2024年中考数学一轮复习提高讲义：矩形

矩形

知识梳理

1.矩形的定义

有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.

2.矩形的性质

⑴矩形的四个角都是直角.

⑵矩形的对角线相等.

3.矩形的判定

(1)有三个角是直角的四边形是矩形.

⑵对角线相等的平行四边形是矩形.

典型例题

例1

如图16-1所示，在||。夕加148。。中无下为BC边上的两点，且.BE=CF,AF=DE,

(1)求证：△ABF=△DCE;1------------------

(2)四边形ABCD是矩形.

分析(1)根据平行四边形的性质找出三角形全等的条件；

(2)有一个角是直角的平行四边形是矩形.

解⑴因为四边形ABCD是平行四边形BE

所以4B=DC图16-1

因为BE=CF

所以.BF=CE

在AABF和ADCE中

AB=DC

BF=CE

.AF=DE

所以△ABF^ADCE

(2)因为△ABF^ADCE

所以NB=/C

所以NB=90。

所以四边形ABCD是矩形.

例2

已知:如图16-2所示在△ABC中,/BAC=9(F,DE,DF是4ABC的中位线，连接EF,AD.求证:EF=AD.

分析由DE,DF是△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质，即可求得四边形AEDF是平行四边形，又/

BAC=90°,则可证得平行四边形AEDF是矩形，根据矩形的对角线相等即可得EF=AD.

解因为DE,DF是^ABC的中位线，

所以DE〃AB,DF〃AC,

所以四边形AEDF是平行四边形,

又因为Z-BAC=90°,

所以平行四边形AEDF是矩形，

所以EF=AD.

例3

如图16-3所示，在△ABC中.AB=AC,D为边BC上一点，以AB.BD为邻边作口ABDE,连接AD,EC.

⑴求证:△ADC^AECD;

⑵若BD=CD,求证:四边形ADCE是矩形.

BD

图16-3

分析(1)利用等边对等角以及平行四边形的性质可以证得/EDC=/ACB,则易证△ADC^AECD,利用全等

三角形的对应边相等即可证得.

⑵根据平行四边形性质推出AE=BD=CD,AE〃CD得出平行四边形根据.4C=DE推出即可.

解⑴证明:因为AB=AC,

所以/B=/ACB,

又因为口ABDE中,AB=DE,AB〃DE,

所以/B=NEDC=NACB,AC=DE,

所以△ADC^AECD(SAS).

⑵因为四边形ABDE是平行四边形，

所以AE=BD,AE〃:BC,

因为D为边长中点，

所以BD=CD,

所以AE=CD,AE〃CD,

所以四边形ADCE是平行四边形，

因为△ADC^AECD,

所以AC=DE,

所以四边形ADCE是矩形，

即点D在BC的中点上时,四边形ADCE是矩形.

例4

如图16-4所示在四边形ABCD,AD〃BC,AB〃DE,AF〃DC,E,F两点在BC上，且四边形AEFD是平行四边形.

(1)AD与BC有何等量关系?请说明理由；友幺

(2)当AB=DC时,求证:四边形AEFD是矩形.

BEFC

图16-4

分析⑴由题中所给平行线，不难得出四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，而四边形AEFD也是

平行四边形，三个平行四边形都共有一条边AD,所以可得出AD=(BC的结论.

(2)根据矩形的判定和定义，对角线相等的平行四边形是矩形.只要证明.AF=DE即可得出结论.

解⑴力D=匏仁

理由如下：

因为AD〃BC,AB〃DE,AF〃DC,

所以四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形.

所以AD=BE,AD=FC,

又因为四边形AEFD是平行四边形，

所以AD=EF.

所以AD=BE=EF=FC.

所以4D=抑.

⑵证明：因为四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，

所以DE=AB,AF=DC.

因为AB=DC,

所以DE=AF.

又因为四边形AEFD是平行四边形，

所以平行四边形AEFD是矩形.

双基训练

1矩形ABCD的长为5,宽为3,点E,F将AC三等分厕△BEF的面积为().

355

A.-B.-C.-D.5

232

2.已知矩形ABCD的AB=2BC,在CD上取点E,使AE=EB,那么NEBC等于().

A.60°B.45°C.30°D.15°

3.一个矩形和一个平行四边形的边分别相等，若矩形面积为这个平行四边形的面积的2倍，则平行四边形的锐

角的度数为().

A.15°B.30°C.45°D.60°

4.过四边形各顶点分别作对角线的平行线，若这四条平行线围成一个矩形，则原四边形一定是().

A.对角线相等的四边形B.对角线互相垂直的四边形

C.对角线互相平分且相等的四边形D.对角线互相垂直且平分的四边形

5.E为矩形ABCD的边CD上的一点,AB=AE=4,BC=2,贝！J/BEC是().

A.15°B,30°C.60°D.75°

6如图16-5所示,O为矩形ABCD的对角线交点,DF平分NADC交AC于E,交BC于F,NBDF=15oJI![|NCOF=_

A_________D

这

BFC

图16-5

7.矩形ABCD的周长为40厘米Q是它的对角线交点,△AOB比^AOD周长多4厘米，则它的各边长之比为一

8.如图16-6所示，矩形ABCD中,AE_LBD于E,ZDAE=3NBAE,贝！|/BAE=,ZEAD=,ZEAC=

图16-6

9.0为矩形ABCD的对角线交点..NAOB=2/B0C,对角线AC=12,贝CB=

10.如图16-7所示,在矩形ABCD中,AB=2BC,在CD上取点E,使AE=4B厕NEAB=—,ZBEC=.

11.甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，一木工师傅拿尺子要他们帮助检测一个窗框是不是矩形，他们

各自做了如下检测，检测后，他们都说窗框是矩形，你认为最有说服力的是().

A.甲量得窗框两组对边分别相等

B.乙量得窗框对角线相等

C.丙量得窗框的一组邻边相等

D.丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等

12.矩形ABCD中,AE平分/BAD交BC于E,对角线AC,BD交于O,/CAE=15。,则下面的结论:①△ODC是等

边三角形;②BC=2AB;®ZAOE=135°;④SAAOE=SACOE,其中正确的结论有().

A.1个B.2个C.3个D.4个

13.如图16-8所示,在矩形ABCD中,E是AD的中点，且EBLEC.若矩形ABCD的周长为48厘米,则矩形ABCD

的面积为—平方厘米.

图16-8

14矩形的两条对角线的夹角为120°,矩形的宽为3,则矩形的面积为一.

15.已知:四边形ABCD中,AB=CD,/A+ND=18(r,AC,BD相交于点AOB是等边三角形.求证：四边形ABC

D是矩形.

16.如图16-9所示矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,CE_LBD于E,OF±AB于F,BE:DE=1:3,OF=2厘米

求AC的长.

图16-9

17.如图16-10所示，已知矩形ABCD中,E是AD上的一点,F是AB上的一点,EF1EC,且EF=EC,DE=4厘米

矩形ABCD的周长为32厘米.求AE的长.

图16-10

18.如图16-11所示Q是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点,E,F,G,H分别是AO,BO,CO,DO上的一点，目AE

=BF=CG=DH.

求证:四边形EFGH是矩形.

图16-11

19.如图16-12所示,在矩形ABCD中,BE平分乙ABC,交CD于点E,点F在边BC上.

(1)如果FE14E,求证FE=AE.

(2)如果.FE=4E,,你能证明.FE14E吗?

DEC

AB

图16-12

20.已知：如图16-13所示,平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E,F,G,H.求证:四边开乡EF

GH是矩形.

D

G

图16-13

能力提升

2L若矩形的两条对角线的夹角为（60。,，一条边为15厘米，则另一条边长为一厘米.

22.过矩形ABCD的顶点D作DE14&垂足为E,若4E=8厘米，ED=2厘米，则矩形的周长是___.

23.矩形ABCD中，点E为边AB上的一点，过点E作直线EF垂直对边CD于F,若=2:1

四］2形AEFD四22形BCFE

，厕DF:FC=.

24.如图16-14所示,在矩形ABCD中,BC=6厘米AE=1AD,Z.CBF=30。,,且点A与F关于BE对称，则BE=_

_,AB=

25.如图16-15所示,在矩形ABCD中.M,N分别是AD,DC边的中点,AN,MC交于P点若乙MCB=乙NBC+33°„

求NMPA的大小.

图16-15

26.如图16-16所示矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,BE平分.乙4BC,交AD于E,交AC于F,且乙OBF

=15。,求证:OE=EF.

图16-16

27.如图16-17所示,在矩形ABCD中，从顶点C作对角线BD的垂线与乙4的平分线相交于点E.求证：BD=CE

图16-17

28.如图16-18所示,在矩形ABCD中,P是AD上任一点,PQ12C于点Q,PR1BD于点R,DT12C于点T,P

Q,PR,DT三条线段能否组成三角形?若能，请证明；否则，请说明理由.

图16-18

29.如图16-19所示，在△ABC中Q是AC上一个动点，过点O作直线.MN||BC,设MN交NBC4的角平分线于点

E,交ABC4的外角平分线于点F.

(1)求证:EO=F0-,

(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形?并证明你的结论.

图16-19

30.如图16-20所示,在平行四边形ABCD中以AC为斜边作直角三角形ACE,NBED=90。,证明四边形ABCD

是矩形.

B

图16-20

拓展资源

s

31.如图16-21所示点E,F分别是矩形ABCD的边AB,BC的中点，连接AF,CE,设AF,CE交于点G,则产

加ZKABCD

等于.

32.如果将长方形纸片ABCD沿EF折叠，如图16-22所示，延长CE交AD于H,连接GH,那么EF与GH互相垂

直平分吗?

33.33如图16-23所示，在△ABC中,AB=AC延长BC至D,使CD=BC.点E在边AC上以CD,CE为邻边作CJCD

FE过点C作CG〃AB交EF于点G,连接BG,DE.

(l)ZACB与NDCG有怎样的数量关系？请说明理由.

(2)求证:△BCG^ADCE.

图16-23

34.如图16-24所示，以^ABC的三边为边，在BC的同侧分别作3个等边三角形，即4ABD,ABCE,AACF.

请回答问题并说明理曲

(1)四边形ADEF是什么四边形？

(2)当4ABC满足什么条件时.四边形ADEF是矩形?

(3)当4ABC满足什么条件时,四边形ADEF不存在?

E

图】6-24

35.矩形一边长为5,另一边长小于4,将矩形折叠，使两对角顶点重合，如图16-25所示，若折痕EF长为

V6,,求另一边长.

图16-25

第15讲

第16讲

1.C2.B3.B4.B5.D6.75°7.3:2:3:28.22.5°,67.5°,45°9.61O.ZEAB=3O°,ZBEC=75°

11.D12.C13.12814.9V3

15提示：由AB=CD且AB〃CD得到四边形ABCD是平行四边形，由4AOB是等边三角形得对角线相等.对

角线相等的平行四边形是矩形.

16.由题意可知OF为AACB和4BAD的中线，即AD=BC=2OF=4

因为/OBF=/BDC=/BCE,OF_LAB,CEJ_BD.所以△BFO^ACEB.^JTUZ—=些.又因为BE:DE=1:3,所以3BE

OFB0

=DE=2BO-BE,所以BO=2BE,所以—=—,2BE2=BC•OF=BE2=4,解得BE=2.

OF2BE

所以AC=BD=4BE=4x2=8.

17.解:在RtAAEF和RtADEC中,EF_LCE.

所以/FEC=90。.

所以/AEF+ZDEC=90°.

而/ECD+/DEC=90。.

所以NAEF=NECD.

在RtAAEF与RtADCE中，

(/-FAE=乙EDC=90°,

因为^AEF=/-ECD,

EF=EC,

所以RtAAEF义RtADCE(AAS).

所以AE=CD.

AD=AE+4.

因为矩形ABCD的周长为32厘米.

所以2(AE+ED+DC)=32,即2(2AE+4)=32,

整理得:2AE+4=16

解得:AE=6(厘米).

18.因为四边形ABCD是矩形，

所以AC=BD;AO=BO=CO=DO

因为AE=BF=CG=DH,

所以OE=OF=OG=OH,

所以四边形EFGH是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).

因为OE+OG=FO+OH即EG=FH,

所以四边形EFGH是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).

19.(1)因FEXAE,

即NAEF=90。，

故/AED与NCEF互余，

又BE平分NABC

故AD=BC=EC

所以△ADE^AECF.

所以FE=AE

(2)因FE=AE,AD=EC,ZADE=ZECF=90°,

故4ADE^AECF全等，

则/AED与/CEF互余所以FEXAE

20.证明：因为四边形ABCD是平行四边形，

所以NBAD+NABC=180o,/BAD+/ADC=180°

又因为AE平分/BAD,BF平分/ABC,

所以ZBAF+ZABF=90°,

所以4AFB=90°

同理可得/AED=90o,NBGC=90。，

所以四边形EFGH是矩形.

21.15百或5百22.5V1723.2:124.BE=8,AB=4V325.33°

26.因为矩形ABCD,所以AO=BO,ZABC=ZBAD=90°

因为BE平分/ABC,所以/ABE=NCBE=45°

因为AD〃BC,所以/AEB=NCBE,所以NABE=NAEB=45。,所以AE=AB

因为NDBF=15。,所以NABD=NABE+/DBF=450+15°=60°

因为AO=BO,所以NBAC=60°

所以△AOB为等边三角形

所以AO=AB,AO=AE

所以ZDAC=ZBAD-ZBAC=30°,AO=AE

所以.NAOE=(180°-乙DAC)12=75°

因为/-EFC=ADAC+/.AEB=75°

所以NAOE=/EFC

所以OE=EF

27.设EC与BD相交于F

ZOAD=ZODA

=AOAD=-A.BOA

2

XZBOA=ZCFB-ZACF=90°-ZACF

i

=^LOAD=45°--Z.FCA

2

i

=/-CAE=(DAE-Z-OAD=45°-^OAD=-/.FCA

2

根据外角定理NE=NFCA-ACAE=l^FCA

因此/E=/CAE

ACAE是等腰三角形，且CA=CE

CA=BD

所以BD=CE

28.不能，因为PQ+PR=DT.

29.(1)延长BC至G,因为MN〃BC,