是平行四边形，又∵AG＝AD，∴四边形AGFD是菱形；④正确；⑤∵四边形AGFD是菱形；∴∠AGD＝∠FGD，GF＝DF，∠ADB＝∠FDB，∴∠AGB＝∠FGB，在△ABG和△FBG中，，∴△ABG≌△FBG（ASA），∴∠BAE＝∠BFG，∵∠BAE＝∠C，∴∠BFG＝∠C，∴GF∥CH，∵GH∥BC，∴四边形GFCH是平行四边形，∴GF＝CH，∴CH＝DF，⑤正确；③∵∠ADF＝2∠ADB，当∠C＝30°，∠CDF＝60°，则∠ADF＝120°，∴∠ADF＝2∠CDF；③不正确；故答案为：①②④⑤．17．（2分）（2019春•仓山区期中）如图，已知∠A，以点A为圆心，恰当长为半径画弧，分别交AE，AF于点B，D，继续分别以点B，D为圆心，线段AB长为半径画弧交于点C，连接BC，CD，则所得四边形ABCD为菱形，判定依据是：四条边相等的四边形是菱形．解：∵已知∠A，以点A为圆心，恰当长为半径画弧，分别交AE，AF于点B，D，∴AB＝AD，∵分别以点B，D为圆心，线段AB长为半径画弧交于点C，∴BC＝CD＝AB，∴AB＝AD＝BC＝CD，∴所得四边形ABCD为菱形，判定依据是：四条边相等的四边形是菱形．故答案为：四条边相等的四边形是菱形．18．（2分）（2017•安徽模拟）如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，给出下列判断：①若△AEF是等边三角形，则∠B＝60°，②若∠B＝60°，则△AEF是等边三角形，③若AE＝AF，则平行四边形ABCD是菱形，④若平行四边形ABCD是菱形，则AE＝AF，其中，结论正确的是①③④（只需填写正确结论的序号）．解：①∵△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝60°，AE＝AF，又∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠C＝120°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠C＝∠BAD＝120°，∴∠B＝180°﹣∠C＝60°，故①正确；②∵∠D＝∠B＝60°，∴∠BAE＝∠DAF＝90°﹣60°＝30°，∴∠EAF＝120°﹣30°﹣30°＝60°，但是AE不一定等于AF，故②错误；③若AE＝AF，则BC•AE＝CD•AF，∴BC＝CD，∴平行四边形ABCD是菱形，故③正确；④若平行四边形ABCD是菱形，则BC＝CD，∴BC•AE＝CD•AF，∴AE＝AF，故④正确；故答案为：①③④．19．（2分）（2021•朝天区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，CE⊥AB于点E，点F、G分别是AD、BC的中点，连接CF、EF、FG，下列四种说法：①CE⊥FG；②四边形ABGF是菱形；③BC＝2EG；④∠DFC＝∠EFG．正确的有①②③④．（填序号）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵点F、G分别是AD、BC的中点，∴AF＝AD，BG＝BC，∴AF＝BG，∵AF∥BG，∴四边形ABGF是平行四边形，∴AB∥FG，∵CE⊥AB，∴CE⊥FG；故①正确；∵AD＝2AB，AD＝2AF，∴AB＝AF，∴四边形ABGF是菱形，故②正确；∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∵点G是BC的中点，∴BC＝2EG，故③正确；延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A＝∠MDF，∵F为AD中点，∴AF＝FD，在△AEF和△DFM中，，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE＝MF，∠AEF＝∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠ECD＝90°，∵FM＝EF，∴FC＝EF＝FM，∴CF＝EM，∴∠ECM＝90°，∴∠FCD＝∠M＝∠FCE＝∠FEC＝45°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD∥BC，∵AF＝DF，AD＝2AB，∴DF＝DC，∴∠DCF＝∠DFC，∵DF＝AF＝AD，CD＝AB＝AD，∴四边形CDFG是菱形，∴FG∥CD，∴∠DCF＝∠CFG，∵FG⊥CE，∴∠EFG＝∠CFG，∴∠EFG＝∠DFC，故④正确，故答案为：①②③④．20．（2分）（2020春•和平区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC边上的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AG＝13，BG＝5，则CF的长为6．解：∵AG∥BD，BD＝FG，∴四边形BGFD是平行四边形，∵CF⊥BD，∴CF⊥AG，又∵点D是AC中点，∴BD＝DF＝AC，∴四边形BGFD是菱形，∴GF＝BG＝5，则AF＝13﹣5＝8，AC＝2×5＝10，∵在Rt△ACF中，∠CFA＝90°，∴AF2+CF2＝AC2，即82+CF2＝102，解得：CF＝6．故答案是：6．三．解答题（共9小题，满分60分）21．（6分）（2023•黔江区一模）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是AD上一点，连接EO并延长，交BC于点F．连接AF，CE，EF平分∠AEC．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若∠DAC＝60°，AC＝2，求四边形AFCE的面积．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AO＝CO，∴∠AEF＝∠CFE，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OF＝OE，∵AO＝CO，∴四边形AFCE是平行四边形；∵EF平分∠AEC，∴∠AEF＝∠CEF，∴∠CFE＝∠CEF，∴CE＝CF，∴四边形AFCE是菱形；（2）解：由（1）得：四边形AFCE是菱形，∴AC⊥EF，AO＝CO＝AC＝1，∴∠AOE＝90°，∵∠DAC＝60°，∴∠AEO＝30°，∴OE＝AO＝，∴EF＝2OE＝2，∴四边形AFCE的面积＝AC×EF＝×2×2＝2．22．（6分）（2022春•海安市期中）如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AC＝6，BD＝8，过点A作AH⊥BC于点H，求AH的长．（1）证明：∵AE∥BF，∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，∵AC平分∠BAD，BD平分∠ABC，∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，∴AB＝BC，AB＝AD，∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AD＝AB，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）解：由（1）可知，四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝AC＝3，OB＝OD＝BD＝4，AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴BC＝＝＝5，∵AH⊥BC，∴S菱形ABCD＝BC•AH＝AC•BD，即5AH＝×6×8，解得：AH＝，即AH的长为．23．（6分）（2022春•南岗区校级期中）在等腰△ABC中，AC＝BC，D、E、F分别是AB、AC、BC边上的中点，连接DE、DF．（1）如图1，求证：四边形DFCE是菱形；（2）如图2延长DE至点G，使EG＝DE，连接EF、CG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有的平行四边形（不包括菱形DFCE）．（1）证明：∵点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，∴DE、DF都是△ABC的中位线，∴DE∥CF，DE＝BC，DF∥CE，DF＝AC，∴四边形DECF是平行四边形，∵AC＝BC，∴DE＝DF，∴平行四边形DFCE是菱形；（2）解：∵D、E、F分别是AB、AC、BC边上的中点，∴AD＝BD，EF是△ABC的中位线，∴EF∥AB，EF＝AB＝AD＝BD，∴四边形ADFE、四边形BDEF是平行四边形，∵BC＝2DE，EG＝DE，∴BC＝DG，∵DE∥BC，∴四边形BCGD、四边形EFCG是平行四边形，即图2中所有的平行四边形（不包括菱形DFCE）为平行四边形ADFE、平行四边形BDEF、平行四边形BCGD、平行四边形EFCG．24．（6分）（2022春•鼓楼区校级期中）如图，在▱ABCD中，AD＞AB，∠ABC的平分线交AD于点F，EF∥AB交BC于点E．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AB＝5，BF＝8，▱ABCD的面积为42，求CE的长．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，又∵EF∥AB，∴四边形ABEF是平行四边形，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠EBF，∵AF∥BC，∴∠AFB＝∠FBE，∴∠ABF＝∠AFB，∴AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形；（2）解：∵四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，BO＝OF＝4，AO＝OE，AB＝BE＝5，∴OE＝＝＝3，∴AE＝2OE＝6，∴S菱形ABEF＝AE•BF＝×6×8＝24，∵AD∥BC，AB∥EF∥CD，∴四边形ECDF是平行四边形，∴S▱EFDC＝42﹣24＝18，∴S菱形ABEF：S▱EFDC＝＝，∴BE：CE＝，∴CE＝BE＝×5＝．25．（6分）（2022春•澄海区期末）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，分别以AB、AD为腰作等腰三角形△ABF和等腰三角形△ADE，且顶角∠BAF＝∠DAE，连结BD、EF相交于点G，BD与AF相交于点H．（1）求证：BD＝EF；（2）若∠GHF＝∠BFG，求证：四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，当∠BAF＝∠DAE＝90°时，连结BE，若BF＝4，求△BEF的面积．（1）证明：∵∠BAF＝∠DAE，∴∠BAF+∠FAD＝∠DAE+∠FAD，即∠BAD＝∠FAE，∵AB＝AF，AD＝AE，∴△BAD≌△FAE（SAS），∴BD＝EF．（2）∵∠GHF＝∠BFG，∴∠GFH＝∠GBF，由（1）可知∠GFH＝∠ABD，∴∠ABD＝∠GBF，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠GBF，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形；（3）延长EA交BC于M，∵∠DAE＝90°．∴EM⊥AD，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴EM⊥BF，∵AB＝AF，BF＝4，∴BM＝FM＝2，∵∠BAF＝90°，∴，∴，∴，∴EM＝AE+AM＝2+2，∴＝＝4．26．（8分）（2022春•桂平市期末）如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作▱ECFG．（1）证明▱ECFG是菱形；（2）若∠ABC＝120°，连接BD、CG，求∠BDG的度数；（3）若∠ABC＝90°，AB＝6，AD＝8，M是EF的中点，求DM的长．解：（1）证明：∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，又∵四边形ECFG是平行四边形，∴四边形ECFG为菱形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°由（1）知，四边形CEGF是菱形，∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，∵EG∥DF，∴∠BEG＝120°＝∠DCG，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴BE＝CD，∴△BEG≌△DCG（SAS），∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，∴∠BGD＝∠CGE，∵CG＝GE＝CE，∴△CEG是等边三角形，∴∠CGE＝60°，∴∠BGD＝60°，∵BG＝DG，∴△BDG是等边三角形，∴∠BDG＝60°；（3）如图2中，连接BM，MC，∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形．∵∠BAF